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00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,300 --> 00:00:21,679
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,679 --> 00:00:33,210
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,210 --> 00:00:37,429
las permutaciones sin repetición y el factorial de un número y resolveremos el ejercicio

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00:00:37,429 --> 00:00:52,439
propuesto 6. En esta videoclase y las siguientes vamos a estudiar la combinatoria, es la determinación

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00:00:52,439 --> 00:00:58,140
del cardinal de ciertos conjuntos cuando éstos cumplen con una serie de requisitos y tienen una

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00:00:58,140 --> 00:01:02,820
serie de regularidades que nos va a permitir determinar ese cardinal con una fórmula muy

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00:01:02,820 --> 00:01:07,920
sencilla. Vamos a comenzar esta serie con la videoclase actual, la que tenemos entre manos,

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00:01:08,120 --> 00:01:14,299
que es la que corresponde a las permutaciones sin repetición. En este caso la idea es que

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00:01:14,299 --> 00:01:21,040
disponemos de n elementos distinguibles y lo que vamos a hacer es ordenarlos de distintas maneras.

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00:01:21,040 --> 00:01:27,640
Y la pregunta que nos hacemos es, ¿de cuántas formas posibles podemos ordenar esos n elementos distinguibles?

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00:01:28,519 --> 00:01:37,459
Al cardinal del conjunto de ordenaciones posibles que he comentado, se le llama permutaciones sin repetición de n elementos.

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00:01:37,819 --> 00:01:42,200
Y se representa como p sub n, n, el número de elementos que estamos ordenando.

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00:01:42,920 --> 00:01:44,000
La idea es bien sencilla.

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00:01:44,739 --> 00:01:49,180
El primer elemento de esos n lo puedo elegir de n formas distintas.

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00:01:49,180 --> 00:01:50,859
Yo puedo elegir uno cualquiera de esos n.

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00:01:51,040 --> 00:01:59,620
Lo coloco en primera posición. Para elegir al segundo dispongo de n-1 elementos. Tenía n y he quitado 1, me quedan n-1 elementos.

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00:01:59,760 --> 00:02:07,000
Así que el segundo lo puedo elegir de n-1 formas posibles. Lo coloco al lado del primero, ya he sacado 2.

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00:02:07,500 --> 00:02:15,639
Me quedan n-2 elementos. ¿De cuántas formas posibles puedo elegir ese tercer elemento de entre esos n-2? Pues de n-2 formas.

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00:02:16,400 --> 00:02:20,080
Así, sucesivamente, llegará un momento en que he sacado todos los elementos menos 2,

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00:02:20,439 --> 00:02:23,719
el siguiente lo puedo elegir de dos formas posibles, puesto que tengo dos elementos,

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00:02:24,219 --> 00:02:29,080
y una vez que he sacado todos los elementos menos 1, el último tiene que ser necesariamente el que me queda ahí,

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00:02:29,479 --> 00:02:32,800
no puedo hacer más que una única elección, elegir ese elemento que tenía entre manos.

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00:02:34,020 --> 00:02:38,139
Así pues, las permutaciones en elementos, permutaciones sin repetición,

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00:02:38,139 --> 00:02:45,800
se pueden determinar aplicando el principio de adicción como n por n menos 1 por n menos 2 y así hasta 2 y por 1.

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00:02:47,039 --> 00:02:51,900
Al número así determinado, n por n menos 1 por n menos 2, etcétera, etcétera, por 2 y por 1,

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00:02:52,460 --> 00:02:59,060
se le suele representar de esta manera n con este símbolo de exclamación y se lee n factorial o bien el factorial de n.

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00:03:00,180 --> 00:03:05,180
Como propiedades del factorial de n, aunque ahora veremos ejemplos de permutaciones en repetición,

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00:03:05,180 --> 00:03:13,139
cabe señalar lo siguiente. El factorial de 0 por definición va a ser 1 y el factorial de n se puede

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00:03:13,139 --> 00:03:18,300
descomponer como n multiplicado por n menos 1 factorial. Estas propiedades en cierto momento

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00:03:18,300 --> 00:03:24,979
van a ser útiles. Como ejemplo de permutaciones en repetición de n elementos vamos a considerar

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00:03:24,979 --> 00:03:31,800
lo siguiente. Tenemos la palabra saco formada por estas cuatro letras s, a, c, o, las cuatro

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00:03:31,800 --> 00:03:36,599
distintas, las cuatro distinguibles. Y nos preguntamos por cuántas palabras con sentido

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00:03:36,599 --> 00:03:44,300
o sin sentido podemos formar con las letras de esta palabra saco. Vemos que tenemos cuatro

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00:03:44,300 --> 00:03:50,699
elementos, las cuatro letras diferentes, S, A, C, O. Y lo que vamos a hacer es considerar

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00:03:50,699 --> 00:03:54,780
las distintas palabras que podemos formar tal y como se nos dicen con o sin sentido.

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00:03:55,280 --> 00:04:00,680
Y la idea es esta, de estas cuatro letras, la primera que yo voy a poner en mi nueva

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00:04:00,680 --> 00:04:06,400
palabra la puedo elegir de cuatro formas distintas, S, A, C, U, O. Una vez que he sacado la primera letra

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00:04:06,400 --> 00:04:11,419
me quedan tres, la siguiente la puedo elegir de entre las tres que me quedan. Una vez que he sacado

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00:04:11,419 --> 00:04:16,120
dos letras, la siguiente la puedo elegir de dos formas distintas, me quedan dos letras y ya he

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00:04:16,120 --> 00:04:21,839
sacado dos. Y una vez que he sacado tres letras, la última será la única que me queda, la puedo elegir

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00:04:21,839 --> 00:04:27,540
de una única manera. Así pues, las permutaciones de estos cuatro elementos, permutaciones sin

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00:04:27,540 --> 00:04:33,220
repetición sería el factorial de 4 o bien 4 factorial y es el resultado de multiplicar 4

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00:04:33,220 --> 00:04:40,680
por 3 por 2 y por 1. En este caso vemos que podemos formar 24 palabras diferentes. Si no sólo queremos

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00:04:40,680 --> 00:04:46,139
determinar cuántas palabras sino que además queremos averiguar cuáles son, podemos utilizar

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00:04:46,139 --> 00:04:51,860
alguna de las técnicas de representación gráfica que hemos visto en la videoclase anterior. En este

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00:04:51,860 --> 00:04:58,579
caso la experiencia conjunta compleja no está formada por dos experiencias simples sino cuatro

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00:04:58,579 --> 00:05:03,220
puesto que tenemos que elegir cuatro letras. No podemos utilizar una tabla de doble entrada,

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00:05:03,420 --> 00:05:10,980
vamos a utilizar un árbol y la representación sería la siguiente. Partimos de un noto vacío y

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00:05:10,980 --> 00:05:15,660
vamos a dibujar cuatro ramas que se corresponden con las cuatro elecciones para la primera letra

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00:05:15,660 --> 00:05:21,660
y como tengo todavía todas las de la palabra saco, esa primera letra puede ser una S, una A,

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00:05:21,860 --> 00:05:28,800
una C o una O. ¿Qué ocurre si la primera letra que he sacado es la letra S? Bien, para la siguiente

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00:05:28,800 --> 00:05:34,740
lección me quedan solamente tres posibilidades. Aquí tengo tres ramas a partir de este nodo. Si

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00:05:34,740 --> 00:05:40,259
he sacado la letra S, lo que me queda es la A, la C y la O. Bien, pues esas son las tres opciones que

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00:05:40,259 --> 00:05:44,839
he puesto aquí. ¿Qué ocurre si la primera letra que he sacado es la S y la segunda que he sacado

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00:05:44,839 --> 00:05:50,519
es la A? Bueno, pues que me quedan otras dos letras. A partir de este nodo tengo dos ramas que se abren

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00:05:50,519 --> 00:05:55,019
Y lo que voy a colocar en los siguientes nodos son las dos letras que me quedan para elegir.

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00:05:55,319 --> 00:05:59,319
Si he sacado la S y la A, me quedan la C y la O. Aquí tengo esas dos opciones.

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00:06:00,180 --> 00:06:03,620
¿Qué ocurre si primero saque la S, luego la A y luego la C?

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00:06:04,160 --> 00:06:07,180
Pues que ahora no me queda más que una única opción para la cuarta letra.

61
00:06:07,300 --> 00:06:13,420
Aquí tengo una única rama a partir de este nodo y lo que tengo a continuación es la única letra que me quedaría, que sería la O.

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00:06:13,800 --> 00:06:17,240
Y aquí como hoja, la palabra que he formado, la palabra saco.

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00:06:17,240 --> 00:06:23,560
Lo que veis aquí son todas las distintas posibilidades en cada uno de los casos.

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00:06:24,259 --> 00:06:27,279
Supongamos que la primera letra que he sacado fuera la letra C.

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00:06:27,920 --> 00:06:31,180
¿Cuántas posibilidades me quedan ahora? Me quedan tres. Aquí tengo tres ramas.

66
00:06:31,779 --> 00:06:36,639
Si de la palabra saco he quitado la letra C para que sea la primera letra de mi nueva palabra,

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00:06:37,120 --> 00:06:40,579
¿qué letras me quedan? La A, la S y la O, como podéis ver aquí.

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00:06:41,519 --> 00:06:46,120
Supongamos que de segunda letra he sacado la S cuando de primera letra saque la C.

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00:06:46,759 --> 00:06:50,079
¿Qué posibilidades me quedan? Dos. Aquí veis estas dos ramas.

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00:06:50,620 --> 00:06:56,899
Si he sacado la C y la S, me quedan la A y la O, que son las dos letras que he puesto aquí en los siguientes nodos.

71
00:06:57,579 --> 00:06:59,959
Supongamos que he sacado la C, la S y la O.

72
00:07:00,500 --> 00:07:03,879
¿Qué posibilidades me quedan? Únicamente una. Me queda una única letra.

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00:07:04,339 --> 00:07:09,680
Tendré una única rama y como nodo, esa única letra que me queda, que sería la A.

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00:07:10,279 --> 00:07:12,360
¿Cuál es la palabra que estaría formando?

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00:07:12,360 --> 00:07:31,639
La palabra formada por las letras en este orden C, S o A que tengo aquí. Xoa. Esta palabra no tendría sentido. Igual que he formado estos dos, de esta manera, teniendo cuidado y de una forma regular, puedo formar de una forma exhaustiva y completa todas las palabras posibles.

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00:07:31,639 --> 00:07:59,759
Y aquí tengo saco, saoc, scao, scoa, etcétera, etcétera. ¿Cuántas posibilidades he tenido? ¿Cuántas posibilidades tengo? ¿Cuántas palabras he podido formar? Pues fijaos, el resultado de multiplicar cuatro ramas que tengo en la primera lección por tres ramas que tengo para la segunda, por dos ramas que tengo para la tercera, por una, porque no me queda más que una posibilidad, como cuarta y última opción.

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00:08:00,579 --> 00:08:04,319
4 por 3 por 2, 24, las 24 palabras que tengo aquí.

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00:08:07,180 --> 00:08:12,860
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

79
00:08:13,600 --> 00:08:17,699
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

80
00:08:18,519 --> 00:08:23,279
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

81
00:08:23,819 --> 00:08:25,220
Un saludo y hasta pronto.