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00:00:12,400 --> 00:00:17,440
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,440 --> 00:00:21,899
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,899 --> 00:00:25,839
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones.

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00:00:31,160 --> 00:00:36,219
En la videoclase de hoy estudiaremos las ecuaciones polinómicas de grado superior a 2.

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00:00:47,179 --> 00:00:52,000
En esta videoclase vamos a estudiar las ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, que son

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00:00:52,000 --> 00:00:57,840
aquellas que se van a poder expresar en la forma polinomio igual a cero, la igualación a cero de

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00:00:57,840 --> 00:01:05,200
un polinomio, cuyo grado sea superior a 2. En este caso no va a ser posible encontrar expresiones

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00:01:05,200 --> 00:01:11,519
tan sencillas como la que veíamos para la fórmula de la ecuación del segundo grado. Para grado 2 y

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00:01:11,519 --> 00:01:16,799
grado 3 existen ciertas expresiones involucrando números complejos para ciertas condiciones, pero

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00:01:16,799 --> 00:01:23,180
no hay una fórmula cerrada universal dentro del conjunto de los coeficientes y con elementos

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00:01:23,180 --> 00:01:26,840
dentro del conjunto de los números reales de una forma tan sencilla como para el caso

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00:01:26,840 --> 00:01:31,260
de las ecuaciones de segundo grado. Y cuando nos encontremos en uno de esos casos, un polinomio

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00:01:31,260 --> 00:01:36,159
de grado mayor que 2 igualado a 0, tendremos que recurrir a una alternativa. Y en este

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00:01:36,159 --> 00:01:41,700
caso lo que vamos a hacer es factorizar el polinomio de tal forma que el conjunto de

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00:01:41,700 --> 00:01:47,540
las soluciones de la ecuación polinomio igual a cero sea el conjunto de raíces del polinomio.

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00:01:48,500 --> 00:01:55,019
Puesto que un polinomio de grado n o polinomio con coeficientes reales de grado n va a tener a

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00:01:55,019 --> 00:02:03,620
lo sumo n raíces reales, una ecuación polinómica de grado n va a tener a lo sumo n soluciones reales

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00:02:03,620 --> 00:02:09,259
y dependiendo de si se alcanza o no el número máximo de raíces alcanzaremos o no el número

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00:02:09,259 --> 00:02:14,719
máximo de soluciones. Pero algo importante que ya podemos ver es que con carácter general una

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00:02:14,719 --> 00:02:20,960
ecuación polinómica de grado n podrá tener a lo sumo n soluciones, no infinitas, a lo sumo n.

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00:02:22,580 --> 00:02:28,620
Así pues nos vamos a transformar el problema de tengo que resolver esta ecuación polinómica a

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00:02:28,620 --> 00:02:34,020
tengo que factorizar este polinomio y entonces lo que vamos a hacer es recuperar todas las

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00:02:34,020 --> 00:02:38,960
técnicas que veíamos en la unidad anterior a la hora de hablar de polinomios y de su factorización.

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00:02:39,259 --> 00:02:56,360
Hay que hacer mención especial a dos situaciones concretas. Una de ellas es qué es lo que ocurre si me encuentro con una ecuación que yo identifico como bicuadrática. Algo como esto. Un coeficiente por x a la cuarta más otro coeficiente por x al cuadrado más un término independiente igual a cero.

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00:02:56,360 --> 00:03:06,979
Esto es una ecuación polinómica de grado 4, puesto que aquí estoy viendo x elevado a la cuarta, pero es muy particular. Tiene únicamente término con x a la cuarta, con x al cuadrado y término independiente.

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00:03:07,479 --> 00:03:15,280
Pues bien, una ecuación bicuadrática se va a poder transformar siempre en una ecuación cuadrática media entre el cambio de variable x al cuadrado igual a t.

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00:03:15,919 --> 00:03:26,340
Como vemos, x al cuadrado lo puedo expresar como x al cuadrado al cuadrado. Si sustituyo x al cuadrado por t, aquí lo que tengo es a por t al cuadrado más b por t más t igual a cero.

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00:03:26,360 --> 00:03:32,180
una ecuación de segundo grado en esa nueva variable t que equivale a x al cuadrado.

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00:03:32,520 --> 00:03:39,139
Así pues lo que vamos a hacer es transformar este problema con una ecuación de cuarto grado a este otro con una ecuación de segundo grado

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00:03:39,139 --> 00:03:41,560
utilizando la fórmula que veíamos en la videoclase anterior.

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00:03:42,120 --> 00:03:48,180
Encontraremos dos soluciones, hasta dos soluciones reales t1 y t2 dependiendo de cuál sea el signo del discriminante

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00:03:48,180 --> 00:03:52,000
y lo que tendremos que hacer es no quedarnos con estas soluciones para t

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00:03:52,000 --> 00:03:57,879
sino deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones para x, que es la variable que teníamos inicialmente.

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00:03:58,400 --> 00:04:05,939
Puesto que t es igual a x al cuadrado, lo que vamos a hacer es calcular x como más menos la raíz cuadrada de t, cada una de estas t.

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00:04:06,219 --> 00:04:17,720
Y entonces tendremos más raíz cuadrada de t1 menos raíz cuadrada de t1 más raíz cuadrada de t2 menos raíz cuadrada de t2 como soluciones en x para la ecuación en x.

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00:04:17,720 --> 00:04:39,120
Fijaos que aquí espero encontrar hasta cuatro raíces reales, hasta cuatro soluciones reales, a partir de estas hasta dos soluciones reales en esta ecuación de grado t, perdón, en t de grado 2, dependiendo de cuál sea el signo de t1 y de t2, si son cero, no son cero, si son positivos o son negativos, me puedo encontrar con distintas posibilidades.

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00:04:39,120 --> 00:04:50,459
Pero el caso más general sería este. Una vez que he resuelto la ecuación en t con mis dos soluciones, buscaré las cuatro soluciones en x haciendo más o menos la red cuadrada de cada una de estas.

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00:04:51,420 --> 00:05:00,639
Otro caso especial es el de una ecuación bicúbica. En este caso me encuentro con a por x a la sexta más b por x al cubo más t igual a cero.

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00:05:01,060 --> 00:05:06,459
Veo que solo tengo un término en x a la sexta, un término en x al cubo y un término independiente.

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00:05:07,240 --> 00:05:12,079
En este caso, lo que puedo hacer es un cambio de variable y hacer que x al cubo sea igual a t.

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00:05:12,620 --> 00:05:16,319
Puesto que en este caso x a la sexta lo puedo expresar como x al cubo al cuadrado,

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00:05:16,779 --> 00:05:21,399
y entonces con el cambio de variable me queda a por t x al cuadrado más b por t más t igual a cero.

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00:05:21,699 --> 00:05:27,480
Puedo convertir esta ecuación polinómica de grado 6 en esta ecuación polinómica de grado 2.

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00:05:27,480 --> 00:05:33,379
Una vez que tenga las dos soluciones, hasta dos soluciones para t, lo que tengo que hacer es deshacer el cambio de variable.

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00:05:33,699 --> 00:05:42,259
En este caso, dentro de los números reales, la raíz cúbica de t es una única, con lo cual espero encontrar hasta dos soluciones reales,

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00:05:42,339 --> 00:05:45,500
que sería la raíz cúbica de t1, la raíz cúbica de t2.

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00:05:46,279 --> 00:05:49,740
Con esto que hemos visto, ya se pueden resolver las siguientes ecuaciones.

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00:05:49,740 --> 00:05:58,420
En este caso podemos comprobar cómo en este primer caso 3x al cuadrado por 2x al cubo espero que sea una ecuación de grado quinto.

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00:05:59,300 --> 00:06:05,819
Aquí me encuentro 2x al cubo por x, aquí me encuentro x por x al cubo, espero que esto sea una ecuación de grado cuarto.

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00:06:06,519 --> 00:06:13,060
Y aquí x a la cuarta más 15x al cuadrado igual a 16 es una ecuación bicuadrática de las que he comentado hace un momento.

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00:06:13,060 --> 00:06:18,180
podemos buscar resolverla factorizando o bien podemos transformarla en una ecuación de segundo grado

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00:06:18,180 --> 00:06:20,160
y a partir de ahí resolver las ecuaciones.

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00:06:20,699 --> 00:06:25,639
Estas ecuaciones las resolveremos en clase, probablemente las resolveremos en alguna videoclase a posteriori.

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00:06:25,639 --> 00:06:33,939
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:34,680 --> 00:06:38,759
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:39,579 --> 00:06:44,339
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:44,339 --> 00:06:46,300
Un saludo y hasta pronto.