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00:00:00,180 --> 00:00:03,620
En este vídeo vamos a trabajar el tema de la recta real

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00:00:03,620 --> 00:00:08,599
y su relación con los números reales.

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00:00:10,330 --> 00:00:18,550
Bueno, ya vimos que los números reales estaban constituidos por la unión de dos conjuntos,

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00:00:20,309 --> 00:00:25,910
el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.

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00:00:25,910 --> 00:00:30,710
Los números racionales eran los que se podían poner en forma de fracción

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00:00:30,710 --> 00:00:35,789
y los irracionales no se podían poner en forma de fracción.

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00:00:36,850 --> 00:00:43,369
Bien, los números racionales, recordemos que incluían al conjunto de números enteros

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00:00:43,369 --> 00:00:47,429
y a su vez al conjunto de números naturales.

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00:00:48,250 --> 00:00:57,929
En definitiva, los números naturales estarían incluidos en el conjunto de los números enteros

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00:00:57,929 --> 00:01:04,010
y a su vez éste estaría incluido en el conjunto de números racionales.

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00:01:04,450 --> 00:01:09,090
Y por otro lado, estaría el conjunto de números irracionales,

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00:01:09,489 --> 00:01:12,049
que son los que no se pueden poner en forma de fracción,

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00:01:12,049 --> 00:01:21,790
y la unión de este conjunto y éste formaría el conjunto de números reales.

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00:01:21,790 --> 00:01:37,739
Pues bien, nuestra aspiración va a consistir en asignar a cada número real un punto de la recta.

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00:01:39,180 --> 00:01:49,810
Esto, pensemos que es una cuestión que se ha pretendido hacer desde los orígenes de la filosofía.

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00:01:49,810 --> 00:01:58,049
ya Pitágoras tuvo la intención o pensaba que era importante

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00:01:58,049 --> 00:02:03,930
asociar o relacionar el campo de la aritmética con el campo de la geometría

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00:02:03,930 --> 00:02:08,810
de hecho pensaban que la materia estaba constituida por números

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00:02:08,810 --> 00:02:19,259
y es mediante esta idea como se funden el campo del mundo numérico

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00:02:19,259 --> 00:02:26,500
de la aritmética, los números, con el mundo de la geometría, digamos, los puntos.

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00:02:29,680 --> 00:02:35,539
Entonces, en aquel empeño, los griegos pensaban que, con los números racionales,

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00:02:38,900 --> 00:02:46,919
se podría llegar a completar los puntos de la recta real, la recta, digamos.

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00:02:46,919 --> 00:03:13,099
Veamos esto. Por ejemplo, en una recta podríamos situar el 0 y a una distancia establecida, estándar, podríamos situar el 1 y con esto ya sería inmediato situar el número 2, el 3, el 4, dado que conocemos la unidad.

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00:03:13,099 --> 00:03:50,689
Bien, y así entonces podríamos representar los números naturales y los números enteros, porque pensemos que los números enteros son los elementos simétricos de los números naturales mediante esta recta vertical que pasa por el origen.

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00:03:50,870 --> 00:04:20,970
Pues bien, el siguiente conjunto numérico que ya conocían los griegos sería el conjunto de números racionales y los números racionales se podrían representar en la recta mediante el concepto de, digamos, de parte de la unidad.

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00:04:20,970 --> 00:04:43,779
Por ejemplo, el número tres cuartos lo podríamos representar en esta recta dividiendo la unidad en cuatro trozos y tomando tres.

27
00:04:46,779 --> 00:04:53,019
Este punto vendría a representar el número tres cuartos.

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00:04:53,019 --> 00:04:56,000
lo hago un poquito más grande para que se vea

29
00:04:56,000 --> 00:04:58,339
aquí está el 0 y aquí el 1

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00:04:58,339 --> 00:05:04,100
dividiríamos la unidad en 4 trozos

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00:05:04,100 --> 00:05:10,060
y este sería el elemento 3 cuartos

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00:05:10,060 --> 00:05:14,699
así en términos generales podríamos representar cualquier número racional

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00:05:14,699 --> 00:05:23,000
por ejemplo para representar el número 5 cuartos

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00:05:23,000 --> 00:05:29,639
Pues veríamos que esto es igual a 4 más 1 cuartos

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00:05:29,639 --> 00:05:34,839
O lo que es lo mismo que 4 cuartos más 1 cuarto

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00:05:34,839 --> 00:05:39,319
Esto es 1 más 1 cuarto

37
00:05:39,319 --> 00:05:44,120
Y para representar este número, por tanto, en la recta real

38
00:05:44,120 --> 00:05:48,240
Diríamos que está un poco por encima del 1

39
00:05:48,240 --> 00:05:52,360
Porque al 1 le sumamos una cuarta parte de la unidad

40
00:05:52,360 --> 00:06:01,079
Entonces, estaría entre este segmento, el segmento entre el 1 y el 2

41
00:06:01,079 --> 00:06:05,740
Claro, es al 1 le sumamos una cuarta parte de la unidad

42
00:06:05,740 --> 00:06:10,600
Y por tanto, a esta unidad la divido en cuatro trozos

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00:06:10,600 --> 00:06:18,029
Y tomaría 1, tal y como indica el numerador

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00:06:18,029 --> 00:06:28,230
y por tanto este es el número, este punto representaría el número 1 más un cuarto, que es 5 cuartos.

45
00:06:36,970 --> 00:06:43,449
Pues con un número racional podríamos representar, por lo tanto, con los números racionales podríamos representar,

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00:06:44,389 --> 00:06:49,250
se pensaba en los griegos que se podrían representar todos los números, los puntos de la recta.

47
00:06:49,250 --> 00:07:16,579
Pero se demostró que no era así y que de hecho si representara en una recta todos los números racionales se vería que está llena de huecos, infinitos huecos, incluso habría más huecos que puntos rellenados.

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00:07:16,579 --> 00:07:25,819
Por lo tanto, efectivamente, faltarían números si quisiéramos rellenar la recta real.

49
00:07:26,300 --> 00:07:31,019
Y justamente estos números serían los números irracionales.

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00:07:31,699 --> 00:07:37,379
Veamos cómo podríamos representar los números irracionales.

51
00:07:38,259 --> 00:07:44,139
En fin, representar todos los números irracionales es imposible porque hay infinitos,

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00:07:44,139 --> 00:07:52,079
pero vamos a ver como ejemplo el clásico número irracional raíz de 2.

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00:07:53,060 --> 00:08:14,540
Fijémonos que si en una recta sitúo aquí el 0 y aquí el 1, puedo dibujar aquí un triángulo rectángulo.

54
00:08:16,139 --> 00:08:21,959
Imaginemos que este triángulo rectángulo tiene cateto una unidad y otra.

55
00:08:22,899 --> 00:08:25,600
Pues bien, ¿cuánto mide esta hipotenusa?

56
00:08:30,680 --> 00:08:32,139
Esta sería la hipotenusa.

57
00:08:35,269 --> 00:08:42,889
Este es un cateto que mide una unidad y este es el otro cateto que mide la otra unidad.

58
00:08:42,889 --> 00:08:53,309
Pues bien, aplicando el teorema de Pitágoras, se sabe que la hipotenusa al cuadrado es un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado.

59
00:08:54,230 --> 00:08:58,350
Este sería un cateto y este sería el otro cateto.

60
00:08:58,429 --> 00:09:16,149
Pues bien, resulta que en este caso la hipotenusa sería por tanto la raíz cuadrada, despejando de aquí h, obtenemos que es la raíz cuadrada de un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado.

61
00:09:16,149 --> 00:09:24,970
Y por tanto aquí sería la raíz cuadrada de un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, que es justamente raíz de 2.

62
00:09:25,070 --> 00:09:35,750
Por lo tanto, este, la hipotenusa, mide justamente la raíz de 2.

63
00:09:38,559 --> 00:09:48,659
Es decir, que fijaros que el triángulo más básico de Pitágoras, el triángulo rectángulo más básico que te puedes encontrar es el que tiene catetos 1.

64
00:09:48,659 --> 00:09:55,320
Pues este tan sencillo y tan simple resulta que tiene como hipotenusa un número irracional.

65
00:09:57,049 --> 00:10:02,110
Pues bien, este número irracional lo podríamos ver representado en la recta real

66
00:10:02,110 --> 00:10:09,269
trasladando la medida de esta hipotenusa mediante un compás pinchando aquí

67
00:10:09,269 --> 00:10:23,440
y entonces esta medida valdría raíz de 2.

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00:10:23,440 --> 00:10:31,049
así que este punto representaría al número irracional raíz de 2

69
00:10:31,049 --> 00:10:36,929
de esta manera mediante técnicas pitagóricas se pueden representar los números irracionales

70
00:10:36,929 --> 00:10:42,470
pero no me interesa demasiado ahora con haber entendido un poquito por encima

71
00:10:42,470 --> 00:10:45,889
cómo se representan los números irracionales me vale

72
00:10:45,889 --> 00:10:49,629
lo que me interesa es sencillamente que veáis

73
00:10:49,629 --> 00:11:00,809
que en la recta real se pueden representar tanto los números racionales como los números irracionales.

74
00:11:00,809 --> 00:11:06,090
Y aquí está la cuestión importante.

75
00:11:07,470 --> 00:11:18,970
Resulta que los números reales que veíamos que era la unión de Q con los números racionales, con los números irracionales,

76
00:11:18,970 --> 00:11:49,259
Resulta que estos números sabemos representarlos en una recta y la cuestión importante está en que, por tanto, cada número que pertenece al conjunto de números reales se puede situar o le podemos asignar un único punto de la recta.

77
00:11:49,259 --> 00:11:53,419
mediante las técnicas que hemos explicado antes.

78
00:11:55,059 --> 00:12:00,340
Ahora bien, también sucede al revés y esto es la cuestión más importante.

79
00:12:00,899 --> 00:12:15,740
Cada punto de la recta tiene a su vez su representante numérico del conjunto de números reales.

80
00:12:15,740 --> 00:12:29,019
Quiere decirse que cada uno de los puntos de la recta viene asociado a un número real.

81
00:12:29,559 --> 00:12:35,480
Será un número racional o un número irracional, pero un número real en definitiva.

82
00:12:40,029 --> 00:12:42,789
Repito esta cuestión, por lo importante que es.

83
00:12:42,789 --> 00:12:47,889
cuando se representaban los números racionales

84
00:12:47,889 --> 00:12:49,629
en la recta

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00:12:49,629 --> 00:12:52,250
lo que se vio es que

86
00:12:52,250 --> 00:12:56,730
si tú eliges al azar un punto cualquiera de la recta

87
00:12:56,730 --> 00:12:57,889
como por ejemplo este

88
00:12:57,889 --> 00:13:00,169
no necesariamente

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00:13:00,169 --> 00:13:04,009
vendría asociado a un número racional

90
00:13:04,009 --> 00:13:08,870
porque en realidad había muchos puntos de la recta

91
00:13:08,870 --> 00:13:10,850
que no eran números racionales

92
00:13:10,850 --> 00:13:16,409
Y cuando se completó con el conjunto numérico de los irracionales

93
00:13:16,409 --> 00:13:25,750
Sí se vio que al unir el conjunto de los números racionales como los irracionales

94
00:13:25,750 --> 00:13:30,409
Sí que podíamos completar todos los puntos de la recta

95
00:13:32,799 --> 00:13:42,340
Esto es, que cada punto de la recta le viene asociado algún número del conjunto de números reales

96
00:13:42,340 --> 00:14:02,139
Y de esta manera se introdujo la aritmética en el mundo de la geometría como herramienta para designar puntos.