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00:00:12,400 --> 00:00:18,199
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,199 --> 00:00:23,260
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:23,260 --> 00:00:34,479
de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el cálculo

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00:00:34,479 --> 00:00:51,299
de determinantes. En esta videoclase vamos a estudiar cómo calcular el determinante de una

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00:00:51,299 --> 00:00:55,700
matriz. En primer lugar, como vemos aquí, esa matriz debe ser cuadrada, puesto que si no lo

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00:00:55,700 --> 00:01:01,000
fuera el determinante no estaría definido. El determinante de una matriz A se va a denotar

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00:01:01,000 --> 00:01:07,920
det de A entre paréntesis o bien la matriz A entre líneas verticales, no entre paréntesis

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00:01:07,920 --> 00:01:14,459
sino entre barras verticales. Va a ser un escalar, es un número, dependiendo de cómo sean los números

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00:01:14,459 --> 00:01:20,620
que hay adentro así será el escalar y dependiendo de cuál sea el orden de esa matriz cuadrada hay

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00:01:20,620 --> 00:01:25,400
reglas distintas para cómo calcular. Vamos a comenzar por el caso más sencillo que es lo que

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00:01:25,400 --> 00:01:30,379
pasa si queremos calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 1 con un único elemento

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00:01:30,379 --> 00:01:36,079
en la única fila y única columna A11 como vemos aquí. Y se trata de un determinante porque vemos

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00:01:36,079 --> 00:01:41,260
unas barras verticales en lugar de unos paréntesis. Bueno, pues la regla para cómo calcular el

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00:01:41,260 --> 00:01:46,659
determinante de una matriz de orden 1 es bien sencilla. El determinante coincide con el valor

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00:01:46,659 --> 00:01:52,480
numérico del elemento que hay dentro de la matriz. Fácil, cómodo, sencillo. En el caso en el que

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00:01:52,480 --> 00:01:57,420
tengamos una matriz de orden 2, como esta, la regla ya no es tan sencilla, pero tampoco es muy

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00:01:57,420 --> 00:02:03,079
complicada. Fijaos, tenemos un determinante, viene entre barras verticales, de una matriz cuadrada de

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00:02:03,079 --> 00:02:09,300
orden 2, a 1, 1, a 1, 2 en la primera fila, a 2, 1, a 2, 2 en la segunda fila. Bueno, pues vemos que

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00:02:09,300 --> 00:02:15,180
tenemos un sumando y un restando. Con signo positivo, que no está escrito, tenemos el producto de los

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00:02:15,180 --> 00:02:21,919
elementos en la diagonal principal. Fijaos, a 1, 1 por a 2, 2, aquí estaría. Y restando, aquí tenemos

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00:02:21,919 --> 00:02:27,900
este signo negativo, el producto de los elementos en la diagonal contraria, a12 por a21. Y aquí

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00:02:27,900 --> 00:02:35,479
tenemos a12 por a21. También es fácil, cómodo y sencillo. En el caso de una matriz cuadrada de

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00:02:35,479 --> 00:02:39,719
orden 3, la regla para el cálculo de un determinante tiene nombre, se llama regla de

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00:02:39,719 --> 00:02:46,539
Sarrus, y guarda relación con cómo se calcula el determinante de una matriz de orden 2.

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00:02:47,240 --> 00:02:54,360
Vemos que en este caso no tenemos 1 sino 3 sumandos con signo positivo y 3 restandos con signo negativo.

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00:02:55,180 --> 00:03:00,939
En el caso de una matriz de orden 2, el sumando era el producto de los elementos en la diagonal principal.

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00:03:01,460 --> 00:03:07,360
Y en este caso el primer sumando que nos vamos a encontrar es precisamente ese, el producto de los elementos en la diagonal principal.

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00:03:07,819 --> 00:03:11,199
A1, 1 por A2, 2 por A3, 3 y lo tenemos aquí.

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00:03:11,960 --> 00:03:18,120
Los otros dos sumandos se van a calcular también multiplicando tres elementos de la matriz

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00:03:18,120 --> 00:03:23,000
y lo que vamos a hacer es buscar paralelas a esta diagonal principal.

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00:03:23,840 --> 00:03:27,319
Si buscamos cuál es la paralela a la diagonal principal por encima,

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00:03:27,740 --> 00:03:31,580
tenemos el producto de estos dos elementos A1, 2 por A2, 3.

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00:03:32,060 --> 00:03:38,319
Y el tercer elemento va a ser el que se encuentra en el extremo opuesto, en esta esquina inferior izquierda.

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00:03:38,319 --> 00:03:44,020
Así que teníamos, primer sumando diagonal principal a 1, 1, a 2, 2 por a 3, 3.

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00:03:44,479 --> 00:03:53,479
Segundo sumando, me voy a la paralela por encima a la diagonal principal a 1, 2 por a 2, 3 y busco el elemento opuesto por a 3, 1 que estaría aquí.

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00:03:54,680 --> 00:04:00,259
El tercer sumando y último será buscar la paralela por debajo a la diagonal principal.

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00:04:00,259 --> 00:04:07,719
en este caso tengo estos dos elementos, a21 por a32, y buscar como tercero el elemento que se encuentra en el extremo opuesto,

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00:04:07,840 --> 00:04:15,680
en esta esquina superior derecha, este a13. Y así pues lo que tendré es el producto de a13 por a21 por a32 que tenemos aquí.

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00:04:17,660 --> 00:04:23,920
¿Cuáles van a ser los restandos, los tres restandos? Bueno, recordemos, en el determinante de la matriz de orden 2

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00:04:23,920 --> 00:04:28,199
era el producto de los elementos en la diagonal opuesta a la diagonal principal.

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00:04:28,759 --> 00:04:30,420
Aquí va a ser, para empezar, lo mismo.

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00:04:31,060 --> 00:04:34,899
Vamos a multiplicar estos tres elementos en la diagonal opuesta a la matriz principal,

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00:04:35,480 --> 00:04:40,160
a1, 3, por a2, 2, por a3, 1, que en este caso tenemos aquí, en esta tercera posición,

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00:04:40,379 --> 00:04:42,579
a1, 3, por a2, 2, por a3, 1.

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00:04:44,379 --> 00:04:46,060
Necesitamos otros dos restandos.

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00:04:46,199 --> 00:04:49,240
Bueno, pues lo que vamos a hacer es algo análogo a lo que hacíamos con los sumandos.

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00:04:49,459 --> 00:04:55,060
Vamos a comenzar buscando cuál es la paralela a esta diagonal, pero por encima.

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00:04:55,399 --> 00:04:58,000
Y tenemos estos dos elementos, a1, 2, por a2, 1.

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00:04:58,199 --> 00:05:05,620
Y como tercero vamos a buscarnos el elemento que se encuentra en la posición opuesta, en esta esquina inferior izquierda, este elemento A3,3.

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00:05:05,920 --> 00:05:11,899
Será el producto A1,2 por A2,1 por A3,3. Y lo tenemos aquí en esta segunda posición.

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00:05:13,240 --> 00:05:21,759
Así que hemos tomado los elementos, el producto de los elementos en esta diagonal opuesta a la principal, la paralela por encima con este elemento opuesto.

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00:05:21,759 --> 00:05:29,019
lo que nos quedaría será el producto de los elementos en esta paralela por debajo a la diagonal principal,

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00:05:29,620 --> 00:05:34,680
A2, 3 por A3, 2, y completar con el tercer elemento, el que se encuentra en la posición opuesta,

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00:05:34,819 --> 00:05:37,060
en esta esquina superior derecha, A1, 1.

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00:05:37,600 --> 00:05:41,819
Así que tendríamos el producto de A1, 1 por A2, 3 por A3, 2.

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00:05:42,139 --> 00:05:43,939
Y aquí lo tenemos en esta posición.

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00:05:46,009 --> 00:05:52,350
Con carácter general, si tenéis curiosidad en ver cómo sería el cálculo del determinante

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00:05:52,350 --> 00:06:01,089
en una matriz cuadrada de orden 4, 5, etcétera, lo que podemos hacer es comprobar que en cada uno de estos sumandos o restandos

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00:06:01,089 --> 00:06:10,790
lo que tenemos son todas las posibles combinaciones de elementos de la matriz tomando sólo uno de cada fila o columna.

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00:06:10,970 --> 00:06:18,709
Afectados por un signo, a veces tendremos un signo positivo, a veces tendremos un signo negativo, dependiendo de cómo sean estas combinaciones.

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00:06:19,670 --> 00:06:29,209
Como corolario anterior, si tenemos que calcular el determinante de una matriz que sea triangular, ya sea superior o inferior, o bien diagonal,

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00:06:29,629 --> 00:06:36,110
el determinante se va a calcular directamente como el producto de los elementos en su diagonal principal,

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00:06:36,769 --> 00:06:43,730
puesto que cualquier otra combinación va a tener dentro de ella, cualquier otra combinación para sumando o para restando,

64
00:06:43,730 --> 00:06:51,089
va a tener dentro de ella algún elemento que va a ser cero, bien porque esté en el tramo debajo o encima de la diagonal principal,

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00:06:51,269 --> 00:06:55,170
que va a ser cero, bien cualquiera de los dos en el caso de una diagonal principal.

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00:06:56,449 --> 00:07:03,589
Como propiedades de los determinantes, el determinante de una matriz va a coincidir con el determinante de la matriz traspuesta.

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00:07:04,490 --> 00:07:11,990
Hay una regla para el caso del determinante del producto de dos matrices, va a coincidir con el producto de los determinantes.

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00:07:11,990 --> 00:07:26,449
Si una matriz cuadrada es regular, esto es, es invertible, tiene inversa, el determinante de la matriz inversa se va a poder calcular como 1 partido por el determinante de la matriz, es el inverso respecto del producto del determinante de la matriz.

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00:07:27,329 --> 00:07:35,069
Y como propiedades interesantes para la simplificación o el desarrollo de determinantes, tenemos las siguientes.

70
00:07:35,069 --> 00:07:58,089
Entonces, si dentro de un determinante una fila o columna, da igual, vamos a en este caso pensar como ejemplo en una fila, pudiera expresarse como una suma de igual número de términos y aquí vemos por ejemplo que en la fila iésima de esta determinante todos los elementos se pueden expresar como la suma de un elemento a y un elemento b.

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00:07:58,089 --> 00:08:04,829
Aquí tenemos a y 1 más b y 1, a y 2 más b y 2, y en la emésima columna a y m más b y m.

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00:08:05,370 --> 00:08:12,329
En ese caso, podemos descomponer el determinante como la suma de igual número de determinantes.

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00:08:12,430 --> 00:08:17,389
Aquí teníamos dos sumandos, vamos a descomponer el determinante como la suma de dos determinantes.

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00:08:17,529 --> 00:08:22,750
Si aquí hubiéramos tenido la suma de tres elementos, habríamos puesto la suma de tres determinantes.

75
00:08:22,750 --> 00:08:42,529
Lo que vamos a hacer es copiar idénticamente el determinante anterior y lo que vamos a hacer es descomponer esta fila como en primer lugar AI1, AI2, así hasta en la emésima columna AIM, más y lo que tendremos es otro determinante con los segundos términos, ya no las AES sino las BES.

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00:08:42,529 --> 00:08:50,350
Y aquí en la fila iésima lo que tendremos será bi1, bi2 y en la columna mésima, bim, como veis aquí.

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00:08:51,009 --> 00:08:56,830
Esto nos permite descomponer un determinante como la suma de dos más sencillos.

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00:08:56,929 --> 00:09:05,129
En un momento dado podremos tener interés en hacerlo operacional en sentido contrario y expresar la suma de dos determinantes como uno único, aunque sea más complejo.

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00:09:05,129 --> 00:09:12,470
Si nosotros intercambiáramos dos filas o columnas adyacentes en una matriz, permutamos

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00:09:12,470 --> 00:09:17,750
el orden de dos filas o dos columnas consecutivas, el determinante va a cambiar de signo, va

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00:09:17,750 --> 00:09:22,070
a tener el mismo valor absoluto pero el signo va a ser el opuesto.

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00:09:22,070 --> 00:09:29,190
Si en una matriz, o queremos calcular el determinante de una matriz que tiene una fila o una columna

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00:09:29,190 --> 00:09:34,470
de ceros, o bien una fila o columna igual a otra, o bien que sea múltiplo de otra,

84
00:09:34,470 --> 00:09:39,789
proporcional a otra, veis aquí, o bien que sea igual a una combinación lineal de otras, su determinante

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00:09:39,789 --> 00:09:48,070
va a ser cero. Si en un determinante multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por un

86
00:09:48,070 --> 00:09:52,250
determinado número, o bien dividimos entre un determinado número que sea distinto de cero, por

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00:09:52,250 --> 00:09:57,750
supuesto, el resultado del determinante va a ser igual al de la original, pero multiplicado por

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00:09:57,750 --> 00:10:03,169
dicho número, si es que hemos multiplicado, o dividido, si es que hemos dividido. Y por último,

89
00:10:03,169 --> 00:10:09,889
si sustituimos una fila o columna de una matriz por esta más una combinación lineal de las otras,

90
00:10:10,409 --> 00:10:16,009
el determinante no va a variar. Estas últimas propiedades van a ser interesantes en el caso

91
00:10:16,009 --> 00:10:22,210
en el que nosotros queramos bien desarrollar un determinante con expresiones complejas o bien

92
00:10:22,210 --> 00:10:28,809
queramos simplificarlo. Con lo que hemos visto anteriormente, con las definiciones que habíamos

93
00:10:28,809 --> 00:10:34,710
visto inmediatamente antes, vamos a poder calcular estos determinantes. Aquí tenemos un determinante

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00:10:34,710 --> 00:10:40,389
de orden 2 y un determinante de orden 3. Lo resolveremos en clase y lo resolveremos también

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00:10:40,389 --> 00:10:49,259
en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos

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00:10:49,259 --> 00:10:56,519
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis

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00:10:56,519 --> 00:11:00,740
centrar vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:11:01,279 --> 00:11:02,679
Un saludo y hasta pronto.