1 00:00:04,849 --> 00:00:11,849 Bueno, pues ahora vamos a hacer límites, vamos a calcular límites de verdad. 2 00:00:11,849 --> 00:00:15,849 ¿Cuál es el primer límite de verdad que vamos a hacer? 3 00:00:15,849 --> 00:00:18,850 Pues los cocientes de polinomios. 4 00:00:18,850 --> 00:00:25,160 Para hacer límites de cocientes de polinomios lo que voy a tener que hacer es 5 00:00:25,160 --> 00:00:29,160 siempre mirar cuál es el grado del polinomio. 6 00:00:29,160 --> 00:00:42,039 Bueno, límite, cuando n tiende a infinito, de 3n cuadrado menos, más 5, perdón, dividido entre 2n cuadrado menos 3. 7 00:00:43,219 --> 00:00:49,200 Bueno, ¿qué es lo que hago en estos casos? 8 00:00:49,939 --> 00:00:59,640 Pues hay una forma muy sencilla, que es mirar el grado y si tienen el mismo grado, entonces lo que hago es que tomo este coeficiente y lo divido entre este. 9 00:00:59,640 --> 00:01:04,959 Y yo ya sé que el límite de esta sucesión va a ser 3 medios. 10 00:01:11,099 --> 00:01:12,620 Pero vamos a intentar justificarlo. 11 00:01:13,480 --> 00:01:21,370 Entonces, fijaos, voy a dividir todo por n cuadrado. 12 00:01:21,469 --> 00:01:28,030 Es decir, voy a dividir por n cuadrado cualquier fracción, la puedo dividir por el número que yo quiera, 13 00:01:28,129 --> 00:01:32,069 tanto el numerador o el denominador, siempre que este valor no sea 0. 14 00:01:32,750 --> 00:01:38,870 Fijaos que n, me está calculando el valor cuando n tiende a infinito. 15 00:01:39,010 --> 00:01:46,510 Por tanto, si excluyo el 0, que no me están pidiendo un límite cuando entiendo el 0, que mucho menos tampoco existe, pues entonces puedo hacerlo tranquilamente. 16 00:01:46,510 --> 00:02:04,579 ¿Qué me quedaría? 3n cuadrado dividido entre n cuadrado más 5 entre n cuadrado, 2n cuadrado entre n cuadrado, menos 3 dividido entre n cuadrado. 17 00:02:04,579 --> 00:02:08,020 divido arriba y abajo entre n cuadrado 18 00:02:08,020 --> 00:02:11,879 y luego aplico la propiedad que hemos visto en el vídeo anterior 19 00:02:11,879 --> 00:02:18,870 que es que el límite de la suma es la suma de los límites 20 00:02:18,870 --> 00:02:22,129 el límite del cociente es el cociente de los límites 21 00:02:22,129 --> 00:02:27,930 entonces, ¿cuál es el límite de esta sucesión? 22 00:02:28,830 --> 00:02:34,569 límite cuando n tiende a infinito de 3n cuadrado entre n cuadrado 23 00:02:34,569 --> 00:02:40,409 Pues chicos, es que este número se me va con este número 24 00:02:40,409 --> 00:02:42,229 Entonces aquí me queda 3 siempre 25 00:02:42,229 --> 00:02:47,250 Y lo mismo con el otro límite grande que tengo 26 00:02:47,250 --> 00:02:51,409 Límite cuando n tiende a infinito 27 00:02:51,409 --> 00:02:54,210 De 2n cuadrado entre n cuadrado 28 00:02:54,210 --> 00:02:55,250 ¿Esto cuánto vale? 29 00:02:56,590 --> 00:02:59,449 Pues es que el n cuadrado se me va y siempre con el n cuadrado 30 00:02:59,449 --> 00:03:00,370 Pues me queda 2 31 00:03:00,370 --> 00:03:03,710 Y me quedan estos otros dos límites 32 00:03:03,710 --> 00:03:26,710 ¿Cuál es el límite de 5 entre n al cuadrado cuando n tiende a infinito? ¿Cuánto vale? Pues fijaos, esto es lo mismo que poner 5 por límite, perdón, cuando n tiende a infinito, de 5 por esta sucesión, cuyo límite conozco, multiplicado por esta sucesión que también conozco. 33 00:03:26,710 --> 00:03:29,810 ¿Cuál es el límite cuando n tiende infinito de esta sucesión? 0 34 00:03:29,810 --> 00:03:33,530 ¿Cuál es el límite cuando n tiende infinito de esta sucesión? 0 35 00:03:33,530 --> 00:03:36,169 5 por 0 y otra vez por 0, por 0 36 00:03:36,169 --> 00:03:42,219 Ponerlo en rojo, pues como lo hemos puesto antes también 37 00:03:42,219 --> 00:03:51,719 ¿Y cuál es el límite cuando n tiende infinito de menos 3 entre n al cuadrado? 38 00:03:52,580 --> 00:03:56,840 Pues esto es lo mismo, menos 3 por 0 por 0, donde va a quedar 0 también 39 00:03:56,840 --> 00:03:58,939 Entonces, fijaos que me queda 40 00:03:58,939 --> 00:04:18,139 El límite de esta sucesión, que vale 3, más el límite de esta sucesión, que es 0, dividido entre el límite de esta sucesión, que es 2, más 0, o menos 0. 41 00:04:19,180 --> 00:04:21,620 Vale, 3 divididos. 42 00:04:21,620 --> 00:04:28,779 Cuando tengo cocientes de polinomios es muy sencillo trabajar 43 00:04:28,779 --> 00:04:33,899 Divido por el n del grado más alto, es decir, n cuadrado en este caso 44 00:04:33,899 --> 00:04:37,459 Y calculo los límites de cada una de las sucesiones que me saldrían 45 00:04:37,459 --> 00:04:43,420 Calculo cada uno de los límites y los sumo y los divido 46 00:04:43,420 --> 00:04:44,620 Pues tres medios 47 00:04:44,620 --> 00:04:48,920 Esto no es para nada complicado 48 00:04:48,920 --> 00:04:51,779 De hecho, una vez que ya vosotros empecéis a trabajar 49 00:04:51,779 --> 00:04:55,660 límites, no va a hacer falta 50 00:04:55,660 --> 00:04:58,560 que escribáis todo esto, porque a partir de aquí 51 00:04:58,560 --> 00:05:01,759 ya lo podemos hacer directamente. Vamos a hacer el b 52 00:05:01,759 --> 00:05:03,779 que tiene un movimiento de relación. n más 2 53 00:05:03,779 --> 00:05:07,660 dividido entre raíz de n 54 00:05:07,660 --> 00:05:10,920 más 2. Límite 55 00:05:10,920 --> 00:05:13,620 cuando n tiende al infinito. 56 00:05:14,420 --> 00:05:17,259 Bueno, ¿cuál es el grado? 57 00:05:17,259 --> 00:05:20,540 Aquí. Fijaos, raíz de n 58 00:05:20,540 --> 00:05:23,720 es lo mismo que n elevado a un medio. 59 00:05:24,860 --> 00:05:26,959 Entonces, ¿cuál es el grado más alto de n? 60 00:05:27,360 --> 00:05:28,339 Pues es un medio. 61 00:05:29,220 --> 00:05:32,360 Entonces voy a dividir arriba y abajo por raíz de n. 62 00:05:32,620 --> 00:05:33,019 Fijaos. 63 00:05:34,759 --> 00:05:38,100 Límite cuando n tiene infinito 64 00:05:38,100 --> 00:05:44,639 de 1 entre raíz de n por raíz de n más 2 65 00:05:46,720 --> 00:05:50,120 y dividido a su vez entre 1 entre raíz de n 66 00:05:50,120 --> 00:05:56,819 por raíz de n más 2, que no es lo mismo. 67 00:05:58,740 --> 00:06:00,579 Límite, cuando n tiende a infinito. 68 00:06:04,129 --> 00:06:06,509 Este raíz de n lo puedo meter dentro de la raíz 69 00:06:06,509 --> 00:06:09,649 y simplemente hago la raíz de toda la fracción. 70 00:06:15,560 --> 00:06:16,779 ¿Y aquí qué es lo que tendría? 71 00:06:16,779 --> 00:06:23,519 Pues tendría raíz de n entre n más 2 entre raíz de n. 72 00:06:23,519 --> 00:06:27,560 Bueno, siguiendo este criterio que tengo aquí 73 00:06:27,560 --> 00:06:30,560 ¿Cuál es el límite de n más 2 entre n? 74 00:06:31,180 --> 00:06:34,779 Pues es 1, porque estos dos tienen el mismo grado 75 00:06:34,779 --> 00:06:39,220 Divido sus coeficientes, 1 entre 1, raíz de 1, que es 1 76 00:06:39,220 --> 00:06:46,639 1 entre, esto va a ser 1 siempre 77 00:06:46,639 --> 00:06:50,100 1 más, ¿y cuánto vale el límite? 78 00:06:52,100 --> 00:06:55,740 Cuando n tiende a infinito, de 2 entre raíz de n 79 00:06:55,740 --> 00:06:59,329 pues esto vale 0 80 00:06:59,329 --> 00:07:02,209 porque cuanto más grande es ACM 81 00:07:02,209 --> 00:07:04,370 más grande se va haciendo la raíz 82 00:07:04,370 --> 00:07:06,230 porque esta es una sucesión 83 00:07:06,230 --> 00:07:07,110 creciente 84 00:07:07,110 --> 00:07:09,470 es decir, a su vez 85 00:07:09,470 --> 00:07:12,310 la raíz de N más 1 es más grande que la raíz de N 86 00:07:12,310 --> 00:07:14,350 por tanto este límite vale 0 87 00:07:14,350 --> 00:07:16,089 entonces cuanto vale esto 88 00:07:16,089 --> 00:07:17,910 me queda 89 00:07:17,910 --> 00:07:22,329 1 entre 1 más 0 90 00:07:22,329 --> 00:07:23,610 y por tanto 91 00:07:23,610 --> 00:07:25,110 me voy a ir a esta esquina 92 00:07:25,110 --> 00:07:26,649 ¿cuál es el límite? 93 00:07:27,050 --> 00:07:41,100 1 entre 1, que vale 1. Esto tiene de grado 1 medio, esto tiene de grado 1 medio. ¿Cuáles son los coeficientes? 1 dividido. 94 00:07:41,100 --> 00:08:04,689 Y vamos a hacer uno en el que no salga. Por ejemplo, vamos a hacer el e. Sería raíz de n menos raíz de n más 1. Raíz de n más raíz de n más 1. ¿Cuánto vale este? 95 00:08:04,689 --> 00:08:24,529 Bien, pues fijaos, aquí no puedo hacer nada si no divido entre raíz de n, pues vamos a dividir por raíz de n, o voy a multiplicar por el conjugado, vamos a ver, es lo que tengo que hacer. 96 00:08:24,529 --> 00:08:47,289 Aquí no tengo que hacer nada 97 00:08:47,289 --> 00:08:54,919 Divido por el n de grado más alto 98 00:08:54,919 --> 00:08:56,679 ¿Cuál es el grado de este polinomio? 99 00:08:56,720 --> 00:09:01,620 Raíz es uno y medio 100 00:09:01,620 --> 00:09:04,159 Entonces divido por raíz de n 101 00:09:04,159 --> 00:09:07,580 Los dos términos, el de arriba y el de abajo 102 00:09:07,580 --> 00:09:19,399 Lo meto para arriba 103 00:09:19,399 --> 00:09:20,320 Límite 104 00:09:20,320 --> 00:09:22,879 Cuando n tiene infinito 105 00:09:22,879 --> 00:09:23,679 D 106 00:09:23,679 --> 00:09:26,279 Raíz de n entre n 107 00:09:26,279 --> 00:09:44,279 menos raíz de n más 1 entre n, dividido entre, esto no es un 2 que es un n, raíz de n entre n, más raíz de n más 1 entre raíz de n. 108 00:09:44,279 --> 00:10:07,759 Esto es lo mismo que esto. ¿Esto cuánto vale? Límite cuando n tiene infinito de esto que vale 1 menos esto que vale 1, es decir, esto va a valer 0. Esto vale 1 y esto vale 1. Es decir, me queda 0 entre 2, 0. ¿Ya está?