1
00:00:01,649 --> 00:00:05,269
Bueno, pues hoy vamos a explicar cómo representar funciones racionales.

2
00:00:05,690 --> 00:00:09,089
Vamos a comenzar con este ejemplo.

3
00:00:09,609 --> 00:00:16,429
Vamos a representar la función x cuadrado más 3x más 11 partido de x más 1.

4
00:00:17,550 --> 00:00:23,170
Bueno, en este caso vamos a seguir exactamente los mismos pasos que vimos para las funciones polinómicas,

5
00:00:23,329 --> 00:00:25,649
exceptuando las ramas infinitas.

6
00:00:26,190 --> 00:00:31,089
El apartado de ramas infinitas ahora lo que vamos a estudiar es las asíntotas de la función,

7
00:00:31,089 --> 00:00:33,070
aunque ya conocemos cómo se calcula.

8
00:00:33,509 --> 00:00:36,189
Entonces, siguiendo paso por paso, en el primero sería el dominio.

9
00:00:36,829 --> 00:00:41,509
El dominio de la función, en este caso, son todos los reales menos el menos 1,

10
00:00:42,170 --> 00:00:44,770
que es el que anula el denominador, luego no es del dominio.

11
00:00:44,829 --> 00:00:48,590
La función va a ser continua en todos los reales menos en x igual a menos 1,

12
00:00:48,689 --> 00:00:57,270
que ya veremos que ahí presenta un asíntota vertical, ¿vale?

13
00:00:57,409 --> 00:00:58,210
Eso ya lo sabemos.

14
00:00:58,210 --> 00:01:02,289
luego va a ser continua en todos los reales menos a y

15
00:01:02,289 --> 00:01:07,870
en x igual a menos 1 tendrá una discontinuidad de salto infinito

16
00:01:07,870 --> 00:01:15,420
en el paso número 2 estudiamos los puntos de corte con los ejes

17
00:01:15,420 --> 00:01:23,799
como siempre en el eje x hacemos la y igual a 0

18
00:01:23,799 --> 00:01:30,609
la función tiene que ser 0

19
00:01:30,609 --> 00:01:34,909
esta fracción algebraica es 0 si solo si el numerador es 0

20
00:01:34,909 --> 00:01:39,010
¿Vale? Una fracción es nula si solo si su numerador es nulo

21
00:01:39,010 --> 00:01:44,469
Si resolvemos esta ecuación de segundo grado

22
00:01:44,469 --> 00:01:50,030
x es igual a menos b más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a

23
00:01:50,030 --> 00:01:52,790
Pues resulta que no pertenece a los reales, no hay soluciones

24
00:01:52,790 --> 00:01:55,650
Luego no hay punto de corte con el eje x

25
00:01:55,650 --> 00:02:01,609
No hay corte con el eje x

26
00:02:01,609 --> 00:02:04,150
Vamos a ver qué sucede con el eje y

27
00:02:04,150 --> 00:02:09,409
El eje Y, ya sabéis que tenemos que obligar a que la X sea 0

28
00:02:09,409 --> 00:02:13,509
De tal forma que obtenemos que Y es 11 partido por 1, 11

29
00:02:13,509 --> 00:02:16,590
Luego ese es el punto de corte, el 0, 11, ¿vale?

30
00:02:16,870 --> 00:02:18,169
Ese es el punto de corte con el eje

31
00:02:18,169 --> 00:02:24,689
En el 3 vamos a estudiar crecimiento y decrecimiento

32
00:02:24,689 --> 00:02:28,439
Y los puntos singulares, ¿vale?

33
00:02:28,439 --> 00:02:31,419
Los posibles máximos, mínimos, puntos de inflexión, etc.

34
00:02:32,840 --> 00:02:33,719
¿Qué ocurre?

35
00:02:33,719 --> 00:02:36,960
Que ahora no tenemos un polinomio, ahora tenemos una fracción algebraica

36
00:02:36,960 --> 00:02:39,699
Entonces derivarlo se vuelve un poco más tedioso

37
00:02:39,699 --> 00:02:42,780
Derivada del de arriba, 2x más 3

38
00:02:42,780 --> 00:02:46,500
Por el de abajo sin derivar, x más 1

39
00:02:46,500 --> 00:02:49,639
Menos la de arriba, la función de arriba

40
00:02:49,639 --> 00:02:51,280
Por la derivada del de abajo

41
00:02:51,280 --> 00:02:54,939
Todo ello partido del cuadrado de la de abajo

42
00:02:54,939 --> 00:03:00,340
Bueno, si me pongo aquí a hacer cuentas

43
00:03:00,340 --> 00:03:01,439
¿Vale?

44
00:03:01,580 --> 00:03:03,620
Si me pongo a hacer cuentas para no alargar el vídeo

45
00:03:03,620 --> 00:03:12,439
ya os digo que esto sale, x cuadrado más 2x menos 8 partido de x más 1 todo al cuadrado, ¿vale?

46
00:03:12,599 --> 00:03:15,500
Igualo a 0, para calcular los posibles máximos y mínimos,

47
00:03:16,180 --> 00:03:19,800
igualar una fracción a 0 es lo mismo que igualar su numerador a 0.

48
00:03:21,120 --> 00:03:23,919
Una ecuación de segundo grado que podemos hacer por la fórmula

49
00:03:23,919 --> 00:03:30,300
o podemos acordarnos de que se puede obtener así, ¿vale?

50
00:03:30,300 --> 00:03:38,460
Por las fórmulas de Cardano-Vieta, 4 por menos 2 son menos 8, 4 menos 2 son 2, ¿vale?

51
00:03:38,659 --> 00:03:44,360
Entonces las dos soluciones son x igual a menos 4 y x igual a 2.

52
00:03:44,580 --> 00:03:50,300
Si calculáis f de menos 4, que yo ya no me voy a entretener en hacer aquí los cálculos, sale menos 5.

53
00:03:51,080 --> 00:03:54,580
Y si calculáis f de 2, pues sale 7.

54
00:03:54,580 --> 00:03:58,900
calculamos la tablita, ponemos aquí los dos valores

55
00:03:58,900 --> 00:04:02,159
pero ahora hay una novedad que no poníamos en los polinomios

56
00:04:02,159 --> 00:04:07,099
ahora vamos a incluir el valor que no pertenece al dominio

57
00:04:07,099 --> 00:04:08,819
porque el valor que no pertenece al dominio

58
00:04:08,819 --> 00:04:11,599
normalmente supone un corte en la función

59
00:04:11,599 --> 00:04:13,919
aquí ya sabemos que hay una asíntota vertical

60
00:04:13,919 --> 00:04:17,240
luego puede ocurrir que pasen cosas a un lado y al otro del corte

61
00:04:17,240 --> 00:04:18,680
y que nos las estemos perdiendo

62
00:04:18,680 --> 00:04:24,420
entonces vamos a añadir también el valor menos 1

63
00:04:24,420 --> 00:04:39,600
que es este menos 1, ¿vale? El que no pertenece al dominio. Vamos a ver también que suceda a un lado y al otro de él, porque es un corte en la función y, bueno, pues puede ocurrir que pasen cosas distintas a un lado o al otro

64
00:04:39,600 --> 00:04:52,019
y nos la estemos perdiendo si no lo ponemos ahí, ¿vale? Entonces, ponemos la factorización. Fijaos que aquí, para poner la derivada, voy a prescindir de este valor, ¿vale?

65
00:04:52,019 --> 00:05:21,629
Voy a prescindir de este valor, voy a prescindir de este, ¿vale? Estoy poniendo la expresión de la derivada, pero voy a prescindir de este valor, del denominador, vamos, voy a prescindir del denominador porque como está al cuadrado, pues siempre va a ser positivo, entonces ahora cuando haga el cuadrito, cuando haga el cuadro, simplemente me voy a fijar en el numerador, ¿vale? Por eso pongo aquí solo el x más 4 por el x menos 2, insisto, porque este ya siempre es positivo, entonces no va a influir en el signo que tenga la derivada.

66
00:05:21,629 --> 00:05:32,610
A la izquierda del menos 4 esto es negativo, a la izquierda del menos 1, entre el menos 4 y el menos 1 esto es positivo, aquí es positivo y aquí es positivo.

67
00:05:33,050 --> 00:05:43,449
A la izquierda del menos 4 esto es negativo, entre el menos 4 y el menos 1 también, entre el menos 1 y el 2 esto es negativo y a partir del 2 es positivo.

68
00:05:43,449 --> 00:05:50,389
Con lo cual, la derivada aquí va a ser positiva, aquí negativa, aquí negativa y aquí positiva.

69
00:05:50,610 --> 00:05:56,550
Luego la función va a ser creciente, decreciente, decreciente y creciente.

70
00:05:56,550 --> 00:06:17,170
Es decir, f de x crece en menos infinito menos 4 unión 2 infinito y decrece en menos 4 2.

71
00:06:18,170 --> 00:06:23,829
Bueno, mejor dicho, ya estoy yo adelantando acontecimientos.

72
00:06:23,829 --> 00:06:31,170
Menos 4, menos 1, porque en menos 1 no existe la función, unión, menos 1, 2, ¿vale?

73
00:06:32,209 --> 00:06:45,930
A la luz de la tabla podemos asegurar que menos 4, menos 5 va a ser un máximo y 2, 7 va a ser un mínimo.

74
00:06:46,649 --> 00:06:50,189
Bueno, ahora seguimos en el siguiente vídeo estudiando la concavidad y la convexidad.