1
00:00:00,620 --> 00:00:10,019
Hola, ¿qué tal? Bueno, vamos a comenzar con la corrección del examen que hicimos del primer trimestre de la recuperación del primer global de análisis.

2
00:00:10,720 --> 00:00:19,780
Y lo vamos a hacer empezando con el primer ejercicio que consistía en una función definida de trozos y que tenéis, como veis ahí, que estudia su continuidad,

3
00:00:19,780 --> 00:00:28,579
algunas asíntotas y una recta tangente. Vamos con ella. En el primer apartado nos piden que calculemos la continuidad en el punto x igual a 1.

4
00:00:28,579 --> 00:00:37,119
entonces daos cuenta que justo en x igual a 1 resulta que la función es donde parte el dominio de definición

5
00:00:37,119 --> 00:00:44,399
y entonces tendremos un trozo que será 2 partido por x más 1 y otro trozo que será logaritmo de x partido por x menos 1

6
00:00:44,399 --> 00:00:49,740
y nos piden justo la continuidad en x igual a 1 que es donde ya digo rompe

7
00:00:49,740 --> 00:00:54,840
pues venga vamos a ver para ello partiendo de la definición de continuidad una función será continua

8
00:00:54,840 --> 00:01:09,620
f es continua en x igual a 1 si pues que tiene que ocurrir que el valor de la función en el punto tiene que coincidir con el límite y como los límites son laterales

9
00:01:09,620 --> 00:01:18,859
pues con el límite por la izquierda y con el límite por la derecha lo que habrá que hacer es calcular esos límites vamos con ello para lo cual el primero de los

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00:01:18,859 --> 00:01:34,019
Límites, como veis ahí, es el límite de 2 partido por x más 1, entonces límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función va a ser el límite de 2 partido por x más 1

11
00:01:34,019 --> 00:01:41,540
y como esta es una función continua en el 1, lo que hay que hacer nada más es sustituir y este límite valdrá 2.

12
00:01:41,540 --> 00:01:51,099
Y lo que tenemos que calcular es el otro límite, el límite cuando x tiende a 1 más de la función. En este caso, la función era el logaritmo de x partido por x menos 1.

13
00:01:51,680 --> 00:01:59,900
Pues entonces, habrá que calcular el límite cuando x tiende a 1 más del logaritmo neperino de x partido por x menos 1.

14
00:02:00,040 --> 00:02:10,520
Y aquí sí, si sustituimos, veremos que el logaritmo de 1 es 0, luego 1 menos 1 es 0, así que esto va a ser una indeterminación del tipo 0 partido por 0.

15
00:02:10,520 --> 00:02:27,460
Y como sabemos, este tipo de indeterminaciones las podemos resolver utilizando la hospital. Vamos a ello, vamos a hacer la hospital. Para hacer la hospital hay que dividir numerador y denominador, perdón, hay que derivar numerador y derivar denominador.

16
00:02:27,460 --> 00:02:40,719
La derivada del logaritmo de x es 1 partido por x, la derivada del denominador es 1. Entonces, ese límite, ahora ya sustituyendo, ese límite vale, como veis ahí, 1 partido por 1 partido por 1, es decir, 1.

17
00:02:41,120 --> 00:02:48,620
Con lo cual, y perdón, aquí me había equivocado, ¿verdad? 2 partido por 1 más 1 es 1, no es 2. Vaya por Dios, ¿cómo estamos?

18
00:02:48,620 --> 00:02:55,539
Entonces, se concluye que si el límite por la izquierda es 1, el límite por la derecha es 1

19
00:02:55,539 --> 00:02:57,759
¿Y cuánto valía el valor de la función en el 1?

20
00:02:58,319 --> 00:03:06,780
Pues el valor de la función en el 1 era justo el valor de 2 partido por 1 más 1, es decir, de 1

21
00:03:06,780 --> 00:03:18,229
Concluimos que f es continua en x igual a 1, sin hacer más

22
00:03:18,229 --> 00:03:20,909
Vamos a calcular las asíntotas

23
00:03:20,909 --> 00:03:34,569
Para calcular las asíntotas, lo que tenemos que hacer es asíntotas verticales y asíntotas horizontales, porque oblicuos no hay, al no ser una función polinómica con grado de arriba 1 mayor que el grado de abajo en ninguno de los dos trozos.

24
00:03:35,229 --> 00:03:41,969
Entonces, empezamos con el primer fragmento, o con el primer trozo de función, antes del 1. 2 partido por x más 1.

25
00:03:41,969 --> 00:03:53,689
Bueno, pues entonces consideramos esta función, 2 partido por x más 1, estamos en el apartado ya b, si la x es menor o igual que 1.

26
00:03:53,689 --> 00:04:06,180
Y nos están diciendo ya que la x tiene que ser distinto de menos 1, en x igual a menos 1 va a haber una asíntota vertical, puesto que el denominador se anula.

27
00:04:06,180 --> 00:04:31,079
Ahora, fijaos que los límites cuando el x tiende a menos 1 por la izquierda y menos 1 por la derecha pues van a ser más y menos infinito. Cuando x tiende a menos 1 por la izquierda sería menos 1, un número más pequeño que menos 1, le sumamos 1, el resultado sería pues un número negativo y 2 partido por un número negativo pero próximo a 0, ¿verdad?

28
00:04:31,079 --> 00:04:49,480
Pues eso es como 2 partido por 0 menos y eso pues es menos infinito. Mientras que cuando la x tiende a menos 1 por la derecha, por ejemplo, menos 0,99 al sumarle 1 será un valor positivo.

29
00:04:49,480 --> 00:05:00,779
2 partido por un valor positivo cercano a 0, pues más infinito, porque esto es 2 partido por 0 positivo, por un valor cercano a 0, pero positivo.

30
00:05:01,420 --> 00:05:13,639
Bien, es decir que ahí tenemos una rama infinita en el menos 1, por la izquierda vamos a ir hacia el menos infinito y por la derecha al más infinito,

31
00:05:13,639 --> 00:05:21,639
una rama, una asíntota vertical, quiero decir. Bueno, esa sería la asíntota vertical y luego este trozo también tiene una asíntota horizontal.

32
00:05:22,319 --> 00:05:30,879
Tenemos que calcular el límite cuando la x tiende a menos infinito de esta función. ¿Por qué al menos infinito y no al más infinito?

33
00:05:31,319 --> 00:05:40,980
Bueno, pues porque cuando la x tienda a más infinito vamos a estar a la derecha del 1 y entonces aquí, de este otro lado, tendremos que considerar

34
00:05:40,980 --> 00:05:53,100
la función de la derecha, es decir, no la función de la izquierda sino la de la derecha, en toda esta parte de aquí. Así que de momento en esta otra región

35
00:05:53,100 --> 00:06:04,480
en la que nos ocupa tendremos que estudiar la función 2 partido por x más 1. Y entonces en este límite, como vemos, es el límite de 2 partido por infinito

36
00:06:04,480 --> 00:06:20,300
que es 0. Eso quiere decir que la recta y igual a 0 es una asíntota horizontal por el menos infinito. Bien, ¿qué nos queda? Pues el otro trozo de función

37
00:06:20,300 --> 00:06:32,439
para ver las otras asíntotas con la otra mitad de función. Vamos a añadir aquí una hoja y seguimos. Entonces, el otro fragmento de función era

38
00:06:32,439 --> 00:06:43,500
logaritmo de x partido por x menos 1. Logaritmo de x partido por x menos 1, ¿qué asíntotas verticales va a tener? Pues x igual a 1, pero en x igual a 1

39
00:06:43,500 --> 00:06:54,139
habíamos quedado, puede tener asíntota vertical, vaya es 0 partido por 0, pero habíamos quedado que el límite cuando la x tiende a 1 de esta función es 1,

40
00:06:54,319 --> 00:07:06,899
lo vimos en el aportado anterior, así que aquí no hay asíntota. Y como no se anula en ningún otro sitio en el denominador, la única asíntota posible es el infinito,

41
00:07:06,899 --> 00:07:18,939
es decir, la asíntota horizontal. Pues vamos a estudiar a ver si esto, este límite, es cero o un número. Si es cero o un número será una asíntota horizontal.

42
00:07:19,500 --> 00:07:29,939
Entonces tenemos que calcular el límite cuando x tiene infinito del logaritmo de x partido por x menos uno. Y eso, pues daos cuenta que el logaritmo es un infinito

43
00:07:29,939 --> 00:07:40,759
pero de orden inferior a x menos 1. Lo podemos hacer también por lo vital y veríamos que este límite es 0 porque el orden de crecimiento del logaritmo es menor que el del polinomio.

44
00:07:41,220 --> 00:07:54,720
Por lo tanto, y igual a 0 también es una asíntota horizontal. En este caso, por el infinito.

45
00:07:54,720 --> 00:08:11,680
En resumen, podemos resumir y tendríamos que la función, vamos a representar estos límites, la función tendría que tender hacia menos infinito por aquí,

46
00:08:11,680 --> 00:08:24,120
hacia menos infinito por aquí, hacia más infinito por aquí, es decir, en el menos 1 tenemos x igual a menos 1 asíndota vertical,

47
00:08:24,740 --> 00:08:36,049
tenemos y igual a 0 asíndota horizontal, tanto cuando la x tiende a infinito como cuando la x tiende a menos infinito,

48
00:08:36,049 --> 00:08:49,769
que ahora podríamos representar. ¿Cómo van a ser valores positivos? Pues por algo tal que así y por algo tal que así. De hecho, puede ser algo así o algo así,

49
00:08:49,870 --> 00:09:00,929
no sabemos, todavía habría que verlo, pero desde luego tiende a cero. Este sería el eje X, este sería el eje Y y este nuestro valor 1 y ahí tendríamos el resumen

50
00:09:00,929 --> 00:09:20,379
de las asíndotas. Bien, y solo nos queda un apartado. Vamos a calcular la recta tangente en un determinado valor. Nos informan que la pendiente es menos un medio

51
00:09:20,379 --> 00:09:31,360
y tenemos que calcular dicha recta tangente, pero nos están diciendo que x es menor que 1. Si x es menor que 1, en el apartado C vamos a ponerlo de otro color,

52
00:09:31,360 --> 00:09:39,720
Vamos a subrayar aquí, como la x es menor que 1, nos están queriendo decir que tenemos que acudir a esta función de aquí.

53
00:09:40,159 --> 00:09:52,299
Con lo cual, bueno, vamos a borrar todo esto para que quede un poco más limpio todo esto, borramos, y ahora lo que tendremos que hacer, por tanto, perdón, es estudiar esa función.

54
00:09:52,299 --> 00:10:00,679
No había dicho mal, ¿verdad? Si la x es menor que 1, tendremos que estudiar esta función de aquí, para el apartado c.

55
00:10:01,279 --> 00:10:07,259
Bueno, pues 2 partido por x más 1 y la recta tangente tiene que tener pendiente menos un medio.

56
00:10:07,799 --> 00:10:14,200
Es decir, ¿qué quiere decir eso? Pues que la derivada en un determinado punto que yo desconozco es menos un medio.

57
00:10:14,539 --> 00:10:25,299
Pero la función a la izquierda hemos quedado del 1, la función vale 2 partido por x más 1, así que vamos a derivar ahí.

58
00:10:25,299 --> 00:10:34,120
vamos a derivar ahí, la derivada de esa función podemos escribirla como una potencia para que sea más sencilla la derivada

59
00:10:34,120 --> 00:10:43,600
y entonces sería menos 2 por x más 1 elevado a menos 2 y eso lo tenemos que igualar a menos 1 medio

60
00:10:43,600 --> 00:10:59,309
pues vamos a resolver esa ecuación, multiplicamos todo por 2 y quiero decir multiplicamos todo por más 1

61
00:10:59,309 --> 00:11:12,850
nos quedaría esto para quitar el signo, dividimos toda la ecuación entre 2 para despejar la x, o bueno, vamos a ponerlo primero como quitar ese menos 2 en el exponente,

62
00:11:13,429 --> 00:11:30,659
entonces nos queda mucho más sencillo. Y ahora podemos multiplicar en cruz, x más 1 al cuadrado por 1 tiene que ser igual a 4, y ahora, pues hombre,

63
00:11:30,659 --> 00:11:42,720
si lo tenéis así, no se os ocurra deshacer este cuadrado. Conviene sacar la raíz x más 1, tendrá que ser igual a más menos la raíz de 4, que es 2.

64
00:11:43,620 --> 00:11:52,100
Directamente de aquí podemos sacar raíz a la izquierda y a la derecha. No deshagáis este cuadrado porque os va a tocar hacer la ecuación de segundo grado.

65
00:11:52,100 --> 00:12:03,480
buena gana ya la tenemos casi resuelta y ahora x pues va a ser menos 1 más menos 2 ese es el sitio donde la pendiente vale menos un medio y en realidad son dos sitios

66
00:12:03,600 --> 00:12:16,919
x igual a menos 3 y x igual a 1 pero nos están diciendo que la x tiene que ser menor que 1 luego este, este lo voy a poner de otro color como la x tiene que ser menor que 1

67
00:12:16,919 --> 00:12:38,299
Este no nos vale, así que tiene que ser x igual a menos 3. Ya tenemos el lugar, x igual a menos 3. Ahora, ¿qué habrá que hacer? Pues sustituir la fórmula de la recta tangente, que es esta, y no tenemos nada más que sustituir cada cosa por su valor.

68
00:12:38,299 --> 00:12:49,500
nos falta por calcular el valor de la función en el menos 3 que será 2 partido por menos 3 más 1 es decir menos 1 y bueno pues ya sustituimos

69
00:12:49,500 --> 00:13:00,700
x y menos menos 1 igual a menos un medio por x menos 3 que quiero simplificar esto un poquito pues mejor multiplicando todo por 2

70
00:13:00,700 --> 00:13:14,720
tendré que la y más 1 será igual a menos x menos 3. En fin, por ejemplo, podemos dejarlo así o podemos simplificar y ya está.

71
00:13:16,419 --> 00:13:24,539
Aquí tenemos un más 2 y esto es un más 3. Luego aquí queda un menos 1, si no me he equivocado al hacer la cuenta un poquito rápido.

72
00:13:24,539 --> 00:13:33,580
Y esa sería nuestra recta en forma explícita. Muy bien, pues esto ha sido el primer ejercicio, enseguida pasamos al siguiente. ¡Hasta ahora!