1
00:00:01,070 --> 00:00:06,710
El segundo tipo de funciones que vamos a ver en este tema son las que llamamos funciones cuadráticas,

2
00:00:07,230 --> 00:00:12,130
es decir, las que tienen forma de parábola. Están definidas como un polinomio de segundo grado.

3
00:00:13,970 --> 00:00:21,620
Comenzamos con un chiste clásico y empezamos de verdad.

4
00:00:22,559 --> 00:00:29,239
La parábola tipo, la que debemos conocer en profundidad, es la definida como y igual a x al cuadrado.

5
00:00:29,960 --> 00:00:39,560
Esta parábola pasa por esos puntos que vemos ahí en la tabla, por el 0, 0, por el 1, 1, por el menos 1, 1, por el 2, 4, por el menos 2, 4.

6
00:00:40,579 --> 00:00:45,759
Tiene eso que llamamos vértice en el punto 0, 0. Ahí es donde todo cambia.

7
00:00:46,840 --> 00:00:52,740
Esta función es decreciente en menos infinito 0. Es creciente de 0 a más infinito. Es continua.

8
00:00:53,359 --> 00:01:00,500
Tiene un mínimo en x igual a 0 y también es simétrica respecto al eje x igual a 0, al eje de las y.

9
00:01:03,340 --> 00:01:05,920
Sobre esta podemos hacer muchas variaciones.

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00:01:06,560 --> 00:01:11,700
Por ejemplo, ahora vamos a variar el coeficiente, el número que va con x al cuadrado.

11
00:01:11,700 --> 00:01:12,760
Lo llamamos a.

12
00:01:15,819 --> 00:01:25,180
Como podemos ver en esta animación de Desmos, si a es 1, estamos con la función igual a x al cuadrado, la misma de antes.

13
00:01:25,180 --> 00:01:33,560
Pero si vamos haciendo que a sea más grande, lo que ocurre es que la parábola se estrecha, se estiliza.

14
00:01:34,540 --> 00:01:37,799
Ahora volvemos hacia atrás, a vuelve a ser 1.

15
00:01:38,579 --> 00:01:45,239
Si a es 0, la función es y igual a 0, es la recta horizontal y igual a 0, el eje de las x.

16
00:01:45,420 --> 00:01:51,519
Y si a es negativa, lo que ocurre es que la gráfica se abre hacia abajo, la parábola se abre hacia abajo,

17
00:01:51,519 --> 00:01:57,099
y cuanto más negativo sea la a, pues más estilizada es la parábola.

18
00:01:57,099 --> 00:02:03,900
O sea, en valor absoluto, si el valor absoluto de la a es mayor, la parábola es muy estilizada.

19
00:02:07,200 --> 00:02:10,699
Vamos a hacer otra cosa ahora, vamos a desplazar la parábola.

20
00:02:11,780 --> 00:02:15,520
Aquí tenemos y igual a x al cuadrado, igual que antes.

21
00:02:16,580 --> 00:02:22,719
Ahora vamos a hacer y igual a x menos otra letra b al cuadrado.

22
00:02:22,719 --> 00:02:31,479
Y vamos a ver qué ocurre. Hacemos que se mueva la b y vemos que para b igual a 1 la parábola se ha desplazado hacia la derecha.

23
00:02:32,199 --> 00:02:36,939
Si volvemos hacia atrás a b igual a 0 sería la misma que teníamos, y igual a x al cuadrado.

24
00:02:37,500 --> 00:02:45,539
Si desplazamos hacia la derecha, si b es 10, pues será igual a x menos 10 al cuadrado y está hacia la derecha.

25
00:02:46,340 --> 00:02:51,259
Si hacemos que b sea negativo, la parábola se desplaza hacia la izquierda.

26
00:02:51,259 --> 00:03:09,870
Vamos a ver qué ocurre ahora si sumamos un número a x al cuadrado

27
00:03:09,870 --> 00:03:13,569
Vamos a escribir la función y igual a x al cuadrado más c

28
00:03:13,569 --> 00:03:32,449
Si c es 1, pues estamos en y igual a x al cuadrado más 1, estamos por encima

29
00:03:32,449 --> 00:03:34,349
Para c igual a 0 es la misma que antes

30
00:03:34,349 --> 00:03:38,629
Y conforme c aumenta, la parábola sube hacia arriba

31
00:03:38,629 --> 00:03:42,629
Si c disminuye, la parábola baja hacia abajo

32
00:03:42,629 --> 00:03:47,930
O sea que c, ese número que hemos sumado, determina la altura de la parábola

33
00:03:47,930 --> 00:03:58,870
hacia arriba o hacia abajo. Vamos a juntar ahora todas las posibilidades. Multiplicamos por un

34
00:03:58,870 --> 00:04:05,530
coeficiente a, desplazamos hacia la izquierda o la derecha con el b y subimos o bajamos con la c.

35
00:04:05,990 --> 00:04:35,850
Veamos qué ocurre. Si movemos la a ya sabemos que la parábola se hace más o menos estilizada,

36
00:04:36,050 --> 00:04:42,490
se abre hacia arriba o hacia abajo. Si ahora movemos la b lo que ocurre es que nos desplazamos,

37
00:04:42,490 --> 00:04:46,990
como sabíamos, de izquierda a derecha en función de si B es positiva o negativa.

38
00:04:47,189 --> 00:04:54,810
Y la C es la que determina la altura, la parábola sube o baja en función del valor que le toque a la C.

39
00:04:55,910 --> 00:04:59,670
¿Veis? Todo combinado hace que la parábola se mueva por todos sitios.

40
00:05:06,240 --> 00:05:11,240
Pero lo que nos vamos a encontrar de forma general es que la parábola va a venir dada por una fórmula

41
00:05:11,240 --> 00:05:17,579
igual a a por x cuadrado más bx más c, en la forma en la que conocemos también la ecuación

42
00:05:17,579 --> 00:05:37,939
de segundo grado. Vamos a ver cómo influye cada coeficiente. La a, igual que antes, determina

43
00:05:37,939 --> 00:05:44,259
cómo se abre la parábola hacia arriba o hacia abajo, más estilizada o menos. La b

44
00:05:44,259 --> 00:05:52,389
genera un desplazamiento que es hacia la izquierda o hacia la derecha, pero también un poco

45
00:05:52,389 --> 00:06:09,399
hacia arriba y hacia abajo. Y la c igual que antes hace que la parábola suba o baje. Si las combinamos

46
00:06:09,399 --> 00:06:28,129
todas pues volvemos a obtener muchas parábolas distintas. Vamos a ver ahora si nos dan una

47
00:06:28,129 --> 00:06:36,720
función cuadrática cómo haríamos su representación gráfica. En primer lugar tenemos que buscar ese

48
00:06:36,720 --> 00:06:42,819
punto que hemos llamado vértice donde todo cambia. En este ejemplo que tenemos aquí de igual a x

49
00:06:42,819 --> 00:06:50,899
cuadrado más 6x más 5, la a sería 1, la b es 6 y la c es 5. Pues para averiguar la

50
00:06:50,899 --> 00:06:57,519
primera coordenada del vértice, la x, lo que hacemos es menos b partido por 2a. En

51
00:06:57,519 --> 00:07:04,019
este caso sería menos 6 partido por 2 por 1, o sea menos 6 entre 2, es decir, menos

52
00:07:04,019 --> 00:07:10,500
3. El vértice está en x igual a menos 3. Pero ¿cuál es su segunda coordenada? Sustituimos

53
00:07:10,500 --> 00:07:18,639
menos 3 en la fórmula que define la parábola y en este caso nos sale menos 4. El vértice es el punto

54
00:07:18,639 --> 00:07:27,819
menos 3 menos 4. ¿Cómo seguimos? Pues vamos a dar valores pero no los valores que nosotros queramos

55
00:07:27,819 --> 00:07:34,379
sino vamos a dar valores que rodeen al vértice. Por ejemplo en nuestro caso como el vértice es el

56
00:07:34,379 --> 00:07:41,540
punto menos 3 4 vamos a rodear al menos 3. Damos uno a la izquierda el menos 4, otro a la derecha

57
00:07:41,540 --> 00:07:47,699
el menos 2, otro a la izquierda el menos 5, otro a la derecha el menos 1, otro a la izquierda

58
00:07:47,699 --> 00:07:54,720
el menos 6, otro a la derecha el 0. Para calcular la y de cada valor de x sustituimos en la

59
00:07:54,720 --> 00:08:01,000
fórmula la que define a la parábola y obtenemos esos valores, los que vienen definidos en

60
00:08:01,000 --> 00:08:07,319
esa tabla. Cuando los tenemos los localizamos en la gráfica y ya vemos que tiene forma

61
00:08:07,319 --> 00:08:17,279
de parábola. Otro dato importante son los puntos de corte con los ejes. Con el eje de las x lo que

62
00:08:17,279 --> 00:08:24,459
hacemos es obligar a que y sea 0. Por tanto resolvemos esa ecuación de segundo grado x cuadrado

63
00:08:24,459 --> 00:08:31,480
más 6x más 5 igual a 0. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado y nos salen dos

64
00:08:31,480 --> 00:08:40,620
soluciones. En este caso menos 5 y menos 1. Pasa por los puntos menos 5, 0 y menos 1, 0. Estos ya

65
00:08:40,620 --> 00:08:47,100
los teníamos, nos habían salido antes pero podría ser que no nos hubieran salido. Para encontrar el

66
00:08:47,100 --> 00:08:54,960
punto de corte con el eje y hacemos x igual a 0. Sustituimos x igual a 0 en la fórmula y nos sale

67
00:08:54,960 --> 00:09:05,460
el punto 05 que también lo teníamos ya antes. Con todos estos puntos tenemos información suficiente

68
00:09:05,460 --> 00:09:13,779
para dibujar la parábola. Lo que hacemos es unirlo despacito para que nos quede con forma de parábola.

69
00:09:13,779 --> 00:09:20,360
No son tramos rectos sino que son tramos curvos. Los unimos y la gráfica que nos queda es algo así.

70
00:09:20,360 --> 00:09:29,759
Una característica que podemos observar en todas las funciones cuadráticas, en todas las parábolas

71
00:09:29,759 --> 00:09:32,340
Es que todas son simétricas respecto a un eje

72
00:09:32,340 --> 00:09:37,519
¿Qué eje? Pues el eje que representa la recta vertical que pasa por el vértice

73
00:09:37,519 --> 00:09:51,159
En el caso de la parábola que nosotros hemos dibujado, como el vértice era el punto , la recta vertical es la recta x igual a , es el eje de simetría de esta parábola