0 00:00:00,000 --> 00:00:19,000 Hola chicos, en el presente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Vamos a 1 00:00:19,000 --> 00:00:25,000 ver en qué consiste factorizar un polinomio, herramientas con las que contamos para poder 2 00:00:25,000 --> 00:00:31,000 factorizar un polinomio y también sabremos pues cuál es el objetivo final de la factorización 3 00:00:31,000 --> 00:00:36,000 de polinomios. ¿Para qué aprendemos esto? Bien, ¿qué es factorizar un polinomio? Factorizar 4 00:00:36,000 --> 00:00:43,000 un polinomio consiste en expresarlo como producto de otros polinomios de grados más pequeños. Por 5 00:00:43,000 --> 00:00:49,000 ejemplo, fijaos en el polinomio x al cubo menos x. Yo este polinomio lo puedo expresar como el 6 00:00:49,000 --> 00:00:57,000 producto de x por x más 1 y por x menos 1, que son polinomios de grados más pequeños. Si 7 00:00:57,000 --> 00:01:03,000 multiplicáis x por x más 1 por x menos 1 veréis que obtenéis x al cubo menos x. En este otro 8 00:01:03,000 --> 00:01:11,000 ejemplo, x al cuadrado menos 6x más 9 yo lo puedo expresar como el producto de x menos 3 y por x 9 00:01:11,000 --> 00:01:18,000 menos 3. Si hacéis ese producto comprobaréis que obtenéis x al cuadrado menos 6x más 9. Pues bien, 10 00:01:18,000 --> 00:01:25,000 expresado un polinomio como producto de otros polinomios de grados más pequeños. ¿Para qué 11 00:01:25,000 --> 00:01:31,000 queremos aprender a factorizar polinomios? Pues bien, el uso principal de la factorización de 12 00:01:31,000 --> 00:01:38,000 polinomios es, por un lado, la simplificación de expresiones donde nos aparezcan polinomios, 13 00:01:38,000 --> 00:01:45,000 principalmente expresiones con fracciones y polinomios, y por otro lado, otra utilidad es 14 00:01:45,000 --> 00:01:53,000 la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2, grado 3, grado 4. Veremos que el 15 00:01:53,000 --> 00:02:00,000 proceso básico es la factorización de polinomios. Muy bien, pues vamos a aprender ahora cómo se 16 00:02:00,000 --> 00:02:07,000 factoriza un polinomio. Para aprender cómo se factoriza un polinomio vamos a ver en primer 17 00:02:07,000 --> 00:02:13,000 lugar las herramientas con las que contamos para realizar esta esta labor. Pues contamos con cuatro 18 00:02:13,000 --> 00:02:20,000 herramientas. La primera herramienta será intentar sacar factor común x en el polinomio. Luego vamos 19 00:02:20,000 --> 00:02:25,000 a ver todas las herramientas con un par de ejemplos. La segunda herramienta será uso de 20 00:02:25,000 --> 00:02:33,000 identidades notables. ¿Cuáles son las identidades notables? Cuadrado de una suma, de una resta y la 21 00:02:33,000 --> 00:02:43,000 suma por diferencia. Nosotros intentaremos buscar en el polinomio una de estas tres expresiones y 22 00:02:43,000 --> 00:02:52,000 expresar el polinomio de una de estas tres formas. Será así como usemos las identidades notables. Por 23 00:02:52,000 --> 00:02:58,000 otro lado, la tercera herramienta, ecuación de segundo grado. Cuando nosotros tengamos un polinomio 24 00:02:58,000 --> 00:03:04,000 de segundo grado, una de las herramientas casi siempre que usaremos será la ecuación de segundo 25 00:03:04,000 --> 00:03:10,000 grado. Luego lo veremos. Y por último tenemos también la regla de Ruffini. Será nuestra cuarta herramienta 26 00:03:10,000 --> 00:03:18,000 para factorizar un polinomio. Bueno, vamos a verlas a través del primer ejemplo. Tenemos aquí 27 00:03:18,000 --> 00:03:25,000 factorizar el polinomio p de x donde p de x es igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 8x más 12. 28 00:03:25,000 --> 00:03:32,000 Pues bien, me piden factorizar este polinomio. Pues yo me voy a mi tabla de herramientas y digo 29 00:03:32,000 --> 00:03:39,000 ¿puedo sacar factor común la x? ¿Qué significa sacar factor común la x en un polinomio? Pues 30 00:03:39,000 --> 00:03:50,000 fijaos. Este término de aquí tiene x. Este término de aquí tiene x. Este también, pero este no. Por 31 00:03:50,000 --> 00:03:56,000 lo tanto, yo aquí no puedo sacar factor común x. Un ejemplo en el que sí hubiera podido sacar factor 32 00:03:56,000 --> 00:04:04,000 común x, pues si hubiese tenido el polinomio q de x igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 8x 33 00:04:05,000 --> 00:04:10,000 sin el 12. Pues si hubiese tenido esto, sí que podría haber sacado factor común la x y podría 34 00:04:10,000 --> 00:04:17,000 haber expresado el polinomio como x por x al cuadrado menos x menos 8. ¿De acuerdo? A esto 35 00:04:17,000 --> 00:04:24,000 le llamamos sacar factor común x. Pero como en nuestro ejemplo, pues el 12 no lleva x, no podemos 36 00:04:24,000 --> 00:04:30,000 usar la primera herramienta. Vamos a ver si podemos usar la segunda herramienta. ¿Qué dice la segunda 37 00:04:30,000 --> 00:04:37,000 herramienta? La segunda herramienta dice identidades notables. ¿Se parece nuestro polinomio a una de 38 00:04:37,000 --> 00:04:44,000 estas tres expresiones de la derecha de las identidades notables? Pues no. Fijaos que ahí 39 00:04:44,000 --> 00:04:50,000 aparecen cuadrados, no aparecen cubos y en nuestro polinomio aparece un cubo. Luego no podemos utilizar 40 00:04:50,000 --> 00:04:57,000 la segunda herramienta de identidades notables. Tercera herramienta, ecuación de segundo grado. 41 00:04:57,000 --> 00:05:04,000 Pues una ecuación de segundo grado es aquella en la que tenemos un polinomio de segundo grado. Aquí 42 00:05:04,000 --> 00:05:10,000 no hay ningún polinomio de segundo grado, el de grado 3, nada. Cuarta herramienta, regla de Ruffini. 43 00:05:10,000 --> 00:05:17,000 Pues vamos a ver si podemos usar la herramienta regla de Ruffini. Pues vamos a ver en qué consiste. 44 00:05:18,000 --> 00:05:27,000 Escribo yo a continuación. Voy a utilizar la herramienta cuarta, que es la regla de Ruffini, 45 00:05:28,000 --> 00:05:38,000 y lo escribo así en el ejercicio. Bien, la regla de Ruffini. La regla de Ruffini era una regla que 46 00:05:38,000 --> 00:05:43,000 nos servía para dividir polinomios, ¿no? Pues bueno, otra de las utilidades que tiene es como herramienta 47 00:05:43,000 --> 00:05:50,000 factorización. Escribimos, no voy a repasar la regla de Ruffini porque la conocéis, pero bueno, 48 00:05:50,000 --> 00:05:57,000 escribimos los coeficientes del polinomio tal como lo hacíamos para aplicar la regla de Ruffini. 1 49 00:05:57,000 --> 00:06:06,000 menos 1 menos 8 y 12. A continuación, ¿qué hacíamos? Una rayita así, otra rayita así. 50 00:06:07,000 --> 00:06:12,000 ¿Y qué poníamos en esta esquina? ¿Qué poníamos en esta esquina? Pues cuando estábamos haciendo la 51 00:06:12,000 --> 00:06:23,000 división, poníamos lo que llamábamos la A, ¿no? De Ruffini. Pues vamos a ver ahora. En la herramienta 52 00:06:23,000 --> 00:06:29,000 regla de Ruffini para factorizar un polinomio, vamos a buscar aquí un número, no sé todavía 53 00:06:29,000 --> 00:06:38,000 cuál, tal que yo al hacer Ruffini aquí obtenga un cero en el resto. ¿Vale? Vamos a ver, vamos a verlo 54 00:06:38,000 --> 00:06:45,000 poco a poco. Pues bien, ¿con qué pruebo? ¿Pruebo con el 1, con el 2, con el 5? No sé con cuál probar. 55 00:06:45,000 --> 00:06:53,000 Pues nosotros, cuando utilizamos esta herramienta, yo a los chicos les digo siempre, a ver chicos, 56 00:06:53,000 --> 00:06:59,000 lo primero que usamos, que tenemos que escribir para usar esta herramienta, son los candidatos 57 00:07:01,000 --> 00:07:02,000 a Ruffini. 58 00:07:02,000 --> 00:07:18,000 Y los candidatos a Ruffini serán los divisores del término independiente de nuestro polinomio. 59 00:07:18,000 --> 00:07:28,000 ¿Cuáles son los divisores del término independiente? De 12. Pues son 1 menos 1, 2 menos 2, 3 menos 3, 60 00:07:29,000 --> 00:07:43,000 4 menos 4, 6 menos 6, 12 menos 12. Pues bien, voy a empezar por el primero de estos candidatos y voy 61 00:07:43,000 --> 00:07:50,000 a probar con él a ver si al hacer Ruffini obtengo un cero. El 1 se pone así, 1 por 1 es 1 menos 1, 62 00:07:50,000 --> 00:08:01,000 1 por 0 es 0, y 0 menos 8 es menos 8. 1 por menos 8 es menos 8, 12 menos 8 es 4. ¿Obtengo cero? No. 63 00:08:01,000 --> 00:08:08,000 Pues entonces no me vale el 1 como candidato. O sea, como candidato sí, pero no me sirve, 64 00:08:08,000 --> 00:08:17,000 no he obtenido cero en el resto. Pues voy a probar con el siguiente candidato, que es el menos 1. 65 00:08:17,000 --> 00:08:26,000 Pues voy a hacer Ruffini con el menos 1. Bajo el 1, menos 1 por 1, menos 1, menos 1 menos 1, 66 00:08:26,000 --> 00:08:41,000 menos 2, menos por menos más, 1 por 2, 2, 2 menos 8, menos 6, menos 1 por menos 6, 6 y 12 y 6, 18. 67 00:08:41,000 --> 00:08:51,000 Repasamos, 1 es 1 menos 2, 2 menos 8 es menos 6, 6. Luego, no hemos obtenido cero. Luego tampoco, 68 00:08:51,000 --> 00:09:02,000 tampoco nos vale el menos 1. Siguiente número con el que vamos a probar Ruffini. Aquí atachamos 69 00:09:02,000 --> 00:09:13,000 el 1 que no nos ha valido. Lo he cargado, lo voy a escribir. El menos 1 tampoco nos ha servido. 70 00:09:13,000 --> 00:09:20,000 Vamos a probar ahora con el 2. Pues escribimos el 2 y hacemos Ruffini. 2 por 1 es 2, 2 menos 1, 1. 71 00:09:21,000 --> 00:09:33,000 2 por 1 es 2, menos 8, menos 6. Y 2 por menos 6, menos 12 y 12, 0. Obtenemos un 0. Luego, es lo que yo estaba 72 00:09:33,000 --> 00:09:40,000 buscando. Pues bien, una vez que hemos obtenido un 0 en el resto al hacer Ruffini con uno de 73 00:09:40,000 --> 00:09:48,000 nuestros candidatos, pues vamos a escribir lo siguiente. Flechita, y decimos que x al cubo 74 00:09:49,000 --> 00:10:03,000 menos x al cuadrado menos 8x más 12 es igual. Y ahora decimos, vamos a poner x menos este 75 00:10:03,000 --> 00:10:11,000 numerito que nos ha dado aquí, que era la a de Ruffini, x menos 2, multiplicado por estos 76 00:10:11,000 --> 00:10:16,000 numeritos que eran el cociente de Ruffini, convertido a polinomio. x al cuadrado más x 77 00:10:18,000 --> 00:10:24,000 menos 6. Fijaos que esto no es otra cosa que la prueba de la división de polinomios. Divisor 78 00:10:25,000 --> 00:10:35,000 por cociente más resto, que en este caso el resto es 0, igual al dividendo. Bueno, pues ya hemos 79 00:10:35,000 --> 00:10:42,000 conseguido factorizar el polinomio original usando la regla de Ruffini. Ahora decimos lo 80 00:10:42,000 --> 00:10:49,000 siguiente. ¿Qué grado tiene este polinomio de aquí? Grado 1. Pues todo aquel polinomio de grado 1 81 00:10:49,000 --> 00:10:57,000 no se puede factorizar más. Ya está suficientemente partido o simplificado. No podemos hacer nada más 82 00:10:58,000 --> 00:11:05,000 con él. Grado de este polinomio de aquí, grado 2. Pues como el grado no es 1, tenemos que intentar 83 00:11:05,000 --> 00:11:11,000 factorizar ese polinomio de ahí. Pues decimos a continuación en el ejercicio. Factorizamos 84 00:11:16,000 --> 00:11:23,000 el polinomio x al cuadrado más x menos 6. 85 00:11:23,000 --> 00:11:32,000 Pues bien, vamos a intentar a ver si podemos partirlo. No siempre va a ser posible, ya os lo 86 00:11:32,000 --> 00:11:38,000 adelanto. Pues vamos a ver qué herramientas podemos usar. Volvemos a nuestra tablita de 87 00:11:38,000 --> 00:11:45,000 herramientas. ¿Podemos sacar factor común x? Pues no, porque x al cuadrado más x menos 6, 88 00:11:45,000 --> 00:11:50,000 el menos 6 no lleva x. Segunda herramienta, identidades notables. ¿Se parece nuestra 89 00:11:50,000 --> 00:11:57,000 expresión a alguna de estas expresiones de la derecha? Pues aparece x al cuadrado pero el menos 90 00:11:57,000 --> 00:12:03,000 6 ya nos despista y no es una identidad notable. Tercera herramienta, ecuación de segundo grado. 91 00:12:03,000 --> 00:12:08,000 Polinomio de segundo grado sí que se puede convertir a ecuación de segundo grado. Pues 92 00:12:08,000 --> 00:12:19,000 decimos vamos a utilizar la herramienta 3, ecuación de segundo grado. Y ahora lo que 93 00:12:19,000 --> 00:12:26,000 hacemos es convertir este polinomio a ecuación de segundo grado, igualándolo a cero. La resolvemos. 94 00:12:26,000 --> 00:12:38,000 x es igual a menos b menos 1 más menos raíz cuadrada de b al cuadrado 1 menos 4 por a por c, 95 00:12:38,000 --> 00:12:53,000 eso va a ser más 24 partido por 2 por a. Esto va a ser igual a menos 1 más menos 5 partido por 2. 96 00:12:53,000 --> 00:12:59,000 Y esto va a ser igual, un caminito para el más, un caminito para el menos, 5 menos 1, 4 entre 2, 2. 97 00:12:59,000 --> 00:13:08,000 Y menos 6 entre 2, menos 3. Luego en la ecuación de segundo grado nos ha dado soluciones. 2 y menos 3. 98 00:13:09,000 --> 00:13:18,000 ¿De acuerdo? Pues bien, ¿cómo factorizamos, cómo partimos el polinomio de segundo grado, este de aquí, 99 00:13:18,000 --> 00:13:25,000 con esta herramienta que hemos usado? Pues de la siguiente forma. Flechita y decimos que x al 100 00:13:25,000 --> 00:13:33,000 cuadrado más x menos 6 será igual. Nos fijamos en el coeficiente principal del polinomio, el que 101 00:13:33,000 --> 00:13:42,000 acompaña al término de grado 2, que es un 1. Aquí es como si tuviéramos un 1. Pues ponemos 1 por, 102 00:13:42,000 --> 00:13:51,000 a continuación, x menos, esto siempre se pone así, una de las soluciones, 2. Pues ponemos aquí un 2 por 103 00:13:51,000 --> 00:14:01,000 x menos la otra de las soluciones, menos 3, menos 3. ¿De acuerdo? Esto lo podemos expresar de una 104 00:14:01,000 --> 00:14:13,000 forma un poco más bonita, así. 1 por x menos 2 por x menos menos 3 es x más 3. Luego fijaos que ya he 105 00:14:13,000 --> 00:14:22,000 conseguido expresar el polinomio x al cuadrado más x menos 6 como el producto de 1 por x menos 2 y por 106 00:14:22,000 --> 00:14:30,000 x más 3. ¿Qué grado tiene este polinomio de aquí? Grado 1. No se puede simplificar más. ¿Qué grado 107 00:14:30,000 --> 00:14:36,000 tiene este polinomio de aquí? Grado 1. No se puede simplificar más. Ya hemos acabado. Ya no tenemos más 108 00:14:36,000 --> 00:14:41,000 trocitos, más polinomios que simplificar, porque ya todos nos han quedado de grado 1. ¿Qué escribimos 109 00:14:41,000 --> 00:14:48,000 a continuación? Como yo he usado varias herramientas, si os habéis dado cuenta, yo siempre pongo al final 110 00:14:48,000 --> 00:14:56,000 una conclusión. En la conclusión recopilo todo lo que he usado en el ejercicio. Pues, a ver, yo partía 111 00:14:56,000 --> 00:15:05,000 del siguiente polinomio x al cubo menos x al cuadrado menos 8x más 12. x al cubo menos x al 112 00:15:05,000 --> 00:15:15,000 cuadrado menos 8x más 12. Era el polinomio del que yo partía. Ese polinomio, al yo usar la herramienta 113 00:15:15,000 --> 00:15:23,000 4, regla de Ruffini, llegué a la conclusión de que era x menos 2 por x al cuadrado más x menos 6. 114 00:15:23,000 --> 00:15:35,000 x menos 2. Voy a poner aquí x menos 2 por. Y luego tenía este otro polinomio x al cuadrado más x menos 6. 115 00:15:35,000 --> 00:15:40,000 ¿Pero qué pasó con este polinomio? Que yo conseguí factorizarlo aquí abajo 116 00:15:44,000 --> 00:15:52,000 y pude expresarlo de esta manera. x al cuadrado más x menos 6 igual a 1 por x menos 2 por x más 3. 117 00:15:52,000 --> 00:16:01,000 Pues, en vez de poner x al cuadrado más x menos 6, pongo x menos 2 por x más 3. Fijaos que he quitado el 1. 118 00:16:01,000 --> 00:16:07,000 ¿Por qué he quitado el 1? Porque 1 por algo pues no hace falta poner el 1. ¿Qué he conseguido? Pues 119 00:16:07,000 --> 00:16:15,000 expresar mi polinomio original como producto de tres polinomios de grados más pequeños que él. 120 00:16:15,000 --> 00:16:23,000 Es decir, lo que pretendía. Pues una factorización de polinomios. Perfecto. 121 00:16:24,000 --> 00:16:30,000 Bueno chicos, vamos con este segundo ejemplo de factorización de polinomios. Nos piden factorizar 122 00:16:30,000 --> 00:16:37,000 el polinomio p de x donde p de x es x al cubo menos 5x al cuadrado más 3x menos 9. Pues veamos. 123 00:16:37,000 --> 00:16:44,000 A ver qué herramienta podemos usar. ¿Podemos sacar factor común x? Pues fijaos que no porque el 124 00:16:44,000 --> 00:16:51,000 menos 9 no lleva x. Luego no podemos. ¿Podemos usar identidades notables? Pues fijaos que las 125 00:16:51,000 --> 00:16:57,000 identidades notables, la parte de la derecha, tenemos que intentar partir de la derecha hacia 126 00:16:57,000 --> 00:17:03,000 la izquierda, desde aquí hasta aquí. Fijaos que la parte de la derecha no tenemos cubos por ningún 127 00:17:03,000 --> 00:17:11,000 sitio, solo hay cuadrados. Luego no podemos. ¿Ecuación de segundo grado? Pues no porque es un polinomio de 128 00:17:11,000 --> 00:17:20,000 grado 3. Luego directamente regla de Ruffini. Pues escribimos. Cuarta herramienta que aplicamos. Ruffini. 129 00:17:24,000 --> 00:17:29,000 Ya hemos dicho que para esta herramienta escribimos dos candidatos a Ruffini. Es decir, 130 00:17:29,000 --> 00:17:36,000 candidatos a la A de Ruffini para que el resto no salga cero. ¿Cuáles son los candidatos a Ruffini? 131 00:17:36,000 --> 00:17:43,000 Pues los divisores del término independiente. Tenemos que buscar los divisores de menos 9 132 00:17:43,000 --> 00:17:49,000 o de 9. En este caso el término independiente es menos 9, pero bueno, los divisores de 9. ¿Cuáles 133 00:17:49,000 --> 00:18:01,000 son los divisores de 9? Pues el 1 menos 1, el 3 y el menos 3, el 9 y el menos 9. Esos son nuestros 134 00:18:01,000 --> 00:18:09,000 candidatos a Ruffini. Pues vamos a probar con el primero. Vamos a probar con el primero, que será 135 00:18:09,000 --> 00:18:15,000 el 1. Ya hemos dicho que vamos a intentar hacerlo por orden. Primero por el 1, luego por el menos 1, 136 00:18:15,000 --> 00:18:27,000 así hasta que obtengamos un resto cero. Escribimos los coeficientes para hacer Ruffini. 1, 5, 3 y menos 9. 137 00:18:27,000 --> 00:18:46,000 Tallita, tallita y aquí estamos buscando un número tal que al hacer Ruffini yo obtenga de resto cero. 138 00:18:46,000 --> 00:18:51,000 Pues vamos a ver cuáles. Voy a probar con el 1. Ya hemos dicho, 139 00:18:51,000 --> 00:18:54,000 pruebo con el primero de los candidatos. Pongo aquí un 1. 140 00:18:58,000 --> 00:19:11,000 1. Y hago Ruffini. 1 por 1 es 1. 5 y 1 es 6. 1 por 6 es 6. Y 3 es 9. Y 1 por 9 es 9. Y menos 9 es 0. 141 00:19:11,000 --> 00:19:18,000 Pues he tenido suerte y he obtenido un 0 en la primera Ruffini que he hecho. Luego justo lo que 142 00:19:18,000 --> 00:19:30,000 buscaba. x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9. ¿Se puede expresar cómo? Pues se puede expresar 143 00:19:30,000 --> 00:19:47,000 como x menos la A de Ruffini, un 1, multiplicado por el cociente de Ruffini. x al cuadrado más 6x y más 9. 144 00:19:47,000 --> 00:19:53,000 Este polinomio de aquí ¿qué grado tiene? Grado 1. No se puede simplificar más. Este 145 00:19:53,000 --> 00:19:59,000 polinomio de aquí ¿qué grado tiene? Grado 2. Tenemos que intentar factorizarlo. Pues escribimos 146 00:19:59,000 --> 00:20:15,000 a continuación. Factorizamos x al cuadrado más 6x y más 9. Pues vamos a ver qué herramientas 147 00:20:15,000 --> 00:20:22,000 podemos usar con él. ¿Saca el factor común x? Pues fijaos que el 9 no lleva x. No. Identidades 148 00:20:22,000 --> 00:20:28,000 notables. Vamos a ver. ¿Se parece esta expresión de aquí a alguna de estas expresiones de la 149 00:20:28,000 --> 00:20:37,000 derecha de aquí? Pues fijaos. Un más más más. Pues parece que tiene pinta de que se parece a 150 00:20:37,000 --> 00:20:44,000 esta ¿verdad? Pues yo creo que sí. Vamos a ver si se puede expresar como el cuadrado de una suma. 151 00:20:44,000 --> 00:20:55,000 x al cuadrado más 6x más 9 se puede expresar como x más 3 al cuadrado. Si desarrollamos esta 152 00:20:55,000 --> 00:21:02,000 identidad notable fijaos. x al cuadrado más el cuadrado del segundo más el doble del primero 153 00:21:02,000 --> 00:21:09,000 por el segundo. Y esto de aquí pues efectivamente es esto de aquí ¿no? Luego sí que lo hemos podido 154 00:21:09,000 --> 00:21:16,000 expresar como una identidad notable. Y x más 3 al cuadrado me diréis ahí es una potencia. Sí, 155 00:21:16,000 --> 00:21:24,000 pero es que x más 3 al cuadrado es x más 3 multiplicado por x más 3. ¿De qué grado es este 156 00:21:24,000 --> 00:21:29,000 polinomio? Grado 1. No se puede simplificar más. Grado 1. Este otro. No se puede simplificar más. 157 00:21:29,000 --> 00:21:33,000 Luego hemos acabado. Como hemos usado varias herramientas yo pongo al final conclusión 158 00:21:33,000 --> 00:21:46,000 conclusión y pongo x al cuadrado. Bueno x al cuadrado no. La que tenía al principio. x al 159 00:21:46,000 --> 00:21:58,000 cubo más 5x al cuadrado. x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9 más 3x menos 9 que era 160 00:21:58,000 --> 00:22:05,000 nuestro polinomio del principio. Nosotros en una, cuando utilizamos, se utilizó la herramienta 161 00:22:05,000 --> 00:22:18,000 dofini aquí obtuve esto ¿no? 1x menos 1 por y luego también era esto ¿no? x al cuadrado más 6x más 9 162 00:22:18,000 --> 00:22:28,000 pero esa factorización, fijaos, me ha dado esto ¿no? Me ha dado esto de aquí. Me ha dado esta 163 00:22:28,000 --> 00:22:35,000 factorización de aquí. Luego en vez de poner x al cuadrado más 6x más 9 pues pongo x más 3 por 164 00:22:35,000 --> 00:22:48,000 x más 3. Esto de aquí. Y esta será nuestra factorización del polinomio. ¿De acuerdo? 165 00:22:48,000 --> 00:22:54,000 Pues perfecto. Pues muchas gracias chicos y así que me despido.