1
00:00:00,620 --> 00:00:02,620
¡Suscribete!

2
00:00:39,140 --> 00:00:45,520
y nos ponen dos ecuaciones, 2x menos y igual a 10, ya sabéis, que corresponden a dos planos,

3
00:00:45,679 --> 00:00:50,140
x menos z igual a menos 90, que se van a cortar lógicamente en una recta.

4
00:00:50,679 --> 00:00:56,179
Dicen en el apartado A que calculemos el vector director de R y la posición de la partícula

5
00:00:56,179 --> 00:00:59,460
cuando su trayectoria incide con el plano z igual a 0.

6
00:01:01,159 --> 00:01:06,140
En el apartado B se nos pide calcular la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.

7
00:01:06,140 --> 00:01:13,959
Y en el apartado C se nos pide determinar el ángulo entre el plano de ecuación x más y igual a 2 y la recta R.

8
00:01:14,819 --> 00:01:34,859
Vamos a empezar por la pregunta más fácil de todas, que es la del apartado A, ya que si queremos calcular un vector director de la recta R, bastará con multiplicar vectorialmente los vectores normales de los dos planos que conforman R.

9
00:01:34,859 --> 00:01:48,159
¿De acuerdo? Entonces vamos a poner aquí que el primero de los vectores normales del primer plano que la conforma sería 2, menos 1, 0 y el segundo es 1, 0, menos 1.

10
00:01:49,219 --> 00:01:56,019
Vamos a echar cuentas. Para el caso de la i sería menos 1 por menos 1 que es 1 y menos 0 es 1, o sea que sería i.

11
00:01:56,019 --> 00:01:58,620
para el caso de la J sería

12
00:01:58,620 --> 00:02:00,680
menos 2 menos 0

13
00:02:00,680 --> 00:02:02,700
que sería menos 2, le cambiamos el signo y sería

14
00:02:02,700 --> 00:02:04,900
más 2J, estamos desarrollando

15
00:02:04,900 --> 00:02:06,560
por la primera fila

16
00:02:06,560 --> 00:02:08,939
y el último de los

17
00:02:08,939 --> 00:02:10,419
elementos, el de K, sería

18
00:02:10,419 --> 00:02:12,979
2 por 0 es 0, más 1 es 1, o sea que sería

19
00:02:12,979 --> 00:02:14,199
más K

20
00:02:14,199 --> 00:02:16,240
o sea que el vector es

21
00:02:16,240 --> 00:02:19,439
1, 2, 1

22
00:02:19,439 --> 00:02:20,659
ya tenemos

23
00:02:20,659 --> 00:02:22,860
un vector director de la recta R

24
00:02:22,860 --> 00:02:24,879
para calcular la posición de la

25
00:02:24,879 --> 00:02:28,580
partícula cuando su trayectoria incide con el plano z igual a cero lo único que tenemos que

26
00:02:28,580 --> 00:02:35,979
hacer es resolver el sistema formado por la recta con sus dos ecuaciones con sus dos planos que la

27
00:02:35,979 --> 00:02:45,020
definen y el plano z igual a cero eso es muy fácil porque claro si z es igual a cero entonces x es

28
00:02:45,020 --> 00:02:52,979
menos 90 y si x es menos 90 entonces la ecuación de arriba lo que nos dice es que menos 180 menos

29
00:02:52,979 --> 00:03:04,900
Y es igual a 10, así que la Y es menos 190. Así que la posición que nos están pidiendo

30
00:03:04,900 --> 00:03:22,330
es X menos 90, Y sería menos 190 y Z 0. ¿Vale? Vamos ahora con el apartado B que dice que

31
00:03:22,330 --> 00:03:27,069
calculemos la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser o sea

32
00:03:27,069 --> 00:03:33,710
que tenemos a nuestro punto p y una recta aquí que estará formada por los

33
00:03:33,710 --> 00:03:37,949
dos planos vale entonces nos está pidiendo la distancia mínima en lo que

34
00:03:37,949 --> 00:03:41,710
es la recta al punto del punto a la recta para ello lo que voy a calcular

35
00:03:41,710 --> 00:03:47,469
primeramente es el plano perpendicular a r que pasa por p

36
00:03:47,469 --> 00:03:51,830
cálculo el plano

37
00:03:51,830 --> 00:04:07,370
y normal o perpendicular me da lo mismo a r y qué pasa porque vale que será un

38
00:04:07,370 --> 00:04:11,689
plano que vamos a pintarle aquí no imagínate que sea pues así vale entonces

39
00:04:11,689 --> 00:04:14,729
incide aquí

40
00:04:15,210 --> 00:04:20,610
todo plano normal a la recta r tendrá por vector normal el vector director de

41
00:04:20,610 --> 00:04:30,050
la recta R, con lo cual pi tiene que ser de la forma x más 2y más z igual a c.

42
00:04:31,050 --> 00:04:40,370
Como pasa por el punto P111, entonces tiene que verificar su ecuación, el punto P1 más

43
00:04:40,370 --> 00:04:49,750
2 más 1 tiene que ser c, de donde entonces la ecuación del plano pi es x más 2y más

44
00:04:49,750 --> 00:04:53,790
z igual a 1 más 2 más 1, 4, ¿vale?

45
00:04:54,569 --> 00:04:59,129
Con este plano, lo que podemos hacer ahora es intersecarlo con la recta R.

46
00:05:03,769 --> 00:05:10,220
Intersecamos R con pi.

47
00:05:11,180 --> 00:05:17,279
Es decir, R intersección pi, que le vamos a llamar Q, que va a ser este punto de aquí.

48
00:05:17,279 --> 00:05:45,899
Para ello fijaros por ejemplo que las ecuaciones de la recta R podríamos pasarlas incluso a paramétricas muy fácil porque las dos tienen a x, sin embargo cada una de ellas tiene una letra diferente, una es la y y otra es la z, de tal modo que entonces podríamos decir que unas paramétricas de la recta R serían x igual a t y igual, fijaros en la primera ecuación, menos 10 más 2t,

49
00:05:47,279 --> 00:05:55,620
Y en la segunda ecuación, fijaros que Z sería igual a 90 más X, o sea, 90 más T.

50
00:05:56,399 --> 00:06:05,160
Entonces, sustituyendo las paramétricas de la recta R en la ecuación del plano,

51
00:06:05,540 --> 00:06:09,399
podremos calcular el parámetro T y ese nos llevará ya al punto Q.

52
00:06:09,399 --> 00:06:17,000
O sea, hacemos X más 2Y más Z igual a 4.

53
00:06:17,279 --> 00:06:19,980
A ver, ¿cuál es el punto de R que verifica esto?

54
00:06:19,980 --> 00:06:35,459
Que sería T más menos 20, vamos a multiplicarle por 2, más 4T, más la Z, que sería más 90, más T, igual a 4.

55
00:06:36,040 --> 00:06:42,240
O sea, que sería T más T, 2T, 2T y 4T, 6T.

56
00:06:42,240 --> 00:06:46,459
en cuanto a números, menos 20 más 90 sería

57
00:06:46,459 --> 00:06:50,959
70, lo pasamos para el otro lado, menos 70 es más 4

58
00:06:50,959 --> 00:06:54,800
menos 60 es 6, o sea que la T es

59
00:06:54,800 --> 00:06:58,740
menos 11, esta T es la que nos va a dar

60
00:06:58,740 --> 00:07:01,600
en las paramétricas de R, el punto Q

61
00:07:01,600 --> 00:07:09,750
por lo tanto, R intersección pi

62
00:07:09,750 --> 00:07:13,430
que es el punto Q, tendrá por coordenadas

63
00:07:13,430 --> 00:07:30,230
T, que sería menos 11, menos 10 más 2 por menos 11, que sería menos 22, menos 11, menos 32, y 90 menos 11, que sería 70 y 9.

64
00:07:31,930 --> 00:07:42,370
Una vez que hemos calculado el punto Q, que es el punto de mínima distancia entre R y P, la distancia entre R y P será la misma que la distancia entre P y Q, es decir, vamos a hacer el módulo del vector PQ.

65
00:07:45,509 --> 00:08:05,149
La distancia entre R y P será la misma que la distancia entre Q y P.

66
00:08:06,290 --> 00:08:09,810
O sea, el módulo del vector PQ, por ejemplo.

67
00:08:11,649 --> 00:08:12,970
¿Qué vector es PQ?

68
00:08:14,589 --> 00:08:18,110
Pues a las coordenadas de Q le restamos las coordenadas de P.

69
00:08:18,110 --> 00:08:22,189
Menos 11, menos 1, menos 12

70
00:08:22,189 --> 00:08:25,129
Menos 32, menos 1, menos 33

71
00:08:25,129 --> 00:08:29,189
Y 79 menos 1, 78

72
00:08:29,189 --> 00:08:33,029
O sea, que esto va a ser la raíz cuadrada

73
00:08:33,029 --> 00:08:37,730
De menos 12 al cuadrado

74
00:08:37,730 --> 00:08:41,750
Más menos 33 al cuadrado

75
00:08:41,750 --> 00:08:45,470
Y más 78 al cuadrado

76
00:08:45,470 --> 00:08:51,149
Eso va a ser la raíz cuadrada de 7.317

77
00:08:51,149 --> 00:09:05,389
O sea que más o menos esto lo que viene a ser es 85,539,54 unidades

78
00:09:05,389 --> 00:09:08,570
Esa es la distancia entre R y P

79
00:09:08,929 --> 00:09:13,950
Por lo tanto si nos piden la distancia más cercana de la recta R al punto P

80
00:09:13,950 --> 00:09:19,269
podremos decir que ese es el punto q que es menos 11 menos 32 79 y si nos

81
00:09:19,269 --> 00:09:26,509
pidieran que no nos lo han pedido la distancia es 85 54 aproximadamente la

82
00:09:26,509 --> 00:09:30,409
última pregunta es la pregunta que dice determine el ángulo entre el plano de

83
00:09:30,409 --> 00:09:35,909
ecuación x más igual a 2 y la recta r para ello entonces lo que vamos a hacer

84
00:09:35,909 --> 00:09:43,750
es utilizar al producto escalar el plano que nos dicen es x más igual a 2 y

85
00:09:43,750 --> 00:09:49,490
Y nuestra recta tenía como vector director apartado A el 1, 2, 1.

86
00:09:50,830 --> 00:09:58,649
Imaginaos que tenemos aquí el plano, aquí la recta incidiendo, y quieren este ángulo de aquí.

87
00:09:59,269 --> 00:10:04,490
Por lo que vamos a hacer es calcularnos el ángulo complementario.

88
00:10:04,490 --> 00:10:11,070
esto va a ser el vector normal al plano pi prima, vamos a llamarle pi prima

89
00:10:11,070 --> 00:10:18,000
y vamos a calcular este de aquí, que va a llamarse beta

90
00:10:18,000 --> 00:10:23,720
para ello lo que tengo que hacer entonces es calcularme el ángulo

91
00:10:23,720 --> 00:10:29,480
que forman el vector director de la recta R y el vector normal de la recta pi prima

92
00:10:29,480 --> 00:10:36,320
que ese es, ya lo sabéis todos, es 1, 1, 0

93
00:10:36,320 --> 00:10:52,519
Vale, entonces el coseno de beta sería igual al producto escalar de 1, 2, 1 por 1, 1, 0 partido de los módulos, ¿verdad?

94
00:10:52,519 --> 00:10:59,399
de 1, 2, 1 por 1, 1, 0.

95
00:10:59,899 --> 00:11:08,980
O sea, esto va a ser 1 por 1 más 2 por 1 más 1 por 0.

96
00:11:09,759 --> 00:11:18,960
Y en la parte de abajo, raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 1 al cuadrado.

97
00:11:18,960 --> 00:11:24,000
Y en el otro, 1 al cuadrado, más 1 al cuadrado, más 0 al cuadrado

98
00:11:24,000 --> 00:11:24,659
¿Esto qué da?

99
00:11:25,259 --> 00:11:31,340
Esto da, en la parte de abajo da raíz de 6 por la raíz de 2

100
00:11:31,340 --> 00:11:36,559
Y en la parte de arriba sería 1 por 1, que es 1, más 2 y más 0, o sea que sería 3

101
00:11:36,559 --> 00:11:44,000
Así que el coseno de beta es 3 partido de la raíz de 12

102
00:11:44,000 --> 00:11:45,820
¿Cuánto es beta?

103
00:11:45,820 --> 00:11:53,059
Pues beta es el arco cuyo coseno es 3 partido de la raíz de 12

104
00:11:53,059 --> 00:11:55,720
Eso da un ángulo de 30 grados

105
00:11:55,720 --> 00:11:58,580
Con lo cual, alfa, que es el ángulo que nosotros queremos

106
00:11:58,580 --> 00:12:03,899
Es 90 menos 30, que es 60 grados

107
00:12:03,899 --> 00:12:06,679
Así que el ángulo que nos han pedido, que es este de aquí

108
00:12:06,679 --> 00:12:09,820
Ese es 60 grados

109
00:12:09,820 --> 00:12:12,159
Esa es la solución, ¿vale?

110
00:12:12,159 --> 00:12:15,559
bueno pues hasta aquí el ejercicio A3

111
00:12:15,559 --> 00:12:17,759
de la convocatoria ordinaria de Madrid

112
00:12:17,759 --> 00:12:19,179
EBAO 2022

113
00:12:19,179 --> 00:12:21,279
y os espero en un nuevo vídeo

114
00:12:21,279 --> 00:12:23,279
aquí en la web del Proce de Mates

115
00:12:23,279 --> 00:12:24,120
un saludo

116
00:12:42,159 --> 00:12:58,779
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