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00:00:02,540 --> 00:00:11,660
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato.

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00:00:11,980 --> 00:00:17,179
Estamos trabajando el bloque de geometría y vamos a practicar en este vídeo con las ecuaciones del plano.

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00:00:17,859 --> 00:00:21,480
En un vídeo anterior vimos que hay distintos tipos de ecuaciones de un plano.

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00:00:22,219 --> 00:00:24,879
Hoy vamos a practicar cómo pasar de una a la otra.

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00:00:25,420 --> 00:00:29,280
No porque nos lo vayan a pedir en concreto en algún ejercicio, no es lo habitual,

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00:00:29,280 --> 00:00:34,259
sino porque va a resultar fundamental para resolver problemas más complicados

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00:00:34,259 --> 00:00:38,780
y vamos a tener que tener mucha habilidad, mucha destreza, mucha costumbre

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00:00:38,780 --> 00:00:43,960
pasando de un tipo de ecuación, de la ecuación cartesiana a las paramétricas y viceversa, por ejemplo.

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00:00:44,659 --> 00:00:45,280
Vamos a por ello.

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00:00:46,280 --> 00:00:50,640
Bueno, en este ejercicio nos piden calcular el plano, escribirlo de todas las formas posibles,

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00:00:50,759 --> 00:00:54,060
con todas sus ecuaciones posibles y nos los dan en una ecuación cartesiana.

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00:00:54,640 --> 00:00:57,780
Entonces lo primero va a ser pasarlo a forma paramétrica.

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00:00:57,780 --> 00:01:05,540
Para ello, ¿cómo se pasa siempre un plano, la ecuación de un plano, de la forma cartesiana a la paramétrica?

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00:01:05,939 --> 00:01:11,719
Bueno, os recomiendo que veáis el vídeo que tenemos en el canal sobre los distintos tipos de ecuaciones del plano.

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00:01:12,260 --> 00:01:20,140
Entonces veréis en él que para pasar de una ecuación cartesiana a una paramétrica lo que hay que hacer es resolver el sistema.

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00:01:21,239 --> 00:01:27,420
Resolver el sistema, pero claro, ¿qué tipo de sistema es? Diréis, si esto no es un sistema.

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00:01:27,780 --> 00:01:36,760
Bueno, vale, sí, es un sistema compatible e indeterminado porque tenemos solo una ecuación, es decir, y tres incógnitas.

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00:01:37,099 --> 00:01:41,340
Luego la solución va a depender de tres menos una, dos parámetros.

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00:01:43,870 --> 00:01:48,269
¿Qué vamos a llamar? Pues yo que sé, lambda y no.

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00:01:48,689 --> 00:01:59,250
Entonces, vamos a resolver simplemente llamando, por ejemplo, a la x la llamamos lambda, a la z la llamamos nu.

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00:01:59,250 --> 00:02:07,769
¿Por qué estas? Bueno, porque son los que tienen el 3 y el 2. La y, como no tiene coeficiente al despejar, pues no voy a tener denominador para que las cuentas salgan más sencillas.

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00:02:07,769 --> 00:02:26,490
Entonces ahora despejo la y. ¿Qué va a ser? Pues si la muevo a la derecha, directamente me va a quedar como 2x más 3z menos 6. Y eso sustituyendo los valores de los parámetros sería 2 lambda más 3 nu menos 6.

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00:02:26,490 --> 00:02:46,150
Y escribimos esto ahora de forma vectorial, x, y, z será igual a, pues, a este vector, lambda, 2 lambda más 3 nu menos 6 nu.

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00:02:46,150 --> 00:03:14,319
Y si este vector columna lo descompongo, quedándome por un lado con las landas, por otro lado con las nus y por otro lado con los números, tendría 2 lambda, 0, más 0, 3 nu, más 0, menos 6, 0.

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00:03:14,900 --> 00:03:17,900
Estos son los coeficientes que van sin lambda y nu aquí.

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00:03:18,659 --> 00:03:30,500
Y ahora saco factor común en cada uno de ellos a la lambda, a la nu, y aquí no hay nada que sacar factor común.

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00:03:33,580 --> 00:03:34,719
Entonces, ¿qué significa esto?

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00:03:34,719 --> 00:03:41,560
Bueno, pues significa que este es un primer vector director, este es otro vector director, ya tengo dos vectores directores.

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00:03:42,759 --> 00:03:48,960
Fijaos cómo sabemos si estos vectores directores son perpendiculares con el vector, es una manera de comprobarlo.

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00:03:48,960 --> 00:04:02,080
El vector, como veremos en el siguiente tema, 2 menos 1, 3, en el tema de, digamos, producto escalar, veremos que este vector es el vector normal al plano, los coeficientes 2 menos 1, 3 del plano.

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00:04:02,560 --> 00:04:10,879
Y fijaos que al multiplicar 2 menos 1, 3 por tanto el vector v1 como el vector v2 nos da 0, es decir, estos tienen que ser perpendiculares a esto.

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00:04:11,120 --> 00:04:14,159
De esa forma podríamos haber calculado también estos dos vectores.

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00:04:14,599 --> 00:04:16,500
Y es una manera de comprobar lo que está bien.

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00:04:17,160 --> 00:04:18,480
Y este va a ser el punto posición.

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00:04:18,959 --> 00:04:23,259
Con lo cual, tenemos esta sería la anotación vectorial.

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00:04:23,959 --> 00:04:33,040
OX igual a lambda V1 más nu V2 más el vector OPA.

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00:04:34,620 --> 00:04:36,480
Ecuación vectorial.

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00:04:37,060 --> 00:04:40,500
Y la ecuación paramétrica sería escribir esto en ecuaciones nada más.

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00:04:41,259 --> 00:04:42,360
Tan sencillo como eso.

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00:04:44,449 --> 00:04:44,790
¿Qué será?

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00:04:46,790 --> 00:04:49,209
Lambda es esto mismo.

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00:04:49,209 --> 00:04:53,250
2 lambda más 3 nu menos 6

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00:04:53,250 --> 00:04:55,529
no, esta sería

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00:04:55,529 --> 00:05:01,550
la ecuación paramétrica

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00:05:01,550 --> 00:05:09,269
y ya está, si quisiésemos luego recuperar la ecuación cartesiana

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00:05:09,269 --> 00:05:12,889
¿qué tendríamos que hacer? bueno, pues hay varias formas de hacerlo

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00:05:12,889 --> 00:05:15,230
vamos a ver cómo podríamos recuperar desde aquí

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00:05:15,230 --> 00:05:21,189
llegar hasta la ecuación cartesiana, lo suyo sería resolver

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00:05:21,189 --> 00:05:25,069
este sistema y eliminar, lo que tenemos que hacer aquí es

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00:05:25,069 --> 00:05:30,930
eliminar la lambda y la nu si

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00:05:30,930 --> 00:05:35,170
nos pidiesen recuperar la ecuación cartesiana desde aquí, si no

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00:05:35,170 --> 00:05:38,810
conociésemos esta ecuación cartesiana. Entonces, eso

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00:05:38,810 --> 00:05:42,769
simplemente como la x es igual a lambda y la z es igual a la nu es una chorrada en este caso

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00:05:42,769 --> 00:05:51,959
pues es sustituir y se acabó. Ahí recuperaríamos

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00:05:51,959 --> 00:05:56,079
la ecuación y esa sería la cartesiana. Si este sistema fuese un poco más complicado

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00:05:56,079 --> 00:05:58,759
bueno, pues sería quizá un poco más difícil.

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00:05:59,100 --> 00:06:01,560
Otra manera de hacerlo es con el producto vectorial.

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00:06:02,079 --> 00:06:10,120
Veremos cómo calcular este vector n en función del v1 y del v2.

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00:06:10,319 --> 00:06:12,339
Esto a veces se escribe así o a veces con el aspa.

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00:06:14,449 --> 00:06:16,889
Veremos cómo calcular este producto vectorial en otro vídeo

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00:06:16,889 --> 00:06:20,529
y veríamos que a partir de ahí calculamos el 2 menos 1, 3

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00:06:20,529 --> 00:06:23,170
a partir de estos dos vectores y luego calcularíamos un punto posición

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00:06:23,170 --> 00:06:24,110
y ya tendríamos el plano.

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00:06:24,949 --> 00:06:25,810
Muy bien, esto ha sido todo.

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00:06:25,810 --> 00:06:27,209
Espero que os haya resultado sencillo.

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00:06:27,209 --> 00:06:28,310
Y nos vemos en futuros vídeos.

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00:06:28,509 --> 00:06:28,829
Hasta luego.