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00:00:00,510 --> 00:00:03,229
Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio.

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00:00:03,410 --> 00:00:05,169
Nos dan funciones f y g

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00:00:05,169 --> 00:00:09,750
y nos piden justificar, usando un teorema,

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00:00:10,109 --> 00:00:14,830
que existe algún punto en el intervalo 1-10 en el que ambas funciones son iguales.

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00:00:15,810 --> 00:00:18,390
Y luego nos piden calcular la ecuación de la recta tangente a la curva

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00:00:18,390 --> 00:00:22,129
igual f de x con pendiente mínima.

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00:00:23,050 --> 00:00:24,250
Pues venga, vamos al lío.

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00:00:25,010 --> 00:00:28,429
Fijaros, así, sin mucho...

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00:00:30,429 --> 00:00:37,469
Bien, pensar que esta función tenga que ser igual a esta, pues, imaginaos, vamos a dibujarla.

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00:00:38,530 --> 00:00:45,109
Bueno, como ya sabéis, esta es una de grado 3, para 0 pasa por menos 1, así que imaginaos, será una cosa así.

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00:00:46,049 --> 00:00:49,429
Y la otra es 6x, pasa por el 0, pues será así.

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00:00:50,649 --> 00:00:53,630
Luego, así intuitivamente, pues sí, parece que se cortan.

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00:00:53,630 --> 00:01:00,649
Pero fijaros, este punto tiene una peculiaridad, que vale, está en f y está en g.

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00:01:01,049 --> 00:01:12,450
Pues voy a tomar esta función, que va a ser la resta, x cubo más 3x cuadrado menos 1 menos 6x.

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00:01:12,989 --> 00:01:19,209
Justo en este punto lo voy a llamar c, esto tiene el mismo valor que esto.

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00:01:19,209 --> 00:01:27,269
Luego, c sería un cero o una solución, es decir, h de c sería cero.

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00:01:27,810 --> 00:01:29,569
Esto suena mucho al teorema de Borsano.

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00:01:30,969 --> 00:01:32,329
De hecho, vamos a comprobarlo.

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00:01:33,049 --> 00:01:42,209
O sea, al tomar h de x igual como la resta, x cubo más 3x cuadrado menos 1 menos 6x,

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00:01:43,650 --> 00:01:47,209
bueno, si queremos ponerla como normalmente se pone ordenando los monomios,

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00:01:47,209 --> 00:01:54,950
monomios, pues nos va a quedar así, 6x menos 1. Resulta que esto es un polinomio. Esto

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00:01:54,950 --> 00:02:01,450
es continuo y derivable en todos los números reales, en particular en el intervalo 1-10.

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00:02:01,689 --> 00:02:05,290
Así es que la primera condición de Bolzano, que sea una función continua, ya la tenemos.

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00:02:06,129 --> 00:02:15,550
Ahora vamos a ver. h de 1. Bueno, pues h de 1 va a ser 1 más 3 menos 6 menos 1. Pues

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00:02:15,550 --> 00:02:19,849
1 más 3, 4, 4 menos 6, menos 2, menos 2, menos 1, menos 3.

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00:02:19,849 --> 00:02:35,770
Y h de 10, pues va a ser, pues, 1000 más 3 por 300, menos 60, menos 1.

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00:02:35,889 --> 00:02:37,770
Que ya ni lo voy a calcular porque da positivo.

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00:02:41,129 --> 00:02:48,969
Entonces, resulta que, si lo podemos poner como a veces aparece en HD1 por HD10, es menor que 0.

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00:02:48,969 --> 00:03:26,590
Y h es continua en 1, 10, pues esto nos dice que Bolzano, el teorema de Bolzano, nos confirma que existe un c perteneciente a 1, 10 tal que h de c es igual a 0.

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00:03:26,590 --> 00:03:38,669
Pero fijaros, entonces sería que c cubo más 3c cuadrado menos 1 menos 6c es igual a 0.

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00:03:39,069 --> 00:03:52,530
Pero esto implica que c cubo más 3c cuadrado menos 1 es igual a 6c, pero es que esto es f de c y esto es g de c.

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00:03:53,009 --> 00:03:56,389
Luego he encontrado un valor donde las dos funciones son iguales.

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00:03:56,590 --> 00:04:21,319
Vamos con el punto B, el apartado B me pide una recta tangente a f, que no es necesario dibujarla pero ya sabéis que una cúbica será algo así, entonces nos piden la recta tangente en el punto donde la pendiente sea mínima.

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00:04:21,319 --> 00:04:30,800
Bueno, pues lo primero que vamos a hacer es la derivada de x.

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00:04:31,519 --> 00:04:39,339
La derivada de x nos va a quedar 3x cuadrado más 6x.

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00:04:43,240 --> 00:04:46,360
¿Dónde tendrá esto pendiente mínima?

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00:04:46,360 --> 00:04:56,220
O sea, esto nos da la pendiente de f, pero a su vez nos piden que la pendiente sea la más pequeña posible.

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00:04:56,420 --> 00:05:04,459
Pues entonces, yo lo que quiero averiguar es si esto es la pendiente, cuando es el valor más pequeño, es decir, cuando esto tiene un mínimo.

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00:05:05,279 --> 00:05:09,360
Nos están diciendo que calculemos la segunda derivada.

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00:05:09,360 --> 00:05:19,379
Entonces, si igualamos la segunda derivada a 0, pues haremos que en x igual a menos 1,

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00:05:24,000 --> 00:05:27,279
bueno, deberíamos estudiar el signo, pero ya se ve que va a ser un mínimo,

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00:05:28,259 --> 00:05:32,480
en x igual a menos 1, f' tiene un mínimo.

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00:05:35,310 --> 00:05:44,110
Es decir, si f' tiene un mínimo, significa que en este valor la derivada es el valor más pequeño posible.

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00:05:44,110 --> 00:06:06,670
Y es justo la pendiente que nos piden. Entonces f' de menos 1 va a quedar 3 por menos 1 al cuadrado menos 6. Esto va a quedar 3 menos 6 que es menos 3.

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00:06:06,670 --> 00:06:17,470
Luego aquí la pendiente es más pequeña posible, es m igual a menos 3.

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00:06:22,839 --> 00:06:28,360
Por tanto, ya tenemos la pendiente.

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00:06:30,970 --> 00:06:35,509
Y además tiene que ser en este valor, que es justo donde tiene la pendiente más pequeña.

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00:06:36,189 --> 00:06:39,910
Por lo tanto, el punto es en x igual a menos 1.

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00:06:40,689 --> 00:06:43,189
Entonces necesitamos calcular f de menos 1.

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00:06:43,189 --> 00:07:01,819
que utilizando la fórmula, aquí va a ser menos 1, menos 1 al cubo, más 3 por menos 1 al cuadrado, menos 1.

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00:07:02,160 --> 00:07:08,560
Esto va a ser igual a menos 1 más 3 menos 1, que es igual a 1.

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00:07:09,060 --> 00:07:14,259
Entonces ya podemos poner nuestra recta tangente, que ya sabéis que va a ser igual a

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00:07:14,259 --> 00:07:22,639
a y menos f de menos 1, la pendiente, que es menos 3, por x menos menos 1.

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00:07:24,300 --> 00:07:36,079
Entonces esto va a quedar y igual a, bueno, no me quiero saltar pasos, como me habéis dicho que no me salte pasos,

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00:07:36,079 --> 00:07:49,060
Pues sería y menos f de menos 1, que es menos 1, igual a menos 3x, este menos con menos es más, por este menos 3.

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00:07:50,220 --> 00:08:03,139
Entonces y es igual a menos 3x menos 3 más 1, luego y es igual a menos 3x menos 2.

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00:08:03,139 --> 00:08:15,779
Y esa es la recta tangente. Estaría guay que ahora con el geogebra hicierais el problema y comprobáis realmente que esta es la recta tangente.

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00:08:16,120 --> 00:08:17,939
Y con esto pues está resuelto el ejercicio.