1 00:00:03,439 --> 00:00:19,300 Vamos a hacer ahora un ejemplo un poquito más avanzado. No es algo que os vaya a pedir este año, pero para que sepáis, porque hay algo que funciona un poco distinto, para que veáis un poco cómo es. 2 00:00:21,059 --> 00:00:31,559 Ya habréis notado la diferencia de este ejemplo con respecto a los que os estoy haciendo este año, es que aquí tenemos un término independiente que es 1, pero tenemos un coeficiente principal que es 4. 3 00:00:32,219 --> 00:00:36,799 Entonces, cuando hagamos las raíces de ese polinomio, ¿qué forma van a tener? 4 00:00:36,799 --> 00:00:46,780 Van a tener la forma, recuerdo, de los divisores de este número, es decir, de 1 o de menos 1, entre los divisores de 4. 5 00:00:46,780 --> 00:01:04,379 De manera que los divisores van a ser, es decir, los posibles raíces van a ser más menos uno, más menos un medio, más menos un cuarto, ¿vale? 6 00:01:04,379 --> 00:01:09,340 ¿Vale? Claro, esto nos obligaría a hacer Ruffini con estos números, ¿vale? 7 00:01:09,980 --> 00:01:14,840 Aunque, como siempre os digo, probad primero con los más pequeños y con los más enteros, 8 00:01:14,900 --> 00:01:17,359 son los más fáciles de hacer Ruffini con ellos, ¿vale? 9 00:01:17,659 --> 00:01:19,739 Entonces vamos a empezar a hacer Ruffini primero con el 1. 10 00:01:22,209 --> 00:01:27,650 4, 4, menos 1 y menos 1. 11 00:01:28,370 --> 00:01:32,810 Vale, bueno, probemos con este entonces. 12 00:01:32,810 --> 00:01:43,810 Bajo el 4, 4 por 1 es 4, 4 más 4 es 8, 8 por 1 es 8, menos 1 más 8 es 7, 7 por 1 es 7, y menos 1 más 7 es 6. 13 00:01:44,030 --> 00:01:48,810 El resto no es 0, así que x igual a 1 no es una raíz de ese polinomio. 14 00:01:49,590 --> 00:01:57,769 Vamos a probar con x igual a menos 1. 4, 4, menos 1 y menos 1. 15 00:01:57,769 --> 00:02:00,709 Es decir, vamos a probar a dividir este polinomio entre x más 1. 16 00:02:00,709 --> 00:02:04,549 Bajo el 4, 4 por menos 1, menos 4 17 00:02:04,549 --> 00:02:06,150 4 menos 4, 0 18 00:02:06,150 --> 00:02:07,769 0 por menos 1, 0 19 00:02:07,769 --> 00:02:09,930 Menos 1 más 0, menos 1 20 00:02:09,930 --> 00:02:11,689 Y menos 1 por menos 1, 1 21 00:02:11,689 --> 00:02:14,870 Menos 1 más 1, 0 22 00:02:14,870 --> 00:02:16,409 Ahora sí el resto es 0 23 00:02:16,409 --> 00:02:17,610 Es decir, ya hemos encontrado 24 00:02:17,610 --> 00:02:19,169 Y hemos tenido suerte 25 00:02:19,169 --> 00:02:23,169 Una raíz que es x igual a menos 1 26 00:02:23,169 --> 00:02:25,729 Que es entera, afortunadamente 27 00:02:25,729 --> 00:02:27,490 Porque ya veréis 28 00:02:27,490 --> 00:02:32,250 que cuando no tenemos ese caso 29 00:02:32,250 --> 00:02:34,069 pues se complica bastante la cosa 30 00:02:34,069 --> 00:02:35,469 porque tienes que hacer rufino con una fracción 31 00:02:35,469 --> 00:02:37,930 que siempre es un poquito más complicado 32 00:02:37,930 --> 00:02:39,969 porque tienes que multiplicar y dividir las dos cosas 33 00:02:39,969 --> 00:02:41,050 vale 34 00:02:41,050 --> 00:02:43,370 entonces 35 00:02:43,370 --> 00:02:45,490 ¿qué conclusión tenemos de momento? 36 00:02:45,650 --> 00:02:47,789 pues que el polinomio Q de X 37 00:02:47,789 --> 00:02:50,569 que es 4X cubo más 4X cuadrado 38 00:02:50,569 --> 00:02:52,889 menos X menos 1 39 00:02:52,889 --> 00:02:54,629 se puede escribir como 40 00:02:54,629 --> 00:02:56,449 factor X más 1 41 00:02:56,449 --> 00:03:02,689 por el factor 4x cuadrado menos 1, ¿vale? 42 00:03:02,889 --> 00:03:05,469 Más 0x menos 1, que sería este, ¿vale? 43 00:03:05,990 --> 00:03:12,210 Bien, ahora podríamos hacer Ruffini con este número 44 00:03:12,210 --> 00:03:18,990 y probar de nuevo con el menos 1 y si no funciona con alguna de estas, ¿vale? 45 00:03:19,870 --> 00:03:22,289 Desde luego con el menos 1 no va a funcionar porque tendríamos, 46 00:03:22,289 --> 00:03:36,509 Si x es igual a menos 1, fijaos que este factor sería 4 por 1, que sería 4, menos 1, 3, entonces no es 0, con lo cual no va a ser. 47 00:03:37,250 --> 00:03:44,669 Van a ser probablemente uno de estos dos, ¿no? Bueno, quiero decir, de estos cuatro, porque aquí hay cuatro raíces posibles. 48 00:03:44,669 --> 00:03:51,669 ¿Qué ocurre? Que como tenemos un polinomio de grado 2, podemos resolver la ecuación de segundo grado 49 00:03:51,669 --> 00:03:58,990 4x al cuadrado menos 1 igual a 0, ¿vale? 50 00:03:58,990 --> 00:04:09,930 Y si esa ecuación tiene solución real, pues tendremos en la solución la raíz del polinomio, o raíces, ¿vale? 51 00:04:10,169 --> 00:04:13,469 Raíz o raíces, puede tener 2, porque es de grado 2 52 00:04:13,469 --> 00:04:16,110 y por lo tanto sería mucho más fácil 53 00:04:16,110 --> 00:04:17,850 que tener que hacerlo 54 00:04:17,850 --> 00:04:20,250 bueno, pues vamos a resolver esta ecuación 55 00:04:20,250 --> 00:04:22,370 como es una ecuación de segundo grado 56 00:04:22,370 --> 00:04:24,310 que no tiene valor de b 57 00:04:24,310 --> 00:04:26,370 a vale 4, c vale menos 1 58 00:04:26,370 --> 00:04:27,769 no tengo por qué usar la fórmula 59 00:04:27,769 --> 00:04:29,569 directamente lo que puedo hacer es despejar 60 00:04:29,569 --> 00:04:32,810 4x cuadrado 61 00:04:32,810 --> 00:04:34,149 es igual a 1 62 00:04:34,149 --> 00:04:36,709 entonces x cuadrado 63 00:04:36,709 --> 00:04:38,509 es igual a 1 cuarto 64 00:04:38,509 --> 00:04:40,310 por lo tanto 65 00:04:40,310 --> 00:04:42,470 como x al cuadrado es 1 cuarto 66 00:04:42,470 --> 00:04:50,170 eso significa que x es la raíz cuadrada de un cuarto. Y la raíz cuadrada de un cuarto tiene dos soluciones, ¿vale? 67 00:04:50,750 --> 00:04:57,870 No es ninguna sorpresa, porque tiene la solución más menos un medio, o sea, la solución más un medio y la solución menos un medio. 68 00:04:58,389 --> 00:05:05,269 Tiene dos soluciones. Estas son las dos raíces de este polinomio, ¿vale? 69 00:05:05,269 --> 00:05:16,519 Bien, vamos a ver qué pasa si escribo la factorización de esta manera. 70 00:05:17,000 --> 00:05:19,740 Tendríamos x más 1, que es la que teníamos ya, ¿no? 71 00:05:20,060 --> 00:05:36,000 Y este factor que supuestamente, si aplicamos la lógica que hemos aplicado hasta ahora, sería x más 1 medio por x menos 1 medio, ¿vale? 72 00:05:36,720 --> 00:05:37,819 Fijaos, vamos a ver si es verdad. 73 00:05:39,040 --> 00:05:44,300 Tendríamos x más 1, pues voy a resolver primero esto, porque como esto es una fórmula notable, suma por diferencia, 74 00:05:44,879 --> 00:05:46,180 yo sé que es la diferencia de los cuadrados. 75 00:05:46,319 --> 00:05:52,699 Si queréis, si no sabéis la fórmula, que deberíais saberla, cuadrados de un medio suben un cuarto, 76 00:05:52,939 --> 00:05:58,240 pero si no sabéis la fórmula, digo que deberíais saberla, pues operáis y os daréis cuenta de que sale esto, ¿vale? 77 00:05:58,240 --> 00:06:08,920 Sería este por este, menos este por este, más este por este, más este por este, entonces se anulan dos términos y el otro sería este por este, entonces un cuarto, ¿vale? 78 00:06:09,459 --> 00:06:20,800 Bien, y ahora, si resuelvo esto, multiplicaría x por x cuadrado, que sería x al cubo, x por menos un cuarto sería menos x cuartos, 79 00:06:20,800 --> 00:06:25,459 1 por x cuadrado sería más x cuadrado 80 00:06:25,459 --> 00:06:28,600 1 por menos un cuarto sería menos un cuarto 81 00:06:28,600 --> 00:06:32,519 Vaya, esto no se parece a esto, ¿no? 82 00:06:37,459 --> 00:06:38,339 ¿Y por qué será? 83 00:06:39,160 --> 00:06:42,480 Pues esto ocurre porque hay un factor más 84 00:06:42,480 --> 00:06:43,480 ¿Vale? 85 00:06:44,240 --> 00:06:46,579 Aquí no están todos los factores, aquí falta algo 86 00:06:46,579 --> 00:06:51,279 Y, hombre, yo observando esto 87 00:06:51,279 --> 00:06:54,040 Creo que ya puedo ver un poco qué es lo que está pasando 88 00:06:54,040 --> 00:07:04,579 Bueno, ¿qué es lo que me está estorbando? Pues mira, vamos a comparar los dos polinomios, el original, que era este, y el que nos ha salido, que es este. 89 00:07:05,240 --> 00:07:13,139 Pues hombre, yo veo que aquí tenemos en el denominador un 4 que no nos interesa tener, y aquí también, ¿vale? 90 00:07:13,360 --> 00:07:20,040 Porque aquí tengo 1 y aquí tengo un cuarto, porque aquí tengo x, o menos x mejor dicho, y aquí tengo menos x cuarto. 91 00:07:20,040 --> 00:07:35,199 Y luego, en cambio, lo que no tengo aquí es un 4, que aquí hay un 4 y aquí hay un 4. Pues es que, fijaos, si multiplicamos este polinomio, ¿vale? Este de aquí que nos ha salido por 4, obtenemos el de arriba. 92 00:07:35,199 --> 00:07:53,889 Entonces está claro, ¿qué factor falta? El número 4, ¿vale? Es decir, si yo multiplico aquí por 4 y aquí por 4, ahora sí, todo esto, voy a borrar, a ver si me deja borrar solamente esto de aquí. 93 00:07:53,889 --> 00:07:59,310 si, vale 94 00:07:59,310 --> 00:08:04,350 mira, si multiplico 95 00:08:04,350 --> 00:08:05,949 todo eso por 4 96 00:08:05,949 --> 00:08:12,879 si multiplico esto por 4 97 00:08:12,879 --> 00:08:16,779 ya tengo esta igualdad 98 00:08:16,779 --> 00:08:17,800 correcta, vale 99 00:08:17,800 --> 00:08:19,480 y esto si que me va a dar 100 00:08:19,480 --> 00:08:22,819 fijaos, 4 por x al cubo 101 00:08:22,819 --> 00:08:24,300 sería 4x al cubo 102 00:08:24,300 --> 00:08:27,019 menos x cuartas por 4 103 00:08:27,019 --> 00:08:28,699 sería menos x 104 00:08:28,699 --> 00:08:31,660 más x cuadrado por 4 sería 105 00:08:31,660 --> 00:08:32,960 más 4x cuadrado 106 00:08:32,960 --> 00:08:35,740 y menos 1 cuarto por 4 sería menos 1 107 00:08:35,740 --> 00:08:37,460 que esto escrito en otro orden 108 00:08:37,460 --> 00:08:39,639 vale, voy a ponerlo en azul 109 00:08:39,639 --> 00:08:42,480 sería 4x cubo 110 00:08:42,480 --> 00:08:43,679 más 4x cuadrado 111 00:08:43,679 --> 00:08:45,779 menos x menos 1 112 00:08:45,779 --> 00:08:47,320 esto ya ordenado, vale 113 00:08:47,320 --> 00:08:49,639 y esto si, esto si 114 00:08:49,639 --> 00:08:51,559 ya lo veis, es lo mismo 115 00:08:51,559 --> 00:08:53,840 que esto de aquí, vale 116 00:08:53,840 --> 00:08:56,000 pongo el asterisco para que lo veáis bien 117 00:08:56,000 --> 00:08:56,759 es lo mismo 118 00:08:56,759 --> 00:09:00,120 Entonces, ahora sí, hemos obtenido lo mismo 119 00:09:00,120 --> 00:09:02,080 Es decir, nos faltaba un factor, que era este 120 00:09:02,080 --> 00:09:03,139 ¿Vale? 121 00:09:03,860 --> 00:09:05,000 Con lo cual, la solución 122 00:09:05,000 --> 00:09:06,960 Voy a volver a escribir para que quede claro 123 00:09:06,960 --> 00:09:09,019 Me he llevado aquí unos 124 00:09:09,019 --> 00:09:11,440 Voy a volver a escribir la solución para que quede claro 125 00:09:11,440 --> 00:09:13,120 Sería 126 00:09:13,120 --> 00:09:15,559 Que nuestro polinomio Q de X 127 00:09:15,559 --> 00:09:19,440 Que nos decía el enunciado que es 128 00:09:19,440 --> 00:09:21,419 4X al cubo 129 00:09:21,419 --> 00:09:22,779 Más 4X al cuadrado 130 00:09:22,779 --> 00:09:25,360 Menos X, menos 1 131 00:09:25,360 --> 00:09:27,039 Es un polinomio 132 00:09:27,039 --> 00:09:40,500 igual al producto 4 por x más 1 por x más 1 medio y por x menos 1 medio, ¿vale? 133 00:09:40,600 --> 00:09:42,100 Esta sí sería la solución. 134 00:09:42,419 --> 00:09:44,779 Y luego las raíces que tiene, ¿vale? 135 00:09:45,360 --> 00:09:52,379 O sea, q de x es igual a 0 si solo si las soluciones de esta ecuación de segundo, de tercer grado, ¿vale? 136 00:09:52,460 --> 00:09:53,019 ¿Cuáles serían? 137 00:09:53,019 --> 00:09:54,019 pues sería 138 00:09:54,019 --> 00:09:57,080 x igual a menos 1 139 00:09:57,080 --> 00:09:57,879 ¿vale? 140 00:09:57,980 --> 00:09:58,820 las soluciones no cambian 141 00:09:58,820 --> 00:10:00,460 porque como el 4 está ahí multiplicando 142 00:10:00,460 --> 00:10:00,759 da igual 143 00:10:00,759 --> 00:10:01,899 si multiplico 4 por 0 144 00:10:01,899 --> 00:10:03,279 sigue siendo 0 145 00:10:03,279 --> 00:10:04,179 entonces x igual a menos 1 146 00:10:04,179 --> 00:10:05,200 sigue siendo una solución 147 00:10:05,200 --> 00:10:08,019 x igual a menos 1 medio 148 00:10:08,019 --> 00:10:09,279 sigue siendo una solución 149 00:10:09,279 --> 00:10:11,139 y x igual a más 1 medio 150 00:10:11,139 --> 00:10:12,080 sigue siendo una solución 151 00:10:12,080 --> 00:10:13,480 podéis comprobarlo 152 00:10:13,480 --> 00:10:15,519 si te lo dices aquí 153 00:10:15,519 --> 00:10:16,159 menos 1 medio 154 00:10:16,159 --> 00:10:17,340 pues está claro que esto va a dar 0 155 00:10:17,340 --> 00:10:18,600 y por lo tanto 156 00:10:18,600 --> 00:10:19,960 da igual que haya un 4 157 00:10:19,960 --> 00:10:21,019 va a seguirme dando 0 158 00:10:21,019 --> 00:10:22,720 pero quiero decir 159 00:10:22,720 --> 00:10:39,559 Si metéis aquí el menos un medio y el un medio, veréis que también da cero, es decir, que es correcta la factorización. Así que ya estaría lo que nos piden calculado. La solución de lo que nos piden sería esto. 160 00:10:39,559 --> 00:10:57,000 Entonces, como digo, ha habido una complicación más, que es algo que no os esperabais, quizás, igual a algunos sí, que es que hay un factor que no tiene X, ¿vale? 161 00:10:57,000 --> 00:11:07,659 Hay un factor que no es ni siquiera un monomio ni un polinomio, puesto que es un número, sencillamente, ¿vale? No tiene letra, no tiene X. 162 00:11:07,659 --> 00:11:28,779 Entonces, esto puede ocurrir, y esto va a ocurrir, de hecho, siempre que tengáis un coeficiente principal distinto de 1, puesto que en esos casos vais a tener raíces que son números no enteros, números fraccionarios. 163 00:11:28,779 --> 00:11:31,240 entonces bueno, quería poner este ejemplo 164 00:11:31,240 --> 00:11:33,659 para que vierais que se puede complicar un poco más 165 00:11:33,659 --> 00:11:34,899 este ejemplo 166 00:11:34,899 --> 00:11:37,159 no sería tanto nivel de tercero de la ESO 167 00:11:37,159 --> 00:11:38,159 sino un poquito más 168 00:11:38,159 --> 00:11:41,039 pero porque 169 00:11:41,039 --> 00:11:42,639 quizás este paso 170 00:11:42,639 --> 00:11:45,179 os pueda costar un poco verlo, pero ya veis que tampoco 171 00:11:45,179 --> 00:11:46,779 es una complicación muy grande 172 00:11:46,779 --> 00:11:49,460 que realmente Ruffini ni siquiera lo hemos tenido 173 00:11:49,460 --> 00:11:50,580 que hacer con las fracciones 174 00:11:50,580 --> 00:11:52,100 podría haber puesto un ejemplo con fracciones 175 00:11:52,100 --> 00:11:54,320 pero incluso se ha puesto un ejemplo que se puede hacer Ruffini 176 00:11:54,320 --> 00:11:55,500 directamente 177 00:11:55,500 --> 00:11:58,659 con la primera raíz 178 00:11:58,659 --> 00:11:59,179 que se entera 179 00:11:59,179 --> 00:12:03,919 y bueno, por lo demás pues 180 00:12:03,919 --> 00:12:06,299 la única complicación, de hecho ni siquiera 181 00:12:06,299 --> 00:12:07,639 la complicada de la conciencia de segundo grado 182 00:12:07,639 --> 00:12:10,779 porque eso es un ejemplo fácil, que no hace falta ni usar la fórmula 183 00:12:10,779 --> 00:12:12,580 y ya veis 184 00:12:12,580 --> 00:12:14,500 que lo complicado es eso 185 00:12:14,500 --> 00:12:16,639 que sale aquí un polinomio 186 00:12:16,639 --> 00:12:18,600 que no coincide con el que teníais 187 00:12:18,600 --> 00:12:20,919 pero es un múltiplo 188 00:12:20,919 --> 00:12:22,559 de lo que teníais, entonces como es múltiplo 189 00:12:22,559 --> 00:12:24,240 de lo que teníais, pues múltiplo quiere decir 190 00:12:24,240 --> 00:12:26,080 que estamos multiplicando un número sencillamente 191 00:12:26,080 --> 00:12:28,019 no un polinomio, pues lo multiplicáis y ya está 192 00:12:28,019 --> 00:12:46,960 ¿Vale? No tiene más complicación. Entonces, bueno, espero que alguno de este ejemplo le haya servido para que lo tengáis todo más claro y ya os digo que en el examen no voy a pediros este nivel, pero bueno, porque lo sepáis que esto existe, pues aquí lo dejo.