1
00:00:02,540 --> 00:00:16,079
Bueno, vamos a calcular esta integral y vamos a suponer que nos piden que calculemos la integral definida entre 1 y 2.

2
00:00:16,239 --> 00:00:19,539
Luego la vamos a interpretar geométricamente a ver qué significado tiene.

3
00:00:19,920 --> 00:00:23,260
Bien, para ello lo que tenemos que hacer es un cambio de variable.

4
00:00:23,519 --> 00:00:27,699
Tiene toda la pinta del mundo que el cambio de variable que tenemos que hacer, ¿cuál es?

5
00:00:27,699 --> 00:00:44,619
Pues efectivamente, e elevado a x, e elevado a x igual a t. Si hacemos ese cambio de variable, como siempre hay que calcular los diferenciales, el diferencial de x, hay que calcular también en este caso toda la función,

6
00:00:44,619 --> 00:00:53,859
traducirla antes y sobre todo después hay que traducir los límites si la x vale 1 entonces

7
00:00:53,859 --> 00:01:05,859
la te va a valer y elevado a 1 s y si la x vale 2 pues la te valdrá elevado a 2 exacto elevados

8
00:01:05,859 --> 00:01:36,480
Entonces, tendremos que calcular lo siguiente, el límite entre, perdón, la integral entre e y e cuadrado, estos son los nuevos límites de integración que hemos obtenido, entre e y e cuadrado, después traducimos toda la función, arriba que tengo, pues justo tengo el diferencial de t, fijaos que esta parte es el diferencial de t.

9
00:01:37,500 --> 00:02:00,290
Es decir, arriba tendría diferencial de t, es esta parte, ¿veis? Y abajo tengo que traducir toda esa función en función de t. Esta primera es t cuadrado elevado a 2x, es t cuadrado, t por t, menos t menos 2.

10
00:02:00,290 --> 00:02:24,110
Y ahora esta integral como se resuelve pues hay que hacer fracciones simples para ello lo que tenemos que hacer es buscar las raíces de t que en este caso pues vamos a ver cuáles son pues si no me equivoco un menos uno al cuadrado menos menos uno menos dos es cero.

11
00:02:24,110 --> 00:02:41,819
así que el menos 1 es raíz y creo que también el 2, 2 al cuadrado menos 2 menos 2, 0, vale, es decir que esta función va a descomponer como t más 1 y t menos 2, esas son las raíces.

12
00:02:41,819 --> 00:03:03,500
Entonces, lo que hay que hacer aquí es calcular a y b, para ello quitamos denominadores y sustituimos valores de t que hagan esto sencillo. Por ejemplo, para la t igual a 2, esto se me va al 0 y me queda que la b va a valer, perdón, aquí esto es un más 1.

13
00:03:03,500 --> 00:03:10,409
entonces aquí 2 más 1, 3, es decir, p igual a un tercio

14
00:03:10,409 --> 00:03:18,909
y si la t la hacemos menos 1, la otra raíz, esto se hace 0

15
00:03:18,909 --> 00:03:23,969
y aquí tendré a por menos 3, es decir, menos 3a igual a 1

16
00:03:23,969 --> 00:03:27,229
esto es a igual a menos un tercio

17
00:03:27,229 --> 00:03:33,590
es decir, que aquí puedo sacar factor común al un tercio de la integral

18
00:03:33,590 --> 00:03:52,830
Y ahora en un tercio esto lo he sacado y tenemos pues a valía, pues ahora vale menos 1 por un tercio menos un tercio por t más 1 entre e y e cuadrado.

19
00:03:54,710 --> 00:04:01,789
Más la integral de b partido por t menos 2 que era un tercio, es decir, en un tercio lo saco.

20
00:04:01,789 --> 00:04:15,319
Y ahora ya esto sale automáticamente, sin problemas.

21
00:04:15,819 --> 00:04:25,480
Vamos a sustituir un tercio de factor común de menos 1 que multiplica el logaritmo de t más 1.

22
00:04:27,730 --> 00:04:38,899
Y ahora hay que sustituir entre e y e cuadrado más logaritmo neperiano de t menos 2.

23
00:04:38,899 --> 00:04:43,339
Y hay que sustituirlo también, esto entre e y e cuadrado.

24
00:04:43,980 --> 00:04:55,240
Se hace la cuenta y listo. Va a quedar menos un tercio de menos logaritmo neperiano de e cuadrado más uno.

25
00:04:55,560 --> 00:05:14,879
Cuidado con los signos. Menos logaritmo neperiano de e más uno más logaritmo neperiano de e cuadrado menos dos menos logaritmo neperiano de e menos dos.

26
00:05:14,879 --> 00:05:19,939
y bueno pues habría que hacer redondear esta cuenta y se acabó

27
00:05:19,939 --> 00:05:26,040
bien entonces en este caso la interpretación geométrica sería más o menos la siguiente

28
00:05:26,040 --> 00:05:29,839
resulta que si nosotros dibujamos lo podemos hacer con GeoGebra

29
00:05:29,839 --> 00:05:33,939
la función elevado esta función que tenemos aquí

30
00:05:33,939 --> 00:05:37,620
pues resulta que es la siguiente hay una asíntota vertical aquí

31
00:05:37,620 --> 00:05:41,060
vamos a ver ahora cuál sería este valor

32
00:05:41,060 --> 00:05:44,980
y bueno, pues más o menos la cosa es tal que así.

33
00:05:46,860 --> 00:05:48,740
Tiene ahí una asíntota vertical.

34
00:05:51,550 --> 00:05:53,250
Entonces, ¿cuál sería ese valor?

35
00:05:53,449 --> 00:05:54,850
¿Dónde tenemos asíntota vertical?

36
00:05:54,990 --> 00:05:56,850
Bueno, pues donde este denominador se anula.

37
00:05:57,290 --> 00:05:59,550
Si yo quiero saber cuándo se anula eso,

38
00:06:03,060 --> 00:06:06,100
pues lo que haría sería hacer un cambio de variable

39
00:06:06,100 --> 00:06:08,399
y este es el mismo cambio de variable que yo he hecho.

40
00:06:08,399 --> 00:06:10,720
Es decir, las raíces ya las tengo.

41
00:06:10,720 --> 00:06:28,819
Las raíces son t igual a menos 1 y t igual a 2. Pero como esto es elevado a x, pues ¿qué significa? Que yo para despejar la x tengo que calcular logaritmo neperiano de menos 1, que no existe, y el otro valor sería logaritmo neperiano de 2.

42
00:06:28,819 --> 00:06:35,920
Así que para x igual o logaritmo neperiano de 2, el denominador se me anula, es decir, aquí voy a tener una asíndota vertical.

43
00:06:36,879 --> 00:06:52,819
Y bueno, pues logaritmo neperiano de 2, como la e es 2,7 y pico, es decir, logaritmo de 2 es más pequeño que e, así que, o sea, el 2 es más pequeño que 2,7,

44
00:06:52,819 --> 00:06:58,060
quiere decir que el 1 va a estar por aquí y que el 2, pues imaginémonos que está por aquí.

45
00:06:58,759 --> 00:07:00,740
Entonces, bueno, esto en la escala está bastante mal.

46
00:07:02,100 --> 00:07:12,639
Así que, en fin, vamos a poner, para que la escala esté un poco mejor, el 1 que esté aproximadamente ahí.

47
00:07:13,240 --> 00:07:14,879
Y entonces, ¿eso qué significa?

48
00:07:15,420 --> 00:07:19,180
Pues significa lo siguiente, que yo el área que estoy calculando es esta de aquí.