1 00:00:00,000 --> 00:00:04,799 Muy buenas. Las ecuaciones a veces pueden parecer un auténtico rompecabezas, ¿verdad? 2 00:00:05,139 --> 00:00:09,400 Uno de esos que no sabes por dónde coger. Pero, ¿y si en realidad tuvieran una lógica 3 00:00:09,400 --> 00:00:13,580 súper clara? Pues eso es justo lo que vamos a hacer aquí. Vamos a meternos de lleno con 4 00:00:13,580 --> 00:00:18,160 tres de los tipos más comunes, logarismos exponenciales y sistemas de ecuaciones, para 5 00:00:18,160 --> 00:00:21,500 ver cómo podemos convertirlos en algo mucho más sencillo y manejable. 6 00:00:21,940 --> 00:00:26,460 Y esta es la pregunta con la que arrancamos nuestro análisis. Es un desafío clásico, 7 00:00:26,460 --> 00:00:31,379 un problema muy típico. La variable que buscamos está como atrapada dentro de un 8 00:00:31,379 --> 00:00:35,479 logaritmo. Entonces, ¿cómo la sacamos de ahí? Pues vamos a ver que no es ni de lejos 9 00:00:35,479 --> 00:00:39,299 tan complicado como parece. Este es el plan que vamos a seguir. Primero, 10 00:00:39,539 --> 00:00:44,539 las ecuaciones logarítmicas y su importantísima prueba de validez. Después, nos pasamos a 11 00:00:44,539 --> 00:00:50,039 las exponenciales y sus diferentes técnicas. Luego, vemos los sistemas de ecuaciones, tanto 12 00:00:50,039 --> 00:00:54,600 desde el punto de vista del álgebra como de la geometría. Y para terminar, repasamos 13 00:00:54,600 --> 00:00:59,219 unas reglas de oro para que todo quede bien claro. Venga, empezamos por el principio. ¿Qué hacemos 14 00:00:59,219 --> 00:01:03,820 cuando nuestra incógnita está metida en el argumento de un logaritmo? Pues el objetivo está 15 00:01:03,820 --> 00:01:10,299 claro, hay que despejarla. Y para eso, por suerte, tenemos un método muy, muy concreto. A ver, la 16 00:01:10,299 --> 00:01:16,260 clave aquí es seguir siempre estos tres pasitos. Lo primero de todo, simplificar. O sea, usamos las 17 00:01:16,260 --> 00:01:20,859 propiedades de los logaritmos y lo dejamos todo bien juntito, en un solo logaritmo a cada lado. 18 00:01:21,379 --> 00:01:22,819 El segundo paso, resolver. 19 00:01:23,340 --> 00:01:27,439 Aquí ya nos quitamos los logaritmos de en medio y trabajamos con la ecuación que nos queda. 20 00:01:27,980 --> 00:01:31,840 Y tercero, y esto es súper importante de verdad, hay que verificar las soluciones. 21 00:01:32,420 --> 00:01:35,180 Y claro, lo interesante es ver cómo funciona esto en la práctica. 22 00:01:35,640 --> 00:01:39,920 En este ejemplo, lo primero es aplicar la propiedad de la suma para juntar los dos logaritmos en uno. 23 00:01:40,379 --> 00:01:44,480 Después, el truco es convertir ese 5 en un logaritmo con la misma base, base 2. 24 00:01:44,599 --> 00:01:48,760 Así, al tener un logaritmo a cada lado, podemos igualarlo de dentro y ¡listo! 25 00:01:48,760 --> 00:01:54,219 Nos queda una ecuación de segundo grado que nos da dos posibles soluciones, 2 y menos 16. 26 00:01:54,680 --> 00:01:57,659 Y esto nos lleva a una de las ideas más importantes de todo este tema. 27 00:01:58,159 --> 00:02:02,400 Ojo, que un cálculo nos dé un número no significa automáticamente que sea una solución válida. 28 00:02:02,799 --> 00:02:07,359 En matemáticas, sobre todo con logaritmos, encontrar una posible respuesta es solo la mitad del camino. 29 00:02:07,840 --> 00:02:10,099 ¿Y por qué? Pues por esta regla de oro. 30 00:02:10,620 --> 00:02:17,659 Un logaritmo solo existe si su argumento, o sea, el número al que se aplica, que aquí es n, es estrictamente mayor que 0. 31 00:02:17,659 --> 00:02:20,800 Y bueno, la base también tiene que ser positiva y no puede ser 1. 32 00:02:21,300 --> 00:02:26,060 Si alguna de las soluciones que hemos encontrado incumple esto al ponerla en la ecuación original, 33 00:02:26,539 --> 00:02:28,879 pues entonces simplemente no es una solución. 34 00:02:29,259 --> 00:02:30,840 Y esto lo ilustra a la perfección. 35 00:02:31,300 --> 00:02:35,400 En este otro caso, las posibles soluciones que han salido son 2 y menos 3. 36 00:02:36,000 --> 00:02:39,680 Si probamos con x igual a 2, vemos que la ecuación funciona sin problemas. 37 00:02:40,280 --> 00:02:43,039 Pero, ¿qué pasa si probamos con x igual a menos 3? 38 00:02:43,479 --> 00:02:46,960 Pues que nos topamos con el logaritmo de un número negativo, de menos 3, 39 00:02:46,960 --> 00:02:52,159 que, como acabamos de ver, no existe. Por lo tanto, el menos tres se descarta. No es una 40 00:02:52,159 --> 00:02:57,580 solución válida. Venga, cambiamos de tercio. Pasamos ahora a otro tipo de ecuación, las 41 00:02:57,580 --> 00:03:03,080 exponenciales. Aquí la incógnita está arriba, en el exponente. Para resolverlas no hay un método 42 00:03:03,080 --> 00:03:07,939 único, sino que tenemos como una especie de caja de herramientas. Y la clave claro es saber qué 43 00:03:07,939 --> 00:03:14,800 herramienta usar en cada caso. Y aquí está nuestro arsenal. Son tres técnicas principales. La primera 44 00:03:14,800 --> 00:03:19,919 es la de igualar bases. Si conseguimos escribir los dos lados como una potencia del mismo 45 00:03:19,919 --> 00:03:25,439 número, el problema está casi resuelto. La segunda es el cambio de variable, que es 46 00:03:25,439 --> 00:03:30,159 general para cuando la ecuación se empieza a complicar. Y la tercera, un recurso que 47 00:03:30,159 --> 00:03:35,379 no falla nunca, tomar logaritmos. Fijaos en la primera herramienta. Aquí nos 48 00:03:35,379 --> 00:03:41,240 damos cuenta de que 81 es lo mismo que 3 elevado a 4, y que un tercio es 3 elevado a menos 49 00:03:41,240 --> 00:03:45,800 1. Perfecto. Al hacer esto, los dos lados de la ecuación tienen la misma base, el 3, 50 00:03:46,139 --> 00:03:50,800 y esto nos permite igualar los exponentes directamente y despejar la x de una forma 51 00:03:50,800 --> 00:03:56,159 súper sencilla. Vamos ahora con la segunda herramienta. En esta ocasión, vemos que 4 52 00:03:56,159 --> 00:04:01,180 elevado a x es lo mismo que 2 elevado a x al cuadrado, y esa es la pista que necesitamos 53 00:04:01,180 --> 00:04:06,740 para hacer un cambio de variable. Llamamos z a 2 elevado a x, y de repente, la ecuación 54 00:04:06,740 --> 00:04:11,539 se convierte en una de segundo grado de las de toda la vida. La resolvemos para z y luego, 55 00:04:11,819 --> 00:04:17,819 muy importante, deshacemos el cambio para encontrar la x. Y, por último, la tercera herramienta. ¿Qué 56 00:04:17,819 --> 00:04:23,199 pasa cuando no hay manera de igualar las bases? Como en este caso, entre 2 y 189. Pues nada, 57 00:04:23,360 --> 00:04:28,139 tomamos logaritmos en los dos lados. Gracias a las propiedades de los logaritmos, el exponente 58 00:04:28,139 --> 00:04:33,279 puede bajar multiplicando y ya podemos despejar la x sin ningún problema. Podríamos decir que 59 00:04:33,279 --> 00:04:38,540 esta es la técnica universal. Bueno, pues dejamos ya las ecuaciones individuales y nos metemos con 60 00:04:38,540 --> 00:04:44,079 los sistemas de ecuaciones lineales. Aquí la pregunta cambia un poco. No es sólo cuál es la 61 00:04:44,079 --> 00:04:49,939 solución, sino, para empezar, ¿hay solución y cuántas hay? Porque cada sistema en realidad nos 62 00:04:49,939 --> 00:04:55,560 está contando una historia. Pues resulta que un sistema de dos ecuaciones lineales se puede 63 00:04:55,560 --> 00:05:01,600 clasificar en sólo tres tipos. El compatible determinado, que tiene una única solución. El 64 00:05:01,600 --> 00:05:06,839 incompatible indeterminado, que, ojo, tiene infinitas soluciones, y el incompatible, que no 65 00:05:06,839 --> 00:05:12,040 tiene ninguna. Y lo más fascinante de todo es que podemos saber de qué tipo es simplemente 66 00:05:12,040 --> 00:05:17,779 comparando los numeritos, los coeficientes que acompañan a la X, a la Y y los que van solos. 67 00:05:18,139 --> 00:05:23,480 Pero lo mejor es que estas clasificaciones del álgebra no son algo abstracto. Tienen una 68 00:05:23,480 --> 00:05:28,879 representación geométrica clarísima. Solo hay que pensar que cada una de esas ecuaciones es, 69 00:05:28,879 --> 00:05:34,759 en realidad una recta en un plano. Y esta imagen lo resume a la perfección. Un sistema con una 70 00:05:34,759 --> 00:05:39,819 solución única son dos rectas que se cortan en un punto, y sólo uno. Un sistema con infinitas 71 00:05:39,819 --> 00:05:45,439 soluciones son dos rectas que en realidad son la misma, una encima de la otra. Y un sistema sin 72 00:05:45,439 --> 00:05:50,639 solución, pues son dos rectas paralelas que, por mucho que las alargues, nunca jamás se van a 73 00:05:50,639 --> 00:05:55,519 tocar. El álgebra nos está contando la historia de la geometría. Muy bien, hemos visto un montón 74 00:05:55,519 --> 00:06:00,040 de cosas, así que, para terminar, vamos a resumir todo lo que hemos analizado en unas pocas reglas 75 00:06:00,040 --> 00:06:05,279 clave, unas ideas que nos sirvan de guía para enfrentarnos a este tipo de problemas. Vamos a 76 00:06:05,279 --> 00:06:10,660 quedarnos con estas tres ideas fundamentales. Primero, con los logaritmos, la verificación no 77 00:06:10,660 --> 00:06:16,920 es algo opcional, es obligatoria. Segundo, con las exponenciales, hay que pararse a pensar y elegir 78 00:06:16,920 --> 00:06:21,660 la herramienta adecuada para cada trabajo. Y tercero, con los sistemas, hay que recordar que 79 00:06:21,660 --> 00:06:26,160 detrás del álgebra siempre hay una historia geométrica sobre cómo se encuentran dos rectas. 80 00:06:26,600 --> 00:06:31,100 Con estas herramientas ya no sólo resolvemos problemas de un libro de texto. La pregunta 81 00:06:31,100 --> 00:06:35,579 final que nos queda es, ahora que sabemos manejarlas, ¿dónde podemos ver estas poderosas 82 00:06:35,579 --> 00:06:39,819 ecuaciones dándole forma al mundo que nos rodea? Desde el crecimiento de una inversión en el banco 83 00:06:39,819 --> 00:06:45,199 hasta los descubrimientos científicos, la respuesta es que están literalmente en todas partes.