1 00:00:00,000 --> 00:00:08,000 Aunque en el vídeo anterior hemos hecho la representación gráfica de la función coseno entre 0 y 2pi, 2 00:00:08,000 --> 00:00:14,000 desde luego la función puede definirse para cualquier número real. 3 00:00:14,000 --> 00:00:17,000 Y eso es lo que pretendemos hacer ahora. 4 00:00:17,000 --> 00:00:22,000 Vamos a ver la representación gráfica de la función coseno en un intervalo más amplio 5 00:00:22,000 --> 00:00:31,000 para hacernos una idea de qué ocurre cuando la función la definimos ya para cualquier número real. 6 00:00:31,000 --> 00:00:35,000 Esta sería la función coseno que hemos dibujado antes pero en pequeñito, 7 00:00:35,000 --> 00:00:42,000 es decir, esta es la representación gráfica de la función coseno entre 0 y 2pi. 8 00:00:42,000 --> 00:00:44,000 Como podemos dar más de una vuelta en la circunferencia, 9 00:00:44,000 --> 00:00:50,000 si continuamos barriendo ángulos nos encontraríamos que esto es lo que pasaría, 10 00:00:50,000 --> 00:00:55,000 es decir, volvería a repetirse la función hacia la derecha. 11 00:00:55,000 --> 00:01:00,000 Y por supuesto podríamos continuar hacia la derecha. 12 00:01:00,000 --> 00:01:02,000 Como también existen los ángulos negativos, 13 00:01:02,000 --> 00:01:09,000 podríamos ampliar hacia la parte izquierda del eje la función coseno. 14 00:01:09,000 --> 00:01:16,000 Y eso sería lo que ocurriría si damos una vuelta a la circunferencia en el sentido negativo. 15 00:01:16,000 --> 00:01:19,000 Si damos otra vuelta, eso es lo que pasaría. 16 00:01:19,000 --> 00:01:25,000 De manera que esta es la forma que tiene la función coseno para todo R. 17 00:01:25,000 --> 00:01:30,000 Podemos haceros una idea de cómo continuaría hacia la izquierda y hacia la derecha. 18 00:01:30,000 --> 00:01:32,000 Vemos que es una función periódica, 19 00:01:32,000 --> 00:01:38,000 vemos que sus valores se repiten y que se repiten de 2pi en 2pi radiales. 20 00:01:38,000 --> 00:01:43,000 Aquí tendríamos 2pi y vemos cómo se va repitiendo, 21 00:01:43,000 --> 00:01:46,000 la misma forma de dibujarla nos hace ver esto, 22 00:01:46,000 --> 00:01:53,000 vemos cómo se va repitiendo cada 2pi radiales esta función coseno. 23 00:01:53,000 --> 00:01:57,000 Entonces ya podemos plantearnos que podemos definir la función coseno 24 00:01:57,000 --> 00:02:00,000 para cualquier número real sobre el eje X, 25 00:02:00,000 --> 00:02:04,000 podemos considerar cualquier número real sobre este eje 26 00:02:04,000 --> 00:02:09,000 y las imágenes van a estar entre menos 1 y 1. 27 00:02:09,000 --> 00:02:12,000 Vamos a estudiar un poquito más en detalle ahora la función 28 00:02:12,000 --> 00:02:16,000 y nos vamos a fijar en los ceros de la función coseno. 29 00:02:16,000 --> 00:02:19,000 Aquí habría un cero en pi medios, 30 00:02:19,000 --> 00:02:22,000 aquí habría otro cero en 3pi medios, 31 00:02:22,000 --> 00:02:27,000 otro cero en 5pi medios y en 7pi medios. 32 00:02:27,000 --> 00:02:32,000 Esta es la parte positiva del eje y por supuesto continuarían hacia la derecha. 33 00:02:32,000 --> 00:02:41,000 La parte negativa, menos pi medios, menos 3pi medios, menos 5pi medios, menos 7pi medios. 34 00:02:41,000 --> 00:02:47,000 Podemos generalizar esto y es fácil darnos cuenta de que cualquier múltiplo entero de pi medios 35 00:02:47,000 --> 00:02:52,000 será un cero para la función coseno. 36 00:02:52,000 --> 00:02:55,000 Vamos a estudiar ahora los máximos, 37 00:02:55,000 --> 00:02:59,000 aquí habría uno en cero, para X igual a cero, 38 00:02:59,000 --> 00:03:03,000 la función coseno tiene un máximo, 39 00:03:03,000 --> 00:03:08,000 en 2pi hay otro máximo 40 00:03:08,000 --> 00:03:13,000 y en 4pi, vemos que a partir del cero son múltiplos pares, 41 00:03:13,000 --> 00:03:18,000 cero, 2pi, 4pi, 6pi, así continuaría hacia la derecha 42 00:03:18,000 --> 00:03:26,000 y hacia la izquierda, menos 2pi, menos 4pi. 43 00:03:26,000 --> 00:03:32,000 También podemos generalizar qué ocurriría hacia la izquierda. 44 00:03:32,000 --> 00:03:35,000 Vamos a ver ahora los mínimos, 45 00:03:35,000 --> 00:03:43,000 aquí tenemos pi, 3pi, menos pi y menos 3pi. 46 00:03:43,000 --> 00:03:47,000 Ya es cuestión nuestra estudiar la generalización de qué ocurre, 47 00:03:47,000 --> 00:03:50,000 es decir, qué pasa hacia la derecha y hacia la izquierda, 48 00:03:50,000 --> 00:03:54,000 cuando vamos a encontrarnos más mínimos de esta función. 49 00:03:54,000 --> 00:03:56,000 Pero esta es una idea que, con lo que acabamos de ver, 50 00:03:56,000 --> 00:03:59,000 es suficiente para el nivel de secundaria 51 00:03:59,000 --> 00:04:07,000 y lo que se pretende es comprender cómo se generaliza esto. 52 00:04:07,000 --> 00:04:12,000 Ahora, igual que con el seno, vamos a ver cómo se pueden obtener gráficas 53 00:04:12,000 --> 00:04:14,000 a partir de la función coseno. 54 00:04:14,000 --> 00:04:19,000 Por ejemplo, la función Y igual a 2 coseno de X 55 00:04:19,000 --> 00:04:24,000 se obtendría multiplicando por 2 los valores de Y en la función coseno. 56 00:04:24,000 --> 00:04:30,000 De manera que, si dibujamos nuestros ejes, eje X y eje Y, 57 00:04:30,000 --> 00:04:34,000 vamos a colocar en el eje X desde menos 12 hasta 12, 58 00:04:34,000 --> 00:04:38,000 igual que en los ejes anteriores, 59 00:04:38,000 --> 00:04:42,000 y ahora en el eje Y necesitamos un intervalo mayor, 60 00:04:42,000 --> 00:04:46,000 lo que hacemos ahora es colocar la función coseno, 61 00:04:46,000 --> 00:04:48,000 esta sería la función coseno, 62 00:04:48,000 --> 00:04:52,000 y pensar qué ocurre si ahora cada uno de los valores 63 00:04:52,000 --> 00:04:54,000 de la función coseno lo multiplicamos por 2. 64 00:04:54,000 --> 00:04:56,000 ¿Qué ocurriría? 65 00:04:56,000 --> 00:04:58,000 Pues esto es lo que pasaría. 66 00:04:58,000 --> 00:05:03,000 Cada valor de la variable Y, 67 00:05:03,000 --> 00:05:06,000 es decir, de la variable dependiente, 68 00:05:06,000 --> 00:05:09,000 los valores de la variable dependiente, de la variable Y, 69 00:05:09,000 --> 00:05:10,000 se multiplican todos por 2. 70 00:05:10,000 --> 00:05:14,000 Y nos quedaría la gráfica que tenemos en rojo. 71 00:05:15,000 --> 00:05:19,000 Continuamos este vídeo comparando ahora 72 00:05:19,000 --> 00:05:23,000 las gráficas de la función seno y de la función coseno. 73 00:05:23,000 --> 00:05:27,000 Resulta más o menos evidente, a poco que nos hayamos fijado, 74 00:05:27,000 --> 00:05:31,000 que ambas gráficas tienen la misma forma. 75 00:05:31,000 --> 00:05:34,000 Lo que vamos a hacer es trazar los ejes 76 00:05:34,000 --> 00:05:38,000 y dibujar las dos funciones sobre los mismos ejes. 77 00:05:38,000 --> 00:05:42,000 Pero antes vamos a colocar los valores de Y 78 00:05:42,000 --> 00:05:46,000 Pero antes vamos a colocar los puntos que más nos interesan. 79 00:05:46,000 --> 00:05:49,000 Como ya sabemos que las dos funciones son periódicas de periodo 2pi, 80 00:05:49,000 --> 00:05:56,000 pues vamos a colocar de 2pi en 2pi hacia la derecha y hacia la izquierda. 81 00:05:56,000 --> 00:05:59,000 Tenemos entonces 2pi, 4pi, menos 2pi y menos 4pi. 82 00:05:59,000 --> 00:06:03,000 Vamos a colocar también pi y 3pi, 83 00:06:03,000 --> 00:06:06,000 y por la parte izquierda menos pi y menos 3pi. 84 00:06:06,000 --> 00:06:09,000 Tenemos ya los puntos más importantes. 85 00:06:09,000 --> 00:06:12,000 Dibujamos ahora, trazamos la función seno. 86 00:06:12,000 --> 00:06:16,000 Esta sería la función seno. 87 00:06:16,000 --> 00:06:21,000 Vamos a trazar ahora la otra función, la función coseno. 88 00:06:21,000 --> 00:06:25,000 A verlas juntas es más apreciable aún 89 00:06:25,000 --> 00:06:28,000 que la forma de las dos funciones es igual. 90 00:06:28,000 --> 00:06:32,000 Es decir, su forma es la misma. 91 00:06:32,000 --> 00:06:37,000 Lo único que ocurre es que van como desplazadas la una con respecto a la otra. 92 00:06:37,000 --> 00:06:42,000 Según cuál tomemos de referencia, pues se desplazará una o se desplazará otra. 93 00:06:42,000 --> 00:06:45,000 Eso es lo que decimos aquí. 94 00:06:45,000 --> 00:06:48,000 Apreciamos que ambas funciones tienen la misma forma. 95 00:06:48,000 --> 00:06:51,000 Si nos fijamos, desplazando el coseno, 96 00:06:51,000 --> 00:06:54,000 o sea, si recordamos los colores, 97 00:06:54,000 --> 00:06:57,000 el coseno es la gráfica que está en azul. 98 00:06:57,000 --> 00:07:01,000 Si la gráfica que está en azul la desplazamos pi medios hacia la derecha, 99 00:07:01,000 --> 00:07:04,000 se superpondría a la gráfica roja. 100 00:07:04,000 --> 00:07:10,000 Tendríamos entonces que la función coseno desplazada sería la función seno. 101 00:07:12,000 --> 00:07:16,000 Ahí tenemos pi medios y eso sería lo que habría que desplazar hacia la derecha. 102 00:07:16,000 --> 00:07:19,000 De la misma manera, si nos fijamos en el seno, 103 00:07:19,000 --> 00:07:22,000 si desplazamos el seno ahora, es decir, la roja, 104 00:07:22,000 --> 00:07:25,000 la desplazamos hacia la izquierda, 105 00:07:25,000 --> 00:07:28,000 también una distancia de pi medios, 106 00:07:28,000 --> 00:07:31,000 es decir, si tiráramos de la gráfica hacia la izquierda pi medios, 107 00:07:32,000 --> 00:07:35,000 se montaría la gráfica roja sobre la gráfica azul, 108 00:07:35,000 --> 00:07:40,000 de manera que se transformaría en la función coseno. 109 00:07:41,000 --> 00:07:45,000 Todo esto se puede expresar de la manera que escribimos ahora aquí, 110 00:07:45,000 --> 00:07:48,000 con esta fórmula. 111 00:07:48,000 --> 00:07:54,000 La función seno se puede obtener como la función coseno de x menos pi medios, 112 00:07:54,000 --> 00:07:57,000 que es justamente lo que acabamos de decir. 113 00:07:57,000 --> 00:08:03,000 Y de la misma manera, seno de x más pi medios nos daría la función coseno. 114 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 Es importante reflexionar esto un poco, 115 00:08:07,000 --> 00:08:10,000 fijándonos en las gráficas de las dos funciones y fijándoles 116 00:08:10,000 --> 00:08:14,000 qué es lo que ocurre cuando movemos hacia la izquierda o hacia la derecha.