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Trigonometría: 6.Radián - Contenido educativo

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Subido el 26 de octubre de 2007 por EducaMadrid

11609 visualizaciones

-Sistema de medida circular: el radián.
Ángulo central, definición de radián.

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Introducimos en este vídeo el sistema de medida circular. 00:00:00
La unidad en este sistema de medida es el radian. 00:00:07
La medida en radianes es la más natural. 00:00:11
Sin embargo, es la que más cuesta entender. 00:00:14
Para explicar lo que queremos decir con esto, 00:00:17
vamos a reflexionar sobre el sistema sesagesimal y el sistema centesimal. 00:00:20
En el sistema sesagesimal dividimos el ángulo completo en 360 grados 00:00:26
y en el centesimal lo dividimos en 400 grados. 00:00:30
Estos dos números, sin embargo, son arbitrarios 00:00:33
y podríamos haber cogido otra cantidad distinta. 00:00:36
Nosotros estamos acostumbrados a trabajar diariamente con el sistema sesagesimal 00:00:42
puesto que lo usamos en la hora. 00:00:47
Esto nos hace que medir ángulos en grados minutos segundos 00:00:49
sea para nosotros algo fácil o algo sencillo de entender. 00:00:54
El radian es una medida que está directamente relacionada con el número pi 00:01:02
y el número pi aparece de forma espontánea en la circunferencia. 00:01:07
Es por eso que decimos que medir en radianes es la forma más natural de medir ángulos. 00:01:11
Además, es la única manera de progresar 00:01:18
en el entendimiento de las funciones trigonométricas 00:01:22
y en otras cuestiones importantes en matemáticas. 00:01:25
De manera que, a pesar de que quizás sea un poco más difícil de entender, 00:01:29
vamos a sacarle mucho partido a esta medida. 00:01:35
Para explicar lo que es un radian, veamos primero lo que es un ángulo central. 00:01:41
Un ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia 00:01:48
y los lados son dos radios de ella. 00:01:54
Vemos esto sobre un dibujo. 00:01:59
Aquí tendríamos el centro de la circunferencia, aquí estaría la circunferencia, 00:02:01
que vamos a trazar con radio 1, por ejemplo, un metro. 00:02:05
Si nosotros tenemos un radio y otro radio, pues el ángulo, 00:02:11
es decir, la porción de plano comprendida entre estos dos radios, 00:02:17
sería un ángulo central. 00:02:21
A cada ángulo central le corresponde un segmento, un trozo de la circunferencia, 00:02:25
aquí estaría el que le corresponde a este ángulo central, 00:02:31
que se llama arco. 00:02:34
Es decir, a cada ángulo central le corresponde un arco. 00:02:36
Vamos a ver otro ejemplo. 00:02:39
Un radio, otro radio, el ángulo central y el arco correspondiente al ángulo central. 00:02:41
Una vez que hemos visto lo que es un ángulo central, 00:02:52
definimos radian como el ángulo central cuyo arco correspondiente es igual al radio. 00:02:56
Es decir, cualquier ángulo central no es un radian, 00:03:04
sino que para tener un radian el ángulo central tiene que estar construido de una manera determinada. 00:03:09
Vamos a ver sobre nuestro dibujo qué sería un radian. 00:03:16
Aquí tenemos el radio de la circunferencia, nosotros trazamos un radio, 00:03:22
y ahora, para poder tener un radian, el segundo radio no lo podemos poner en cualquier sitio, 00:03:28
sino que lo primero que tenemos que hacer es medir sobre la circunferencia un arco, 00:03:33
un trozo de circunferencia de longitud 1. 00:03:39
Es decir, si el radio es 1, pues tenemos que medir un arco de longitud 1. 00:03:44
Si media 1 metro, pues tenemos que medir un arco de longitud 1 metro. 00:03:49
Esto podemos hacerlo, por ejemplo, con un hilo. 00:03:55
Si tenemos una circunferencia, cogemos un hilo que mida 1 y lo llevamos sobre la circunferencia. 00:03:57
Una vez que hemos medido 1 sobre la circunferencia, trazamos ahí ahora ese otro radio, 00:04:03
y entonces sí, este ángulo central que tenemos aquí es un radian. 00:04:08
Si lo hemos entendido, podemos volver a repetirlo. 00:04:15
Volvemos a medir con ese mismo hilo, por ejemplo, pues medimos otra vez una longitud de 1 metro, 00:04:18
colocamos otro radio y, por lo tanto, pues otro radian. 00:04:26
Podemos seguir haciendo esto varias veces, puesto que en una circunferencia hay más de un radian. 00:04:29
Ahí ya tenemos 3, volvemos a hacer lo mismo, medimos un arco de longitud 1, otro radio y otro radian, 00:04:37
otra vez igual, añadimos otro radian y otro radian más. 00:04:46
Hemos llegado hasta 6 radianes. 00:04:52
Nos falta un poco y el trozo que queda, el trozo de circunferencia, mide 0,28 metros. 00:04:55
Es por tanto que entonces tendríamos 6,28 radianes en esta circunferencia que es de radio 1. 00:05:07
Nosotros vamos a ver que esto ocurre siempre, sea el radio 1 o sea el radio que sea. 00:05:15
Para poder explicarlo recurrimos a la fórmula que nos da la longitud de la circunferencia. 00:05:24
La longitud de una circunferencia de radio R general es 2 pi R. 00:05:29
Si nosotros queremos saber cuántas veces en una circunferencia de radio R, ya no de radio 1 sino de radio cualquiera, 00:05:36
cuántas veces podríamos llevar el radio una de B detrás de otra sobre la circunferencia igual que acabamos de hacer ahora, 00:05:43
pues lo que tendríamos que hacer es dividir. 00:05:51
Tendríamos que dividir la longitud total de la circunferencia entre el radio 00:05:53
para saber cuántas veces está contenido el radio en la circunferencia. 00:05:58
Hacemos entonces esta división. 00:06:05
Es una división muy sencilla porque la R está multiplicando arriba y dividiendo abajo, 00:06:08
por lo tanto se simplifica y esto nos daría 2 pi. 00:06:12
2 pi, pues aproximadamente podemos tomar como 628. 00:06:17
¿Qué ocurre entonces? Pues resulta que en general, valga lo que valga el radio, 00:06:22
siempre podemos llevar este radio sobre la circunferencia 628 veces. 00:06:26
Por lo tanto, el ángulo completo va a equivaler a 2 pi radianes. 00:06:31
Siempre, en cualquier circunferencia, el ángulo completo equivale a 2 pi radianes. 00:06:40
Como hemos visto, pues realmente es una medida natural puesto que, en su definición, 00:06:46
solamente interviene la propia longitud de la circunferencia 00:06:52
y el número pi, que es un número que nos aparece de una forma espontánea en la circunferencia. 00:06:59
Como lo que acabamos de hacer nos dice que esto no depende del radio de la circunferencia, 00:07:08
que esto nos sirve para siempre. 00:07:14
Si ahora en el dibujo escribimos lo que acabamos de ver ahora, 00:07:16
hemos quitado todos los iguales a 1 y así nos quedaría. 00:07:20
Es decir, en general, valga lo que valga el radio de la circunferencia, 00:07:25
vamos a poder llevar este radio sobre la circunferencia 6,28 veces. 00:07:28
Y, en cualquier circunferencia, el ángulo completo equivale siempre a 2 pi radianes. 00:07:35
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
11609
Fecha:
26 de octubre de 2007 - 10:38
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.

Duración:
07′ 44″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
10.20 MBytes

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