0 00:00:00,000 --> 00:00:15,000 Vamos a estudiar dos aplicaciones de los porcentajes en la vida real. 1 00:00:15,000 --> 00:00:17,000 El interés simple. 2 00:00:17,000 --> 00:00:25,000 El interés es el precio que se paga o se cobra por usar o ceder un capital. 3 00:00:25,000 --> 00:00:29,000 Una misma persona puede pagar un interés por usar un capital cuando, por ejemplo, pide 4 00:00:29,000 --> 00:00:34,000 un préstamo a un banco o puede cobrar unos intereses del banco cuando deposita sus ahorros 5 00:00:34,000 --> 00:00:37,000 en la entidad. 6 00:00:37,000 --> 00:00:41,000 Comencemos estudiando el interés simple. 7 00:00:41,000 --> 00:00:47,000 En el interés simple es importante que recalquéis que los intereses generados no se acumulan 8 00:00:47,000 --> 00:00:50,000 al capital final. 9 00:00:50,000 --> 00:00:51,000 Vamos a ver el siguiente ejemplo. 10 00:00:51,000 --> 00:01:00,000 Un banco ofrece un interés anual del 2,75% para depósitos superiores a 12.000 euros. 11 00:01:00,000 --> 00:01:03,000 ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de un año? 12 00:01:03,000 --> 00:01:08,000 Vamos a ver también y responder a la pregunta ¿cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo 13 00:01:08,000 --> 00:01:11,000 de cinco años? 14 00:01:11,000 --> 00:01:17,000 Bien, comenzamos escribiendo los datos del enunciado. 15 00:01:17,000 --> 00:01:26,000 Es importante recalcar que el porcentaje, es decir, el interés anual, normalmente se 16 00:01:26,000 --> 00:01:32,000 denomina rédito, lo cual lo vamos a simbolizar con la letra R minúscula, es decir, el rédito 17 00:01:32,000 --> 00:01:37,000 son 2,75% anual. 18 00:01:37,000 --> 00:01:50,000 El capital inicial, que vamos a llamar C0, dicen que es de 12.000 euros y el periodo, 19 00:01:50,000 --> 00:01:56,000 para responder a la primera pregunta, es de un año. 20 00:01:56,000 --> 00:01:58,000 Esos serían los datos. 21 00:01:58,000 --> 00:02:03,000 Bueno, ¿cómo podemos calcular los intereses generados durante este primer año? 22 00:02:03,000 --> 00:02:11,000 Bueno, pues los intereses, dado que el rédito es del 2,75%, tendríamos que calcular el 23 00:02:11,000 --> 00:02:19,000 2,75% de 12.000 euros. 24 00:02:19,000 --> 00:02:26,000 Recordar que esto se calcula cambiando la palabra de por un por, es decir, tenemos que multiplicar 25 00:02:26,000 --> 00:02:32,000 2,75 por 12.000 y luego dividirlo entre 100. 26 00:02:32,000 --> 00:02:45,000 Si hacemos la operación, nos quedan 330 euros, es decir, los intereses generados después 27 00:02:45,000 --> 00:02:53,000 de un año tienen un valor de 330 euros. 28 00:02:53,000 --> 00:03:03,000 Por lo tanto, para responder a la pregunta, ¿cuál es el capital generado o cuánto tendremos 29 00:03:03,000 --> 00:03:11,000 al final de un año?, diremos que el capital final es igual al capital inicial que teníamos 30 00:03:11,000 --> 00:03:25,000 más los intereses, es decir, el capital final serán 12.000 euros más 330 euros, 31 00:03:25,000 --> 00:03:37,000 que nos queda en la suma de 12.330 euros. 32 00:03:37,000 --> 00:03:44,000 Si queremos responder a la pregunta de cuánto dinero tendremos en la cuenta al finalizar 33 00:03:44,000 --> 00:03:54,000 cinco años, ahora el tiempo serán cinco años. 34 00:03:54,000 --> 00:04:02,000 Entonces, lo importante del interés simple es que los intereses siempre se calculan a 35 00:04:02,000 --> 00:04:08,000 partir del capital inicial, es decir, para calcular los intereses al cabo de cinco años 36 00:04:08,000 --> 00:04:18,000 tendremos que multiplicar los intereses generados en un año, que eran 330 euros, por 5. 37 00:04:18,000 --> 00:04:35,000 Entonces, nos quedará 1.650 euros y podremos concluir que el capital final al cabo de los 38 00:04:35,000 --> 00:04:45,000 cinco años serán los 12.000 euros que teníamos más 1.650 euros que hemos generado en cinco 39 00:04:45,000 --> 00:04:58,000 años, lo cual nos queda el resultado de 13.650 euros. 40 00:04:58,000 --> 00:05:04,000 Expresamos entonces las fórmulas del interés simple, el capital final es igual al capital 41 00:05:04,000 --> 00:05:12,000 inicial más los intereses, los intereses se calcula multiplicando el rédito por el 42 00:05:12,000 --> 00:05:18,000 capital inicial por el tiempo dividido entre 100. 43 00:05:18,000 --> 00:05:25,000 Vamos a estudiar ahora qué significa un interés compuesto, en el interés compuesto el interés 44 00:05:25,000 --> 00:05:33,000 acumulado durante el periodo de capitalización se suma al dinero depositado de forma sucesiva. 45 00:05:33,000 --> 00:05:43,000 Podemos ver este primer ejemplo en esta tabla, donde estamos comparando un interés simple 46 00:05:43,000 --> 00:05:50,000 del 5% con un capital inicial de 10.000 euros, vemos que el primer año calculamos el 5% 47 00:05:50,000 --> 00:05:58,000 de 10.000 y nos da unos intereses de 500 euros, así que el capital final será la 48 00:05:58,000 --> 00:06:03,000 suma de 10.000 más 500 que da 10.500. 49 00:06:03,000 --> 00:06:10,000 Fijaros que para calcular los intereses del segundo año volvemos a calcular el 5% de 50 00:06:10,000 --> 00:06:18,000 la cantidad inicial, es decir, de 10.000, eso nos da otros 500 euros que sumados a 10.500 51 00:06:18,000 --> 00:06:24,000 nos da el total de 11.000 y así sucesivamente hasta el quinto año. 52 00:06:24,000 --> 00:06:34,000 Sin embargo en el interés compuesto el 5% anual se calcula sobre el capital acumulado, 53 00:06:34,000 --> 00:06:40,000 es decir, el primer año es el 5% de 10.000 y nos da unos intereses de 500, lo que nos 54 00:06:40,000 --> 00:06:51,000 suma 10.500 euros, en el segundo año calculamos el 5% pero en lugar de 10.000 es el 5% de 55 00:06:51,000 --> 00:07:02,000 10.500, eso nos da unos intereses de 525, que sumado a 10.500 nos queda 11.025. 56 00:07:02,000 --> 00:07:14,000 El tercer año calculamos el 5% de 11.025, lo cual nos da los intereses de 551,25 que 57 00:07:14,000 --> 00:07:23,000 lo sumamos a 11.025 y nos queda el capital final de 11.576,25. 58 00:07:23,000 --> 00:07:38,000 Ahora calculamos el 5% de 11.576,25 y nos queda 578,81 que sumado a 11.576,25 nos queda 59 00:07:38,000 --> 00:07:43,000 el total de 12.155,06. 60 00:07:43,000 --> 00:07:48,000 Veamos el mismo ejemplo que habíamos visto anteriormente en el interés simple, es decir, 61 00:07:48,000 --> 00:07:56,000 el del banco que ofrece a un interés anual el 2,75% para depósitos superiores a 12.000 62 00:07:56,000 --> 00:07:57,000 euros. 63 00:07:57,000 --> 00:08:04,000 La pregunta que nos vamos a plantear es ¿cuánto dinero tendríamos a interés compuesto al 64 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 cabo de 5 años? 65 00:08:07,000 --> 00:08:15,000 Este problema se trata de un problema de porcentajes encadenados. 66 00:08:15,000 --> 00:08:23,000 Como vimos, en los porcentajes encadenados vamos a empezar escribiendo los datos. 67 00:08:23,000 --> 00:08:31,000 En el siguiente diagrama podemos observar que tenemos nuestros 12.000 euros y hemos 68 00:08:31,000 --> 00:08:39,000 dibujado 6 rectángulos correspondientes a los diferentes procesos. 69 00:08:39,000 --> 00:08:47,000 Hemos puesto aquí debajo el aumento porcentual que es del 2,75% y aquí arriba vamos calculando 70 00:08:47,000 --> 00:08:48,000 los índices de variación. 71 00:08:48,000 --> 00:08:55,000 Recordar que en un aumento porcentual el índice de variación se calcula como 1 más el tanto 72 00:08:55,000 --> 00:08:57,000 por ciento dividido entre 100. 73 00:08:58,000 --> 00:09:03,000 En este caso la suma nos queda 1,0275. 74 00:09:03,000 --> 00:09:10,000 En este rectángulo obtendríamos el capital final obtenido después del primer año, lo 75 00:09:10,000 --> 00:09:12,000 cual no nos interesa calcular ahora. 76 00:09:12,000 --> 00:09:22,000 En el segundo año, sobre este nuevo capital acumulado, aumentamos un 2,75%. 77 00:09:22,000 --> 00:09:25,000 Aquí arriba hemos colocado el índice de variación. 78 00:09:25,000 --> 00:09:30,000 Eso nos daría el capital en el segundo año. 79 00:09:30,000 --> 00:09:37,000 Así sucesivamente hasta llegar al quinto año. 80 00:09:37,000 --> 00:09:45,000 Fijaros que tenemos 1, 2, 3, 4 y 5 aumentos porcentuales sobre los capitales acumulados. 81 00:09:45,000 --> 00:09:59,000 Bien, podemos escribir nuestra fórmula de que el capital final va a ser igual al producto 82 00:09:59,000 --> 00:10:05,000 del índice de variación total por el capital inicial. 83 00:10:05,000 --> 00:10:09,000 El índice de variación total recordamos que se obtiene multiplicando los índices 84 00:10:09,000 --> 00:10:35,000 de variación intermedios, es decir, 1,0275 por 1,0275 por 1,0275 por 1,0275 por 1,0275. 85 00:10:35,000 --> 00:10:51,000 Esto lo podemos escribir en forma de potencia como 1,0275 elevado a la quinta. 86 00:10:51,000 --> 00:10:58,000 Así si sustituimos en la fórmula que tenemos aquí para calcular el capital final, podremos 87 00:10:58,000 --> 00:11:14,000 expresar que el capital final es igual a 1,0275 elevado a la 5 por el capital inicial que 88 00:11:14,000 --> 00:11:21,000 en este caso eran 12.000 euros. 89 00:11:21,000 --> 00:11:27,000 Para hacer esta operación, que es una operación combinada, primero tenemos que realizar la 90 00:11:27,000 --> 00:11:29,000 operación de la potencia. 91 00:11:29,000 --> 00:11:51,000 Con ayuda de la calculadora obtenemos 1,1452734, lo cual lo multiplicamos por 12.000 euros 92 00:11:51,000 --> 00:11:59,000 y obtenemos nuestro capital final, que es aproximadamente, redondeando a las centésimas 93 00:11:59,000 --> 00:12:11,000 para tener los céntimos de euro, 13.743,28 euros. 94 00:12:11,000 --> 00:12:32,000 Si os fijáis, podemos deducir la siguiente fórmula. 95 00:12:32,000 --> 00:12:37,000 El capital final siempre se obtiene con el producto del capital inicial por el índice 96 00:12:37,000 --> 00:12:43,000 de variación del aumento, es decir, en este caso, 1 más el rédito entre 100 elevado 97 00:12:43,000 --> 00:12:46,000 a n, donde n es el número de años y r es el rédito. 98 00:12:46,000 --> 00:12:53,000 En nuestro problema, el rédito era de 2,75%, por lo tanto, hemos calculado 1 más 2,75 99 00:12:53,000 --> 00:13:00,000 entre 100, lo hemos elevado al número de años, que es el 5, y lo hemos multiplicado 100 00:13:00,000 --> 00:13:04,000 por el capital inicial. 101 00:13:04,000 --> 00:13:17,000 Si comparamos el resultado que hemos obtenido con lo que tuvimos a interés simple, vemos 102 00:13:17,000 --> 00:13:28,000 que a interés simple habíamos obtenido que nuestro capital final era de 13.650 euros, 103 00:13:28,000 --> 00:13:42,000 por lo tanto, hemos ganado la diferencia de 13.743,28 euros menos 13.650, lo cual nos 104 00:13:42,000 --> 00:13:50,000 da aproximadamente 93,28 euros. 105 00:13:50,000 --> 00:14:04,000 Conclusión, se gana más dinero en un depósito a interés compuesto que a interés simple, 106 00:14:04,000 --> 00:14:09,000 por eso la mayoría de los bancos suelen funcionar con intereses compuestos.