1
00:02:45,169 --> 00:02:51,449
Hoy es 24 ya, ¿sabes San Rafael? ¿Ves 24?

2
00:02:53,110 --> 00:02:54,849
Felicito al yuste mayor, guillo.

3
00:02:55,889 --> 00:02:57,590
San Rafael de Córdoba, bueno.

4
00:02:58,330 --> 00:03:00,849
Vamos a ver, venga, silencio.

5
00:03:01,150 --> 00:03:06,430
Empezar, ayer vimos un sonlayo del tema 5, que es vectores en el espacio, ¿vale?

6
00:03:06,930 --> 00:03:09,550
Y entonces, ¿por qué se caracterizaba un vector?

7
00:03:11,729 --> 00:03:13,210
Por tres cosas, ¿vale?

8
00:03:14,069 --> 00:03:16,370
Venga, vectores en el espacio.

9
00:03:16,610 --> 00:03:28,319
Por favor, silencio. Módulo, dirección, ¿verdad? Dirección y sentido.

10
00:03:31,150 --> 00:03:44,969
Entonces, chavales, si yo me voy a GeoGebra, lo que quiero que veáis ustedes un poco aquí es que si yo hago un vector, para hacer un vector en GeoGebra se pone una minúscula, ¿vale?

11
00:03:44,969 --> 00:03:50,789
y, por ejemplo, pongo dos coordenadas si estoy en el plano

12
00:03:50,789 --> 00:03:52,849
y tres coordenadas si estoy en el espacio.

13
00:03:53,030 --> 00:03:54,169
Yo qué sé, por ejemplo, el 2, 3.

14
00:03:54,830 --> 00:03:55,810
Entonces, ¿qué ocurre?

15
00:03:56,449 --> 00:04:02,449
Que siempre, siempre, cuando yo hago en jebra esto,

16
00:04:02,949 --> 00:04:05,189
me lo va a poner como origen el 0, 0.

17
00:04:05,430 --> 00:04:05,789
¿De acuerdo?

18
00:04:06,310 --> 00:04:09,069
Entonces, lo que yo creo que veamos un poco es la distinción

19
00:04:09,069 --> 00:04:11,449
entre lo que es un vector fijo o un vector libre

20
00:04:11,449 --> 00:04:19,389
Y si os fijáis yo aquí, que es el vector 2, 3, esto empieza en el 0, 0 y acaba en el punto 2, 3, ¿vale?

21
00:04:19,389 --> 00:04:26,509
Si yo aplico el teorema de Pitágoras, si yo hago, por ejemplo, aquí, yo me llevo esto aquí, ¿vale?

22
00:04:27,449 --> 00:04:28,910
Venga, callarse ya, hombre.

23
00:04:29,810 --> 00:04:34,310
Si yo tengo esto de aquí, que es el punto 2, 3, ¿de acuerdo?

24
00:04:34,790 --> 00:04:41,110
Pues este módulo de v es la raíz de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado,

25
00:04:41,449 --> 00:04:45,930
Esto aquí es igual a 4 más 9 es igual a raíz de 3, ¿vale?

26
00:04:46,870 --> 00:04:47,889
¿Qué vimos ayer?

27
00:04:48,069 --> 00:04:50,350
¿Qué vimos ayer que era muy importante?

28
00:04:50,509 --> 00:04:54,930
Que si yo multiplico este vector por un escalar, ¿vale?

29
00:04:55,389 --> 00:04:57,449
Me varía ciertas características.

30
00:04:58,490 --> 00:05:00,529
Nunca me va a variar la dirección.

31
00:05:00,769 --> 00:05:01,850
Eso es súper importante.

32
00:05:02,009 --> 00:05:03,970
La dirección nunca me va a variar.

33
00:05:04,069 --> 00:05:05,589
¿Cuál es la dirección de un vector?

34
00:05:06,170 --> 00:05:09,009
Pues es la recta que lo contiene, ¿vale?

35
00:05:09,009 --> 00:05:19,170
Si yo me voy aquí al punto 2, 3, voy a ponerla esta de aquí a ver si me sale en azul, por ejemplo, ¿vale?

36
00:05:19,269 --> 00:05:21,009
O en colorado, me da igual, ¿vale?

37
00:05:21,230 --> 00:05:28,490
Lo que quiero que veáis es que la recta en la cual está contenido el vector, esa es la dirección.

38
00:05:28,930 --> 00:05:32,430
Y el sentido es si va hacia un lado o va hacia otro, ¿de acuerdo?

39
00:05:32,430 --> 00:05:46,629
Entonces, cuando yo lo multiplico por un escalar, cuando yo lo multiplico por un escalar, la dirección nunca me varía, nunca me varía. Lo que me va a variar es el sentido y también el módulo, ¿de acuerdo? ¿Sí?

40
00:05:46,629 --> 00:05:49,810
Y ahora yo os pregunto, ¿tienes chicle, Pauladín?

41
00:05:49,970 --> 00:05:52,189
Píramelo, que te vas a hacer un daño que no veas.

42
00:05:52,269 --> 00:05:55,189
Ahora mismo te acuerdas de mí, pero luego te vas a acordar con el bolsillo

43
00:05:55,189 --> 00:05:56,449
cuando vayas a los dentistas.

44
00:05:56,550 --> 00:05:58,209
Aquí ya, en serio, verídico.

45
00:05:58,829 --> 00:06:00,769
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales?

46
00:06:00,930 --> 00:06:01,689
¿Qué es lo que ocurre?

47
00:06:02,290 --> 00:06:06,350
Que alguien me sabe decir, alguien me sabe decir

48
00:06:06,350 --> 00:06:12,129
que escalares al multiplicar por un vector no me varía su módulo.

49
00:06:19,720 --> 00:06:20,040
¿Correct?

50
00:06:20,600 --> 00:06:21,560
Repito la pregunta.

51
00:06:21,560 --> 00:06:24,500
yo tengo un vector, un vector tiene un módulo

52
00:06:24,500 --> 00:06:26,100
tiene un sentido y tiene una dirección

53
00:06:26,100 --> 00:06:28,339
y yo lo puedo multiplicar por un escalar

54
00:06:28,339 --> 00:06:30,500
de hecho yo aquí si hago 2V

55
00:06:30,500 --> 00:06:34,420
me crea otro vector, no sé si lo veis ahí

56
00:06:34,420 --> 00:06:38,459
aquí en el espacio también se representa

57
00:06:38,459 --> 00:06:40,720
2V, de acuerdo

58
00:06:40,720 --> 00:06:43,540
yo tengo aquí esto en el espacio

59
00:06:43,540 --> 00:06:46,560
y aquí no sé si habéis visto que me lo ha ampliado

60
00:06:46,560 --> 00:06:47,980
a más grande, ¿verdad?

61
00:06:48,360 --> 00:06:49,939
ahí me varía el módulo

62
00:06:49,939 --> 00:07:01,339
Si yo lo multiplico, por ejemplo, por 3, si yo hago 3v, pues me crea otro vector w, que lo que estoy haciendo es variarle el módulo.

63
00:07:01,540 --> 00:07:07,339
¿Lo veis? Aquí no he variado ni el sentido y sobre todo no he variado nunca la dirección.

64
00:07:07,339 --> 00:07:19,079
Pero si yo lo multiplico por un número negativo, por ejemplo, menos 1,1v, ¿qué coño he hecho? Ha pasado de mí, ¿no?

65
00:07:19,079 --> 00:07:21,000
vale, este me lo voy a cepillar

66
00:07:21,000 --> 00:07:25,310
no me lo permite, ¿o qué?

67
00:07:26,310 --> 00:07:27,850
menos, ah, porque ya, menos

68
00:07:27,850 --> 00:07:31,089
menos 1.1V, ¿no? eso sí

69
00:07:31,089 --> 00:07:34,129
veis, la dirección no me la varía

70
00:07:34,129 --> 00:07:38,189
sí que me varía el sentido porque es un número negativo

71
00:07:38,189 --> 00:07:40,589
y también me está variando el módulo

72
00:07:40,589 --> 00:07:43,790
¿eso lo veis todos? que me está variando el módulo

73
00:07:43,790 --> 00:07:45,730
y si no, podemos hacer una cosilla

74
00:07:45,730 --> 00:07:48,910
yo estoy aquí en 2D, si yo cojo

75
00:07:48,910 --> 00:07:52,850
aquí, y me voy al 3, 2

76
00:07:52,850 --> 00:07:55,490
este es el módulo

77
00:07:55,490 --> 00:07:58,870
y si yo me voy aquí, no sé si lo veis

78
00:07:58,870 --> 00:08:01,889
la circunferencia es diferente, ¿lo veis?

79
00:08:02,009 --> 00:08:04,069
el rayo de la circunferencia es diferente

80
00:08:04,069 --> 00:08:07,329
el módulo lo he ampliado

81
00:08:07,329 --> 00:08:09,970
aunque le he cambiado el sentido, pero lo he ampliado

82
00:08:09,970 --> 00:08:13,189
¿eso todo lo veis? ¿sí? entonces yo os pregunto

83
00:08:13,189 --> 00:08:15,350
¿cuántos escalares hay?

84
00:08:15,730 --> 00:08:17,470
escalar es un número, no es un vector

85
00:08:17,470 --> 00:08:20,269
¿cuántos escalares hay que al multiplicarlo

86
00:08:20,269 --> 00:08:21,029
por un vector

87
00:08:21,029 --> 00:08:23,529
el módulo no me lo varía?

88
00:08:24,589 --> 00:08:25,910
¿cuántos hay y cuáles son?

89
00:08:31,949 --> 00:08:32,429
¿eh?

90
00:08:33,210 --> 00:08:34,529
¿dos? ¿por qué dos?

91
00:08:35,070 --> 00:08:36,470
porque uno es el número uno

92
00:08:36,470 --> 00:08:38,230
y otro es el mismo módulo

93
00:08:38,230 --> 00:08:39,330
ya, más o menos

94
00:08:39,330 --> 00:08:42,870
uno y menos uno

95
00:08:42,870 --> 00:08:44,289
¿eso lo veis todos?

96
00:08:44,710 --> 00:08:46,370
si yo lo multiplico por uno

97
00:08:46,370 --> 00:08:47,769
me quedo igual, ¿verdad?

98
00:08:48,190 --> 00:08:50,669
Y si yo lo multiplico por menos 1

99
00:08:50,669 --> 00:08:52,529
me cambia el sentido

100
00:08:52,529 --> 00:08:54,409
pero el módulo es el mismo.

101
00:08:54,789 --> 00:08:55,669
¿Eso lo veis o no?

102
00:08:56,289 --> 00:08:56,470
¿Sí?

103
00:08:56,950 --> 00:08:57,970
Entonces eso es,

104
00:08:58,190 --> 00:08:59,490
lo tenemos que tener bastante claro

105
00:08:59,490 --> 00:09:01,029
y además me sirve mucho ahora

106
00:09:01,029 --> 00:09:02,190
para lo que vamos a introducir

107
00:09:02,190 --> 00:09:03,649
de las operaciones con vectores.

108
00:09:04,210 --> 00:09:04,409
¿Vale?

109
00:09:05,029 --> 00:09:06,169
Entonces, chavales.

110
00:09:09,009 --> 00:09:10,049
Esto, natillas.

111
00:09:11,549 --> 00:09:11,809
Vale.

112
00:09:12,529 --> 00:09:14,470
Lo que yo quiero que veáis

113
00:09:14,470 --> 00:09:21,429
que cuando estamos en el plano, ¿vale? En el plano yo tengo dos coordenadas, pero sin embargo,

114
00:09:21,649 --> 00:09:27,429
si yo estoy en el espacio, yo tengo tres coordenadas, ¿vale? Entonces, si yo tengo un

115
00:09:27,429 --> 00:09:36,529
vector v, que es vx, vi y vz, las coordenadas en tres dimensiones en el espacio, ¿vale? El módulo

116
00:09:36,529 --> 00:09:43,710
de v, que esto lo vimos también ayer, es la raíz cuadrada, ¿vale? De vx al cuadrado más vi al

117
00:09:43,710 --> 00:09:53,750
cuadrado, más vz al cuadrado, ¿vale? Como ejemplo, si yo pongo ejemplo, venga, 2, 5 y menos 3, ¿vale?

118
00:09:53,970 --> 00:10:03,450
¿Cuánto vale su módulo? Pues el módulo, si esto es, por ejemplo, w, ¿vale? Pues el módulo de w es

119
00:10:03,450 --> 00:10:11,610
la raíz, ¿verdad? De 2 al cuadrado más 5 al cuadrado más menos 3 al cuadrado. ¿Lo veis,

120
00:10:11,610 --> 00:10:19,590
chavales? Sí. Y esto aquí es igual a la raíz de 4 más 25 más 9. Esto, si no me equivoco, es la raíz

121
00:10:19,590 --> 00:10:29,629
de 38. ¿Sí? Vale. Otra cosa importante, chavales. Otra cosa importante. Vamos a ver, y aquí voy a

122
00:10:29,629 --> 00:10:36,250
pasar un poco de esto, ¿vale? Me voy a ir mejor a 2D para que lo veamos bien. Y si no, bueno, empiezo

123
00:10:36,250 --> 00:10:47,529
aquí un algebra nuevo vale algebra punto clase vale lo voy a hacer entonces porque yo creo que

124
00:10:47,529 --> 00:10:55,210
lo vamos a ver mejor vale entonces lo que quiero que veáis es que si yo por ejemplo hago aquí una

125
00:10:55,210 --> 00:11:05,370
circunferencia de centro aquí mismo vale y de radio le pongo 3 si yo hago un vector ahora

126
00:11:06,250 --> 00:11:12,750
Concentro esa circunferencia y me voy a cualquier punto de aquí, ¿vale?

127
00:11:12,990 --> 00:11:14,990
¿Cuánto vale el módulo de ese vector?

128
00:11:16,429 --> 00:11:17,409
3, ¿verdad?

129
00:11:17,830 --> 00:11:22,350
Y aquí es lo que quiero que veáis un poco, es los vectores equipolentes.

130
00:11:22,830 --> 00:11:27,809
Fijaros que mi vector, voy a ver si puedo sacar esto, a ver.

131
00:11:28,450 --> 00:11:30,950
Este es mi vector u, ¿verdad?

132
00:11:32,389 --> 00:11:33,889
Vale, esto se mantiene, ¿no?

133
00:11:34,250 --> 00:11:35,330
Este es mi vector u.

134
00:11:35,330 --> 00:11:54,429
Pues si yo hago que v es igual a u, lo que quiero que veáis es que GeoGebra me lleva ese mismo vector que tiene la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo, pero me lo lleva al origen de coordenada.

135
00:11:54,429 --> 00:12:07,750
Entonces, esto es un puntazo con los vectores, porque nosotros nos podemos llevar y operar con vectores equipolentes y nos facilitan mucho las operaciones con vectores, ¿vale? ¿Sí o no?

136
00:12:07,750 --> 00:12:10,610
entonces, si no lo creéis

137
00:12:10,610 --> 00:12:12,470
que son iguales, fijaros una cosa

138
00:12:12,470 --> 00:12:14,629
si yo hago una recta que pase

139
00:12:14,629 --> 00:12:16,649
por este punto A y por este punto B

140
00:12:16,649 --> 00:12:18,289
y yo ahora le digo aquí

141
00:12:18,289 --> 00:12:20,649
que me haga una recta

142
00:12:20,649 --> 00:12:21,549
paralela

143
00:12:21,549 --> 00:12:23,789
a esta de aquí

144
00:12:23,789 --> 00:12:25,889
que pase por el origen

145
00:12:25,889 --> 00:12:28,470
¿veis que son paralelas y que

146
00:12:28,470 --> 00:12:29,950
está en la misma dirección

147
00:12:29,950 --> 00:12:32,590
tanto el vector U como el vector

148
00:12:32,590 --> 00:12:34,090
V? ¿lo veis?

149
00:12:34,610 --> 00:12:35,990
¿si o no? pues

150
00:12:35,990 --> 00:12:49,610
Cuando son vectores que están contenidos en restas diferentes, pues resulta que pueden ser el mismo vector, tienen la misma dirección.

151
00:12:49,710 --> 00:12:53,529
Sobre todo, si están en restas paralelas, es que tienen la misma dirección.

152
00:12:54,149 --> 00:12:57,389
Vemos aquí que el sentido es el mismo, que van, digamos, hacia arriba.

153
00:12:57,909 --> 00:13:01,970
Y si no os creéis los del módulo, yo ahora voy a hacer una circunferencia de centro cero.

154
00:13:01,970 --> 00:13:03,389
Habíamos dicho tres, ¿verdad?

155
00:13:03,389 --> 00:13:07,429
¿Veis cómo llega a la puntita del vector?

156
00:13:08,470 --> 00:13:11,070
¿Vale? Son dos vectores equipolentes

157
00:13:11,070 --> 00:13:16,049
Tienen la misma dirección, tienen el mismo sentido y tienen el mismo módulo

158
00:13:16,049 --> 00:13:18,789
¿De acuerdo? ¿Sí? ¿Hasta ahí bien?

159
00:13:20,129 --> 00:13:22,529
Si yo lo multiplico por 1 o menos 1

160
00:13:22,529 --> 00:13:24,710
Si lo multiplico por un número positivo

161
00:13:24,710 --> 00:13:29,129
Me varía el módulo, pero no la dirección ni el sentido

162
00:13:29,129 --> 00:13:30,789
Sobre todo la dirección nunca lo va a variar

163
00:13:30,789 --> 00:13:50,850
Si yo lo multiplico por un número negativo, lo que me varía es el módulo y el sentido, si lo multiplico por 1 se queda igual y si lo multiplico por menos 1 me varía el sentido por ser negativo, pero el módulo lo permanece invariable, ¿vale chavales? ¿Sí o no? Vale.

164
00:13:50,850 --> 00:13:54,250
entonces, dos vectores son iguales

165
00:13:54,250 --> 00:13:56,230
lo que dijimos, si tienen el mismo módulo

166
00:13:56,230 --> 00:13:57,870
de dirección y sentido son equipolentes

167
00:13:57,870 --> 00:14:00,169
el producto de un número por

168
00:14:00,169 --> 00:14:02,190
un vector, que sepáis

169
00:14:02,190 --> 00:14:04,129
que el módulo es al final el módulo

170
00:14:04,129 --> 00:14:04,769
de la K

171
00:14:04,769 --> 00:14:07,629
por V, porque aquí

172
00:14:07,629 --> 00:14:09,950
el módulo siempre es algo

173
00:14:09,950 --> 00:14:11,990
lo que mide y las distancias siempre son

174
00:14:11,990 --> 00:14:14,149
positivas, y la métrica es algo

175
00:14:14,149 --> 00:14:16,190
muy importante en matemática

176
00:14:16,190 --> 00:14:18,450
en física, en construcciones, en distancias

177
00:14:18,450 --> 00:14:19,289
en todo, ¿vale?

178
00:14:19,289 --> 00:14:33,710
Si yo lo multiplico por 0, lo que tengo es el vector nulo. El vector nulo, chavales, el vector nulo que es aquel cuyas componentes son siempre 0, ¿vale? Y después lo que vimos ayer de los vectores unitarios.

179
00:14:33,710 --> 00:14:57,470
Un vector unitario que hay, porque es muy importante esto de aquí de un vector unitario. Si yo tengo aquí mi vector v, ¿vale? Yo puedo conseguir un vector unitario, lo voy a poner en colorado, que tenga la misma dirección, tenga el mismo sentido, pero que su módulo valga 1. ¿Lo puedo conseguir? Lo puedo conseguir.

180
00:14:57,470 --> 00:15:11,409
¿Cómo lo puedo conseguir? Fijaros que mi vector v era 2, 3, ¿vale? Pues yo ahora voy a conseguir un vector unitario, un vector unitario en la misma dirección, en el mismo sentido, pero cuyo módulo sea 1, ¿vale?

181
00:15:11,409 --> 00:15:16,309
Lo único que tengo que hacer es dividir cada una de las coordenadas, ¿vale?

182
00:15:16,909 --> 00:15:22,590
W sería la coordenada 2 y la coordenada 3 de V, ¿de acuerdo?

183
00:15:22,850 --> 00:15:25,330
Pero dividido precisamente por su módulo.

184
00:15:25,970 --> 00:15:29,409
Raíz de 13 partido de raíz de 13, ¿vale?

185
00:15:30,029 --> 00:15:32,649
Vamos a comprobar si realmente es unitario.

186
00:15:32,809 --> 00:15:34,629
¿Cómo compruebo el módulo de W?

187
00:15:34,629 --> 00:15:57,169
Pues si yo hago la raíz de 2 elevado a raíz de 13 al cuadrado más 3 partido raíz de 13 al cuadrado, esto aquí es igual a 4 partido de 13, ¿verdad? Más 9 partido de 13 la raíz y ¿cuánto es 9 más 13? 4 más 9, perdona.

188
00:15:57,169 --> 00:15:58,830
13, ¿verdad?

189
00:15:59,129 --> 00:16:01,230
esto es raíz de 13 partido de 13

190
00:16:01,230 --> 00:16:03,009
esto es raíz de 1

191
00:16:03,009 --> 00:16:04,309
que es 1, ¿veis?

192
00:16:04,789 --> 00:16:06,669
esto es unitario

193
00:16:06,669 --> 00:16:08,990
entonces consigo un vector

194
00:16:08,990 --> 00:16:10,850
unitario en la misma dirección

195
00:16:10,850 --> 00:16:13,070
en el mismo sentido, dividiendo

196
00:16:13,070 --> 00:16:15,350
siempre por el módulo del vector

197
00:16:15,350 --> 00:16:16,330
¿vale?

198
00:16:16,330 --> 00:16:16,429
¿sí?

199
00:16:19,850 --> 00:16:22,009
aquí no te hace falta porque se te va

200
00:16:22,009 --> 00:16:23,049
¿vale?

201
00:16:23,870 --> 00:16:25,669
si tú consigues un vector

202
00:16:25,669 --> 00:16:29,690
si tú quieres conseguir un vector unitario

203
00:16:29,690 --> 00:16:31,429
aquí por ejemplo yo no me pondría

204
00:16:31,429 --> 00:16:33,009
más que se te va con los cuadrados

205
00:16:33,009 --> 00:16:33,730
¿vale?

206
00:16:33,730 --> 00:16:35,789
pero si tenés las coordenadas del vector unitario

207
00:16:35,789 --> 00:16:37,210
en el 2 raíz de 13

208
00:16:37,210 --> 00:16:38,970
haría falta racionalizarlo

209
00:16:38,970 --> 00:16:41,190
hombre aquí sería bonito poner

210
00:16:41,190 --> 00:16:43,149
2 raíz de 13 partido de 13 ¿vale?

211
00:16:43,889 --> 00:16:45,909
y aquí igual, pero en principio

212
00:16:45,909 --> 00:16:47,110
lo único es

213
00:16:47,110 --> 00:16:49,769
hombre las coordenadas de logo

214
00:16:49,769 --> 00:16:51,769
son estas y lo bonito sería

215
00:16:51,769 --> 00:16:52,870
racionalizarlo ¿vale?

216
00:16:52,870 --> 00:16:59,149
Esto a la postre, pues sería W, sería 2 raíz de 13 partido de 13, ¿vale?

217
00:16:59,470 --> 00:17:03,070
Y 3 raíz de 13 partido de 13, ¿vale?

218
00:17:03,190 --> 00:17:05,150
Y así lo hemos racionalizado.

219
00:17:08,680 --> 00:17:10,019
¿Hasta aquí todo bien, chavales?

220
00:17:10,500 --> 00:17:11,140
Fácil, ¿no?

221
00:17:11,619 --> 00:17:11,859
Vale.

222
00:17:12,460 --> 00:17:18,779
Pues lo que yo quiero que veáis, lo que yo quiero que veáis es lo que es la suma y resta de dos vectores.

223
00:17:18,920 --> 00:17:21,559
Porque esto luego está relacionado también con áreas.

224
00:17:21,819 --> 00:17:22,660
María tiene chicle.

225
00:17:23,579 --> 00:17:24,359
Píramelo, mi arma.

226
00:17:24,359 --> 00:17:27,940
Vale, entonces, suma y resta de dos vectores

227
00:17:27,940 --> 00:17:28,440
¿Vale?

228
00:17:28,940 --> 00:17:31,259
Entonces, para poder sumar y restar

229
00:17:31,259 --> 00:17:33,119
Claudia, vete de la clase, hija

230
00:17:33,119 --> 00:17:33,940
Sí

231
00:17:33,940 --> 00:17:35,799
Porque estás haciendo lengua

232
00:17:35,799 --> 00:17:36,640
Y Petre también

233
00:17:36,640 --> 00:17:38,940
Si estáis aquí en mi clase

234
00:17:38,940 --> 00:17:41,720
Atended y copiáis esto

235
00:17:41,720 --> 00:17:43,140
Estáis haciendo otra cosa

236
00:17:43,140 --> 00:17:46,359
Entonces, para eso, primero me parece una falta de respeto tremenda

237
00:17:46,359 --> 00:17:47,660
Y segundo

238
00:17:47,660 --> 00:17:49,640
Si yo no he pasado ni lista

239
00:17:49,640 --> 00:17:53,170
¿Qué pasa? Que no queréis que os ponga falta

240
00:17:53,170 --> 00:17:54,910
Pero si estáis aquí, por lo menos atendedme

241
00:17:54,910 --> 00:17:57,509
y si no os invito, vayáis a la biblioteca

242
00:17:57,509 --> 00:17:59,390
y ya está, no pasa nada, y estudiáis

243
00:17:59,390 --> 00:18:01,470
todo lo que queráis, pero ya que estáis

244
00:18:01,470 --> 00:18:01,750
aquí

245
00:18:01,750 --> 00:18:05,089
suma y resta de dos vectores

246
00:18:05,089 --> 00:18:06,789
suma y resta de dos vectores

247
00:18:06,789 --> 00:18:09,190
sobre todo aquí lo que me interesa es

248
00:18:09,190 --> 00:18:11,470
que analíticamente es súper

249
00:18:11,470 --> 00:18:13,069
fácil, súper fácil

250
00:18:13,069 --> 00:18:15,049
pero lo que me interesa es que veáis

251
00:18:15,049 --> 00:18:17,650
la componente geométrica

252
00:18:17,650 --> 00:18:19,450
que va con

253
00:18:19,450 --> 00:18:20,269
dos vectores, ¿vale?

254
00:18:20,809 --> 00:18:23,410
cuando yo sumo dos vectores, lo importante

255
00:18:23,410 --> 00:18:24,490
es que tengan el mismo

256
00:18:24,490 --> 00:18:27,609
me da igual si tienen el mismo origen o no

257
00:18:27,609 --> 00:18:29,369
¿vale? pero cuando yo sumo

258
00:18:29,369 --> 00:18:31,170
el vector u y el vector v

259
00:18:31,170 --> 00:18:33,230
lo que yo tengo que hacer es

260
00:18:33,230 --> 00:18:34,990
donde finaliza el vector u

261
00:18:34,990 --> 00:18:36,930
me llevo yo mi vector v

262
00:18:36,930 --> 00:18:39,529
¿de acuerdo? y si yo

263
00:18:39,529 --> 00:18:41,430
uno ese origen de u

264
00:18:41,430 --> 00:18:43,009
con el final de v

265
00:18:43,009 --> 00:18:45,130
lo que obtengo es

266
00:18:45,130 --> 00:18:47,490
la suma de vectores, no sé si me he

267
00:18:47,490 --> 00:18:49,029
explicado bien que yo creo que no mucho

268
00:18:49,029 --> 00:18:51,410
¿vale? es decir

269
00:18:51,410 --> 00:18:53,529
yo tengo aquí un vector v

270
00:18:53,529 --> 00:19:01,230
Un vector u. ¿Vale? Y ya resulta que yo tengo aquí un vector v. ¿De acuerdo?

271
00:19:02,490 --> 00:19:07,910
Si yo lo que hago es este vector v, como me voy a llevar un vector equipolente,

272
00:19:08,069 --> 00:19:12,349
un vector equipolente que es uno que va a tener su mismo módulo, dirección y sentido,

273
00:19:12,809 --> 00:19:20,289
pues yo donde acaba u me llevo mi vector v. ¿Entendéis lo que estoy haciendo? Mi vector v.

274
00:19:20,289 --> 00:19:35,450
Y ahora resulta que si yo uno el origen de u con el final de v, pues yo lo que tengo precisamente el w, que w es la suma de u más u.

275
00:19:36,650 --> 00:19:38,430
¿Realmente qué estoy obteniendo?

276
00:19:39,250 --> 00:19:40,750
Realmente qué estoy obteniendo.

277
00:19:41,069 --> 00:19:48,410
Yo a partir de aquí lo que estoy haciendo es, al final y a la postre, tener un paralelogramo, ¿de acuerdo?

278
00:19:48,410 --> 00:19:54,569
Y entonces las diagonales de ese paralelogramo van a ser tanto la suma como la resta.

279
00:19:54,690 --> 00:19:58,130
Vamos a verlo un momentillo en GeoGebra, chavales.

280
00:20:00,980 --> 00:20:01,920
En GeoGebra, ¿vale?

281
00:20:02,839 --> 00:20:05,140
Esto de aquí, vamos a ver.

282
00:20:12,630 --> 00:20:13,990
Voy a hacer un vector.

283
00:20:20,450 --> 00:20:22,490
Había empezado otro GeoGebra, vamos a ver aquí.

284
00:20:29,430 --> 00:20:32,109
Oye, esto es pase, lo de los chefrovenios, esto creo que os lo pasé.

285
00:20:32,630 --> 00:20:39,009
Aquí puedes poner en esta plantilla los parámetros y demás y tal y te lo resuelve, ¿vale?

286
00:20:39,009 --> 00:20:42,529
Esto lo puse yo en el aula virtual.

287
00:20:43,230 --> 00:20:46,009
Bueno, chavales, si yo tengo mi vector u, ¿vale?

288
00:20:46,150 --> 00:20:50,630
Mi vector u, yo qué sé, coordenadas, por ejemplo, 4 menos 1.

289
00:20:50,950 --> 00:20:53,230
Pues ese es mi vector u, ¿de acuerdo?

290
00:20:53,630 --> 00:21:03,089
Y yo ahora voy a tener mi vector v que va a ser, yo qué sé, menos 2, 5, ¿vale?

291
00:21:03,789 --> 00:21:05,750
Tengo mi vector u y mi vector v.

292
00:21:05,750 --> 00:21:47,190
Entonces, yo ahora voy a hacer tanto la suma como la resta de ambos. ¿Cómo haría yo la suma? Pues yo lo que tendría que hacer es, voy a hacer, a ver si me deja aquí, voy a hacer una resta que contenga A a U, voy a hacer una resta que contenga A a V, voy a hacer una resta paralela a esta que pase por este punto,

293
00:21:47,190 --> 00:21:49,809
y voy a hacer una recta paralela

294
00:21:49,809 --> 00:21:50,890
a esta

295
00:21:50,890 --> 00:21:57,240
que pase por aquí, no me dejan

296
00:21:57,240 --> 00:21:59,720
y entonces chavales

297
00:21:59,720 --> 00:22:01,680
¿qué es lo que tengo? no sé si os fijáis

298
00:22:01,680 --> 00:22:02,920
tengo un polígono

299
00:22:02,920 --> 00:22:05,160
a ver si me sale bien

300
00:22:05,160 --> 00:22:09,480
que es un paralelogramo

301
00:22:13,140 --> 00:22:13,559
a ver

302
00:22:13,559 --> 00:22:17,140
va desde aquí

303
00:22:17,140 --> 00:22:19,400
hasta aquí

304
00:22:19,400 --> 00:22:22,039
hasta aquí

305
00:22:22,039 --> 00:22:25,710
vale, como me falla un poquillo

306
00:22:25,710 --> 00:22:27,670
a la vista, eso es un

307
00:22:27,670 --> 00:22:29,849
paralelogramo formado, os acordáis

308
00:22:29,849 --> 00:22:31,589
por este vector u y este vector v.

309
00:22:32,130 --> 00:22:33,589
¿Os acordáis? Más o menos.

310
00:22:34,170 --> 00:22:35,930
Si yo ahora hago u más v,

311
00:22:38,160 --> 00:22:38,799
u más v

312
00:22:38,799 --> 00:22:40,920
va a ser un vector

313
00:22:40,920 --> 00:22:42,299
que va desde aquí

314
00:22:42,299 --> 00:22:44,299
hasta este punto d.

315
00:22:45,920 --> 00:22:47,039
Y ahora ha quedado fatal, ¿no?

316
00:22:47,039 --> 00:22:47,440
¿Eh?

317
00:22:50,460 --> 00:22:51,579
Vale, si yo hago

318
00:22:51,579 --> 00:22:52,380
u más v, ¿no?

319
00:22:53,420 --> 00:22:54,579
Claro, u más v.

320
00:22:55,839 --> 00:22:56,319
Hostia.

321
00:22:57,079 --> 00:23:01,160
¿Y por qué?

322
00:23:01,640 --> 00:23:04,119
Porque el punto B no está en el final de la flecha.

323
00:23:05,900 --> 00:23:07,799
Ángela María, muy bien, muy bien.

324
00:23:08,400 --> 00:23:09,019
A fin, fin.

325
00:23:10,200 --> 00:23:11,519
Vale, voy a hacer una cosilla.

326
00:23:12,740 --> 00:23:14,519
Gracias, F de acentón, gracias, madre.

327
00:23:15,980 --> 00:23:18,019
Vale, voy a hacer una cosa mejor.

328
00:23:19,180 --> 00:23:21,240
Voy a hacer un vector para que no haya follón.

329
00:23:21,240 --> 00:23:28,000
Voy a hacer un vector aquí que vaya desde el 0, 0 aquí.

330
00:23:28,460 --> 00:23:40,799
Un vector que vaya desde aquí a...

331
00:23:40,799 --> 00:23:41,940
Aquí no va a haber problema.

332
00:23:42,460 --> 00:23:42,680
Vale.

333
00:23:43,240 --> 00:23:45,799
Y otro vector que vaya de aquí a aquí.

334
00:23:46,319 --> 00:23:46,859
¿Vale, chavales?

335
00:23:47,359 --> 00:23:52,380
Y ahora voy a hacer una recta que contenga de A a C.

336
00:23:52,380 --> 00:23:53,819
Gracias, Cendón Madre.

337
00:23:54,660 --> 00:23:56,880
Y otra recta que vaya de A a B.

338
00:23:57,599 --> 00:23:58,099
Y ahora sí.

339
00:23:58,099 --> 00:24:09,880
Ahora voy a hacer una recta paralela a esta de aquí que pase por B y una recta aquí que pase por C, ¿vale?

340
00:24:10,099 --> 00:24:22,970
Y ahora si yo hago U más V, ahora sí, ¿vale? Gracias madre, va a llegar a este paralelogramo, ¿de acuerdo?

341
00:24:22,970 --> 00:24:46,759
¿De acuerdo? Este paralelogramo que va desde A a C a este punto de aquí, a ver si atino, A, A, B, la suma de los dos, ¿de acuerdo? La suma de los dos es la diagonal de ese paralelogramo, ¿lo veis? ¿Sí o no?

342
00:24:46,759 --> 00:25:01,960
Y ahora, que aquí lo vamos a ver un poco mal, porque GeoGebra lo va a partir desde el origen, la otra diagonal es la diferencia entre u menos v, ¿vale?

343
00:25:01,960 --> 00:25:18,119
Un menos v, si os fijáis, es, voy aquí a esto, lo voy a ocultar, lo voy a ocultar, lo voy a ocultar para que se quede mejor, ¿vale?

344
00:25:18,119 --> 00:25:36,099
¿Qué coño? Ocultar. Este vector de aquí, si yo me lo llevo, chavales, si yo me lo llevo de aquí a aquí, es el mismo resultado, ¿de acuerdo?

345
00:25:36,880 --> 00:25:38,980
aunque no me convence mucho

346
00:25:38,980 --> 00:25:41,000
aquí tengo A

347
00:25:41,000 --> 00:25:41,980
y aquí tengo B

348
00:25:41,980 --> 00:25:44,579
y esto de aquí

349
00:25:44,579 --> 00:25:57,299
vamos a ver cuánto es el módulo

350
00:25:57,299 --> 00:25:59,059
un menos V

351
00:25:59,059 --> 00:26:00,279
o un menos V

352
00:26:00,279 --> 00:26:03,119
un menos V, yo tengo aquí U

353
00:26:03,119 --> 00:26:03,920
y V

354
00:26:03,920 --> 00:26:05,680
otra vez

355
00:26:05,680 --> 00:26:11,599
esto ya sí, claro, ya decía yo

356
00:26:11,599 --> 00:26:13,440
hostia, veo poco pero

357
00:26:13,440 --> 00:26:15,980
esto ya sí que concuerda

358
00:26:15,980 --> 00:26:16,960
con esto de aquí, ¿vale?

359
00:26:17,440 --> 00:26:19,180
de hecho si yo hago, fijaros

360
00:26:19,180 --> 00:26:26,119
Una circunferencia que vaya de A a este punto, ¿vale?

361
00:26:26,660 --> 00:26:29,980
A este punto.

362
00:26:30,240 --> 00:26:37,190
Y yo mido aquí cuánto vale este segmento de aquí.

363
00:26:42,019 --> 00:26:51,220
A ver si yo hago aquí un segmento que vaya de A a la circunferencia.

364
00:26:51,900 --> 00:26:52,819
Y yo lo mido.

365
00:26:55,099 --> 00:26:56,180
Mide casi 10, ¿no?

366
00:26:56,180 --> 00:26:57,579
9,89, ¿vale?

367
00:26:57,819 --> 00:27:17,420
Y si yo hago una circunferencia que vaya desde aquí hasta aquí y ahora hago un segmento que vaya desde aquí a cualquier punto de la circunferencia, si lo mido, me da también 9,89.

368
00:27:17,420 --> 00:27:43,859
¿Lo veis? Y este de aquí, fijaros, si yo hago una recta que pase de aquí, aquí, chavales, y yo ahora hago una recta paralela desde aquí a esta de aquí, que pase por el punto C, fijaros, que son dos rectas paralelas y este vector de aquí es el mismo que este de aquí.

369
00:27:43,859 --> 00:28:00,720
¿Lo veis? Entonces, geométricamente, ¿qué tenemos que saber? Que si yo tengo dos vectores u y v, me van a formar, cuando estoy en un plano, me van a formar un paralelogramo.

370
00:28:00,720 --> 00:28:01,759
Un paralelogramo.

371
00:28:02,680 --> 00:28:07,559
Geométricamente, la suma de dos vectores es,

372
00:28:07,859 --> 00:28:14,059
yo hago el paralelogramo, me voy al, digamos, al vértice opuesto,

373
00:28:14,579 --> 00:28:20,559
esta es la suma, y la otra diagonal es la resta de vectores.

374
00:28:21,400 --> 00:28:22,799
Eso gráficamente.

375
00:28:23,059 --> 00:28:29,000
Si nos vamos a lo que es analíticamente, es muy fácil.

376
00:28:29,559 --> 00:28:29,940
¿Por qué?

377
00:28:29,940 --> 00:28:48,859
Porque si yo tengo mi vector v, que es vx, vi, y yo tengo mi vector w, que es wx, wi, y u más w resulta que es z, o no, wx, no, aquí no me gusta, pero bueno.

378
00:28:48,859 --> 00:28:59,779
Esto sería vx más vx y aquí vi, es decir, más vi, ¿no veis?

379
00:28:59,940 --> 00:29:06,180
Ejemplo, si yo tengo mi vector v, que es yo que sé, 4 menos 3,

380
00:29:06,400 --> 00:29:10,880
y yo tengo mi vector v es menos 5, 8, ¿de acuerdo?

381
00:29:10,880 --> 00:29:22,700
Pues V más W, realmente que es 4 menos 5, menos 3 más 8, esto es igual a menos 1, 5.

382
00:29:24,000 --> 00:29:29,059
¿Lo veis así de fácil en el espacio? ¿Qué ocurre en el espacio, chavales?

383
00:29:29,059 --> 00:29:40,740
Que yo cuántas componentes tengo. 5, 2, menos 7. Y W es, yo qué sé, menos 2, menos 4 y 10.

384
00:29:40,880 --> 00:29:53,440
Pues, ¿cuánto es v más w? Pues, v más w es realmente 5 menos 2, 2 menos 4, menos 7 más 10.

385
00:29:53,700 --> 00:30:01,480
Es decir, v más w es igual a 3 menos 2, 3. ¿Lo veis todos? Dimeis.

386
00:30:01,480 --> 00:30:04,720
Pero, ¿cuántas medias de espacio son 3?

387
00:30:04,720 --> 00:30:10,799
cada vector tiene tres componentes

388
00:30:10,799 --> 00:30:13,960
no

389
00:30:13,960 --> 00:30:16,700
no, eso realmente

390
00:30:16,700 --> 00:30:18,480
mira, si yo me voy a GeoGebra

391
00:30:18,480 --> 00:30:20,039
vale

392
00:30:20,039 --> 00:30:22,920
y yo me voy, te voy a poner un GeoGebra

393
00:30:22,920 --> 00:30:30,359
nuevo, tú aquí

394
00:30:30,359 --> 00:30:32,400
esto lo ves, si yo tengo aquí

395
00:30:32,400 --> 00:30:34,559
el punto, yo que sé, yo tengo el punto

396
00:30:34,559 --> 00:30:36,460
A, que es

397
00:30:36,460 --> 00:30:38,200
3, 6

398
00:30:38,200 --> 00:30:40,980
No, voy a poner otro más pequeñito para que se vea bien

399
00:30:40,980 --> 00:30:44,200
¿Por qué? Ah, va, 3, 6

400
00:30:44,200 --> 00:30:47,220
Si yo ahora hago un vector, ¿vale?

401
00:30:47,259 --> 00:30:51,160
Que vaya desde el 0, 0 hasta aquí

402
00:30:51,160 --> 00:30:53,880
Fíjate que las componentes del vector son 3, 6

403
00:30:53,880 --> 00:30:58,980
¿Vale? Entonces, si yo ahora estoy en el espacio

404
00:30:58,980 --> 00:31:04,119
¿Vale? Si yo ahora tengo el punto

405
00:31:04,119 --> 00:31:06,599
El punto B, ¿vale?

406
00:31:06,740 --> 00:31:09,660
El punto B es igual a, yo que sé

407
00:31:09,660 --> 00:31:12,119
2, 4, 6

408
00:31:12,119 --> 00:31:15,680
aquí me ha hecho un vector

409
00:31:15,680 --> 00:31:18,900
perdón, claro, es que

410
00:31:18,900 --> 00:31:21,400
el 2, 4, 6, tengo aquí

411
00:31:21,400 --> 00:31:23,519
el punto B, mira el punto

412
00:31:23,519 --> 00:31:25,359
B, ¿vale? 2, 4, 6, que es

413
00:31:25,359 --> 00:31:27,240
una componente X, una componente Y

414
00:31:27,240 --> 00:31:28,940
y una componente Z, ¿vale?

415
00:31:29,240 --> 00:31:30,740
si yo hago el vector

416
00:31:30,740 --> 00:31:32,859
un vector

417
00:31:32,859 --> 00:31:34,660
que va

418
00:31:34,660 --> 00:31:37,500
desde el 0, 0 hasta B

419
00:31:37,500 --> 00:31:41,319
sus componentes también son 2, 4, 6

420
00:31:41,319 --> 00:31:46,980
¿Lo ves? ¿Eso qué ocurre? ¿Cuál es el módulo de este vector?

421
00:31:47,240 --> 00:31:54,019
El módulo de este vector es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 4 al cuadrado más 6 al cuadrado.

422
00:31:55,119 --> 00:31:55,680
¿Vale?

423
00:31:57,359 --> 00:32:01,759
Ahí lo vemos, el vector con las tres componentes.

424
00:32:02,339 --> 00:32:10,319
¿Lo ves? Si yo esto aquí lo varío, pues al final lo voy viendo en todas sus posiciones.

425
00:32:10,319 --> 00:32:37,519
¿Vale? Entonces, ¿qué es restar realmente? ¿Qué es restar polinomios? ¿Qué es restar vectores? Pues si yo, por ejemplo, lo que tengo aquí es un v, v, jesús, menos v doble, realmente es menos v doble, ¿ya vale? Esto es lo mismo, perdonad, esto es igual que v más menos v doble,

426
00:32:37,519 --> 00:32:53,099
Y menos W que es el opuesto, ¿de acuerdo? El opuesto de W, ¿vale? ¿Y qué ocurre con el opuesto de W? Tiene la misma dirección, tiene sentido contrario y tiene el mismo módulo.

427
00:32:53,099 --> 00:33:11,839
De hecho, si mi v, que era 5, 2, menos 7, y w es menos 2, menos 4, 10, menos w, que es donde haya un menos, pongo un más, ¿lo veis?

428
00:33:12,079 --> 00:33:18,339
Estos son los vectores 2, 4, 6, el menos w. ¿Lo veis? ¿Sí o no?

429
00:33:18,339 --> 00:33:41,759
Bueno, si yo me voy a GeoGebra, yo tengo aquí el vector u, ¿lo veis? Tengo el vector u. Si yo hago menos u, está en la misma dirección, lo único que tiene es sentido diferente y lo que sí es el mismo módulo. ¿Lo veis? El mismo módulo.

430
00:33:41,759 --> 00:33:49,680
Yo de hecho, si yo aquí hago al GR1 de U, me sale 778, ¿lo veis?

431
00:33:49,980 --> 00:33:58,440
Y si yo hago aquí el módulo, el módulo de V, me sale 748.

432
00:33:59,220 --> 00:34:00,420
Es exactamente el mismo.

433
00:34:00,900 --> 00:34:05,180
Le he cambiado las coordenadas, aquí era 246, aquí es menos 4 menos 6.

434
00:34:05,180 --> 00:34:07,920
tiene la misma dirección, tiene

435
00:34:07,920 --> 00:34:10,199
distinto, perdón, el mismo módulo

436
00:34:10,199 --> 00:34:11,800
pero sentido contrario

437
00:34:11,800 --> 00:34:13,599
¿vale? es lo único

438
00:34:13,599 --> 00:34:15,780
¿eso lo veis? y entonces

439
00:34:15,780 --> 00:34:17,099
la resta

440
00:34:17,099 --> 00:34:18,219
dime hijo

441
00:34:18,219 --> 00:34:21,659
te lo confirmo

442
00:34:21,659 --> 00:34:23,719
porque todavía no he podido hablar con Javier

443
00:34:23,719 --> 00:34:25,539
¿vale? esto que sería

444
00:34:25,539 --> 00:34:27,800
pues 5 menos menos 2

445
00:34:27,800 --> 00:34:29,820
¿cuánto es chaval? 7

446
00:34:29,820 --> 00:34:31,380
esto es un 6

447
00:34:31,380 --> 00:34:33,039
y esto es menos 17

448
00:34:33,039 --> 00:34:35,119
esto es un menos, perdonadme ¿vale?

449
00:34:35,179 --> 00:34:37,760
¿Lo veis, chavales, o no?

450
00:34:38,239 --> 00:34:38,860
Fácil, ¿no?

451
00:34:43,519 --> 00:34:44,900
V menos, V.

452
00:34:45,400 --> 00:34:47,329
¿Sí?

453
00:34:51,360 --> 00:34:52,400
Entonces, chavales,

454
00:34:53,780 --> 00:34:57,000
geométricamente, el paralelogramo.

455
00:34:57,119 --> 00:34:59,059
Pero cuando tenemos tres vectores,

456
00:34:59,780 --> 00:35:02,159
tres vectores, y esto es súper importante

457
00:35:02,159 --> 00:35:04,900
porque luego vamos a ver el producto mixto

458
00:35:04,900 --> 00:35:07,260
de tres vectores, ¿vale?

459
00:35:07,500 --> 00:35:09,199
Cuando yo tengo tres vectores,

460
00:35:09,199 --> 00:35:13,300
al final lo que tengo no es un paralelogramo.

461
00:35:13,300 --> 00:35:16,059
Tengo un paralelepípedo, ¿vale?

462
00:35:16,679 --> 00:35:21,199
Entonces, lo que formo es, abajo que tengo, chavales, realmente,

463
00:35:21,360 --> 00:35:23,980
abajo que es lo que tengo, la suma de dos vectores, ¿lo veis?

464
00:35:24,639 --> 00:35:27,539
Abajo yo tengo el paralelogramo, la suma de dos vectores.

465
00:35:27,619 --> 00:35:31,280
Yo tengo mi vector u, mi vector v, y luego mi vector w.

466
00:35:31,940 --> 00:35:35,659
Yo primero sumo uv, que me da esto de aquí.

467
00:35:35,840 --> 00:35:39,519
Fijaros, yo formo el paralelogramo con el mismo origen.

468
00:35:39,519 --> 00:35:43,699
hago la diagonal

469
00:35:43,699 --> 00:35:45,699
y ahora tengo que sumar

470
00:35:45,699 --> 00:35:48,139
estos de aquí, que es la suma de V

471
00:35:48,139 --> 00:35:49,400
con W

472
00:35:49,400 --> 00:35:51,860
pues de nuevo hago un paralelogramo

473
00:35:51,860 --> 00:35:53,900
lo que pasa que ahora es hacia arriba, lo veis

474
00:35:53,900 --> 00:35:55,860
y uno, el mismo

475
00:35:55,860 --> 00:35:57,639
origen con esto de aquí

476
00:35:57,639 --> 00:35:59,360
formo un paralelopípedo

477
00:35:59,360 --> 00:36:02,219
y entonces que ocurre, que esto de aquí

478
00:36:02,219 --> 00:36:03,900
de acuerdo, esto de aquí

479
00:36:03,900 --> 00:36:05,460
es súper importante

480
00:36:05,460 --> 00:36:07,840
para también geométricamente

481
00:36:07,840 --> 00:36:11,539
Hallar áreas, optimizar áreas y demás, ¿vale?

482
00:36:12,260 --> 00:36:12,699
¿Sí o no?

483
00:36:13,480 --> 00:36:17,099
Entonces, propiedades de las operaciones con vectores, la asociativa.

484
00:36:17,579 --> 00:36:21,219
Aquí, sí, me da igual primero sumar dos vectores y luego un tercero,

485
00:36:21,480 --> 00:36:24,019
que sumar el segundo y el tercero y le sumo el primero.

486
00:36:24,639 --> 00:36:27,800
Conmutativa, da igual sumar u más v que v más u.

487
00:36:28,360 --> 00:36:30,780
El vector nulo, que es el elemento neutro.

488
00:36:30,960 --> 00:36:35,139
Si yo cualquier vector le sumo el vector nulo, me quedo igual,

489
00:36:35,139 --> 00:36:37,619
porque ¿cuáles son las componentes del vector nulo, chavales?

490
00:36:37,840 --> 00:36:41,099
0, 0, 0 si estamos en tres dimensiones

491
00:36:41,099 --> 00:36:42,900
o 0, 0 si estamos en dos

492
00:36:42,900 --> 00:36:45,539
y el vector opuesto es aquel

493
00:36:45,539 --> 00:36:47,440
que tiene las mismas coordenadas

494
00:36:47,440 --> 00:36:48,880
pero cambiado el signo

495
00:36:48,880 --> 00:36:51,619
¿y qué ocurre si yo sumo V más W?

496
00:36:52,320 --> 00:36:53,079
pues que me va

497
00:36:53,079 --> 00:36:55,440
V más menos V

498
00:36:55,440 --> 00:36:57,059
que me va a dar el vector nulo

499
00:36:57,059 --> 00:36:58,480
¿eso lo entendéis?

500
00:36:59,019 --> 00:37:01,260
y luego con el producto

501
00:37:01,260 --> 00:37:03,019
por escalar por un vector

502
00:37:03,019 --> 00:37:05,579
si yo tengo dos números

503
00:37:05,579 --> 00:37:07,719
esclares y lo multiplico

504
00:37:07,719 --> 00:37:09,059
por v, me da igual.

505
00:37:09,780 --> 00:37:11,500
Primero multiplica ese número por el

506
00:37:11,500 --> 00:37:13,260
vector y luego cuando ya tengo

507
00:37:13,260 --> 00:37:15,380
multiplicado ese número por ese vector, lo

508
00:37:15,380 --> 00:37:17,360
multiplico por a, que multiplica

509
00:37:17,360 --> 00:37:19,639
esos dos números y lo multiplico por v.

510
00:37:19,900 --> 00:37:21,420
No sé si esto lo entendéis bien o no.

511
00:37:22,000 --> 00:37:23,400
Si yo, por ejemplo, tengo

512
00:37:23,400 --> 00:37:25,519
que a es igual a 2, que b

513
00:37:25,519 --> 00:37:27,340
es igual a 3 y mi vector

514
00:37:27,340 --> 00:37:29,119
v es, yo qué sé, 4

515
00:37:29,119 --> 00:37:31,579
0 menos 1.

516
00:37:32,619 --> 00:37:33,420
Si yo tengo

517
00:37:33,420 --> 00:37:35,260
a por b por v,

518
00:37:35,820 --> 00:37:37,260
a por b por v, ¿qué es?

519
00:37:37,260 --> 00:37:57,019
¿Cuánto es d por v? Pues esto es 12, ¿verdad? 0 menos 3. Y el a hemos dicho que era un 2, ¿no? Esto es un 2. Esto era un a. Vaya, es que aquí, como estoy con el otro, esto es una a y esto es un 2, ¿verdad?

520
00:37:57,019 --> 00:38:00,659
entonces esto aquí es igual a 24, 0, menos 6

521
00:38:00,659 --> 00:38:05,019
lo que me dice, si yo multiplico A por B primero

522
00:38:05,019 --> 00:38:08,519
A por B ¿cuánto hecha? A por B es 6

523
00:38:08,519 --> 00:38:12,679
y como mi V es 4, 0, menos 1

524
00:38:12,679 --> 00:38:16,780
pues resulta que yo que tengo 6V, ¿cuánto es?

525
00:38:17,079 --> 00:38:21,260
24, 0, menos 6, ¿ves como me da lo mismo?

526
00:38:22,960 --> 00:38:25,500
pues eso es lo que me dice esta propiedad de aquí

527
00:38:26,059 --> 00:38:31,139
Luego, si yo lo distribuyo, es decir, si yo tengo suma de escalares y lo multiplico por v,

528
00:38:31,739 --> 00:38:35,019
es lo mismo sumar esos dos números y luego multiplicarlo por v,

529
00:38:35,260 --> 00:38:41,420
que primero multiplicar un número por v y luego le sumo la multiplicación del otro número por v.

530
00:38:42,019 --> 00:38:45,480
Igualmente la distributiva 2, es decir, yo tengo un escalar pero dos vectores,

531
00:38:45,599 --> 00:38:49,360
aquí tengo dos escalares y un vector, yo tengo aquí un escalar y dos vectores.

532
00:38:49,639 --> 00:38:54,300
Yo puedo hacer primero la suma de los vectores y luego lo multiplico por el escalar

533
00:38:54,300 --> 00:39:00,820
o multiplico ese número por un vector, lo multiplico ese número por el otro y hago la suma de vectores.

534
00:39:01,099 --> 00:39:06,400
Y luego el producto por 1. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación? El 1.

535
00:39:06,539 --> 00:39:15,300
¿Cuál es el elemento neutro de la suma? El vector neutro. ¿Vale, chavales? ¿Sí? Vale.

536
00:39:15,300 --> 00:39:17,199
pues

537
00:39:17,199 --> 00:39:19,380
entonces

538
00:39:19,380 --> 00:39:20,900
vamos a ver

539
00:39:20,900 --> 00:39:27,699
esto de aquí es fácil pero ahora lo que yo

540
00:39:27,699 --> 00:39:29,940
quiero que veáis es esto que es muy importante

541
00:39:29,940 --> 00:39:31,860
¿por qué se da todo esto de aquí?

542
00:39:32,440 --> 00:39:33,920
porque ahora volvemos otra vez

543
00:39:33,920 --> 00:39:35,840
a la combinación lineal

544
00:39:35,840 --> 00:39:38,440
de vectores, a la dependencia

545
00:39:38,440 --> 00:39:40,440
e independencia lineal

546
00:39:40,440 --> 00:39:41,880
y sobre todo

547
00:39:41,880 --> 00:39:44,179
a las bases y a las coordenadas

548
00:39:44,179 --> 00:39:45,719
¿todo el mundo dio

549
00:39:45,719 --> 00:39:47,360
física aquí el año pasado?

550
00:39:47,360 --> 00:39:50,500
todo el mundo dio física aquí el año pasado

551
00:39:50,500 --> 00:39:52,400
bueno pues sin saberlo

552
00:39:52,400 --> 00:39:54,019
este año no, este año no dais

553
00:39:54,019 --> 00:39:56,260
poca gente, me refiero que

554
00:39:56,260 --> 00:39:58,280
el año pasado era todo el mundo

555
00:39:58,280 --> 00:39:58,960
y este año no

556
00:39:58,960 --> 00:40:01,300
sin saberlo ustedes

557
00:40:01,300 --> 00:40:02,780
sin saberlo ustedes

558
00:40:02,780 --> 00:40:05,539
desde primero de eso

559
00:40:05,539 --> 00:40:08,059
estáis utilizando una base

560
00:40:08,059 --> 00:40:09,880
una base, sobre todo en física

561
00:40:09,880 --> 00:40:11,940
se ve muy bien, os acordáis

562
00:40:11,940 --> 00:40:14,280
del IJK de física

563
00:40:14,280 --> 00:40:16,239
el IJK de física

564
00:40:16,239 --> 00:40:32,539
Eso eran vectores unitarios, eran vectores unitarios, ¿de acuerdo? ¿Qué se caracteriza por un vector unitario? Porque su módulo es 1, ¿de acuerdo? Y entonces, ¿qué es lo que ocurre? Yo tengo un plano, yo tengo un plano, fijaros en la pizarra.

565
00:40:32,539 --> 00:40:50,699
Yo puedo tener distintas, yo con dos vectores, que no tengan la misma dirección, yo puedo poner cualquier punto de la pizarra como combinación lineal de esos dos vectores.

566
00:40:50,699 --> 00:41:07,780
No sé si me estoy explicando, porque yo creo que en el plano es fácil, ¿no? Vamos a ver, GeoGebra, clase, borrar, por ejemplo.

567
00:41:07,780 --> 00:41:10,820
yo tengo aquí un punto

568
00:41:10,820 --> 00:41:12,639
¿verdad? elijo aquí un punto

569
00:41:12,639 --> 00:41:14,659
bueno, mejor dicho, sí

570
00:41:14,659 --> 00:41:15,920
este punto de aquí

571
00:41:15,920 --> 00:41:19,820
este punto de aquí es el 7, 4

572
00:41:19,820 --> 00:41:22,179
¿vale? ¿por qué es el 7, 4?

573
00:41:22,360 --> 00:41:24,000
porque su componente x

574
00:41:24,000 --> 00:41:26,440
es 7 y su componente y es 4

575
00:41:26,440 --> 00:41:28,000
¿sí o no? entonces

576
00:41:28,000 --> 00:41:30,079
si yo tengo un vector, chavales

577
00:41:30,079 --> 00:41:31,639
yo tengo un vector

578
00:41:31,639 --> 00:41:33,500
lo diré

579
00:41:33,500 --> 00:41:35,579
un vector que va

580
00:41:35,579 --> 00:41:38,059
desde 0 hasta 1

581
00:41:38,059 --> 00:41:39,099
es unitario

582
00:41:39,099 --> 00:41:42,059
y si yo tengo otro vector que va

583
00:41:42,059 --> 00:41:44,519
desde 0 hasta 1 es unitario

584
00:41:44,519 --> 00:41:46,400
si, ¿alguien me

585
00:41:46,400 --> 00:41:48,500
sabe decir este vector que va

586
00:41:48,500 --> 00:41:50,380
desde aquí hasta aquí

587
00:41:50,380 --> 00:41:52,239
como una combinación

588
00:41:52,239 --> 00:41:54,480
lineal de este vector

589
00:41:54,480 --> 00:41:56,639
v y este vector u?

590
00:41:56,940 --> 00:41:57,760
7 y más 7

591
00:41:57,760 --> 00:42:00,500
claro, si estamos en física así

592
00:42:00,500 --> 00:42:02,460
si estamos en física

593
00:42:02,460 --> 00:42:04,460
así, nosotros ahora lo que pasa es que en vez de ser

594
00:42:04,460 --> 00:42:06,280
i, j es u y v

595
00:42:06,280 --> 00:42:07,599
¿vale?

596
00:42:07,599 --> 00:42:25,219
U y V. Entonces, ¿qué ocurre? Si yo hago 7 veces U, ¿lo veis? 7 veces U, ya me lo pone ahí, ¿lo veis esto desde aquí? Más 4 veces V, pues ¿qué se me queda? Ese vector de ahí, ¿lo veis?

597
00:42:25,219 --> 00:42:28,219
entonces, ¿qué ocurre con u y con v?

598
00:42:28,380 --> 00:42:30,699
que estamos adelantando un poco este marco

599
00:42:30,699 --> 00:42:34,980
pues que son vectores unitarios

600
00:42:34,980 --> 00:42:38,119
que no tienen la misma dirección

601
00:42:38,119 --> 00:42:42,300
y entonces yo puedo poner cualquier punto del plano

602
00:42:42,300 --> 00:42:44,239
como combinación lineal de ellos

603
00:42:44,239 --> 00:42:44,760
¿vale?

604
00:42:45,079 --> 00:42:48,480
¿tienen que ser ortogonales o tienen que ser

605
00:42:48,480 --> 00:42:50,579
ortonormales y demás?

606
00:42:50,820 --> 00:42:52,800
no, por ejemplo, fijaros aquí

607
00:42:52,800 --> 00:42:55,139
a ver si me voy para atrás

608
00:42:55,139 --> 00:43:06,099
Yo ahora tengo mi vector, voy a hacer mi vector que sea esto de aquí, hasta aquí.

609
00:43:07,340 --> 00:43:08,500
Ay, va a quedar fatal, ¿no?

610
00:43:10,519 --> 00:43:14,579
Yo tengo mi vector que sea de aquí a aquí.

611
00:43:15,579 --> 00:43:16,599
¿Es unitario o no?

612
00:43:16,840 --> 00:43:18,679
Este vector de aquí a aquí.

613
00:43:19,539 --> 00:43:19,900
¿Sí o no?

614
00:43:19,900 --> 00:43:43,920
Yo puedo poner cualquier punto de este plano como combinación lineal de estos dos. ¿Lo puedo poner? ¿Seguro? ¿Por qué? Yo puedo poner cualquier punto, por ejemplo, este punto de aquí.

615
00:43:43,920 --> 00:43:46,239
este punto de aquí

616
00:43:46,239 --> 00:43:48,079
lo puedo poner como combinación

617
00:43:48,079 --> 00:43:49,179
lineal de estos dos

618
00:43:49,179 --> 00:43:52,059
¿eh? como no

619
00:43:52,059 --> 00:43:53,400
tienen la misma dirección

620
00:43:53,400 --> 00:43:56,380
yo lo puedo poner como combinación

621
00:43:56,380 --> 00:43:57,980
de esto de aquí

622
00:43:57,980 --> 00:43:59,940
¿qué es lo que tengo que formar

623
00:43:59,940 --> 00:44:01,980
realmente chavales? ¿qué es lo que

624
00:44:01,980 --> 00:44:03,780
tengo que formar? tengo que

625
00:44:03,780 --> 00:44:05,780
formar realmente un

626
00:44:05,780 --> 00:44:07,500
paralelogramo

627
00:44:07,500 --> 00:44:09,860
¿vale? un paralelogramo

628
00:44:09,860 --> 00:44:12,000
con esta dirección, con este

629
00:44:12,000 --> 00:44:13,480
sentido que acabe aquí

630
00:44:13,480 --> 00:44:15,599
¿Vale?

631
00:44:16,019 --> 00:44:17,360
Pero ¿qué es lo que ocurre?

632
00:44:17,940 --> 00:44:19,360
Para formarlo

633
00:44:19,360 --> 00:44:25,679
Tengo que multiplicar

634
00:44:25,679 --> 00:44:27,199
Por un número

635
00:44:27,199 --> 00:44:28,960
Este de aquí y por otro número

636
00:44:28,960 --> 00:44:29,900
Este de aquí

637
00:44:29,900 --> 00:44:32,820
Para formar ese paralelogramo

638
00:44:32,820 --> 00:44:33,400
¿Me explico?

639
00:44:34,179 --> 00:44:36,119
Si yo lo que quiero es

640
00:44:36,119 --> 00:44:39,590
Una recta

641
00:44:39,590 --> 00:44:40,690
A ver, recta paralela

642
00:44:40,690 --> 00:44:42,090
Tengo que hacer una recta

643
00:44:42,090 --> 00:44:47,789
Que vaya de aquí a aquí

644
00:44:47,789 --> 00:44:50,510
Otra recta que vaya de aquí a aquí

645
00:44:50,510 --> 00:44:58,389
hago una recta paralela

646
00:44:58,389 --> 00:45:02,849
a esta que pase por aquí

647
00:45:02,849 --> 00:45:05,309
una recta paralela

648
00:45:05,309 --> 00:45:10,679
que pase por aquí

649
00:45:10,679 --> 00:45:12,460
¿vale?

650
00:45:13,840 --> 00:45:15,480
¿y ahora qué ocurre?

651
00:45:15,920 --> 00:45:18,659
que si yo hago otra recta paralela

652
00:45:18,659 --> 00:45:20,119
a esta

653
00:45:20,119 --> 00:45:23,880
que pasa por aquí

654
00:45:23,880 --> 00:45:26,639
a ver, esto no lo tenemos que hacer

655
00:45:26,639 --> 00:45:27,659
pero si lo entendemos

656
00:45:27,659 --> 00:45:30,880
es bastante importante, ¿vale?

657
00:45:30,940 --> 00:45:34,900
Si yo hago una recta paralela a esta que pase por aquí

658
00:45:34,900 --> 00:45:39,039
y una recta paralela a esta.

659
00:45:41,159 --> 00:45:42,960
Hostia, tengo un chocho ya que no vea.

660
00:45:44,039 --> 00:45:47,599
Tengo una recta paralela a esta que pase por aquí.

661
00:45:57,869 --> 00:45:58,230
Guau.

662
00:45:59,349 --> 00:46:06,679
No sé si veis, vamos a ver este paralelogramo.

663
00:46:06,679 --> 00:46:08,579
bueno, lo que yo creo que veáis

664
00:46:08,579 --> 00:46:10,440
es que cuando yo tengo

665
00:46:10,440 --> 00:46:11,340
una base

666
00:46:11,340 --> 00:46:13,760
formada

667
00:46:13,760 --> 00:46:15,239
una base formada

668
00:46:15,239 --> 00:46:20,820
por vectores que son

669
00:46:20,820 --> 00:46:22,760
unitarios, que son

670
00:46:22,760 --> 00:46:24,059
perpendiculares

671
00:46:24,059 --> 00:46:28,230
¿vale? es mucho más

672
00:46:28,230 --> 00:46:30,050
fácil hallar las coordenadas

673
00:46:30,050 --> 00:46:32,010
de un vector respecto a eso, que son los que

674
00:46:32,010 --> 00:46:33,170
utilizáis en física

675
00:46:33,170 --> 00:46:34,690
el IJK

676
00:46:34,690 --> 00:46:37,989
que si en este caso de aquí

677
00:46:37,989 --> 00:46:44,190
no tenemos vectores ni que sean unitarios ni que sean perpendiculares, ¿vale?

678
00:46:44,849 --> 00:46:52,969
Entonces, chavales, lo que sí me interesa aquí es que le echéis un vistazo a esta parte del libro,

679
00:46:53,090 --> 00:46:56,309
que es la combinación lineal y la dependencia e independencia lineal,

680
00:46:56,730 --> 00:47:00,989
para entrar en lo que es una base, que es súper importante, ¿vale?

681
00:47:01,530 --> 00:47:03,969
Y las coordenadas de un vector respecto a la base.

682
00:47:03,969 --> 00:47:07,730
Sin saber realmente lo que es, lo habéis trabajado ya.

683
00:47:07,989 --> 00:47:20,809
¿Vale? La habéis trabajado ya. Entonces, por favor, leeroslo porque no es complicado y si podéis hacer estos ejercicios de la página 135, hacedlo, ¿vale?