1
00:00:01,070 --> 00:00:06,089
Vale, se nos pide estudiar solamente la monotonía de estas tres funciones.

2
00:00:10,800 --> 00:00:16,019
Cuando se nos pide la monotonía, lo que nos están pidiendo en realidad es crecimiento y decrecimiento de la función.

3
00:00:17,440 --> 00:00:19,539
Y eso lo vamos a poder estudiar ¿con qué?

4
00:00:20,519 --> 00:00:22,399
Con la primera derivada.

5
00:00:22,660 --> 00:00:26,079
Eso es. Así que lo primero que hacemos es derivar. Vamos a empezar con la primera.

6
00:00:28,289 --> 00:00:31,030
¿Cómo quedaría la primera derivada de esta función?

7
00:00:36,380 --> 00:00:36,820
Bien.

8
00:00:38,719 --> 00:00:39,380
Más dos.

9
00:00:39,380 --> 00:00:44,740
Perfecto. Entonces, ¿qué tenemos que buscar ahora con esa primera derivada?

10
00:00:46,140 --> 00:00:46,820
No.

11
00:00:49,659 --> 00:00:51,140
¿Qué tenemos que buscar?

12
00:00:52,880 --> 00:01:08,280
Que sea cero. Vamos a buscar que sea cero porque cuando la derivada sea cero, significa que hay una, o sea, en ese punto la recta tangente tiene una pendiente cero.

13
00:01:08,280 --> 00:01:12,459
Es decir, es horizontal. Así que vamos a procurar que esto sea cero.

14
00:01:12,480 --> 00:01:15,359
12x cuadrado más 2

15
00:01:15,359 --> 00:01:16,459
es igual a 0

16
00:01:16,459 --> 00:01:19,079
entonces nos queda

17
00:01:19,079 --> 00:01:20,680
despejando esto maravillosamente

18
00:01:20,680 --> 00:01:23,219
que x cuadrado es igual a menos 2 partido de 12

19
00:01:23,219 --> 00:01:24,519
entonces

20
00:01:24,519 --> 00:01:26,879
x es más menos

21
00:01:26,879 --> 00:01:29,819
la raíz de menos un sexto

22
00:01:29,819 --> 00:01:35,719
¿qué pasa?

23
00:01:40,500 --> 00:01:41,780
así, para adelante

24
00:01:41,780 --> 00:01:42,900
con la tabla

25
00:01:42,900 --> 00:01:44,939
no hay raíces negativas

26
00:01:44,939 --> 00:01:48,180
entonces si no hay raíces negativas

27
00:01:48,180 --> 00:01:50,340
significa que esta función

28
00:01:50,340 --> 00:01:58,459
va a ser monótona, estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Es decir, va

29
00:01:58,459 --> 00:02:05,340
a ser todo el rato su derivada positiva o todo el rato su derivada negativa. Pues probamos

30
00:02:05,340 --> 00:02:13,370
con cualquier número, con el más fácil, con el cero, por ejemplo. ¿Cómo queda? Dos,

31
00:02:13,490 --> 00:02:19,530
¿no? Entonces siempre va a ser positiva. f de x siempre es mayor que cero, entonces

32
00:02:19,530 --> 00:02:21,949
esta función siempre va a ir hacia arriba

33
00:02:21,949 --> 00:02:22,930
y ponemos aquí

34
00:02:22,930 --> 00:02:25,150
estrictamente

35
00:02:25,150 --> 00:02:28,240
creciente

36
00:02:28,240 --> 00:02:32,699
va a ir todo el rato hacia arriba

37
00:02:32,699 --> 00:02:36,259
¿bien?

38
00:02:39,349 --> 00:02:40,969
vale, vamos al siguiente caso

39
00:02:40,969 --> 00:02:42,229
que es un poquito más rarito

40
00:02:42,229 --> 00:02:44,330
lo vuelvo a escribir

41
00:02:44,330 --> 00:02:48,360
bueno, lo dejamos para luego

42
00:02:48,360 --> 00:02:50,379
vamos a la función esta

43
00:02:50,379 --> 00:02:52,840
ya perdón, pero es que no me cabe bien

44
00:02:52,840 --> 00:02:55,139
vale, igual

45
00:02:55,139 --> 00:02:57,180
tenemos que ver cuando la derivada es 0

46
00:02:57,180 --> 00:02:58,360
y para ello tenemos que derivar

47
00:02:58,360 --> 00:02:59,800
Venga, ¿cómo quedaría esta derivada?

48
00:02:59,860 --> 00:03:01,259
Que es un poquitito más complicada

49
00:03:01,259 --> 00:03:04,639
¿Cómo?

50
00:03:04,900 --> 00:03:07,000
Es una división

51
00:03:07,000 --> 00:03:07,960
Entonces

52
00:03:07,960 --> 00:03:09,939
Bien

53
00:03:09,939 --> 00:03:14,580
Perfecto

54
00:03:14,580 --> 00:03:19,270
Que es

55
00:03:19,270 --> 00:03:22,889
3 por el segundo sin derivar

56
00:03:22,889 --> 00:03:26,460
Eso es

57
00:03:26,460 --> 00:03:28,840
3x más 1 al cuadrado

58
00:03:28,840 --> 00:03:29,840
Entonces nos quedaría

59
00:03:29,840 --> 00:03:32,939
2x por 3x son 6x cuadrado

60
00:03:32,939 --> 00:03:34,099
Menos 3x cuadrado

61
00:03:34,099 --> 00:03:35,520
3x cuadrado

62
00:03:35,520 --> 00:03:37,020
Y 2x por 1

63
00:03:37,020 --> 00:03:42,419
2X partido de 3X más 1 al cuadrado

64
00:03:42,419 --> 00:03:45,379
Como tenemos que procurar que nuestra derivada sea 0

65
00:03:45,379 --> 00:03:48,560
Y sabemos que el denominador nunca jamás va a valer 0

66
00:03:48,560 --> 00:03:52,939
Vamos directamente a por el numerador

67
00:03:52,939 --> 00:03:56,800
Y decimos, la derivada es igual a 0

68
00:03:56,800 --> 00:04:01,180
Entonces, 3X cuadrado más 2X es igual a 0

69
00:04:01,180 --> 00:04:03,620
¿Y qué valores tenemos ahí?

70
00:04:03,620 --> 00:04:08,889
Bueno, a ver, que me he saltado un paso

71
00:04:08,889 --> 00:04:10,550
Y a lo mejor lo necesitáis

72
00:04:10,550 --> 00:04:14,509
Saco factor común

73
00:04:14,509 --> 00:04:17,069
Entonces ahora me sale

74
00:04:17,069 --> 00:04:17,910
Un valor

75
00:04:17,910 --> 00:04:26,709
¿Cuánto tiene que valer la x para que todo esto valga cero?

76
00:04:27,430 --> 00:04:28,269
Cero, bien

77
00:04:28,269 --> 00:04:29,829
¿Y el otro valor?

78
00:04:41,490 --> 00:04:42,769
Menos dos tercios

79
00:04:42,769 --> 00:04:45,110
Vale, ya tengo

80
00:04:45,110 --> 00:04:47,029
Mis dos valores en los que la derivada

81
00:04:47,029 --> 00:04:47,769
Vale cero

82
00:04:47,769 --> 00:04:51,269
Es decir, hay dos puntos

83
00:04:51,269 --> 00:04:53,430
En los que la recta tangente

84
00:04:53,430 --> 00:04:55,329
Es horizontal

85
00:04:55,329 --> 00:04:59,290
Pues entre estos dos puntos van a pasar cosas

86
00:04:59,290 --> 00:05:01,250
Y aquí sí me hago mi tabla

87
00:05:01,250 --> 00:05:03,689
Desde menos infinito

88
00:05:03,689 --> 00:05:05,610
Pasando por menos dos tercios

89
00:05:05,610 --> 00:05:06,610
El cero

90
00:05:06,610 --> 00:05:08,310
Y más infinito

91
00:05:08,310 --> 00:05:12,540
Y voy sustituyendo con valores

92
00:05:12,540 --> 00:05:16,319
Vale

93
00:05:16,319 --> 00:05:20,819
Un valor entre menos infinito y menos dos tercios

94
00:05:20,819 --> 00:05:24,579
Vale, menos dos por ejemplo

95
00:05:24,579 --> 00:05:25,800
Sustituyo y me queda

96
00:05:25,800 --> 00:05:27,160
Menos dos

97
00:05:27,160 --> 00:05:28,459
Aquí esto es negativo

98
00:05:28,459 --> 00:05:31,680
3 por menos 2 es menos 6

99
00:05:31,680 --> 00:05:33,300
Más 2 también es negativo

100
00:05:33,300 --> 00:05:34,480
Menos por menos

101
00:05:34,480 --> 00:05:36,120
Más

102
00:05:36,120 --> 00:05:38,660
O sea que por aquí crece

103
00:05:38,660 --> 00:05:42,139
Un número entre menos 2 tercios y 0

104
00:05:42,139 --> 00:05:47,279
Menos 0,5

105
00:05:47,279 --> 00:05:47,699
Me vale

106
00:05:47,699 --> 00:05:50,139
Menos 0,5 aquí es negativo

107
00:05:50,139 --> 00:05:53,079
Menos 0,5 sustituyo aquí

108
00:05:53,079 --> 00:05:54,060
Me da positivo

109
00:05:54,060 --> 00:05:55,139
Menos por más

110
00:05:55,139 --> 00:05:57,240
Menos

111
00:05:57,240 --> 00:05:59,759
O sea que por aquí baja

112
00:05:59,759 --> 00:06:04,180
Último caso, un número entre 0 y más infinito

113
00:06:04,180 --> 00:06:05,699
1

114
00:06:05,699 --> 00:06:09,779
1 positivo, 3 por 1, 1 más 2 positivo

115
00:06:09,779 --> 00:06:11,240
Más por más

116
00:06:11,240 --> 00:06:13,240
Más

117
00:06:13,240 --> 00:06:16,360
No, no, no, me vale todo

118
00:06:16,360 --> 00:06:18,000
No estoy seleccionando nada

119
00:06:18,000 --> 00:06:20,420
Simplemente ahora digo

120
00:06:20,420 --> 00:06:26,079
Crece en el intervalo entre menos infinito y menos 2 tercios

121
00:06:26,079 --> 00:06:29,220
Unión, 0 más infinito

122
00:06:29,220 --> 00:06:31,980
si estoy pidiendo intervalos de crecimiento y decrecimiento

123
00:06:31,980 --> 00:06:33,680
y decrece

124
00:06:33,680 --> 00:06:36,139
en el intervalo

125
00:06:36,139 --> 00:06:37,860
entre menos dos tercios

126
00:06:37,860 --> 00:06:38,660
y cero

127
00:06:38,660 --> 00:06:41,959
¿por qué pongo paréntesis si no cojo ninguno

128
00:06:41,959 --> 00:06:42,560
de esos puntos?

129
00:06:44,839 --> 00:06:47,079
en general, ¿no? no se cogen y ya está

130
00:06:47,079 --> 00:06:48,759
porque en esos puntos

131
00:06:48,759 --> 00:06:51,319
la tangente tiene pendiente

132
00:06:51,319 --> 00:06:51,779
cero

133
00:06:51,779 --> 00:06:54,220
no está ni creciendo ni decreciendo

134
00:06:54,220 --> 00:06:56,060
es justo el punto

135
00:06:56,060 --> 00:06:57,680
donde hay un cambio

136
00:06:57,680 --> 00:07:00,279
¿qué punto es este?

137
00:07:00,360 --> 00:07:01,339
el menos dos tercios

138
00:07:01,339 --> 00:07:03,519
es un extremo relativo, ¿no?

139
00:07:03,879 --> 00:07:04,500
¿de qué tipo?

140
00:07:07,480 --> 00:07:08,600
un máximo

141
00:07:08,600 --> 00:07:11,579
no sabemos si absoluto o relativo, eso ya se verá

142
00:07:11,579 --> 00:07:13,459
es un máximo, ¿y el cero?

143
00:07:14,399 --> 00:07:15,160
un mínimo

144
00:07:15,160 --> 00:07:16,360
¿lo veis todos?

145
00:07:17,800 --> 00:07:20,160
vale, último caso, seno de x

146
00:07:20,160 --> 00:07:21,819
se nos va a complicar

147
00:07:21,819 --> 00:07:23,220
pero no excesivamente

148
00:07:23,220 --> 00:07:29,540
igual, como tengo que averiguar

149
00:07:29,540 --> 00:07:31,139
cuando la derivada es cero

150
00:07:31,139 --> 00:07:32,819
digo, vale, pues derivo

151
00:07:32,819 --> 00:07:34,759
¿cuál es la derivada del seno?

152
00:07:37,639 --> 00:07:38,660
el coseno

153
00:07:38,660 --> 00:07:41,339
entonces digo, vale

154
00:07:41,339 --> 00:07:43,579
coseno de x tiene que ser igual a 0

155
00:07:43,579 --> 00:07:47,810
¿cuándo vale el coseno de x?

156
00:07:48,029 --> 00:07:48,550
0

157
00:07:48,550 --> 00:07:52,220
en 90 y

158
00:07:52,220 --> 00:07:57,750
no, en 180 vale menos 1

159
00:07:57,750 --> 00:07:59,709
en 270

160
00:07:59,709 --> 00:08:01,649
entonces vamos a decir

161
00:08:01,649 --> 00:08:03,889
que x tiene que valer

162
00:08:03,889 --> 00:08:06,410
y ojo aquí, que a nadie le explote la cabeza

163
00:08:06,410 --> 00:08:08,689
tenemos dos opciones

164
00:08:08,689 --> 00:08:10,189
o

165
00:08:10,189 --> 00:08:11,990
pi medios

166
00:08:11,990 --> 00:08:15,370
más 2kpi

167
00:08:15,370 --> 00:08:17,910
que eso significa

168
00:08:17,910 --> 00:08:18,970
le sumo una vuelta entera

169
00:08:18,970 --> 00:08:21,480
o

170
00:08:21,480 --> 00:08:23,439
3pi medios

171
00:08:23,439 --> 00:08:25,480
más 2kpi

172
00:08:25,480 --> 00:08:28,600
porque no hemos visto este año lo de sumar medias vueltas

173
00:08:28,600 --> 00:08:29,560
ni os lo voy a pedir

174
00:08:29,560 --> 00:08:32,480
simplemente quiero que veáis que me vale 90

175
00:08:32,480 --> 00:08:34,019
me vale 270

176
00:08:34,019 --> 00:08:36,779
pero es que me vuelve a valer

177
00:08:36,779 --> 00:08:37,559
450

178
00:08:37,559 --> 00:08:40,259
y me vuelve a valer

179
00:08:40,259 --> 00:08:41,340
540

180
00:08:41,340 --> 00:08:43,600
o sea, yo voy dando vueltas todo el rato

181
00:08:43,600 --> 00:08:44,919
¿vale?

182
00:08:45,840 --> 00:08:47,220
entonces voy a tener distintos valores

183
00:08:47,220 --> 00:08:48,720
para los que la derivada sea cero

184
00:08:48,720 --> 00:08:52,840
pues ahora voy a tener una función

185
00:08:52,840 --> 00:08:54,559
¿cómo? ¿qué le pasa a esta función?

186
00:09:00,720 --> 00:09:01,519
¿qué le pasa a esta función?

187
00:09:01,720 --> 00:09:02,059
¿si es así?

188
00:09:03,879 --> 00:09:05,759
¿vale? ¿qué hace así? ¿y qué significa que haga así?

189
00:09:06,419 --> 00:09:07,799
que es periódica

190
00:09:07,799 --> 00:09:10,080
yo tengo una función periódica

191
00:09:10,080 --> 00:09:12,080
entonces yo con que defina un periodo

192
00:09:13,019 --> 00:09:14,179
me vale, voy a coger solamente

193
00:09:14,179 --> 00:09:14,779
un cacho

194
00:09:14,779 --> 00:09:18,000
y voy a definir el periodo

195
00:09:18,000 --> 00:09:31,820
entre cero y dos pi. Y voy a decir que se repite. ¿Vale? No os voy a poner nada tan

196
00:09:31,820 --> 00:09:36,700
complicado en el examen por ahora. Igual el año que viene ya sí. Pero que entendáis

197
00:09:36,700 --> 00:09:40,899
que estas cosas suceden. Que hay funciones periódicas que tienen continuamente saltos.

198
00:09:41,080 --> 00:09:49,980
Entonces, si yo voy, defino mi recta. Voy a ponerme aquí el cero. Pero ¿para qué?

199
00:09:49,980 --> 00:09:56,059
tenerlo, porque en realidad no me vale nada. Lo que necesito es el 90, el 270, me valdría

200
00:09:56,059 --> 00:10:03,500
también el menos 90, menos 270 e iría cambiando porque es periódico. Entonces, lo que suceda

201
00:10:03,500 --> 00:10:15,960
en este intervalo se va a repetir todo el rato igual, porque es una vuelta entera. Desde

202
00:10:15,960 --> 00:10:23,440
menos 90 hasta 270 es una vuelta entera. Puedes coger entre 0 y 360, pero como el 360 no me

203
00:10:23,440 --> 00:10:27,580
interesa porque no hay ningún cambio y en el 0 tampoco. Los cambios vienen en 90, menos

204
00:10:27,580 --> 00:10:35,960
90, menos 270, 350, ¿vale? Entonces, busco un valor. El 0 ya hemos dicho que no me aporta

205
00:10:35,960 --> 00:10:45,299
nada. Entre menos 90 y 90, pues 0. Digo, ¿el coseno de 0 qué es? ¿Nadie se acuerda?

206
00:10:45,379 --> 00:10:57,570
Coseno de 0, 1. Positivo, va hacia arriba. Aquí, 1 entre medias de 90 y 270. Por ejemplo,

207
00:10:57,570 --> 00:11:04,309
Los 180, coseno de 180, menos 1, va hacia abajo.

208
00:11:05,649 --> 00:11:14,769
Entonces voy a tener intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, repitiéndose periódicamente hasta el infinito.

209
00:11:15,169 --> 00:11:18,070
Siempre igual, porque el periodo está definido.

210
00:11:19,429 --> 00:11:23,950
Primero crece y luego decrece, y se repite, crece y decrece, se repite, crece y decrece.

211
00:11:23,950 --> 00:11:25,590
bien

212
00:11:25,590 --> 00:11:28,549
me interesa más de este tipo

213
00:11:28,549 --> 00:11:30,809
pero bueno, vamos a verlos un poco de todo