1
00:00:00,180 --> 00:00:03,200
En este vídeo vamos a ver el tema de sistema de ecuaciones.

2
00:00:04,839 --> 00:00:10,660
Vamos a trabajar los cuatro métodos de resolución de sistemas,

3
00:00:11,099 --> 00:00:16,640
que son el método de sustitución, el método de reducción, de igualación y el método gráfico.

4
00:00:17,420 --> 00:00:20,620
Vamos a trabajar con un mismo ejemplo los cuatro métodos.

5
00:00:22,579 --> 00:00:24,980
Empezamos por el método de sustitución.

6
00:00:24,980 --> 00:00:31,219
Esto es conveniente utilizarlo cuando tenemos una incógnita con coeficiente 1,

7
00:00:31,699 --> 00:00:36,340
ya que la despejamos y como bien indica el método, sustituimos en la otra ecuación.

8
00:00:37,020 --> 00:00:38,000
Veamos nuestro ejemplo.

9
00:00:40,280 --> 00:00:48,659
En este caso es conveniente utilizar este método, ya que en la segunda ecuación podemos encontrar que la y tiene como coeficiente el 1.

10
00:00:49,380 --> 00:00:53,500
Por tanto, la despejamos. Sería y igual a 3 más x.

11
00:00:53,500 --> 00:01:12,629
Y ahora sustituimos en la primera ecuación y nos quedaría 2x más 5 y ahora esta y va a valer todo esto, 3 más x igual a 1.

12
00:01:13,349 --> 00:01:23,349
A continuación aplicamos propiedad distributiva, 2x más 5 por 3, 15 y 5 por x, 5x igual a 1.

13
00:01:23,349 --> 00:01:38,370
Y ya despejamos como una ecuación de primer grado. Tenemos las x que serían 7 y tengo 1 que pasaría el 15 restando y me quedaría 1 menos 15 menos 14.

14
00:01:38,370 --> 00:01:42,750
Por tanto, el valor de x es igual a menos 2.

15
00:01:43,829 --> 00:01:57,769
Una vez obtenemos el valor de una de las incógnitas, sustituimos la ecuación ya despejada para calcular la incógnita y.

16
00:01:57,769 --> 00:02:09,449
Entonces tenemos que Y es igual a 3 más menos 2X, que sería Y igual a 3 menos 2, 1.

17
00:02:12,840 --> 00:02:21,020
Entonces mi solución es X igual a menos 2, Y igual a 1.

18
00:02:23,569 --> 00:02:31,689
Podemos comprobarlo sustituyendo estos valores para la X y para la Y en ambas ecuaciones.

19
00:02:31,689 --> 00:02:49,669
Entonces, comprobación. Tenemos 2 por menos 2 más 5 por 1 es igual a 1. Y nos lo preguntamos. ¿Esto es verdad?

20
00:02:49,669 --> 00:03:10,610
Ahora desarrollamos la primera parte de la igualdad. 2 por menos 2 sería menos 4 más 5 por 1 que es 5. Esto es igual a 1. Efectivamente, menos 4 más 5 es 1 y ambos lados de la ecuación son iguales.

21
00:03:10,610 --> 00:03:18,250
Y en la otra ecuación, menos x que vale menos 2 más 1 es igual a 3.

22
00:03:19,150 --> 00:03:20,849
Nos lo preguntamos.

23
00:03:22,009 --> 00:03:26,389
Menos menos 2 es 2 más 1 es igual a 3.

24
00:03:26,909 --> 00:03:30,550
Efectivamente, 3 es igual a 3.

25
00:03:31,509 --> 00:03:39,550
Solo haré la comprobación en este método ya que es exactamente igual para los métodos que vemos a continuación.

26
00:03:39,550 --> 00:03:43,150
Ahora vamos a pasar a ver el método de reducción.

27
00:03:43,849 --> 00:03:45,169
Este es un poco más complejo.

28
00:03:46,330 --> 00:03:56,469
Lo utilizaremos cuando tengamos coeficientes que coinciden en número o tienen signo contrario para poder eliminarlos.

29
00:03:56,789 --> 00:04:00,849
Nuestro objetivo en este método es anular una de las incógnitas.

30
00:04:00,849 --> 00:04:15,830
En este caso, voy a aprovechar que esta x es negativa y esta x es positiva para que al sumarlas se me anule la incógnita x.

31
00:04:16,410 --> 00:04:21,810
Para que esto ocurra, yo tengo que multiplicar toda la segunda ecuación por 2.

32
00:04:21,810 --> 00:04:31,360
entonces tendría menos 2x más 2y igual a 3 por 2 que son 6

33
00:04:31,360 --> 00:04:37,560
y la de arriba como quiero mantenerla, quiero mantener ese 2x la voy a copiar igual

34
00:04:37,560 --> 00:04:39,560
no me hace falta multiplicarla por nada

35
00:04:39,560 --> 00:04:48,480
si no me coincidiera ya que en este caso tengo como coeficiente de la x un menos 1

36
00:04:48,480 --> 00:04:56,100
podría tener aquí un 3 para poder conseguir que esos dos se me anulen lo

37
00:04:56,100 --> 00:05:01,160
que voy a hacer es calcular el mínimo común múltiplo de los coeficientes en

38
00:05:01,160 --> 00:05:06,720
este caso si quisiésemos calcular el mínimo común múltiplo de 2 y menos 1 nos

39
00:05:06,720 --> 00:05:13,990
saldría menos 2 como yo lo quiero mantener en signo lo voy a dejar en 2

40
00:05:13,990 --> 00:05:23,290
Por eso multiplico en 2. Si fuera 2x y 3x, el mínimo común múltiplo de 2 y 3 sería 6.

41
00:05:23,769 --> 00:05:29,769
La primera incógnita la tendría que multiplicar por 3 y la segunda la tendría que multiplicar por 2.

42
00:05:30,050 --> 00:05:35,509
Y así obtendría 6x menos 6x para que se me anulen.

43
00:05:37,129 --> 00:05:43,230
Continuamos por aquí. Entonces, tengo la primera ecuación, que es 2x más 5y igual a 1.

44
00:05:43,230 --> 00:05:56,370
Ahora, como tienen signos diferentes, los sumamos. Si tuvieran mismos signos, los restamos para poder cambiar el signo y así que la incógnita que yo haya elegido se me anude.

45
00:05:56,370 --> 00:06:07,550
En este caso es la x, 2 menos 2, 0. 2 más 5 son 7y y 1 más 6 son 7.

46
00:06:08,370 --> 00:06:13,290
Despejando esta pequeña ecuación me quedaría 7 entre 7, 1.

47
00:06:15,790 --> 00:06:23,009
Como hemos visto en el método anterior, tenemos que sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones

48
00:06:23,009 --> 00:06:30,389
para poder obtener el valor de la otra incógnita a descubrir, en este caso, x.

49
00:06:30,930 --> 00:06:33,470
Pues lo sustituyo en la segunda, que es la más sencilla.

50
00:06:34,209 --> 00:06:38,930
Menos x más 1 que acabo de obtener para el valor de y igual a 3.

51
00:06:39,670 --> 00:06:45,310
Entonces, voy a pasar esa x que es negativa al otro lado para que la operación me sea más sencilla.

52
00:06:45,310 --> 00:06:57,930
más 1 menos 3 es igual a x, es decir, que 1 menos 3 que es menos 2, x es igual a menos 2.

53
00:06:59,269 --> 00:07:09,329
Que por supuesto me ha dado las mismas soluciones que en el apartado anterior resolviéndolo por el método de sustitución.

54
00:07:09,329 --> 00:07:14,329
La solución x igual a menos 2 y igual a 1.

55
00:07:14,689 --> 00:07:16,290
Vamos ahora al método de igualación.

56
00:07:17,389 --> 00:07:29,589
En este método, mi objetivo es despejar una de las incógnitas, tanto en la primera como en la segunda ecuación, para poder igualarlas.

57
00:07:30,350 --> 00:07:34,769
En este caso, voy a despejar de ambas ecuaciones la y.

58
00:07:36,089 --> 00:07:42,689
Si lo despejo de la primera ecuación, me quedaría y igual a 1 menos 2x partido de 5,

59
00:07:42,689 --> 00:07:52,410
Ya que este 2x está sumando pasaría restando y este 5 está multiplicando a la y pasaría dividiendo.

60
00:07:55,839 --> 00:08:00,300
Para la segunda ecuación tenemos, es mucho más sencilla, y igual a 3.

61
00:08:01,439 --> 00:08:03,939
Esta x está restando pasa sumando.

62
00:08:07,800 --> 00:08:13,120
Ahora tenemos y igual a una expresión algebraica y igual a otra expresión algebraica.

63
00:08:13,120 --> 00:08:21,199
Ahora, si la y en la primera ecuación vale eso de aquí y la y en la segunda ecuación vale esto de aquí,

64
00:08:21,579 --> 00:08:25,439
querrá decir que como todo vale y, esto también tendrá que ser igual.

65
00:08:26,399 --> 00:08:30,019
De ahí aplicamos el método de igualación.

66
00:08:30,980 --> 00:08:36,580
1 menos 2x partido de 5 es igual a 3 más x.

67
00:08:37,519 --> 00:08:39,559
Estamos igualando los valores de y.

68
00:08:39,559 --> 00:08:42,980
Y ahora resolvemos como una ecuación de primer grado.

69
00:08:43,120 --> 00:08:49,679
Sacamos mínimo común múltiplo o bien aprovechamos que solo tengo este número aquí que está multiplicando

70
00:08:49,679 --> 00:08:52,299
Perdón, que está dividiendo, pasa multiplicando

71
00:08:52,299 --> 00:08:57,019
O bien calculamos mínimo común múltiplo y nos cargamos los denominadores

72
00:08:57,019 --> 00:08:59,480
Lo haremos así para ver la balanza

73
00:08:59,480 --> 00:09:04,700
1 menos 2x partido de 5, en este caso el mínimo común múltiplo es 5

74
00:09:04,700 --> 00:09:06,480
Y al otro lado igual

75
00:09:06,480 --> 00:09:14,080
Como he añadido ese 5 en el denominador, también lo tengo que añadir en el numerador

76
00:09:14,080 --> 00:09:20,899
Al ser una ecuación, puedo hacer desaparecer los denominadores, ya que son los mismos

77
00:09:20,899 --> 00:09:26,960
Y obtendría una ecuación de primer grado, 1 menos 2x igual a 5

78
00:09:26,960 --> 00:09:31,120
Por 3x, por 3 más x

79
00:09:31,120 --> 00:09:38,679
Ahora aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro de la ecuación

80
00:09:38,679 --> 00:09:56,559
y nos quedaría 15 más 5x, nos llevamos las x a un lado y los números al otro, vamos a respetar los signos y hacemos 1 menos 15 igual a 5x

81
00:09:56,559 --> 00:09:59,580
y el 2 que está restando pasaría sumando.

82
00:10:01,100 --> 00:10:07,019
Por tanto, tengo 1 menos 15 menos 14 igual a 7x.

83
00:10:08,539 --> 00:10:14,980
Por tanto, x sería menos 14 partido de 7, que es menos 2.

84
00:10:17,549 --> 00:10:22,350
Y por supuesto, al igual que los otros métodos, tenemos que sustituir, en este caso,

85
00:10:22,350 --> 00:10:29,889
en esta ecuación que tenemos ya despejada para calcular el valor de la otra incógnita, en este caso i.

86
00:10:29,889 --> 00:10:38,710
i es igual a 3 más menos 2, i es igual a 1.

87
00:10:40,870 --> 00:10:46,809
Como ya sabíamos de haber resuelto este mismo ejercicio por los diferentes métodos anteriormente.

88
00:10:48,269 --> 00:10:51,289
Vamos a ver el último método, el método gráfico.

89
00:10:52,350 --> 00:10:58,570
Para este método vamos a crear tablas de valores para cada una de las ecuaciones para poder representarlas.

90
00:10:59,029 --> 00:11:02,029
Voy a utilizar colores para poder referenciarlas adecuadamente.

91
00:11:02,809 --> 00:11:07,909
La primera va a ser de color naranja y lo primero que hago es despejar.

92
00:11:08,070 --> 00:11:15,009
Despejo la Y, 1 menos 2X partido de 5 y creo una tabla de valores.

93
00:11:15,009 --> 00:11:23,470
¿Esto qué quiere decir? Que voy a dar valores a la x para calcular su imagen, los valores de la y

94
00:11:23,470 --> 00:11:33,289
En este caso voy a intentar dar valores donde el numerador sea múltiplo de 5 para que al dividirlo me quede un número entero

95
00:11:33,289 --> 00:11:38,289
Si no consigo encontrarlo me pueden quedar fracciones y represento las fracciones con normalidad

96
00:11:38,289 --> 00:11:54,470
En este caso voy a coger el valor menos 2 que al sustituirlo en la x me queda como imagen menos 2 por menos 2, 4 más 1, 5, 5 entre 5, 1.

97
00:11:54,470 --> 00:12:11,370
Voy a tomar también el valor 3, donde 1 menos 2 por 3, que sería menos 6, 1 menos 6 sería menos 5, menos 5 entre 5 me queda menos 1.

98
00:12:12,330 --> 00:12:16,330
He conseguido poner valores aquí para que las imágenes sean enteras.

99
00:12:16,330 --> 00:12:22,009
Un valor que es muy sencillo también de poner, ya que se me anularía

100
00:12:22,009 --> 00:12:23,850
Lo voy a escribir para que se entienda mejor

101
00:12:23,850 --> 00:12:25,590
Sería el 1 medio

102
00:12:25,590 --> 00:12:31,389
1 menos 2 por 1 medio partido de 5

103
00:12:31,389 --> 00:12:36,070
En este caso los dos S me van y me quedaría 1 menos 1 partido de 5

104
00:12:36,070 --> 00:12:37,909
Que sería 0

105
00:12:37,909 --> 00:12:43,509
Por tanto, si a la X le doy el valor 1 medio, la Y me da 0

106
00:12:43,509 --> 00:12:47,490
Ahora puedo representar mis tres puntos

107
00:12:47,490 --> 00:12:52,070
El menos 2 de la x

108
00:12:52,070 --> 00:12:56,590
Perdón, menos 2 de la x

109
00:12:56,590 --> 00:13:00,590
1 de la y, que sería este punto de aquí

110
00:13:00,590 --> 00:13:09,519
El 3, 1, 2, 3, menos 1

111
00:13:09,519 --> 00:13:11,120
Que sería este punto de aquí

112
00:13:11,120 --> 00:13:12,919
Pinto de color naranja

113
00:13:12,919 --> 00:13:20,700
Y por último, este punto que es el 1 medio de la X, que está entre 0 y 1, y 0.

114
00:13:22,200 --> 00:13:24,700
No hace falta subir el I, porque el I vale 0.

115
00:13:25,399 --> 00:13:31,139
Uno de estos tres puntos de la mejor manera posible, vosotros lo haréis con regla, entonces no tendréis ningún problema.

116
00:13:34,990 --> 00:13:36,610
Y uno de los tres puntos.

117
00:13:37,730 --> 00:13:43,350
Ahora, siempre tienen que estar las rectas alargadas, ¿de acuerdo? Al agarrar lo más que podáis.

118
00:13:45,190 --> 00:13:48,889
Ahora voy a representar la segunda recta, lo voy a hacer de color verde.

119
00:13:50,649 --> 00:14:01,009
Despejamos y igual a 3 más x, creo la tabla de valores y voy dando valores sencillos.

120
00:14:01,009 --> 00:14:04,950
En este caso, como no tengo denominador, voy a intentar que sean más bonitos.

121
00:14:05,110 --> 00:14:12,549
El menos 1, si sustituyo la x por menos 1, me quedaría 3 menos 1, 2.

122
00:14:12,549 --> 00:14:18,570
Si le doy el valor a la x, 0, me queda 3 más 0, 3

123
00:14:18,570 --> 00:14:24,149
Y por último, si le doy el valor 1, me queda 3 más 1, 4

124
00:14:24,149 --> 00:14:26,070
1 de la x, 4 de la y

125
00:14:26,070 --> 00:14:27,889
Y ahora voy a representarlos

126
00:14:27,889 --> 00:14:33,269
Empiezo por el menos 1 de la x, 2 de la y

127
00:14:33,269 --> 00:14:38,690
Sería ese punto de ahí, punto de color verde que es de la segunda ecuación

128
00:14:38,690 --> 00:14:51,799
El 0 de la X, sería aquí, 3 de la Y, este de aquí y por último el 1, 4.

129
00:14:55,049 --> 00:15:06,870
El 1 de la X, 4 de la Y y uno de los tres puntos.

130
00:15:11,320 --> 00:15:15,320
Voy a intentar que estos puntos se producen de la mejor manera posible.

131
00:15:15,899 --> 00:15:16,399
Ahí está.

132
00:15:20,019 --> 00:15:26,440
tanto la recta naranja como la recta verde, este que estoy pintando aquí.

133
00:15:27,860 --> 00:15:30,159
Ese punto es la solución de mi sistema.

134
00:15:30,740 --> 00:15:36,899
Este punto coincide con el menos 2 de la x, 1 de la y, menos 2, 1.

135
00:15:37,759 --> 00:15:46,000
Por eso la solución de este ejercicio es x igual a menos 2 y igual a 1.

136
00:15:46,700 --> 00:15:53,100
Por último, quería hablaros de la clasificación de los sistemas de ecuaciones dependiendo del número de soluciones que tengan.

137
00:15:53,879 --> 00:15:59,460
Si tiene una solución, se llaman sistemas compatibles determinados.

138
00:16:00,440 --> 00:16:05,960
Esto quiere decir que se encuentran dos rectas que se están cruzando y se unen en un punto.

139
00:16:06,740 --> 00:16:12,000
El sistema que hemos estudiado nosotros como ejemplo sería un sistema compatible determinado,

140
00:16:12,000 --> 00:16:17,340
ya que sus rectas son secantes y se cortan en un único punto.

141
00:16:18,360 --> 00:16:24,279
Cuando tienen infinitas soluciones, ese sistema se llama compatible indeterminado.

142
00:16:25,940 --> 00:16:31,179
Lo que ocurre con las rectas de este sistema es que está justo una encima de la otra.

143
00:16:32,039 --> 00:16:34,179
Tanto son rectas coincidentes.

144
00:16:34,179 --> 00:16:48,240
Y cuando el sistema no tiene solución, se denomina sistema incompatible y son rectas que no se cortan, aquellas que llamamos rectas paralelas.

145
00:16:48,860 --> 00:16:56,759
Esto que os indico aquí nos habla del sistema escrito de la siguiente forma.

146
00:16:58,460 --> 00:17:09,299
a1x más b1y, siendo a1 el coeficiente de x de la primera ecuación y b1 el coeficiente de x de la segunda ecuación.

147
00:17:10,740 --> 00:17:12,140
Y c1, perdonad.

148
00:17:12,140 --> 00:17:20,819
Y en la segunda ecuación pondríamos A2X más B2Y igual a C2.

149
00:17:24,009 --> 00:17:37,509
Lo que quiere decir que con resolver estas proporciones podemos saber si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible sin llegar a resolverlo.

150
00:17:38,490 --> 00:17:50,150
Por ejemplo, en nuestro caso, que teníamos 2x más 5y igual a 1 y menos x más y igual a 3,

151
00:17:51,150 --> 00:18:00,589
tenemos que a1 no vale 2, que a2 vale menos 1 y que, por supuesto, esto es distinto que 5.

152
00:18:00,589 --> 00:18:05,490
O sea que menos 2, obviamente, es distinto que 5.

153
00:18:05,490 --> 00:18:21,589
Por tanto, el sistema es compatible determinado, como ya bien sabíamos por haberlo resuelto por los diferentes métodos en los que nos salía una única solución y al hacerlo por el método gráfico nos salían rectas secantes.