1 00:00:00,430 --> 00:00:23,030 Bueno, buenos días. En este ejercicio número 5 tenemos que resolver un problema de probabilidad condicionada, con lo cual ya avanzó que utilizaremos el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. 2 00:00:23,030 --> 00:00:34,710 Este problema nos dice lo siguiente. En una empresa se producen dos tipos de bombillas. Alógenas y de bajo consumo. 3 00:00:36,369 --> 00:00:39,969 Bombillas alógenas y bombillas de bajo consumo. 4 00:00:45,929 --> 00:00:49,390 Dos tipos de bombillas. Alógenas y de bajo consumo. 5 00:00:49,390 --> 00:01:00,130 Bien, en proporción 3 a 4, 3 sobre un total de 7, a 4 sobre un total de 7. 6 00:01:00,130 --> 00:01:09,030 La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es de 1 partido por 50. 7 00:01:10,670 --> 00:01:14,129 Esta es la probabilidad de que sea defectuosa una halógena. 8 00:01:16,409 --> 00:01:18,129 Probabilidad de que sea defectuosa. 9 00:01:19,390 --> 00:01:29,379 Y la probabilidad de que una bombilla de bajo consumo sea defectuosa es de 9 partido por 100. 10 00:01:30,980 --> 00:01:34,560 Se escoge una bombilla al azar y se piden dos cosas. 11 00:01:34,900 --> 00:01:40,920 Primero, la probabilidad que esa bombilla sea defectuosa. 12 00:01:40,920 --> 00:02:12,990 Y segundo, la probabilidad que siendo esa bombilla halógena, sabiendo que es defectuosa, esto es una información conocida, nos piden la probabilidad de que sea halógena, sabiendo que es defectuosa. 13 00:02:13,810 --> 00:02:20,550 Bueno, leemos bien el enunciado, intentamos comprenderlo perfectamente, los datos que nos dan, 14 00:02:20,990 --> 00:02:24,830 y vamos a la pantalla siguiente porque nos ponemos a resolverlo. 15 00:02:27,180 --> 00:02:27,379 Bien. 16 00:02:30,659 --> 00:02:37,219 Podemos hacerlo de varias maneras, todas ellas convergentes a lo mismo. 17 00:02:37,840 --> 00:02:44,060 En el fondo hay que aplicar siempre en este tipo de problemas el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes, 18 00:02:44,060 --> 00:03:03,699 Y voy a dibujar aquí el espacio muestral, que diseño de tal manera que los dos sucesos elementales en que puedo pensar son que una bombilla sea halógena o bien que sea de bajo consumo. 19 00:03:03,699 --> 00:03:14,699 Voy a denotar por H la bombilla halógena, el suceso asociado a escoger una bombilla halógena. 20 00:03:17,879 --> 00:03:24,080 Y denotaré por B escoger una bombilla de bajo consumo. 21 00:03:24,080 --> 00:03:39,189 D, bajo consumo. Evidentemente, si sacamos una bombilla del conjunto de bombillas, sólo puede ser de dos tipos, halógena o de bajo consumo. 22 00:03:39,569 --> 00:03:44,389 De ahí viene la configuración del espacio muestral que vemos aquí. 23 00:03:44,909 --> 00:03:50,750 Bien, ahora, denotamos también por D el suceso escoger una bombilla defectuosa. 24 00:03:50,750 --> 00:04:03,580 Este suceso ya no es un suceso elemental, es un suceso compuesto. 25 00:04:04,460 --> 00:04:11,020 Por eso, como veis, puede involucrar a uno u otro de los sucesos elementales. 26 00:04:11,020 --> 00:04:36,519 Bien, queda claro que, apartado A, la probabilidad de que sea defectuosa puede ser debido a que la bombilla que hemos sacado sea halógena, con lo cual tenemos, por la probabilidad condicionada, el producto de estas dos probabilidades. 27 00:04:36,519 --> 00:04:50,600 Es probabilidad que sea halógena por la probabilidad que sabiendo que es halógena sea defectuosa más la probabilidad que en el supuesto de que sea de bajo consumo también sea defectuosa. 28 00:04:50,600 --> 00:04:56,240 Lo que hay que multiplicar por la probabilidad de que la bombilla sea de bajo consumo. 29 00:04:58,060 --> 00:05:03,600 Vamos a escribir aquí ahora a la derecha los coeficientes de probabilidad. 30 00:05:03,600 --> 00:05:22,120 Probabilidad. La probabilidad de que sea halógena, como están en proporción 3 a 4, el total es 7, y como hay 3 proporciones de 3 a 4, la probabilidad de que sea halógena será 3 séptimos. 31 00:05:22,120 --> 00:05:37,139 La probabilidad de que sea de bajo consumo será 4 séptimos, ya que lo que le falta 3 séptimos para llegar a 1, que es la probabilidad total, es 4 séptimos. 32 00:05:37,139 --> 00:05:55,100 Bien, vamos ahora a escribir aquí la probabilidad, las probabilidades condicionadas que nos dan. La probabilidad que, dado que sea halógena, sea defectuosa, recordemos, vamos a mirar los enunciados, es de 1 partido por 50. 33 00:05:55,100 --> 00:05:58,100 1 partido por 50 34 00:05:58,100 --> 00:06:05,279 Y la probabilidad que siendo de bajo consumo resulte ser defectuosa 35 00:06:05,279 --> 00:06:09,180 Es de 9 partido por 100 36 00:06:09,180 --> 00:06:13,139 Pues ahora poniendo esto aquí 37 00:06:13,139 --> 00:06:16,939 1 partido por 50 38 00:06:16,939 --> 00:06:19,100 Por 3 séptimos 39 00:06:19,100 --> 00:06:22,720 Más 9 partido por 100 40 00:06:22,720 --> 00:06:24,680 Y por 4 séptimos 41 00:06:24,680 --> 00:06:33,759 Nos da ya la probabilidad pedida en el apartado A, que es igual a 3 partido por 50. 42 00:06:36,819 --> 00:06:42,899 Sería interesante expresar eso también en forma de tantos porcientos. 43 00:06:42,899 --> 00:06:50,240 Estoy calculando ahora esto con la calculadora, el tanto por 1, y luego multiplicaré por 100 para ver el tanto por ciento. 44 00:06:50,399 --> 00:06:51,899 Es un 6%. 45 00:06:51,899 --> 00:07:03,100 Bueno, pasamos a la página siguiente para resolver el apartado B. 46 00:07:03,819 --> 00:07:11,319 En el apartado B, fijaros, por cierto, voy atrás un momento, esto es el teorema de la probabilidad total, ¿eh? 47 00:07:11,959 --> 00:07:26,810 Teorema de la probabilidad total, ya que los dos términos del segundo miembro reúnen toda la probabilidad. 48 00:07:28,470 --> 00:07:30,069 Vamos a la página siguiente. 49 00:07:30,069 --> 00:07:44,610 Apartado B. Se nos pide la probabilidad que, dado que sabemos que la bombilla que hemos sacado es defectuosa, la probabilidad que sea también halógena. Es una probabilidad condicionada. 50 00:07:44,610 --> 00:08:11,459 Bien, por el teorema de Bayes, sabemos que esto es el cociente entre la probabilidad total de que la bombilla sea defectuosa y en el numerador tenemos que poner la probabilidad, una parte de la probabilidad total, 51 00:08:11,459 --> 00:08:19,800 que es la probabilidad que, dado que la bombilla sea halógena, que también sea defectuosa. 52 00:08:20,379 --> 00:08:26,139 Todo esto ya lo tenemos, o sea, tenemos este coeficiente, conocemos este otro y conocemos este otro. 53 00:08:27,879 --> 00:08:32,639 Esto será igual, pues, a... Esto es el teorema de Bayes, ¿eh? 54 00:08:32,639 --> 00:08:52,399 La probabilidad de que siendo halógena sea defectuosa es de 1 partido por 50, la probabilidad de que sea halógena es 3 partido por 7 y la probabilidad de que sea defectuosa, lo acabamos de calcular, 55 00:08:52,399 --> 00:09:07,240 Demos un vistazo a lo que hemos obtenido. Es 3 partido por 50. 3 partido por 50. Bueno, pues haciendo el cálculo vemos que esto es igual a un séptimo después de simplificar. 56 00:09:07,240 --> 00:09:23,240 Voy a coger la calculadora también para expresarlo en tanto por ciento, calculo el tanto por uno, es 0,1428, pues bien, ya podemos decir que esto es aproximadamente, o representa aproximadamente el 14%. 57 00:09:23,240 --> 00:09:46,669 12%. Bueno, pues aquí acabaríamos el problema. Fijaros, vuelvo atrás un momento. Fijaros en el diagrama que he hecho. Esto también lo podríamos hacer, ahora ya haré unas cuantas observaciones, utilizando un diagrama de árbol. 58 00:09:46,669 --> 00:10:12,389 Si hacemos un diagrama de árbol, podemos dibujar un árbol binario en que imaginemos que escogemos primero al azar la bombilla. 59 00:10:12,389 --> 00:10:16,450 La bombilla puede ser halógena o puede ser de bajo consumo. 60 00:10:17,029 --> 00:10:22,509 Si es halógena, la probabilidad es 3 séptimos. Si es de bajo consumo, la probabilidad es de 4 séptimos. 61 00:10:22,509 --> 00:10:37,730 En el supuesto de que sea halógena, esta bombilla puede ser defectuosa o no. Vamos a poner una barrita que es el suceso contrario, encima de la D, que es el suceso contrario a que sea defectuosa. 62 00:10:37,730 --> 00:10:45,690 Lo mismo en el caso de que haya salido una bombilla de bajo consumo. Esta puede ser defectuosa o puede que no lo sea. 63 00:10:47,370 --> 00:10:57,250 Bien, utilizando la información que nos da el enunciado, tenemos que esto es 1 partido por 50 y esto es 9 partido por 100. 64 00:10:58,210 --> 00:11:01,830 Los sucesos que nos interesan son estos dos. 65 00:11:03,570 --> 00:11:06,649 Esperad que voy a poner estos dos. 66 00:11:07,730 --> 00:11:20,289 La probabilidad que sea halógena y defectuosa y la probabilidad que sea de bajo consumo y defectuosa. 67 00:11:20,289 --> 00:11:25,269 Es decir, estas dos ramas. 68 00:11:29,240 --> 00:11:35,399 Las otras dos son las complementarias y no nos vamos a fijar en ellas. 69 00:11:35,399 --> 00:12:04,080 Bueno, pues, utilizando otra vez la definición de probabilidad condicionada, esto será igual a la probabilidad que, dado que la bombilla sea halógena, sea también defectuosa, por la probabilidad de que sea halógena. 70 00:12:04,080 --> 00:12:16,059 Y esto será igual a la probabilidad de que, dado que sea de bajo consumo, la bombilla sea también defectuosa, por la probabilidad de que sea defectuosa. 71 00:12:17,799 --> 00:12:25,779 Claro, estas dos aportaciones a la probabilidad total habrá que sumarlas por el principio de adición. 72 00:12:27,080 --> 00:12:28,580 ¿Qué es lo que tenemos aquí? 73 00:12:28,580 --> 00:12:48,370 Y ya lo habíamos escrito antes, 1 partido por 7 por 3 partido por 7 por 1 partido por 50, 74 00:12:48,370 --> 00:12:57,909 y aquí teníamos que esto es 4 partido por 7, la probabilidad, aquí hay una b, me he equivocado, 75 00:12:57,909 --> 00:13:01,070 perdón porque me he equivocado aquí al escribir 76 00:13:01,070 --> 00:13:04,009 esta probabilidad es probabilidad de B 77 00:13:04,009 --> 00:13:09,590 claro, 4 partido por 7 por 9 partido por 100 78 00:13:09,590 --> 00:13:12,230 eso es, cuando sumemos estas dos 79 00:13:12,230 --> 00:13:18,730 cuando sumemos estas dos nos dará la probabilidad total 80 00:13:18,730 --> 00:13:22,850 es decir, la probabilidad que sea defectuosa es la probabilidad 81 00:13:22,850 --> 00:13:25,610 si lo expresamos en el lenguaje simbólico 82 00:13:25,610 --> 00:13:42,799 Es decir, que sea halógena y defectuosa o bien que sea halógena, que sea de bajo consumo y defectuosa. 83 00:13:47,190 --> 00:13:58,250 Como estos dos sucesos son incompatibles, es la probabilidad de que sea halógena y defectuosa más la probabilidad de que sea halógena y de bajo consumo. 84 00:13:58,250 --> 00:14:10,070 Ahora bien, este primer término es lo que hemos calculado aquí, es esto, y este segundo término es lo que hemos calculado aquí. 85 00:14:12,009 --> 00:14:21,269 Haciendo el cálculo, naturalmente, convergemos en lo mismo que hemos encontrado antes y nos da 3 partido por 50. 86 00:14:21,850 --> 00:14:26,610 Haciendo la suma, las operaciones que hemos hecho antes, 3 partido por 50. 87 00:14:26,610 --> 00:14:48,629 Y en cuanto a la segunda parte, aplicamos el teorema de Bayes tal como lo hemos aplicado utilizando el diagrama de Venn cuando he empezado a hacer el problema. 88 00:14:48,629 --> 00:14:53,629 Pues eso es todo, ya hemos terminado el problemilla este 89 00:14:53,629 --> 00:15:00,149 Espero que lo hayáis entendido, es un problema que suele aparecer muchas veces en los exámenes de la SPAU 90 00:15:00,149 --> 00:15:04,769 Ese tipo de problemas, conviene que no es complicado, como veis 91 00:15:04,769 --> 00:15:11,210 Y siempre tenemos en escena el teorema de la probabilidad total 92 00:15:11,210 --> 00:15:18,590 El teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes 93 00:15:18,590 --> 00:15:20,190 Estos dos 94 00:15:20,190 --> 00:15:21,610 Eso es todo