1
00:00:01,010 --> 00:00:10,189
En este ejercicio nos dan una matriz, en este caso 2x2, y nos dice que encontremos todas las matrices B conmutativas con A,

2
00:00:11,189 --> 00:00:14,730
es decir, que cumplan que A por B es igual a B por A.

3
00:00:15,410 --> 00:00:18,510
Conmutativo es eso, A por B igual a B por A.

4
00:00:18,929 --> 00:00:27,710
Como tiene que ser conmutativa, como la matriz A es de 2x2, como la matriz A es 0, 3, menos 2, 1,

5
00:00:27,710 --> 00:00:32,710
Nuestra matriz B tiene que ser también una matriz de 2 por 2

6
00:00:32,710 --> 00:00:36,090
Para que poder multiplicar tanto A por B como B por A

7
00:00:36,090 --> 00:00:42,149
Entonces, como no sabemos cuál es, pues la vamos a llamar como A, B, C y D

8
00:00:42,149 --> 00:00:45,170
No conocemos ninguno de sus elementos, porque no nos da ninguno

9
00:00:45,170 --> 00:00:46,450
Entonces vamos a poner eso

10
00:00:46,450 --> 00:00:49,850
Entonces, lo que vamos a hacer, para saber que son conmutativas

11
00:00:49,850 --> 00:00:53,909
Vamos a calcular A por B por un lado

12
00:00:53,909 --> 00:01:15,230
es decir, 0, 3, menos 2, 1, por A, B, C, D, y por otro lado vamos a hacer B por A, es decir, A, B, C, D, por el 0, 3, menos 2, 1.

13
00:01:16,109 --> 00:01:20,909
Recordamos que para multiplicar matrices se multiplican filas por columnas.

14
00:01:21,250 --> 00:01:25,870
Es decir, 0 por A más 3 por C.

15
00:01:26,790 --> 00:01:33,010
Segundo elemento, como es la primera fila con la segunda columna, pues multiplicamos primera fila con segunda columna.

16
00:01:33,510 --> 00:01:38,450
0 por B más 3 por D.

17
00:01:39,590 --> 00:01:45,189
Ahora, como tenemos segunda fila, primera columna, pues multiplicamos segunda fila por primera columna.

18
00:01:45,189 --> 00:01:55,849
menos 2 por A más C y por último la segunda fila por la segunda columna, menos 2 por B más C.

19
00:01:55,849 --> 00:02:10,280
Es decir, nos ha quedado 3C, 3D, menos 2A más C y menos 2B más C.

20
00:02:10,280 --> 00:02:18,020
Haciendo lo mismo con la otra matriz, nos queda, primera columna, ya directamente la ponemos,

21
00:02:18,599 --> 00:02:31,659
menos 2B, 3A más B, menos 2D y 3C más D.

22
00:02:33,840 --> 00:02:36,740
Bueno, hemos dicho que las dos cosas tienen que coincidir.

23
00:02:36,740 --> 00:02:42,199
Para que dos matrices sean iguales, tienen que coincidir que coincidan término a término.

24
00:02:42,199 --> 00:02:54,479
Es decir, ahora tiene que coincidir, pues primer elemento, tenemos por un lado tenemos 3C y por otro lado tenemos menos 2B.

25
00:02:56,909 --> 00:03:15,830
Ahora, en el segundo, otra ecuación que vamos a sacar, un poquito esto, para tener espacio, tenemos que el 3D es igual a 3A más B.

26
00:03:15,830 --> 00:03:40,330
Por otro lado tenemos que menos 2A más C es igual a menos 2D y del último decremento, menos 2B más D es igual a 3C más D.

27
00:03:43,180 --> 00:03:48,460
Una vez que ya tenemos estas cuatro ecuaciones, pues vamos a buscar relaciones en ellas.

28
00:03:48,460 --> 00:03:51,780
A ver si alguna de ellas se nos va porque son repetidas.

29
00:03:52,919 --> 00:04:05,199
En este caso, pues si nos fijamos en la última ecuación, como tenemos el más d, lo pasamos al otro lado y se nos va.

30
00:04:05,819 --> 00:04:16,519
Este más d con este más d se nos va y nos queda menos 2b es igual a 3c, que es exactamente lo que tenemos en la primera ecuación.

31
00:04:17,220 --> 00:04:24,639
Por tanto, esta ecuación, como es exactamente igual que la primera, la podemos eliminar.

32
00:04:26,180 --> 00:04:29,339
Entonces, ya de aquí tenemos una... de la primera vamos a sacar una ecuación.

33
00:04:29,939 --> 00:04:36,100
Vamos a sacar que C es igual a menos 2 partido por 3 por B.

34
00:04:36,920 --> 00:04:41,720
Ya tenemos aquí una relación de una letra con otra.

35
00:04:42,819 --> 00:04:45,579
Vale. Vamos a continuar.

36
00:04:46,519 --> 00:04:56,120
utilizando eso que hemos obtenido, voy a cambiar esta c por el menos 2 partido por 3 partido por b.

37
00:04:56,120 --> 00:05:08,000
Entonces, esta ecuación de aquí, la tercera, se nos queda menos 2a menos 2 tercios de b igual a menos 2 por d.

38
00:05:08,000 --> 00:05:33,120
Si despejamos esa d, pasamos el menos 2 dividiendo, menos 2 partido por b, partido por 3 por 2, igual a d, con el menos, perdón, me falta aquí el menos de ahí.

39
00:05:33,879 --> 00:05:44,660
Entonces, ¿qué nos queda en esta ecuación? Que d es igual a a más b partido por 3.

40
00:05:44,660 --> 00:06:07,699
Si de la segunda despejamos la D, es decir, nos queda también que D es igual a 3A partido por 3 más B partido por 3, es decir, A más B partido por 3.

41
00:06:07,699 --> 00:06:16,740
que al ser igual que la que tenemos abajo, la podemos eliminar.

42
00:06:19,339 --> 00:06:23,899
Y nos hemos quedado solamente con dos ecuaciones.

43
00:06:28,660 --> 00:06:35,079
Las dos ecuaciones que nos hemos quedado son c es igual a menos 2 tercios partido por b,

44
00:06:35,680 --> 00:06:41,060
y que d es igual a a más b partido por 3.

45
00:06:41,060 --> 00:06:46,240
Estas son las relaciones que cumplen todas las matrices que son conmutativas

46
00:06:46,240 --> 00:06:55,040
Vamos a ver, entonces, como B era A, B, C y D

47
00:06:55,040 --> 00:06:57,860
Pues vamos a quedarnos solamente con algunas letras

48
00:06:57,860 --> 00:07:02,160
Y las otras letras las ponemos en función de lo que hemos obtenido de estas

49
00:07:02,160 --> 00:07:04,720
¿Con qué letras nos vamos a quedar?

50
00:07:05,220 --> 00:07:07,180
Pues en este caso, como en estas ecuaciones

51
00:07:07,180 --> 00:07:18,000
Entonces, tenemos que D es igual a A más B, y aquí también aparece la B, pues nos vamos a quedar con la A y con la B.

52
00:07:18,379 --> 00:07:24,000
Y vamos a poner C como menos 2 tercios partido por B y D como lo que tenemos ahí.

53
00:07:24,000 --> 00:07:45,279
Por tanto, nuestra solución B es la matriz A, B, como C ponemos menos 2 tercios de B, y como el D ponemos A más B partido por 3.

54
00:07:45,279 --> 00:08:00,420
Y esta es la solución. ¿Qué significa? Que dependiendo los valores que demos a A y a B, pues vamos a tener una matriz u otra. Tenemos infinitas matrices.

55
00:08:00,420 --> 00:08:17,199
Hay algunas, por ejemplo, si nosotros damos dentro de esta matriz, nos piden algunos casos particulares, pues nosotros podemos decir, por ejemplo, el ejercicio estaría acabado.

56
00:08:17,199 --> 00:08:34,980
Estas son todas las matrices, ¿vale? Pero, por ejemplo, podemos decir, vamos a escribirlo en negro, podemos decir, por ejemplo, un caso particular, si A es igual a 1 y B es igual a 0, ¿qué matriz nos queda?

57
00:08:34,980 --> 00:08:37,120
sustituyendo

58
00:08:37,120 --> 00:08:39,620
tenemos 1, 0

59
00:08:39,620 --> 00:08:41,500
como la b vale 0, nos queda 0

60
00:08:41,500 --> 00:08:43,320
y aquí nos queda 1

61
00:08:43,320 --> 00:08:45,799
que es igual a la matriz de identidad

62
00:08:45,799 --> 00:08:47,500
que esa es una que siempre es

63
00:08:47,500 --> 00:08:48,120
conmutativa

64
00:08:48,120 --> 00:08:50,200
otra que siempre

65
00:08:50,200 --> 00:08:53,519
nos tiene que aparecer es si a es

66
00:08:53,519 --> 00:08:55,580
igual a 0 y b es igual a 0

67
00:08:55,580 --> 00:08:57,679
que nos quedaría

68
00:08:57,679 --> 00:08:58,659
en este caso la matriz

69
00:08:58,659 --> 00:09:01,639
0, 0, 0, 0, la matriz 1

70
00:09:01,639 --> 00:09:02,580
¿vale?

71
00:09:02,580 --> 00:09:13,620
Si nos están pidiendo una matriz que sea completamente, una matriz conmutativa que sea distinta de la nula, pues tendríamos que elegir otros valores cualesquiera.

72
00:09:13,620 --> 00:09:20,860
Da lo mismo los que corregimos. Por ejemplo, podemos elegir A igual a 1 y también B igual a 1.

73
00:09:22,879 --> 00:09:34,360
Entonces la B nos quedaría 1, 1, menos 2 tercios, 1 más 1 tercio, son 4 tercios.

74
00:09:37,590 --> 00:09:39,529
Y esta tendríamos otra matriz que es conmutativa.

75
00:09:40,190 --> 00:09:43,190
Y así es como hacemos los ejercicios de las matrices conmutativas.