1
00:00:00,110 --> 00:00:09,150
Bueno, vamos a empezar con los ejercicios de álgebra en el tema 3. Empezamos con la factorización de polinomios.

2
00:00:09,970 --> 00:00:25,949
Hemos visto todo lo relativo a la divisibilidad, las reglas de Ruffini, los polinomios divisores, y aquí vamos a utilizar la regla de Ruffini varias veces para conseguir descomponer cada uno de los polinomios.

3
00:00:25,949 --> 00:00:28,629
se trata de encontrar sus raíces

4
00:00:28,629 --> 00:00:30,129
vamos a utilizar

5
00:00:30,129 --> 00:00:30,510
el fil

6
00:00:30,510 --> 00:00:33,009
buscando sus raíces

7
00:00:33,009 --> 00:00:34,789
sus raíces siempre van a ser múltiplos

8
00:00:34,789 --> 00:00:36,649
del término independiente

9
00:00:36,649 --> 00:00:38,630
lo primero

10
00:00:38,630 --> 00:00:40,850
en este caso, siempre que podamos

11
00:00:40,850 --> 00:00:43,109
es sacar factor común porque vamos a conseguir

12
00:00:43,109 --> 00:00:44,770
rebajar el polinomio

13
00:00:44,770 --> 00:00:46,909
al menos un grado, en este caso incluso

14
00:00:46,909 --> 00:00:50,479
3, porque es cubo

15
00:00:50,479 --> 00:00:52,799
y transformamos el polinomio en

16
00:00:52,799 --> 00:00:54,600
x al cubo

17
00:00:54,600 --> 00:00:56,619
menos 9x cuadrado

18
00:00:56,619 --> 00:00:58,799
más 24x

19
00:00:58,799 --> 00:01:03,759
y este es el polinomio que ahora

20
00:01:03,759 --> 00:01:05,480
vamos a factorizar

21
00:01:05,480 --> 00:01:07,599
bueno, pues para eso

22
00:01:07,599 --> 00:01:08,640
aplicamos lo fino

23
00:01:08,640 --> 00:01:15,010
y punto es 1, menos 9

24
00:01:15,010 --> 00:01:23,379
se trata de encontrar

25
00:01:23,379 --> 00:01:25,819
las raíces del polinomio

26
00:01:25,819 --> 00:01:28,319
sabemos que el parámetro nos tendrá que dar

27
00:01:28,319 --> 00:01:30,840
0 en el resto de la división

28
00:01:30,840 --> 00:01:32,260
y que siempre

29
00:01:32,260 --> 00:01:34,760
va a ser un divisor del término independiente

30
00:01:34,760 --> 00:01:36,579
puesto que el último producto

31
00:01:36,579 --> 00:01:37,640
va a ser

32
00:01:37,640 --> 00:01:40,340
de este elemento y me tendrá que dar 20

33
00:01:40,340 --> 00:01:44,260
bueno, pues después de probar con el 1 y el menos 1

34
00:01:44,260 --> 00:01:46,599
y ver que ese no es

35
00:01:46,599 --> 00:01:49,060
también podemos utilizar el problema del gasto

36
00:01:49,060 --> 00:01:50,680
para hacerlo de una manera más rápida

37
00:01:50,680 --> 00:01:53,480
y vamos a probar con el 2

38
00:01:53,480 --> 00:01:55,819
2 por 1 es 2

39
00:01:55,819 --> 00:01:58,400
menos 7, menos 14

40
00:01:58,400 --> 00:02:02,439
10, 20 y 0

41
00:02:02,439 --> 00:02:04,400
obviamente luego aquí ya tenemos una raíz

42
00:02:04,400 --> 00:02:06,319
y por tanto también

43
00:02:06,319 --> 00:02:15,870
Tenemos un polinomio, un factor, más un factor que será el x menos 2.

44
00:02:16,610 --> 00:02:24,250
Si volvemos a hacer el fin, de nuevo buscamos una raíz que tendrá que ser un divisor de 10,

45
00:02:24,889 --> 00:02:30,990
1 menos 1, 2 menos 2, comprobamos que no lo son, bueno como 1 y menos 1 no lo eran,

46
00:02:30,990 --> 00:02:43,919
ya tampoco lo podrían ser, 2 menos 2 no lo son y probamos con el 5, otro divisor.

47
00:02:44,060 --> 00:02:52,969
ya podríamos haber resuelto la ecuación de segundo grado

48
00:02:52,969 --> 00:02:57,550
entonces lo que tenemos es x cubo por x menos 2

49
00:02:57,550 --> 00:03:04,250
y aquí tendríamos x menos 5 por x menos 2

50
00:03:04,250 --> 00:03:13,750
es decir, x al cubo por x menos 2 al cuadrado por x menos 5

51
00:03:13,750 --> 00:03:18,050
repito que esto ya era un polinomio de grado 2

52
00:03:18,050 --> 00:03:26,770
Podríamos haber resuelto la ecuación de x al cuadrado menos 7x más 10 igual a 0 y habríamos encontrado estas dos últimas, 2 y 5.

53
00:03:27,650 --> 00:03:29,150
Bueno, vamos al siguiente.

54
00:03:29,530 --> 00:03:38,530
En el siguiente tengo un polinomio de grado 6 al que le puedo sacar factor común y rebajarlo en grado.

55
00:03:38,530 --> 00:03:51,629
Entonces tendríamos x que multiplica a x5, menos 3x4, menos 3x³, menos 5x², más 2x, más 8.

56
00:03:51,770 --> 00:03:55,009
Es un polinomio completo, 5, 4, 3, 2, 1, y todo el elemento conjunto.

57
00:03:55,909 --> 00:03:58,969
Y entonces vamos de nuevo a factorizar ese polinomio.

58
00:03:58,969 --> 00:04:07,009
Sus coeficientes son 1, menos 3, menos 3, menos 5, 2 y 8

59
00:04:07,009 --> 00:04:15,310
Y buscamos de nuevo una raíz que nos haga 0 en la teta larga negra sumida

60
00:04:15,310 --> 00:04:20,430
Los candidatos son 1, menos 1, 2, menos 2, 4, menos 4, 8, menos 8

61
00:04:20,430 --> 00:04:22,629
Probamos con el 1

62
00:04:22,629 --> 00:04:31,079
1, menos 2, menos 5, menos 10

63
00:04:31,079 --> 00:04:35,079
menos 10, menos 8, menos 8 y 0

64
00:04:35,079 --> 00:04:37,000
y ahí tenemos una raíz

65
00:04:37,000 --> 00:04:40,360
volvemos a aplicar Rufin

66
00:04:40,360 --> 00:04:45,600
el 1 vemos que ahora no sería raíz

67
00:04:45,600 --> 00:04:48,240
si lo hacemos con menos 1 y aplicamos Rufin

68
00:04:48,240 --> 00:04:55,199
será menos 1, menos 3, 3, menos 2, 2, menos 8, 8

69
00:04:55,199 --> 00:04:56,939
y aquí tenemos una raíz

70
00:04:56,939 --> 00:04:59,220
seguimos aplicando Rufin

71
00:04:59,220 --> 00:05:01,620
porque aquí todavía tenemos un polinomio de grado 3

72
00:05:01,620 --> 00:05:05,660
y encontramos la raíz 4

73
00:05:05,660 --> 00:05:12,420
4, 1, 4, 2, 8, 0

74
00:05:12,420 --> 00:05:14,480
y esto ya es un polinomio de grado 2

75
00:05:14,480 --> 00:05:16,819
ha encontrado tres raíces, 1, menos 1, 4

76
00:05:16,819 --> 00:05:19,939
y el polinomio de grado 2 que me queda

77
00:05:19,939 --> 00:05:22,220
es 3 cuadrado más x más 2

78
00:05:22,220 --> 00:05:25,680
y lo puedo resolver directamente con la relación de segundo grado

79
00:05:25,680 --> 00:05:31,220
y veo que no tiene raíces reales

80
00:05:31,220 --> 00:05:35,560
porque el discriminante que es b al cuadrado menos 4c

81
00:05:35,560 --> 00:05:38,779
es 1 menos 8, es una raíz negativa

82
00:05:38,779 --> 00:05:42,620
y por tanto esto ya es un polinomio irreversible

83
00:05:42,620 --> 00:05:47,139
entonces la descomposición factorial

84
00:05:47,139 --> 00:05:51,160
se hace recogiendo las raíces

85
00:05:51,160 --> 00:05:53,420
recogiendo los factores que hemos encontrado

86
00:05:53,420 --> 00:06:09,379
El primero es el x, el segundo el x menos 1, el x más 1, el x menos 4 y el x cuadrado más x más 2.

87
00:06:09,379 --> 00:06:11,160
que si ya era irreducible

88
00:06:11,160 --> 00:06:15,709
x cuadrado más x más 2

89
00:06:15,709 --> 00:06:17,990
es ahora como si fuera un factorial y se da cuenta

90
00:06:17,990 --> 00:06:20,029
este polinomio

91
00:06:20,029 --> 00:06:21,750
tiene grado 6 y si sumamos

92
00:06:21,750 --> 00:06:24,089
los grados de cada uno

93
00:06:24,089 --> 00:06:26,410
de los factores, 2, 3, 4, 5

94
00:06:26,410 --> 00:06:27,029
y 6

95
00:06:27,029 --> 00:06:30,230
continuamos con el apartado

96
00:06:30,230 --> 00:06:31,689
del b

97
00:06:31,689 --> 00:06:33,949
en el c de nuevo tengo

98
00:06:33,949 --> 00:06:35,310
un polinomio de grado 6

99
00:06:35,310 --> 00:06:38,129
tenemos un polinomio

100
00:06:38,129 --> 00:06:40,009
de grado 6, ahora no podemos sacar

101
00:06:40,009 --> 00:06:41,689
factor común, hay que tener cuidado

102
00:06:41,689 --> 00:06:45,269
Porque este ya no es un polinomio completo, le falta el grado 3

103
00:06:45,269 --> 00:06:48,850
Pues cuando aplique Ruffin tendré que tenerlo en cuenta y poner los distintos

104
00:06:48,850 --> 00:06:52,370
1, 6, 9, 0

105
00:06:52,370 --> 00:06:57,029
El del grado 3, menos 1, menos 6, menos 9

106
00:06:57,029 --> 00:07:03,000
Los posibles candidatos, pues 1, menos 1, 3, menos 3, 9, menos 9

107
00:07:03,000 --> 00:07:04,980
Empezamos probando con el 1

108
00:07:04,980 --> 00:07:11,939
1, polinomio 1, 7, 7, 16, 16

109
00:07:11,939 --> 00:07:46,259
3, 2 y 6, 15, 15, 9, 9 y 0, tenemos una primera raíz, seguimos aplicando rutina y ahora probamos con menos 1, menos 1, 5, menos 1, 6, menos 6, 10, menos 10, 6, menos 6, 9, menos 9 y lo hemos encontrado otra vez

110
00:07:46,259 --> 00:08:20,089
Y probamos ahora, vamos a probar con menos 3, vamos a probar con menos 3, esto es menos 3, 3, menos 9, 1, menos 3, 3, y menos 9, 0.

111
00:08:20,089 --> 00:08:23,689
Todavía tenemos un polinomio de grado 3

112
00:08:23,689 --> 00:08:26,990
Al que le podemos volver a aplicar

113
00:08:26,990 --> 00:08:28,209
Roofing

114
00:08:28,209 --> 00:08:29,970
Y de nuevo colgando con menos 3

115
00:08:29,970 --> 00:08:33,570
Menos 3, 0, 0, 1

116
00:08:33,570 --> 00:08:35,909
Menos 3, 0

117
00:08:35,909 --> 00:08:36,889
Hemos encontrado

118
00:08:36,889 --> 00:08:39,970
4 raíces distintas

119
00:08:39,970 --> 00:08:41,789
Bueno, distintas no, aquí tengo una raíz doble

120
00:08:41,789 --> 00:08:45,490
Y me quedaría como polinomio de grado 2

121
00:08:45,490 --> 00:08:47,750
X cuadrado más 1

122
00:08:47,750 --> 00:08:49,269
X cuadrado más 1

123
00:08:49,269 --> 00:08:51,990
tampoco lo puedo descomponer

124
00:08:51,990 --> 00:08:54,509
tampoco tiene raíces reales

125
00:08:54,509 --> 00:08:58,490
así que de nuevo recogiendo todas las raíces que hemos encontrado

126
00:08:58,490 --> 00:09:00,350
la descomposición factorial será

127
00:09:00,350 --> 00:09:03,649
x más 1, x menos 1

128
00:09:03,649 --> 00:09:06,409
x más 3 al cuadrado

129
00:09:06,409 --> 00:09:08,429
porque tenemos 2 veces la raíz

130
00:09:08,429 --> 00:09:11,809
y el último polinomio, x al cuadrado más 1

131
00:09:11,809 --> 00:09:17,019
y de nuevo 2 y 2, 4, 5 y 6

132
00:09:17,019 --> 00:09:18,960
coincido con el grado del polinomio del final

133
00:09:18,960 --> 00:09:35,960
En el apartado D, volvemos a aplicar Roofing. Ahora los coeficientes, me falta el término de grado 3, esto será 4, 0, menos 15,

134
00:09:35,960 --> 00:10:18,159
Bien, pues si empezamos probando con el menos uno, vamos a probar con el dos, ocho, dieciséis, vamos a probar con el dos, dos por cuatro, ocho, dos por ocho, dieciséis, dos, menos cinco, menos tres, menos seis, y cero.

135
00:10:18,159 --> 00:10:20,460
si lo tendríamos el 2

136
00:10:20,460 --> 00:10:28,450
y lo hemos que automar con

137
00:10:28,450 --> 00:10:35,529
menos 1

138
00:10:35,529 --> 00:10:37,429
menos 4

139
00:10:37,429 --> 00:10:51,269
3, 3, etc

140
00:10:51,269 --> 00:10:53,409
antes había

141
00:10:53,409 --> 00:10:54,429
que hacer algo malo porque

142
00:10:54,429 --> 00:10:56,309
si lo había hecho antes también le cabría

143
00:10:56,309 --> 00:10:57,129
menos 4

144
00:10:57,129 --> 00:10:59,809
vale, pues

145
00:10:59,809 --> 00:11:02,389
este sería el segundo

146
00:11:02,389 --> 00:11:05,129
tenemos dos raíces que son

147
00:11:05,129 --> 00:11:06,990
2 y menos 1

148
00:11:06,990 --> 00:11:11,080
y ahora tenemos un polinomio

149
00:11:11,080 --> 00:11:11,799
de grados

150
00:11:11,799 --> 00:11:20,059
4x cuadrado más 4x menos 3, que lo podemos resolver aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado.

151
00:11:20,480 --> 00:11:33,460
x es menos 4 más menos 4x, que será 16 por 3, 48, al 7, 8.

152
00:11:34,120 --> 00:11:38,820
O sea, menos 4 más menos 64, raíz de 8, entre 8.

153
00:11:40,179 --> 00:11:44,679
Por un lado, 8 menos 4 son 4 octavos, un medio.

154
00:11:45,279 --> 00:11:53,320
Y por el otro lado, menos 12 octavos, menos 12 octavos, como el 4, menos 3, más.

155
00:11:53,320 --> 00:12:18,690
Pues esas son las raíces, así que el polinomio sería, este sería el grado principal, 2 menos 1, que es 4,

156
00:12:22,129 --> 00:12:30,559
3x menos 2, 3x más 1, 3 medios.

157
00:12:30,559 --> 00:12:40,070
En el último ejercicio, en el ejercicio 5, lo que nos pide es que intentemos factorizar.

158
00:12:40,789 --> 00:12:54,259
Si intentamos factorizar, nos damos cuenta, vamos a poner 6 y menos 1, que los únicos candidatos son 1 y menos 1.

159
00:12:54,879 --> 00:12:59,720
Por lo tanto, si ponemos 1 como si ponemos menos 1, no nos va a dar el resto 0.

160
00:12:59,720 --> 00:13:17,659
Si ponemos 1, son 6, 13, 19, no nos da. Si ponemos menos 1, menos 6, 1, menos 6, 0, vamos a verlo, será menos 6, 1, menos 6, 0, 0, 0, menos 1, menos 2, tampoco sale.

161
00:13:18,580 --> 00:13:27,580
Bien, eso lo que nos quiere decir es que no tiene raíces enteras, el polinomio no tiene raíces enteras.

162
00:13:27,580 --> 00:13:32,019
Bueno, pero en el propio ejercicio nos dan las raíces fraccionarias

163
00:13:32,019 --> 00:13:39,379
Y nos dicen que lo vuelven a intentar sabiendo que menos un medio y un tercio son raíces suyas

164
00:13:39,379 --> 00:13:42,299
Es decir, que si yo ahora aquí pongo un tercio

165
00:13:42,299 --> 00:13:46,919
Eso sí que va a ser un polinomio divisor

166
00:13:46,919 --> 00:13:49,120
Vamos a comprobarlo, esto será 6

167
00:13:49,120 --> 00:13:51,279
6 por un tercio son 2

168
00:13:51,279 --> 00:13:52,360
7 y 2, 9

169
00:13:52,360 --> 00:13:54,000
9 por un tercio, 3

170
00:13:54,000 --> 00:13:55,100
6 y 3, 9

171
00:13:55,100 --> 00:13:56,820
9 por un tercio

172
00:13:56,820 --> 00:14:01,419
3, 3 y 0, 3 y 3 por un tercio

173
00:14:01,419 --> 00:14:03,259
1, menos 1, 0

174
00:14:03,259 --> 00:14:07,820
efectivamente un tercio es una raíz del polinomio

175
00:14:07,820 --> 00:14:10,279
y ahora vamos a comprobar que también menos un medio

176
00:14:10,279 --> 00:14:15,860
lo es, menos un medio por 6, menos 3

177
00:14:15,860 --> 00:14:18,519
9 menos 3, 6, menos un medio por 6

178
00:14:18,519 --> 00:14:21,600
menos 3, 9 menos 3, 6

179
00:14:21,600 --> 00:14:25,799
y menos un medio por 6, menos 3, 0

180
00:14:25,799 --> 00:14:37,500
Y nos quedaría 6x al cuadrado más 6x más 6 igual a 0, es decir, 6 multiplicado por x al cuadrado más x más 1.

181
00:14:40,139 --> 00:14:51,360
Y si intentamos resolver este polinomio, vemos que no tiene tampoco raíces reales, no tiene raíces complejas.

182
00:14:51,360 --> 00:15:03,940
Porque el discriminante es b al cuadrado menos 4ac, b al cuadrado menos 4ac, que es 1 menos 4 menos 3 menor que 0, no tiene raíz

183
00:15:03,940 --> 00:15:08,580
Por lo tanto, este polinomio lo tomamos ya como polinomio irreductible

184
00:15:08,580 --> 00:15:18,340
Con tanto, la factorización que nos están pidiendo, que es 6x cuarta más 7x cubo más 6x cuadrado menos 1

185
00:15:18,340 --> 00:15:32,840
Lo puedo escribir como x menos 1 tercio por x más 1 medio por 6x cuadrado más x más 1.

186
00:15:33,600 --> 00:15:43,460
Hasta aquí las actividades que tenéis en el video de página de factorización de polinomios.