1
00:00:00,180 --> 00:00:03,060
Vamos a ver unos ejercicios de matrices y determinantes.

2
00:00:04,139 --> 00:00:08,900
El primer ejercicio nos dice estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro.

3
00:00:10,119 --> 00:00:20,920
Lo primero que vamos a hacer es buscar un menor de orden 2, es decir, que es una matriz 2x2, que sea distinto de 0, cuyo determinante tiene que ser distinto de 0.

4
00:00:21,300 --> 00:00:27,820
Por ejemplo, vamos a elegir el menos 1, 2, 0, 2, que lo tenemos en la segunda.

5
00:00:27,820 --> 00:00:34,380
Y tercera columna y primera y segunda fila, menos uno, dos, cero.

6
00:00:34,719 --> 00:00:45,340
Si hacemos este determinante nos sale menos uno por dos, menos dos, menos cero por dos, cero, es decir, menos dos, es igual a cero.

7
00:00:47,039 --> 00:00:57,460
Eso lo que significa es que el rango de A de la matriz es mayor o igual que dos para todo el valor de A, pues el parámetro A no interfiere.

8
00:00:57,820 --> 00:01:03,060
Tenemos que tener en cuenta que podríamos haber elegido cualquier menor de orden 2

9
00:01:03,060 --> 00:01:06,719
y que para elegirlo no tienen por qué estar juntos, una fila contra la otra.

10
00:01:07,200 --> 00:01:15,099
Podríamos haber elegido, por ejemplo, el menor formado por el 2 menos 1, que está en la segunda columna,

11
00:01:15,480 --> 00:01:18,120
y el 0 menos 3, que está en la cuarta columna.

12
00:01:18,700 --> 00:01:23,719
Eso sí, tiene que ser que los cuatro números estén en dos filas y dos columnas.

13
00:01:23,719 --> 00:01:35,030
Ahora que ya hemos encontrado un menor de orden 2 vamos a buscar menores de orden 3 y vamos a hacerlo ampliando las filas y columnas del menor elegido anteriormente.

14
00:01:35,609 --> 00:01:47,849
Es decir, tenemos, por ejemplo, la columna del menos 1, 2, 0, 2, ampliamos para tener las dos columnas y elegimos una columna más.

15
00:01:47,849 --> 00:01:49,650
En este caso, cogemos la primera columna.

16
00:01:50,170 --> 00:01:56,510
O, la otra opción es, como teníamos la segunda y la tercera columna, coger la segunda y la tercera y coger también la cuarta columna.

17
00:01:57,730 --> 00:02:00,010
Veamos el determinante de arriba.

18
00:02:01,409 --> 00:02:06,109
Si hacemos el determinante, tenemos que 1 por 2 por a menos 1 es 2 por a menos 1.

19
00:02:06,109 --> 00:02:24,509
Haciendo Sarrus, luego ponemos menos 2 más 0, pasamos al negativo, menos 0, menos 2 por menos 1 por 1 que es más 2, menos 1 por a menos 1 por a menos 1.

20
00:02:24,509 --> 00:02:34,449
desarrollamos esto, nos sale que es 2 por a, menos 2, menos 2, más 2, más a al cuadrado, menos 2a, más 1,

21
00:02:34,930 --> 00:02:36,330
es decir, a al cuadrado, menos 1.

22
00:02:37,590 --> 00:02:46,389
Igualamos a 0, para ver cuándo se anula, y obtenemos que a se anula cuando la a es igual a más o menos 1.

23
00:02:48,219 --> 00:02:51,539
Vamos a ver qué pasa cuando hacemos por otro determinante.

24
00:02:51,539 --> 00:02:53,620
resolvemos también por sarros

25
00:02:53,620 --> 00:02:55,919
haciendo el determinante

26
00:02:55,919 --> 00:02:56,960
la primera diagonal

27
00:02:56,960 --> 00:02:59,400
y los dos triangulitos

28
00:02:59,400 --> 00:03:02,180
menos la segunda diagonal

29
00:03:02,180 --> 00:03:03,199
con los triangulitos

30
00:03:03,199 --> 00:03:05,240
nos sale 6 menos 4

31
00:03:05,240 --> 00:03:07,360
6 más 4a menos 2 al cuadrado

32
00:03:07,360 --> 00:03:08,500
menos 4 menos 2a

33
00:03:08,500 --> 00:03:10,060
más 4 menos 2a

34
00:03:10,060 --> 00:03:14,080
que he jugado apropando

35
00:03:14,080 --> 00:03:15,280
nos sale menos 2 al cuadrado

36
00:03:15,280 --> 00:03:16,659
más 4a más 6

37
00:03:16,659 --> 00:03:18,360
que si lo igualamos a 0

38
00:03:18,360 --> 00:03:21,580
obtenemos que las soluciones son

39
00:03:21,580 --> 00:03:22,939
a igual a menos 1

40
00:03:22,939 --> 00:03:24,560
o a igual a 3

41
00:03:24,560 --> 00:03:26,460
nos fijamos en que momento

42
00:03:26,460 --> 00:03:28,580
para que valores de a coincide

43
00:03:28,580 --> 00:03:30,939
en este caso solamente coincide

44
00:03:30,939 --> 00:03:32,379
para a igual a menos 1

45
00:03:32,379 --> 00:03:35,099
eso quiere decir que para cualquier

46
00:03:35,099 --> 00:03:37,000
valor que sea distinto

47
00:03:37,000 --> 00:03:39,099
del menos 1, el rango va a ser

48
00:03:39,099 --> 00:03:41,180
3, porque por ejemplo

49
00:03:41,180 --> 00:03:43,280
si tenemos a igual a 3

50
00:03:43,280 --> 00:03:44,800
esto se nos hace 0

51
00:03:44,800 --> 00:03:46,139
pero en este de arriba

52
00:03:46,139 --> 00:03:48,479
es distinto a 0

53
00:03:48,479 --> 00:03:50,819
por tanto el rango será 3

54
00:03:50,819 --> 00:03:52,419
pasa lo mismo con el más 1

55
00:03:52,900 --> 00:03:56,439
Aquí nos sale cero, pero en el de abajo nos sale distinto de cero.

56
00:03:57,819 --> 00:04:04,939
Y como en los dos nos sale que a es igual a menos uno, pues el rango de a es igual a dos si a es igual a menos uno.

57
00:04:05,419 --> 00:04:11,919
Porque ya hemos probado que a eso es un determinante menor de orden dos que es distinto de cero.

58
00:04:13,080 --> 00:04:18,379
Pues esto sería estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro a.

59
00:04:19,459 --> 00:04:20,959
Pasemos al siguiente ejercicio.

60
00:04:20,959 --> 00:04:25,110
El siguiente ejercicio es una ecuación matricial.

61
00:04:25,810 --> 00:04:28,389
Nos dan estos elementos y tenemos que ir resolviendo.

62
00:04:29,329 --> 00:04:35,110
Resolver una ecuación matricial significa encontrar los valores de la matriz X.

63
00:04:35,350 --> 00:04:38,870
Estamos hablando que una X es una matriz.

64
00:04:39,750 --> 00:04:41,370
En este caso, dos bordes.

65
00:04:42,769 --> 00:04:44,269
Pues tenemos que despejar la X.

66
00:04:44,410 --> 00:04:49,389
Para despejar la X, lo primero que vamos a hacer es calcular el cuadrado de la matriz que tenemos.

67
00:04:49,389 --> 00:05:04,350
Calculamos el cuadrado, es decir, 3 menos 2, 1 menos 1 por la misma matriz, que es igual a primera fila por primera columna, 3 por 3 más menos 2 por 1,

68
00:05:05,189 --> 00:05:10,029
Primera fila por la segunda columna, 3 por menos 2 más menos 2 por menos 1.

69
00:05:11,209 --> 00:05:17,110
Segunda fila por primera columna, 1 por 3 más menos 1 por 1.

70
00:05:18,129 --> 00:05:23,329
Y segunda fila por segunda columna, 1 por menos 2 más menos 1 por menos 1.

71
00:05:24,329 --> 00:05:31,589
Hacemos las cuentas y nos queda que 3, 1, menos 2, menos 1 al cuadrado es 7, menos 4, 2, menos 1.

72
00:05:31,589 --> 00:05:34,610
sustituimos en la ecuación

73
00:05:34,610 --> 00:05:36,730
y vamos a despejar la x

74
00:05:36,730 --> 00:05:37,949
y lo que tiene los términos

75
00:05:37,949 --> 00:05:39,250
como en una ecuación de primer grado

76
00:05:39,250 --> 00:05:40,889
los términos que tienen x a un lado

77
00:05:40,889 --> 00:05:42,029
lo que no tiene x a otro

78
00:05:42,029 --> 00:05:45,410
pasamos la matriz de 7 menos 4

79
00:05:45,410 --> 00:05:46,889
2 menos 1 al otro lado

80
00:05:46,889 --> 00:05:47,750
como estaba sumando

81
00:05:47,750 --> 00:05:49,129
pasa restando

82
00:05:49,129 --> 00:05:51,589
hacemos la cuenta

83
00:05:51,589 --> 00:05:52,649
una resta

84
00:05:52,649 --> 00:05:54,149
4 menos 7 son menos 3

85
00:05:54,149 --> 00:05:56,610
menos 1 menos menos 4 son más 3

86
00:05:56,610 --> 00:05:58,649
menos 3 menos 2 son menos 5

87
00:05:58,649 --> 00:06:01,310
y menos 2 menos menos 1 son menos 1

88
00:06:01,310 --> 00:06:10,490
y ahora tenemos que despejar la x teniendo en cuenta que no podemos dividir matrices sino que tenemos que multiplicar por la inversa

89
00:06:10,490 --> 00:06:14,449
y que hay que tener en cuenta que el producto de la matriz no es conmutativo.

90
00:06:14,449 --> 00:06:23,029
Es decir, que si nosotros tenemos a por x igual a b tenemos que multiplicar por a menos 1 por la izquierda

91
00:06:23,029 --> 00:06:28,709
y si tenemos x por a igual a b tenemos que multiplicar por a menos 1 por la derecha.

92
00:06:29,310 --> 00:06:36,949
Entonces, en este caso, vamos a calcular primero cuánto vale la inversa de la matriz que multiplica la x.

93
00:06:37,790 --> 00:06:45,050
Para ello, pues la fórmula es el adjunto de la matriz traspuesta, partido por su determinante.

94
00:06:46,829 --> 00:06:54,189
La traspuesta del adjunto de ellas es 0, menos 2, menos 1, menos 1, y el determinante nos sale menos 2.

95
00:06:54,189 --> 00:07:03,370
entonces midiéndolo sale 0 entre menos 2, 0, menos 2 entre menos 2, 1, menos 1 entre menos 2, 1 medio, igual

96
00:07:03,370 --> 00:07:11,930
luego por tanto x es igual a la inversa, recordamos como estábamos a la izquierda

97
00:07:11,930 --> 00:07:17,509
la matriz la tenemos a la izquierda, tenemos que ponerlo, la inversa la tenemos que poner a la izquierda de la matriz B

98
00:07:17,509 --> 00:07:23,930
y ahora una vez que ya tenemos eso, sustituimos la inversa por su valor y hacemos la multiplicación

99
00:07:24,189 --> 00:07:29,509
Y obtenemos que nos sale menos 5, menos 1, menos 4, menos 1.

100
00:07:29,829 --> 00:07:32,129
Entonces el valor de X es esta.

101
00:07:32,430 --> 00:07:40,850
El siguiente ejercicio es un ejercicio típico de Evang.

102
00:07:41,490 --> 00:07:43,250
Es de los más importantes.

103
00:07:43,730 --> 00:07:51,949
Nos dan una matriz y nos dicen que calculemos para qué valores reales A la matriz tiene inversa.

104
00:07:51,949 --> 00:07:59,269
y después nos pide también que lo calculemos si es posible para un valor determinado, en este caso para A igual a 2.

105
00:07:59,750 --> 00:08:04,930
Pero primero, para saber si tiene matriz inversa, tenemos que ver que su determinante sea distinto de 5.

106
00:08:07,300 --> 00:08:17,500
El determinante, aplicamos Sarrus y por Sarrus nos sale que es menos 2A más 0 menos 2 más A por A menos 2 menos 3 menos 0 igual a,

107
00:08:17,500 --> 00:08:25,579
Bueno, desarrollamos esto, menos 2a menos 2, más a al cuadrado menos 2a menos 3, es decir, al cuadrado menos 4a menos 5.

108
00:08:26,459 --> 00:08:33,200
Igualamos eso a 0 y obtenemos dos soluciones, a igual a 5 o a igual a menos 1.

109
00:08:33,879 --> 00:08:41,620
¿Qué significa eso? Pues que la matriz tiene inversa si a es distinto de 5 y si a es distinto de menos 1.

110
00:08:46,350 --> 00:08:49,269
Pues vamos ya, ya tenemos la primera parte. Vamos a la segunda.

111
00:08:49,269 --> 00:08:53,870
¿Qué pasa si A vale 2? Vamos a calcular con una inversa.

112
00:08:54,409 --> 00:08:59,389
Entonces, la matriz A, si A vale 2, sustituyendo, se nos convierte en esta matriz.

113
00:08:59,929 --> 00:09:05,190
Leyéndolo por filas, 1, 0, menos 1, 2, 2, 3, 0, 1, menos 2.

114
00:09:07,450 --> 00:09:13,049
La inversa, recordamos, es el adjunto de la traspuesta partido del determinante.

115
00:09:14,190 --> 00:09:15,309
Calculemos el determinante.

116
00:09:15,309 --> 00:09:21,970
Como ya habíamos obtenido que el determinante de la matriz A es al cuadrado menos 4A menos 5, sustituimos A por 2.

117
00:09:22,490 --> 00:09:26,110
2 al cuadrado menos 4 por 2, menos 5, es decir, menos 1.

118
00:09:28,000 --> 00:09:29,539
Calculamos la matriz adjunta.

119
00:09:29,960 --> 00:09:41,919
Para calcular la matriz adjunta recordamos, si es el primer elemento, lo que tenemos que hacer es el determinante del menor que nos queda al tachar la primera fila con la primera columna.

120
00:09:41,919 --> 00:09:49,419
En este caso, 2 por menos 2, es decir, menos 4, menos 3 por 1, menos 3, es decir, menos 4, menos 3, menos 7.

121
00:09:51,259 --> 00:09:56,100
Recordamos que para calcular el siguiente elemento hay que poner un negativo.

122
00:09:56,639 --> 00:10:01,980
Entonces, si reconocemos el 0, tachamos la primera fila a la segunda columna y nos queda 2 por menos 2, menos 4.

123
00:10:02,759 --> 00:10:10,279
El valor del determinante es menos 4, pero como es el segundo elemento, tenemos que ponerlo menos menos 4, es decir, más 4.

124
00:10:10,279 --> 00:10:18,059
Y así vamos procediendo con todo. Calculando los determinantes, están echando la fila y la columna correspondiente al número que queremos.

125
00:10:20,730 --> 00:10:27,809
Sustituimos en la fórmula y nos queda menos 7, 4, 2, menos la matriz adjunta y tenemos que hacer su traspuesta.

126
00:10:28,870 --> 00:10:31,789
Para hacer la traspuesta, pues es cambiar las filas por las columnas.

127
00:10:31,789 --> 00:10:49,149
Y al dividir entre el determinante que es menos 9, nos queda que la matriz inversa es 7 novenos menos 1 noveno, 2 novenos, menos 4 novenos, 2 novenos, 5 novenos, menos 2 novenos, 1 noveno, menos 2 novenos.

128
00:10:49,149 --> 00:11:02,960
Y ya está resuelto el ejercicio. Solamente tiene inversa si la A es distinto de menos 1 y menos 5, perdón, y 5 a la vez, y la inversa para la A igual a 2 es lo que tenemos.

129
00:11:03,159 --> 00:11:13,740
Otro ejercicio es que nos dan una matriz y nos piden calcular la potencia enésima de esa matriz.

130
00:11:15,340 --> 00:11:24,639
¿Qué vamos a hacer? Pues vamos a calcular cuánto es B al cuadrado, B al cubo, así sucesivamente hasta que encontremos un patrón o la matriz sin unidad.

131
00:11:24,639 --> 00:11:37,700
Vamos a ello, pues hacemos b al cuadrado, pues es la matriz b por la matriz b, que hacemos la cuenta y en este caso nos queda 4, 4, menos 4, 4, 4, menos 4, 4, 4, menos 4

132
00:11:37,700 --> 00:11:45,740
Simplemente al hacer la matriz cuadrada es muy difícil darse cuenta del patrón, entonces vamos a hacer b al cubo

133
00:11:45,740 --> 00:11:47,960
B al cubo es B al cuadrado por B.

134
00:11:49,059 --> 00:11:54,860
Multiplicamos y en este caso tenemos 8, 8 menos 8 en cada una de las filas.

135
00:11:55,659 --> 00:11:57,419
Ahora ya podemos empezar pensando.

136
00:11:58,120 --> 00:12:03,179
Entonces tenemos que se va produciendo que la primera, para B igual a 1 nos quedan 2,

137
00:12:03,179 --> 00:12:08,679
todos son 12, para B igual a 2 son, para N igual a 2 todos son 4,

138
00:12:09,179 --> 00:12:14,840
para N igual a 2 todos son 3, es lo mismo que poner 2 elevado a 1, 2 elevado a 2, 2 elevado a 3,

139
00:12:14,840 --> 00:12:18,600
por lo que nos hace pensar que puede ser 2 elevado a n.

140
00:12:20,299 --> 00:12:28,179
Entonces la matriz B elevado a n, pues la vamos a escribir como 2 elevado a n, 2 elevado a n, menos 2 elevado a n.

141
00:12:29,159 --> 00:12:32,379
Y así en cada una de las filas.

142
00:12:34,120 --> 00:12:37,220
¿Qué pasa si no vemos el patrón con B al cubo?

143
00:12:37,639 --> 00:12:41,659
Pues lo que vamos a hacer es seguir con B elevado a 4, elevado a 4, B elevado a 5,

144
00:12:41,840 --> 00:12:44,240
hasta que nosotros nos demos cuenta de cuál puede ser el patrón.

145
00:12:44,240 --> 00:12:54,190
En este caso, el ejercicio nos da dos matrices, la matriz A y la matriz B, y nos dice que el determinante de B es B-3.

146
00:12:55,009 --> 00:12:57,669
Nos va a calcular la matriz C, que está formada por letra.

147
00:12:58,970 --> 00:13:04,570
Lo que tenemos que conseguir es poner la matriz C en función de la matriz B, que es de la que nos dan los datos.

148
00:13:06,870 --> 00:13:12,029
Para ello, ponemos el determinante de C y vamos a aplicar las propiedades de los determinantes.

149
00:13:12,649 --> 00:13:16,909
Una de las propiedades nos dice que cuando en una fila o en una columna hay una suma o una resta,

150
00:13:17,389 --> 00:13:18,929
lo podemos separar en dos determinantes.

151
00:13:19,070 --> 00:13:22,629
En este caso tenemos en la primera columna una serie de restas,

152
00:13:22,629 --> 00:13:29,789
pues podemos separarlo en un determinante donde ponemos en la primera columna el primer sumando

153
00:13:29,789 --> 00:13:37,169
y las otras dos columnas como están, menos el segundo sumando y las dos columnas como están.

154
00:13:38,149 --> 00:13:45,590
Una vez que ya tenemos esto, nos fijamos en el segundo sumando y vemos que ya tenemos dos columnas que son iguales.

155
00:13:46,350 --> 00:13:52,190
B, E, H es igual a B, E, H, entonces esto sabemos que el determinante es 0.

156
00:13:52,590 --> 00:13:56,009
Por tanto, nos queda simplemente la primera, el primer determinante.

157
00:13:57,809 --> 00:14:04,850
Ahora vamos a aplicar una propiedad que, si nos fijamos en la segunda columna, todos están multiplicados por 2.

158
00:14:04,850 --> 00:14:11,070
entonces lo que nos dice esta propiedad es que podemos sacar el 2 fuera del determinante.

159
00:14:13,360 --> 00:14:18,500
Por último, es nuestro determinante y nos fijamos en la matriz que nos da desde el origen

160
00:14:18,500 --> 00:14:26,659
y vemos que la diferencia entre uno y otro es que la segunda y la tercera columna están cambiadas.

161
00:14:27,320 --> 00:14:29,700
Por eso aplicamos la última propiedad que tenemos,

162
00:14:30,259 --> 00:14:33,740
que es que si intercambiamos dos filas o columnas, cambia el signo del determinante.

163
00:14:34,379 --> 00:14:40,500
Por tanto, se nos convierte en menos y ya nos queda el determinante de la matriz B.

164
00:14:41,200 --> 00:14:43,860
Por tanto, nos queda menos 2 por menos 3, 6.

165
00:14:44,600 --> 00:14:48,980
Es decir, que el determinante de la matriz C vale 6.

166
00:14:50,399 --> 00:14:56,379
En el segundo apartado nos dicen que D es un producto de matrices A por B por A menos 1.

167
00:14:56,379 --> 00:14:59,000
Nos piden calcular el determinante de D elevado a 4.

168
00:14:59,000 --> 00:15:01,679
si hacemos la multiplicación

169
00:15:01,679 --> 00:15:04,100
calculamos la inversa, hacemos la multiplicación

170
00:15:04,100 --> 00:15:06,139
y luego elevamos el 4, es muy largo

171
00:15:06,139 --> 00:15:08,279
entonces lo que vamos a hacer es aplicar las propiedades

172
00:15:08,279 --> 00:15:09,139
de los determinantes

173
00:15:09,139 --> 00:15:10,879
cuando tenemos

174
00:15:10,879 --> 00:15:13,159
el determinante de una potencia

175
00:15:13,159 --> 00:15:15,720
por las propiedades de los determinantes

176
00:15:15,720 --> 00:15:17,919
multiplicando los determinantes

177
00:15:17,919 --> 00:15:20,220
el determinante de un producto es el producto

178
00:15:20,220 --> 00:15:21,139
de los determinantes

179
00:15:21,139 --> 00:15:23,820
pues conseguimos sacar la potencia

180
00:15:23,820 --> 00:15:26,679
entonces

181
00:15:26,679 --> 00:15:29,860
vamos a calcular simplemente el determinante de E

182
00:15:29,860 --> 00:15:32,379
entonces tenemos D igual a

183
00:15:32,379 --> 00:15:34,600
un producto y como hemos dicho

184
00:15:34,600 --> 00:15:37,299
el producto es el producto de los determinantes

185
00:15:37,299 --> 00:15:38,639
por lo tanto

186
00:15:38,639 --> 00:15:39,720
los podemos separar

187
00:15:39,720 --> 00:15:42,440
ahora nos damos cuenta que tenemos

188
00:15:42,440 --> 00:15:44,700
en uno de ellos tenemos el determinante de A

189
00:15:44,700 --> 00:15:46,159
de la inversa de A

190
00:15:46,159 --> 00:15:49,120
entonces eso, el determinante de la inversa de A

191
00:15:49,120 --> 00:15:51,220
es 1 partido por el determinante de A

192
00:15:51,220 --> 00:15:53,100
al sustituirlo

193
00:15:53,100 --> 00:15:53,799
nos queda esto

194
00:15:53,799 --> 00:15:56,659
sabemos que los determinantes son números

195
00:15:56,659 --> 00:15:58,080
entonces como son números

196
00:15:58,080 --> 00:16:01,340
son computativos y los podemos cambiar de orden.

197
00:16:01,919 --> 00:16:06,519
Y entonces A partido de A, el determinante de A partido del determinante de A es 1.

198
00:16:06,980 --> 00:16:09,059
Con lo cual nos queda B, el determinante de B.

199
00:16:09,379 --> 00:16:11,980
Y como el determinante de B en el enunciado nos dice que es menos 3,

200
00:16:12,159 --> 00:16:16,100
pues tenemos que el determinante de D es igual al determinante de B igual a menos 3.

201
00:16:16,779 --> 00:16:20,419
Pero nosotros queremos el determinante de D elevado a 4.

202
00:16:21,120 --> 00:16:24,080
Entonces simplemente elevamos el determinante de A a 4,

203
00:16:24,580 --> 00:16:26,120
nos queda menos 3 elevado a 4, 81.

204
00:16:26,120 --> 00:16:31,179
Y por tanto, nuestro determinante de D elevado a 4 es 81.