1 00:00:00,000 --> 00:00:04,379 En este vídeo vamos a hablar de los números naturales y las operaciones. 2 00:00:05,360 --> 00:00:13,359 El conjunto de los números naturales se representa con una N mayúscula con una doble banda en el centro. 3 00:00:14,099 --> 00:00:18,640 Sus elementos los escribiremos entre llaves y separados con comas. 4 00:00:19,839 --> 00:00:24,539 Le llamamos números naturales porque son números que vamos a encontrar en la naturaleza. 5 00:00:24,539 --> 00:00:39,460 Un árbol, tres piedras, veinte caballos, aunque el cero no es exactamente un número que podemos encontrar en la naturaleza porque no decimos hay cero sillas, también lo vamos a incluir en este conjunto. 6 00:00:40,320 --> 00:00:50,979 Y ahora vamos a fijarnos en dos características que tienen todos estos números y que juntas los identifican perfectamente. 7 00:00:50,979 --> 00:00:58,340 La primera de ellas es que todos son números positivos y además ninguno de ellos tiene parte decimal. 8 00:00:59,700 --> 00:01:09,120 Con estas dos características vamos a poder determinar cosas que pasan con las operaciones y los números. 9 00:01:09,120 --> 00:01:24,099 Porque no todas las operaciones conocidas, suma, resta, multiplicación y división, pueden realizarse siempre en los conjuntos, en el conjunto de los números naturales. 10 00:01:24,739 --> 00:01:32,480 Tenemos que tener cuidado, diremos que dos números naturales pueden operarse si el resultado de esa operación es también un número natural. 11 00:01:33,359 --> 00:01:44,700 Este pueden es un pueden especial, porque diréis, pero si es que nosotros llevamos muchos años sumando, restando, multiplicando y dividiendo números positivos sin decimales. 12 00:01:45,500 --> 00:01:49,120 Bien, pero también es importante el siempre. 13 00:01:49,939 --> 00:02:02,459 Queremos que estos dos números naturales al operarse en resultado de un número natural, siempre, con una vez que no se cumpla, ya podemos decir que no se va a poder realizar esa operación. 14 00:02:04,620 --> 00:02:08,740 Mirad, ¿cuándo tenemos problemas para operar números naturales? 15 00:02:09,180 --> 00:02:14,659 No siempre, pero hay un par de operaciones con las que van a funcionar un poco raro. 16 00:02:15,280 --> 00:02:16,379 Por ejemplo, en la resta. 17 00:02:17,759 --> 00:02:21,439 Normalmente, si yo resto un número grande y uno pequeño, no tengo problemas. 18 00:02:21,960 --> 00:02:25,680 Sin embargo, si es mayor el número que va restando, 19 00:02:26,039 --> 00:02:29,080 entonces el resultado que me da no es un número positivo. 20 00:02:29,599 --> 00:02:31,919 Por lo tanto, no va a ser un número natural. 21 00:02:32,199 --> 00:02:32,879 Mirad el ejemplo. 22 00:02:33,460 --> 00:02:38,659 Si al 2 le quito un 3, ocurre que me da un menos 1. 23 00:02:39,439 --> 00:02:46,319 Y efectivamente, este número no es natural porque no cumple la característica del signo. 24 00:02:47,280 --> 00:02:52,039 La otra operación con la que tampoco las cosas van a funcionar bien es la división. 25 00:02:53,000 --> 00:02:59,599 Mientras que el dividendo sea múltiplo del divisor y la división sea exacta, no va a haber ningún problema. 26 00:03:00,000 --> 00:03:01,659 15 entre 3 me va a dar 5. 27 00:03:02,280 --> 00:03:03,840 Todos ellos números naturales. 28 00:03:04,439 --> 00:03:11,599 Sin embargo, en cuanto que el dividendo no sea un múltiplo del divisor, el resultado ya no va a ser natural. 29 00:03:12,599 --> 00:03:17,139 Si miráis en el ejemplo, 3 entre 15 me da 0,2. 30 00:03:17,379 --> 00:03:19,340 Ahora el problema no es el signo. 31 00:03:19,659 --> 00:03:26,340 Ahora el problema es que este número sí tiene un par de decimales. 32 00:03:26,340 --> 00:03:31,460 En este tema vamos a sumar, a restar, a multiplicar y a dividir números naturales. 33 00:03:31,460 --> 00:03:35,680 pero solo en esos casos en los que el resultado también sea natural. 34 00:03:35,919 --> 00:03:42,300 Es decir, si restamos, vamos a restar, solamente lo haremos cuando el sustraendo sea menor que el minuto. 35 00:03:42,680 --> 00:03:46,259 Y solo vamos a dividir, si el dividendo es múltiplo, del divisor. 36 00:03:47,780 --> 00:03:54,080 Ya sabemos qué operaciones vamos a hacer, pero ahora tenemos que determinar el orden en el que vamos a realizarlas. 37 00:03:54,080 --> 00:04:02,319 Observad la cuenta. 12 menos 2 por 4, más 6, menos 16, entre 2 al cubo. 38 00:04:02,939 --> 00:04:11,159 A todos, a muchos de nosotros nos apetece empezar a hacer la cuenta como leemos, de izquierda a derecha. 39 00:04:12,000 --> 00:04:15,960 De tal manera que a casi todos nos apetece coger ese 12 y quitarle 2. 40 00:04:17,420 --> 00:04:21,060 Claro, si hacemos esto, nos va a quedar. 41 00:04:21,060 --> 00:04:32,279 12 menos 2, claro, 10 por 4 más 6 menos 16 entre 2 al 5 42 00:04:32,279 --> 00:04:37,379 Pero algunos de vosotros diréis, pero es que eso no se hace así 43 00:04:37,379 --> 00:04:41,759 Efectivamente, en este paso ya tenemos un error 44 00:04:41,759 --> 00:04:45,680 ¿Pero por qué? ¿Por qué no podemos hacer esto primero? 45 00:04:45,680 --> 00:04:54,819 Vamos a ver una pequeña explicación de cómo tendríamos que hacerlo correctamente 46 00:04:54,819 --> 00:05:01,579 y para ello vamos a marcar con diferente color los distintos sumandos 47 00:05:01,579 --> 00:05:11,759 Llamaremos sumando a cada uno de los bloques que queda entre una suma o una resta independientemente 48 00:05:11,759 --> 00:05:15,420 entre dos símbolos de suma o resta consecutivos 49 00:05:15,420 --> 00:05:17,540 ese bloque le vamos a llamar sumado 50 00:05:17,540 --> 00:05:21,040 nos va a dar igual que delante haya un más o que delante haya un menos 51 00:05:21,040 --> 00:05:24,019 en nuestra expresión nos quedan cuatro bloques 52 00:05:24,019 --> 00:05:27,500 primer bloque formado por un único número 53 00:05:27,500 --> 00:05:29,279 que es un 12, lo pintamos de azul 54 00:05:29,279 --> 00:05:31,139 el siguiente bloque, el rojo 55 00:05:31,139 --> 00:05:33,480 que tenemos un 2 por un 4 56 00:05:33,480 --> 00:05:35,259 tercer bloque, morado 57 00:05:35,259 --> 00:05:37,240 con un único número que es un 6 58 00:05:37,240 --> 00:05:39,920 cuarto bloque, en verde 59 00:05:39,920 --> 00:05:43,420 tenemos una división y una potencia. 60 00:05:45,569 --> 00:05:51,290 Mirad, estos bloques de color son independientes entre ellos. 61 00:05:52,730 --> 00:05:57,569 Además, hay que operar primero dentro de cada bloque de color. 62 00:05:57,970 --> 00:06:01,269 ¿Hasta cuándo? Hasta que solo nos quede un número. 63 00:06:02,350 --> 00:06:03,610 Un bloque, un número. 64 00:06:04,910 --> 00:06:07,889 Finalmente, cuando llegamos a ese objetivo, 65 00:06:07,889 --> 00:06:15,329 solo nos quedarán sumas y restas que realizaremos en el orden en el que están, según se lee, de izquierda a derecha. 66 00:06:16,610 --> 00:06:18,610 Vamos a verlo de manera más formal. 67 00:06:19,269 --> 00:06:23,009 Vamos a operar dentro de cada bloque hasta que quede un único número. 68 00:06:23,949 --> 00:06:28,120 Vamos a empezar haciendo. 69 00:06:28,959 --> 00:06:33,279 Los únicos bloques que tienen operaciones son el rojo y el verde. 70 00:06:33,279 --> 00:06:42,180 Así que en el bloque rojo vamos a poner en vez de 2 por 4 su resultado, que es 8 71 00:06:42,180 --> 00:06:45,160 Y en el bloque verde queremos hacer esa división 72 00:06:45,160 --> 00:06:48,480 Pero no sabemos dividir 16 entre 2 al 5 73 00:06:48,480 --> 00:06:51,899 Primero tenemos que operar ese 2 al 5 74 00:06:51,899 --> 00:06:55,939 Así que hacemos el 2 por 2 por 2, nos queda 8 75 00:06:55,939 --> 00:07:00,560 Y hemos quitado una operación en cada bloque 76 00:07:00,560 --> 00:07:05,959 En la segunda expresión solo tenemos un bloque con operaciones, que es el verde. 77 00:07:07,949 --> 00:07:16,649 Así que en la tercer paso vamos a dejar todos los bloques que tienen un solo número exactamente igual que estaban hasta ahora 78 00:07:16,649 --> 00:07:21,050 y en el bloque verde ponemos el resultado de dividir 16 entre 8. 79 00:07:21,050 --> 00:07:32,689 Quiero que os fijéis en que cada vez yo he escrito todos los números de todos los bloques con todas las operaciones que hay entre ellos. 80 00:07:33,170 --> 00:07:33,970 No me dejo a nadie. 81 00:07:34,550 --> 00:07:42,410 A pesar de que en el último paso solamente he realizado una división, no he dejado de escribir lo anterior. 82 00:07:42,949 --> 00:07:44,269 ¿De acuerdo? Esto es muy importante. 83 00:07:45,089 --> 00:07:47,850 Bueno, llegados a este punto solo me quedan sumas y restas. 84 00:07:47,850 --> 00:07:55,269 Que las voy a realizar de izquierda a derecha, igual que las leo. 85 00:07:56,629 --> 00:08:00,069 Así que las realizo y llego a mi final. 86 00:08:00,350 --> 00:08:06,209 Pero fijaos, en cada operación que he hecho, si os fijáis, solamente han intervenido dos números. 87 00:08:07,490 --> 00:08:09,110 ¿De acuerdo? Tened esto presente. 88 00:08:10,829 --> 00:08:17,149 Mirad, ya sabemos qué operaciones vamos a realizar y sabemos un orden básico. 89 00:08:17,149 --> 00:08:20,649 Sabemos cuáles son los objetivos, pero esto se nos puede complicar. 90 00:08:21,329 --> 00:08:23,829 Nos pueden aparecer los paréntesis. 91 00:08:26,019 --> 00:08:29,300 Realmente, los bloques que teníamos no han cambiado. 92 00:08:30,160 --> 00:08:31,240 Tenemos los mismos bloques. 93 00:08:31,459 --> 00:08:35,419 Hemos puesto el 4 que teníamos en el bloque rojo multiplicando al 2, 94 00:08:35,860 --> 00:08:38,720 lo hemos puesto como la suma de dos números, 1 más 3. 95 00:08:39,279 --> 00:08:44,679 Y hemos obtenido que utilizar un paréntesis para que todo eso multiplique al 2 de delante. 96 00:08:45,299 --> 00:08:47,659 Pero realmente, si os dais cuenta, no han cambiado los bloques. 97 00:08:47,659 --> 00:08:52,399 Entonces, sigo teniendo los mismos cuatro bloques de los mismos colores con las mismas operaciones. 98 00:08:52,659 --> 00:08:53,200 ¿Alguna más? 99 00:08:54,820 --> 00:09:01,899 Observad que efectivamente en el bloque rojo para realizar el producto primero tendré que realizar la suma 100 00:09:01,899 --> 00:09:10,000 y que en el bloque verde me pasa que para realizar la división primero tengo que calcular la potencia como hemos hecho antes. 101 00:09:10,000 --> 00:09:21,110 Lo que vamos a dar son unas pequeñas reglas sencillas para saber qué operación tenemos que realizar en cada momento. 102 00:09:21,850 --> 00:09:24,389 Nos vamos a valer de este esquema. 103 00:09:25,169 --> 00:09:31,250 Es una escalera que vamos a ir bajando donde arriba está lo primero que vamos a ir haciendo 104 00:09:31,250 --> 00:09:35,570 y según bajemos vamos a ir realizando el resto de operaciones. 105 00:09:35,570 --> 00:09:41,110 No cambiaremos de escalón hasta que no queden operaciones del escalón en el que estamos. 106 00:09:41,830 --> 00:09:45,490 Es decir, lo primero que vamos a hacer son las potencias y las raíces. 107 00:09:45,690 --> 00:09:49,470 Hasta que no tengamos hechas todas las potencias y todas las raíces, 108 00:09:50,110 --> 00:09:55,269 no vamos a pasar al siguiente escalón, que será el de los paréntesis y los corchetes. 109 00:09:55,730 --> 00:09:58,529 Hasta que no hayamos quitado todos los paréntesis y corchetes, 110 00:09:58,629 --> 00:10:03,070 no pasaremos al siguiente escalón, que será el de los productos y las divisiones. 111 00:10:03,610 --> 00:10:06,350 Cuando acabemos con todos los productos y todas las divisiones, 112 00:10:06,470 --> 00:10:09,289 solamente nos quedarán las sumas y las restas. 113 00:10:09,289 --> 00:10:17,470 Cuando tengamos el caso de que todas las operaciones que tenemos son del mismo escalón 114 00:10:17,470 --> 00:10:24,990 las vamos a realizar según se lee, de izquierda a derecha 115 00:10:24,990 --> 00:10:30,750 Mirad, vamos a verlo en el ejemplo poco a poco 116 00:10:30,750 --> 00:10:33,610 ¿Qué es lo primero que tenemos que realizar aquí? 117 00:10:34,210 --> 00:10:35,809 Las potencias y las raíces 118 00:10:35,809 --> 00:10:38,149 ¿Tenemos potencias y raíces? Sí 119 00:10:38,149 --> 00:10:40,230 Pues vamos a hacer la potencia. 120 00:10:41,629 --> 00:10:46,070 Ya hemos realizado, cuidado, que en cada operación solo intervienen dos números. 121 00:10:46,809 --> 00:10:49,509 Ya hemos realizado esa potencia. 122 00:10:50,009 --> 00:10:52,490 Ese 2 al cubo se me queda como un 8. 123 00:10:53,289 --> 00:10:56,789 ¿Qué es lo que me dice la escalerita que tengo que hacer ahora? 124 00:10:57,230 --> 00:10:58,450 Paréntesis y corchetes. 125 00:10:58,769 --> 00:10:59,990 Corchetes tampoco tenemos. 126 00:11:00,509 --> 00:11:01,169 Paréntesis sí. 127 00:11:01,669 --> 00:11:06,350 Así que en este siguiente paso quitamos el paréntesis operando dentro. 128 00:11:06,350 --> 00:11:08,649 siempre que podamos vamos a operar dentro 129 00:11:08,649 --> 00:11:10,509 se puede hacer de otra manera 130 00:11:10,509 --> 00:11:12,789 pero nosotros siempre que podamos lo vamos a hacer así 131 00:11:12,789 --> 00:11:13,730 para evitar errores 132 00:11:13,730 --> 00:11:17,409 llegados a este punto vamos a hacer los productos y divisiones 133 00:11:17,409 --> 00:11:19,049 tenemos en el bloque rojo 134 00:11:19,049 --> 00:11:21,490 un producto y en el bloque verde 135 00:11:21,490 --> 00:11:22,490 una división 136 00:11:22,490 --> 00:11:24,509 como están en bloques distintos 137 00:11:24,509 --> 00:11:27,269 y estos bloques son independientes entre sí 138 00:11:27,269 --> 00:11:29,470 podemos hacerlas a la vez 139 00:11:29,470 --> 00:11:30,350 y así lo haremos 140 00:11:30,350 --> 00:11:32,549 hemos hecho 141 00:11:32,549 --> 00:11:34,929 el 2 por 4 y hemos hecho el 16 142 00:11:34,929 --> 00:11:41,750 entre 8 y hemos puesto los resultados de estas operaciones. Observad como siempre que no 143 00:11:41,750 --> 00:11:47,730 nos dejamos a nadie atrás. Aunque no los hemos tocado, ni el 12 del bloque azul ni 144 00:11:47,730 --> 00:11:55,909 el 6 del bloque morado han dejado de aparecer en su sitio todo el tiempo. Ahora lo que vamos 145 00:11:55,909 --> 00:12:01,169 a realizar son las sumas y restas según se lee izquierda a derecha. Y vamos a llegar 146 00:12:01,169 --> 00:12:02,850 al resultado final que es el 8. 147 00:12:03,570 --> 00:12:05,529 Vuelvo a insistir en que cada operación 148 00:12:05,529 --> 00:12:07,309 solo interviene dos números. 149 00:12:08,129 --> 00:12:09,789 Bueno, pues esto sería un poco 150 00:12:09,789 --> 00:12:11,169 todo lo que teníamos que decir 151 00:12:11,169 --> 00:12:13,649 sobre las operaciones en el conjunto 152 00:12:13,649 --> 00:12:15,230 de los números naturales. 153 00:12:15,789 --> 00:12:17,870 Cómo las hacemos y en qué orden 154 00:12:17,870 --> 00:12:18,830 las vamos a realizar. 155 00:12:20,070 --> 00:12:21,230 Hasta aquí hemos llegado.