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00:00:01,010 --> 00:00:08,470
Iniciamos este nuevo trimestre con un tema, el tema M3, álgebra.

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00:00:09,310 --> 00:00:22,870
Bien, en un principio, pues este tema se refiere a todas aquellas expresiones que no solamente tienen números, sino que además tienen letras.

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00:00:22,870 --> 00:00:38,990
Entonces, empezamos con expresiones algebraicas, pues decimos que una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por signos, en este caso, de las operaciones.

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00:00:38,990 --> 00:01:00,810
Y así tenemos el siguiente ejemplo. En esta expresión de aquí nos encontramos el 2, nos encontramos el 1, que serían los números, nos encontramos el más, que serían los signos, y también nos encontramos la x, que en este caso es una letra.

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00:01:00,810 --> 00:01:11,189
Entonces, expresiones como 2x al cuadrado más 3x por y también es una expresión algebraica y x más y elevado al cubo también es una expresión algebraica.

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00:01:11,189 --> 00:01:26,890
Estas expresiones algebraicas tienen una parte variable o parte literal, que es la variable,

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00:01:26,890 --> 00:01:34,849
tiene términos, puede tener varios términos, un término, dos términos, un término, dos términos,

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00:01:35,489 --> 00:01:40,129
presenta unos coeficientes y una serie de valores numéricos.

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00:01:40,129 --> 00:01:55,230
En el gráfico de aquí abajo está expresado cada uno de ellos. Nos encontramos con la parte literal. La parte literal es esta parte que tiene la letra.

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00:01:55,230 --> 00:02:20,069
Esa letra normalmente representa una variable, que es una entidad que en este momento no tiene un valor definido, que si bien este polinomio que es lo que va a ser al final se transforma en una ecuación, pues entonces podrá darse ese valor.

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00:02:20,069 --> 00:02:27,990
En un principio, hay que fijarse que esta expresión algebraica no está igualada a nada todavía.

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00:02:28,969 --> 00:02:39,509
Bien, entonces, parte literal, pues la letra, esa letra puede estar, aquí en este caso es un x, podría estar el x elevado al cuadrado, al cubo, etc.

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00:02:39,949 --> 00:02:50,009
Tenemos el coeficiente de la parte literal, que es el número que multiplica a la parte literal.

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00:02:50,069 --> 00:03:03,030
Todo ello formaría el término. Y en este caso tenemos un segundo término en el que no aparece la variable. Por tanto, estaría solamente compuesto de su coeficiente.

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00:03:03,030 --> 00:03:09,210
Bien, decíamos que expresiones algebraicas son de ese tipo.

16
00:03:09,210 --> 00:03:27,210
Y así nos vamos a encontrar ahora cada uno de estos términos, o sea, las partes que están separadas por sumas o restas van a formar un monomio.

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00:03:27,870 --> 00:03:32,930
De tal forma que los monomios son expresiones algebraicas que tienen un solo término.

18
00:03:33,030 --> 00:04:00,909
O sea, un monomio es una expresión algebraica, es expresión algebraica de un solo término. En este caso, pues nos hemos encontrado, por ejemplo, 6x, que tiene un solo término, y aunque aquí vemos que aparecen dos letras, 3x por y, como no hay ninguna suma en medio, esto solamente es un término, en este caso, un monomio.

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00:04:00,909 --> 00:04:09,389
Esta que tiene 3 vuelve a ser un monomio y esta que tiene 3, 3x al cuadrado por y, vuelve a ser un monomio.

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00:04:11,050 --> 00:04:22,670
Los monomios se caracterizan por su grado. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.

21
00:04:22,670 --> 00:04:40,509
Por ejemplo, en este caso tenemos que 6x es de grado 1. ¿Por qué 6x? Porque la x, aunque no lo vemos, está elevado a 1. Por tanto, eso, en este caso, ese es el grado de este monomio.

22
00:04:41,350 --> 00:04:48,050
En este caso, vemos que la x está elevada al cuadrado, entonces ese sería su grado.

23
00:04:49,069 --> 00:04:56,730
Y en este caso, tenemos 1, el 1 que no vemos aquí, y el 2, que formaría grado 3.

24
00:04:56,730 --> 00:05:04,050
O sea, tenemos x, 7x, que está elevado a 1, aunque no lo veamos, y al cuadrado.

25
00:05:04,050 --> 00:05:22,029
Por tanto, el grado de este monomio será 1 más 2, 3. O sea, tenemos 1 más 2, 1 más 2, 3. Y en este caso, pues sería grado 3.

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00:05:22,029 --> 00:05:41,810
Bien. Con las expresiones algebraicas, pues también podemos realizar operaciones. Entonces, estas expresiones algebraicas se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar y dividir.

27
00:05:41,810 --> 00:05:59,990
Bien, nos dice aquí que la suma y la resta de monomios, tenemos que tener en cuenta que no solo se pueden sumar y restar los monomios que tenga, que solo se pueden sumar y restar los monomios que tenga la misma parte literal.

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00:05:59,990 --> 00:06:20,649
Y así nos pone algunos ejemplos. En este caso, pues tenemos 5x más 3x, que sería, sumamos los coeficientes,

29
00:06:20,649 --> 00:06:39,829
3, 5 y 3, 8, perdón, 5 más 3, por ejemplo, si sacáramos factor común nos quedaría x, ¿de acuerdo? Sacamos factor común el 5, sacamos factor común el 3 y nos queda la x.

30
00:06:39,829 --> 00:07:05,089
Y en ese caso sería 8x. Sin embargo, si fuera 5x al cuadrado más 3x ya no lo podríamos sumar, o sea, no podríamos convertir estos dos términos en uno solo, sino que en este caso sería por un lado un término de 5x al cuadrado y otro de 3x.

31
00:07:05,089 --> 00:07:13,810
En este caso, no podríamos hacer la suma de esos dos monomios porque no tienen el mismo grado.

32
00:07:15,629 --> 00:07:26,970
Bien, para multiplicar y dividir los monomios, por una parte se multiplican los números y por otra, cada una de las letras.

33
00:07:26,970 --> 00:07:49,730
En este caso, por ejemplo, si quisiéramos multiplicar 5x por 2x cuadrado, pues tendríamos que multiplicar por un lado los números 5 por 2, 10,

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00:07:49,730 --> 00:07:56,310
y por otro lado las letras, son x por x al cuadrado, sería x al cubo.

35
00:07:56,970 --> 00:08:11,629
Bien, en este caso, bueno, esto que aparece aquí deberían ser los subíndices, en este caso, en la división de monomios, pues nos quedaría, vamos, por ejemplo, ese caso.

36
00:08:11,629 --> 00:08:27,589
Sería 6x al cuadrado y a la quinta entre 3x y al cubo.

37
00:08:28,490 --> 00:08:33,950
En este caso, solo podemos dividir las cosas de la misma naturaleza.

38
00:08:33,950 --> 00:08:44,610
En este caso tendríamos 6 entre 3, x al cuadrado entre x, y a la quinta, y al cubo.

39
00:08:45,230 --> 00:08:55,269
Para hacerlo de un modo gráfico, aunque no lo resolvemos así, veríamos claramente aquí que este x al cuadrado se nos va con esta x,

40
00:08:55,809 --> 00:09:00,309
y este 3 se nos iría con este 5 y nos quedaría al cuadrado.

41
00:09:00,309 --> 00:09:24,629
Lo voy a hacer de la siguiente forma. Está claro que 6 entre 3 nos va a dar 2. Y aquí tendríamos 2x. Recordamos que x al cuadrado es x por x y aquí dividimos entre x. Aquí tendríamos y a la quinta. Y a la quinta es y por y por y por y por y cinco veces. Y aquí tendríamos y al cubo, que sería 1, 2 y 3y.

42
00:09:24,629 --> 00:09:40,190
Y ahora simplemente, pues lo que tendríamos que hacer, a ver, esto que estoy explicando no es el método de resolver, hay que resolver por potencias, como hemos visto anteriormente. Esto simplemente es un modo gráfico para que se vea cómo se simplifica, cómo se divide.

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00:09:40,190 --> 00:09:52,850
Entonces en este caso esta x se cancelaría con esta x y nos quedaría una sola y en este caso tendríamos 1, 2 y 3y con 1, 2 y 3y y nos quedarían 2.

44
00:09:53,250 --> 00:10:06,129
De tal forma que la solución sería 6 entre 3, 2, solo nos queda una x y aquí nos queda y por y que sería y al cuadrado.

45
00:10:06,129 --> 00:10:54,720
Bien, continuamos con el tema álgebra. Vimos las expresiones algebraicas, hemos visto los monomios y vamos a ver ahora los polinomios.

46
00:10:55,120 --> 00:11:10,299
Bien, polinomios. Polinomios, poli, pues quiere decir varios, y dice que los polinomios no son más que sumas o restas de dos o más monomios.

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00:11:10,919 --> 00:11:15,919
En este caso, el ejemplo que pone aquí es un polinomio que tiene tres términos.

48
00:11:16,519 --> 00:11:20,159
Este es un término, este es otro término y este es otro término.

49
00:11:20,279 --> 00:11:24,259
Los términos lo van a marcar las sumas y las restas.

50
00:11:24,259 --> 00:11:32,259
Cuando haya una suma o cuando haya una resta, eso diferencia un término de otro término.

51
00:11:32,259 --> 00:11:47,940
Bien, los polinomios tienen un grado, ¿vale? Y grado es, el grado del polinomio es la suma de los exponentes del monomio de mayor grado.

52
00:11:47,940 --> 00:11:52,500
La suma de los exponentes del monomio de mayor grado.

53
00:11:53,159 --> 00:12:01,899
Recordemos que, en este caso, por ejemplo, si tenemos un polinomio x al cuadrado más 2x más 3,

54
00:12:02,320 --> 00:12:10,500
que sería un polinomio que tiene tres términos, pues simplemente localizamos cuál es el que tiene mayor grado

55
00:12:10,500 --> 00:12:13,960
y en este caso nos aparece que es x al cuadrado.

56
00:12:13,960 --> 00:12:21,559
Por tanto, el grado del polinomio que aparece aquí como ejemplo sería 2. Grado 2.

57
00:12:22,820 --> 00:12:33,779
Si nos encontramos con el siguiente, por ejemplo, 2x al cuadrado más 2x por y por z más 3,

58
00:12:34,379 --> 00:12:40,000
pues en este caso el grado del polinomio, lo que habría es que sumar el exponente que aparece aquí, que es 1,

59
00:12:40,000 --> 00:12:53,759
el exponente que aparece aquí que es 1 y el exponente que aparece aquí que es 1. Por tanto, este polinomio que acabo de dejar aquí sería un polinomio de grado 3, ¿vale?

60
00:12:53,759 --> 00:13:16,100
Porque sumaría el 1 del x, el 1 de la y y el 1 de la z. ¿Qué operaciones podemos hacer con los polinomios? Pues, mirad, los polinomios se pueden sumar, restar, se pueden multiplicar y se pueden dividir.

61
00:13:16,100 --> 00:13:33,539
Bien, operaciones con polinomios. Digo que los polinomios se pueden sumar, se pueden restar y también se puede dividir. Sumas, restas, productos y divisiones.

62
00:13:33,539 --> 00:13:57,639
Y divisiones. Bien. En cuanto a las sumas y restas, se pueden sumar y restar los términos que sean semejantes. ¿Y qué es un término semejante? Pues los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.

63
00:13:57,639 --> 00:14:21,529
Y además, tienen que tener los mismos igualentes. En este caso tenemos el siguiente polinomio. Vamos a coger un ejemplo. Vamos a coger estos dos de aquí.

64
00:14:21,529 --> 00:14:50,860
Bien. Bueno, antes voy a hacer algún ejemplo más sencillo. Imaginaos que tenemos un polinomio, o sea, el polinomio PX. Los polinomios se denominan así, con una letra mayúscula y cuáles son las variables que intervienen.

65
00:14:50,860 --> 00:15:06,299
El polinomio PX quiere decir que solamente hay una variable, o sea, solo puede aparecer una letra que es la X. Si tuviéramos un polinomio tipo PXY, entonces necesariamente tendría que aparecer la X y la Y.

66
00:15:09,059 --> 00:15:21,100
Pero ya no podría aparecer, por ejemplo, Z, porque si quisiéramos que apareciera otra variable Z, debería ponerlo al principio cuando enunciamos el polinomio.

67
00:15:21,100 --> 00:15:43,279
Bien, entonces el polinomio, por ejemplo, 2x al cuadrado más x. Y el polinomio q, ¿vale? El polinomio q también va a depender de la variable x, que sea, por ejemplo, 3x más 2.

68
00:15:43,279 --> 00:16:10,779
Bien, si queremos sumar los polinomios habría que organizar bien, aunque no lo hagamos cuando estamos sumándolos porque es bastante más fácil, pues tendríamos que organizar por los que son de grado 0, que van a ser los que no tienen la x, los que son de grado 1, de grado 2, de grado 3 y así sucesivamente.

69
00:16:10,779 --> 00:16:30,259
Por ejemplo, en este caso, queremos sumar este polinomio. Este polinomio tiene este monomio que es 2x al cuadrado. 2x al cuadrado. ¿Veis? Se corresponde el cuadrado con el grado con el grado.

70
00:16:30,259 --> 00:16:46,860
Y el término x. El término x estaría justo, acordaos que aquí hay un 1 que no vemos, pero que siempre está ahí. Ese sería este polinomio.

71
00:16:46,860 --> 00:17:01,299
Y el polinomio Q de X, pues sería, tiene 3X, por tanto, deberíamos ponerlo debajo de su correspondiente grado.

72
00:17:01,700 --> 00:17:12,500
Y el término 2 estaría justo donde la X0. ¿Por qué? Porque cualquier cosa elevado a 0, en ese caso, sería 1.

73
00:17:12,500 --> 00:17:16,640
O sea, esto estaríamos multiplicando por X elevado a 0, que es 1.

74
00:17:16,859 --> 00:17:43,380
Y luego, pues, simplemente sumamos los términos que tienen la misma parte literal con los mismos exponentes. En este caso diríamos 2, aquí tenemos x más 3x, pues sería 4x, y aquí tenemos más 4x porque es positivo, y aquí bajaríamos el 2x al cuadrado, que suma con 0, o sea, sería 2x al cuadrado.

75
00:17:43,380 --> 00:17:58,640
Así que si lo que queremos hacer es un polinomio r de x que sea la suma de p de x más q de x, pues este sería el polinomio r de x.

76
00:18:02,059 --> 00:18:12,059
Bien, vamos a hacer el ejemplo explicado este, el ejemplo que se nos propone ahí.

77
00:18:12,059 --> 00:18:37,210
¿Vale? Entonces, cogemos el polinomio que queremos sumar. Tenemos p de x, que es igual a 2x al cuadrado más 5x menos 3.

78
00:18:37,210 --> 00:19:00,029
Y ahora el polinomio Q de X. Q de X empieza con 3X al cuadrado, perdón, X al cubo, por eso lo ponemos donde correspondería el término X al cubo, menos X al cuadrado menos X más 10.

79
00:19:00,029 --> 00:19:14,650
Y procedemos a hacer la suma con los términos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes. En este caso tendríamos menos 3 más 10, nos quedaría más 7.

80
00:19:14,650 --> 00:19:35,410
Aquí hay 5x menos x, sería positivo, ¿vale? 4x. Aquí en este caso tenemos 2x cuadrado, que es positivo, menos x cuadrado, nos quedaría positivo x cuadrado.

81
00:19:35,410 --> 00:19:51,569
Si tenemos 2x al cuadrado y le quitamos una x al cuadrado, pues nos queda x al cuadrado. Y aquí sería 0 más 3x al cubo. Y este sería el polinomio R de x, que es como suma de los polinomios.