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Trigonometría: 16.Ejercicio de razones alfa y beta - Contenido educativo

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Subido el 30 de octubre de 2007 por EducaMadrid

27483 visualizaciones

- Cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos alfa y beta en un caso concreto.

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En este vídeo mostramos un ejercicio de aplicación directa de las definiciones de razones trigonométricas. 00:00:00
Veamos lo que nos dice el ejercicio. 00:00:08
Dado el siguiente triángulo, hallar todas las razones trigonométricas de los ángulos alfa y beta. 00:00:11
Primero vamos a ver cuál es el triángulo. 00:00:18
Este es nuestro triángulo. En este caso el ángulo de 90 grados está aquí, en una posición distinta a las definiciones que hemos dado. 00:00:21
Con lo cual nos sirve para practicarlas con el triángulo en otra posición. 00:00:30
Aquí está el ángulo alfa. Aquí está el ángulo beta. 00:00:36
Este es uno de los datos del problema. Este cateto mide 4 centímetros. 00:00:43
Y este es otro de los datos del problema. Este otro cateto mide 3 centímetros. 00:00:46
No conocemos el valor de la hipotenusa y por tanto tendremos que calcularla. 00:00:52
La solución del ejercicio pasa entonces... 00:00:56
Lo primero que tenemos que hacer es calcular cuánto mide la hipotenusa. 00:00:59
¿Cómo vamos a hacerlo? Pues usando el Teorema de Pitágoras. 00:01:05
El Teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es 3. 00:01:09
El Teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 00:01:13
Por tanto, 4 al cuadrado más 3 al cuadrado será igual a h al cuadrado. 00:01:18
De manera que h al cuadrado será igual a 16 más 9. 00:01:23
Y por tanto, h será igual a la raíz cuadrada de 25, es decir, 5 centímetros. 00:01:29
Estamos trabajando siempre con longitud, por lo tanto, la raíz cuadrada positiva. 00:01:39
De manera que h, la hipotenusa, mide 5 centímetros en este triángulo rectángulo. 00:01:44
A partir de aquí solamente lo único que tenemos que hacer es ir aplicando las fórmulas, conocerlas. 00:01:52
Si no las recordamos debemos tenerlas al lado y simplemente vamos a ir aplicándolas. 00:01:58
Empezamos por el ángulo alfa. 00:02:09
El seno de alfa será igual, recordemos, cateto opuesto, lo que mida el cateto opuesto alfa, es decir, 4 centímetros, 00:02:12
dividido entre lo que mida la hipotenusa, es decir, 5 centímetros, 4 entre 5. 00:02:24
El coseno de alfa será igual, cateto contiguo alfa, es decir, 3 centímetros, 00:02:32
dividido entre 5 centímetros que mide la hipotenusa. 00:02:42
Para la tangente tenemos que dividir el valor del cateto opuesto alfa entre lo que mide el cateto contiguo. 00:02:48
Por lo tanto, 4 tercios. 00:03:02
Para la secante de alfa recordar que la secante es la enversa del coseno, 00:03:05
por lo tanto solamente tenemos que intercambiar numerador con denominador en la fracción 3 quintos. 00:03:10
Nos quedaría entonces 5 tercios. 00:03:16
De la misma manera la cosecante es la inversa del seno y por tanto 5 cuartos. 00:03:20
Y por último, para alfa, la cotangente de alfa, miramos la tangente e intercambiamos numerador con denominador 3 cuartos. 00:03:26
Recordemos que todos estos valores son adimensionales, es decir, no tienen dimensiones, no son centímetros, no son metros, 00:03:37
es simplemente un número sin dimensiones. 00:03:45
Y por lo demás se pueden aplicar todo lo que sabemos de números, es decir, 00:03:48
el resultado de una fracción, si el resultado es exacto, podemos tomar el decimal y si no es exacto tendremos que conformarnos con una aproximación. 00:03:52
Nosotros lo dejamos así porque simplemente lo que tendremos es aplicar directamente las fórmulas. 00:04:03
Vamos ahora a por el otro ángulo, a por beta. 00:04:09
Para el ángulo beta tendríamos seno de beta sería igual a cateto opuesto a beta ahora, que sería 3, 3 centímetros, dividido entre lo que mide la hipotenusa, 5. 00:04:12
Para el coseno de beta sería cateto contiguo a beta, 4 entre lo que mide la hipotenusa, 5. 00:04:30
Para la tangente de beta, cateto opuesto, 3, dividido entre lo que mide el cateto contiguo a beta. 00:04:42
Vamos ahora ya por la secante, la secante es la inversa del coseno, por lo tanto intercambiamos numerador con denominador en la fracción, 5 cuartos. 00:04:54
Para la cosecante, ya sabemos, 5 tercios y por último para la cotangente de beta, 4 tercios. 00:05:04
Es importante observar ahora que algunas razones del ángulo alfa y del ángulo beta son iguales. 00:05:16
Por ejemplo el seno de alfa es igual que el coseno de beta, el coseno de alfa es igual que el seno de beta, 00:05:23
La tangente de alfa es igual que la cotangente de beta, secante de alfa y cosecante de beta son también iguales, cosecante de alfa es igual que secante de beta, 00:05:33
y la cotangente de alfa es igual que la tangente de beta. 00:05:44
Esto no es casual, no es casualidad que ocurra esto, y va a pasar siempre en cualquier triángulo o rectángulo, va a ocurrir siempre, 00:05:48
porque estos ángulos son complementarios, es decir, suman 90 grados o pi medios radianes, entonces siempre va a ocurrir eso, 00:06:00
puesto que el cateto contiguo de un ángulo es el cateto opuesto del otro, de manera que por eso se produce esta situación y esto va a ocurrir siempre. 00:06:08
En el caso de que estemos trabajando, como más adelante veremos, con ángulos en una circunferencia, pues también va a ocurrir, 00:06:17
aunque ya no trabajemos sobre un triángulo o rectángulo, siempre que tengamos dos ángulos que sumen 90 grados o pi medios radianes, es decir, ángulos complementarios, va a ocurrir esto. 00:06:26
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
27483
Fecha:
30 de octubre de 2007 - 13:53
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
06′ 40″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
8.82 MBytes

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