1
00:00:00,300 --> 00:00:04,259
En este vídeo vamos a obtener la expresión matemática para la energía

2
00:00:04,259 --> 00:00:09,519
potencial gravitatoria de un sistema de dos masas puntuales y lo vamos a

3
00:00:09,519 --> 00:00:15,060
realizar en tres actos. En el primero recordamos que el trabajo realizado por

4
00:00:15,060 --> 00:00:20,280
la fuerza gravitatoria solamente depende de la coordenada radial, es decir, que

5
00:00:20,280 --> 00:00:25,300
desplazamientos en esta dirección, dado que forman 90 grados con la fuerza

6
00:00:25,300 --> 00:00:32,179
gravitatoria no realiza un trabajo. Para poner esto a prueba en el segundo acto comenzaremos

7
00:00:32,179 --> 00:00:40,179
aplicándolo en un caso sencillo. En este caso si os fijáis la coordenada radial es la vertical que

8
00:00:40,179 --> 00:00:44,780
nos conecta con el centro. Por ejemplo si esto fuese la tierra aquí estaría el centro de la

9
00:00:44,780 --> 00:00:50,640
tierra y ya sabéis que una vez estemos fuera de su superficie podemos concentrar toda su masa en

10
00:00:50,640 --> 00:00:57,780
este punto. Aquí tendríamos la masa M. Si esta es la masa M pequeña, podemos preguntarnos por cuál

11
00:00:57,780 --> 00:01:03,119
es el trabajo realizado cuando realizamos un desplazamiento desde aquí hasta aquí, es decir,

12
00:01:03,799 --> 00:01:10,939
cuando este es el vector desplazamiento. En este caso, si recordáis de años anteriores, podríamos

13
00:01:10,939 --> 00:01:17,239
hablar de una variación de energía potencial, que justamente nos suena a eso que hemos visto en el

14
00:01:17,239 --> 00:01:23,659
vídeo del campo conservativo. Podemos asociar una cantidad en cada punto de la vertical llamada

15
00:01:23,659 --> 00:01:30,519
energía potencial. Pues bien, en este caso, dado que estas variaciones de altura son pequeñas,

16
00:01:31,099 --> 00:01:35,459
significan que podemos suponer g constante y por tanto esta fuerza gravitatoria también como

17
00:01:35,459 --> 00:01:42,540
constante. Si ponemos aquí el cero de la y, esto sería la y inicial, puesto que el movimiento

18
00:01:42,540 --> 00:01:48,900
comienza aquí en este punto inicial y llegando hasta este punto final con coordenada yf. El

19
00:01:48,900 --> 00:01:55,959
trabajo en este caso no es difícil ni siquiera hay que integrar puesto que la fuerza gravitatoria es

20
00:01:55,959 --> 00:02:03,620
constante y se da en todo momento a lo largo de la trayectoria definida por este vector. Si hacemos

21
00:02:03,620 --> 00:02:10,659
este producto escalar tendremos el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno

22
00:02:10,659 --> 00:02:19,840
del ángulo que forman que es 180 grados. Si os fijáis este es el vector del tail y en todo momento este es el vector Fg

23
00:02:19,840 --> 00:02:31,039
por tanto el ángulo entre ambos es de 180 grados. Este valor es menos 1 y esto dado que es lo que llamaríamos peso

24
00:02:31,039 --> 00:02:38,419
en años anteriores tenemos que es m por g justamente porque además esa g es constante aquí. Bueno pues esto nos da

25
00:02:38,419 --> 00:02:45,759
menos m por g por delta y. Si recordáis, nosotros habíamos definido la energía potencial como el

26
00:02:45,759 --> 00:02:52,400
producto de la m por la g por el valor de la y. Si aquí hay una variación, lo que nos está diciendo

27
00:02:52,400 --> 00:02:58,580
esto es que el trabajo para llegar desde el punto inicial hasta el final con esa masa m en interacción

28
00:02:58,580 --> 00:03:07,699
con esta masa m grande es la menos variación de la energía potencial. Este resultado es muy

29
00:03:07,699 --> 00:03:14,039
interesante y vamos a tener que reproducirlo en el tercer acto que en qué consiste en lanzar el

30
00:03:14,039 --> 00:03:22,479
objeto tan alto que esta variación de altitud sea tan grande que no podamos suponer la constancia

31
00:03:22,479 --> 00:03:29,280
de esta fuerza gravitatoria vamos con él en este caso general si os fijáis aquí tenemos el punto

32
00:03:29,280 --> 00:03:35,000
inicial donde está la masa m y aquí tenemos el punto final sus coordenadas radiales eran r sub i

33
00:03:35,000 --> 00:03:42,900
y R sub F. Si nosotros nos preguntamos por cuál es el trabajo, en este caso no podemos suponer la

34
00:03:42,900 --> 00:03:48,120
constancia de la fuerza gravitatoria. De hecho, fijaos en que aquí la hemos dibujado con distintos

35
00:03:48,120 --> 00:03:55,219
módulos. ¿Por qué? Porque como bien sabéis, la fuerza gravitatoria va como el inverso de R al

36
00:03:55,219 --> 00:04:01,080
cuadrado. Si estas R son muy distintas, esto habrá variado un montón y por tanto lo que vamos a hacer

37
00:04:01,080 --> 00:04:06,860
sumar cachito a cachito que no es otra cosa que integrar. ¿Qué vamos a integrar? Cada pequeña

38
00:04:06,860 --> 00:04:14,280
contribución en cada pequeño desplazamiento infinitesimal. Lo sumamos todos desde i hasta f

39
00:04:14,280 --> 00:04:21,860
y obtenemos ese trabajo que tendremos que igualar a la menos variación de la energía potencial. Pues

40
00:04:21,860 --> 00:04:28,480
bien, en este caso tendremos la integral desde el punto inicial hasta el final de el módulo de fg

41
00:04:28,480 --> 00:04:33,360
por el módulo de diferencial de R por el coseno del ángulo que forman.

42
00:04:33,360 --> 00:04:38,540
Pero claro, un diferencial de R de desplazamiento que nos lleve de I a F

43
00:04:38,540 --> 00:04:43,339
forma 180 grados en todo momento con la fuerza gravitatoria.

44
00:04:43,699 --> 00:04:44,939
¿Eso qué significa?

45
00:04:45,220 --> 00:04:50,560
Que aquí seguimos teniendo el coseno de 180 grados cuyo valor sigue siendo menos 1.

46
00:04:51,199 --> 00:04:57,019
Si nosotros ahora expresamos el módulo de esa fuerza gravitatoria del tema anterior,

47
00:04:57,019 --> 00:05:08,740
tenemos que es g por m por m entre r al cuadrado multiplicado por diferencial de r

48
00:05:08,740 --> 00:05:11,040
y con este signo menos que lo vamos a poner ahí delante.

49
00:05:12,000 --> 00:05:16,019
Para realizar esta integral convendrá haber visto un vídeo anterior

50
00:05:16,019 --> 00:05:19,240
en el que hacemos justamente la integral de menos 1 entre r al cuadrado.

51
00:05:20,120 --> 00:05:23,959
Una cosa más, fijaos en que aquí tenemos además unas constantes

52
00:05:23,959 --> 00:05:25,680
y vamos a ver por qué las podemos sacar.

53
00:05:25,680 --> 00:05:30,279
Fijaos en que si la analogía con integrar es sumar

54
00:05:30,279 --> 00:05:35,500
Imaginad que estamos sumando 2 más 4 más 6

55
00:05:35,500 --> 00:05:37,500
Pues bien, yo puedo decir

56
00:05:37,500 --> 00:05:39,519
Bueno, todo esto tiene en común un 2

57
00:05:39,519 --> 00:05:41,500
Así que también podría hacerlo así

58
00:05:41,500 --> 00:05:43,600
Sumar 1 más 2 más 3

59
00:05:43,600 --> 00:05:45,399
Y luego multiplicar por eso que tienen en común

60
00:05:45,399 --> 00:05:50,740
Aquí lo que tienen en común es el g por m por m

61
00:05:50,740 --> 00:05:54,040
Que está multiplicando a este menos 1 entre r cuadrado

62
00:05:54,040 --> 00:06:03,360
diferencial de r si yo voy a sumar puedo decir a voy a integrar es decir sumar menos 1 entre r

63
00:06:03,360 --> 00:06:09,220
cuadrado y luego lo multiplico ya por eso que tenían en común este g por m por m igual que

64
00:06:09,220 --> 00:06:18,079
hicimos aquí pues bien aplicando eso y volviendo aquí lo que tenemos es lo siguiente tenemos que

65
00:06:18,079 --> 00:06:30,720
Esto es igual a g por m por m por la integral desde el punto inicial hasta el final de menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r.

66
00:06:31,839 --> 00:06:42,319
Esta integral, como os he dicho, la habíamos visto y tiene el siguiente valor, 1 entre r más una constante que va a ser importante.

67
00:06:42,319 --> 00:06:49,199
Y como aquí vamos desde el punto inicial hasta el final, pues esto va a ser evaluado entre el punto inicial y el final.

68
00:06:49,839 --> 00:06:52,199
Por tanto, ¿qué nos queda?

69
00:06:52,939 --> 00:07:04,180
Nos queda que el trabajo para ir desde el punto inicial al final es g por m por m por 1 entre r evaluado en el punto final,

70
00:07:05,040 --> 00:07:10,319
más la constante, a lo que le vamos a restar 1 entre r en el punto inicial.

71
00:07:10,319 --> 00:07:20,339
y ahora fijaos en qué va a ser, más con este menos, menos la constante, es decir, que estas dos constantes se cancelan y nos queda esta expresión.

72
00:07:21,959 --> 00:07:30,379
Si comparamos con lo que vimos en el acto número 2, diciéndonos que esto tenía que ser igual a la menos variación de la energía potencial,

73
00:07:30,379 --> 00:07:40,939
donde esto sería la energía potencial final menos la energía potencial inicial nos lleva a lo siguiente.

74
00:07:41,800 --> 00:07:46,160
Obviamente vamos a conectar lo que tenga que ver con el punto final con la energía potencial final

75
00:07:46,160 --> 00:07:50,180
y lo que tenga que ver con el punto inicial con la energía potencial inicial.

76
00:07:50,660 --> 00:07:54,220
Lo hagáis, con el que lo hagáis va a salir lo mismo.

77
00:07:54,660 --> 00:07:57,759
Vamos a escoger uno por ejemplo, el radio final.

78
00:07:57,759 --> 00:08:07,339
tenemos que g por m por m entre rf tiene que ser igual a menos epf es decir que la energía potencial

79
00:08:07,339 --> 00:08:18,920
en ese punto final será menos g por m por m entre este valor radial como hemos dicho que va a dar

80
00:08:18,920 --> 00:08:24,339
igual que sea el inicial o el final lo que yo digo es para cualquier valor r en cualquier valor r

81
00:08:24,339 --> 00:08:29,579
tendrá esta pinta pero por favor no os olvidéis de que en realidad aquí hay una constante que se

82
00:08:29,579 --> 00:08:36,179
ha cancelado porque estábamos comparando dos puntos distintos pero que ciertamente está ahí

83
00:08:36,179 --> 00:08:43,740
pues bien esta es la expresión para la energía potencial en una determinada coordenada radial

84
00:08:43,740 --> 00:08:50,759
para un sistema de dos masas en interacción claro muchas veces no aparece esta constante

85
00:08:50,759 --> 00:08:58,379
Pero esta constante es muy importante porque nos dice dónde fijamos el cero de energía potencial.

86
00:08:58,799 --> 00:09:00,740
Y eso depende del tipo de problema.

87
00:09:01,620 --> 00:09:06,860
Si os fijáis en el acto número 2, las energías potenciales mgh eran valores positivos.

88
00:09:07,419 --> 00:09:13,399
Y sin embargo aquí tienen toda la pinta de ser un valor negativo a no ser que esta constante lo vuelva positivo.

89
00:09:14,399 --> 00:09:17,419
Vamos a pintar, por ejemplo, esta función matemática.

90
00:09:17,840 --> 00:09:19,759
Y esto lo tenemos un poquito hacia abajo.

91
00:09:21,419 --> 00:09:29,019
Para recordar lo que estamos haciendo, yo pongo aquí la expresión matemática, que es menos g por m por m,

92
00:09:29,159 --> 00:09:36,500
es un sistema de masas en interacción, dividido entre la coordenada radial que la separa, más este valor constante.

93
00:09:37,500 --> 00:09:44,679
Ahora bien, si yo me llevo la masa m pequeña hasta el infinito, parece que estoy diciendo que, bueno,

94
00:09:44,679 --> 00:09:49,659
ahí la interacción va a anularse y parece que la conexión entre ambas debería desaparecer.

95
00:09:49,659 --> 00:10:12,960
Es algo así como decir que cuando r tiende a infinito esta cantidad se va a cero y yo podría escoger esta constante como cero obteniendo esta gráfica de la función y fijando por tanto el cero de energía potencial justamente ahí, ahí si os fijáis me saldrían cero julios si yo escojo que esa constante sea igual a cero.

96
00:10:12,960 --> 00:10:17,960
Y esto es una elección. ¿Para qué? Para que justamente la energía potencial valga cero julios.

97
00:10:18,139 --> 00:10:24,320
¿Dónde? En el infinito, donde parece que esas masas ya no interaccionan porque están tan alejadas que no se sienten.

98
00:10:25,279 --> 00:10:28,860
Sin embargo, yo puedo escoger otros valores de la constante.

99
00:10:29,539 --> 00:10:31,179
Mirad, vamos a hacer un caso práctico.

100
00:10:31,840 --> 00:10:36,019
Yo pongo, por ejemplo, la Tierra. La Tierra tiene un radio que estará por aquí.

101
00:10:36,340 --> 00:10:38,059
Es decir, la Tierra será algo así.

102
00:10:39,799 --> 00:10:42,620
Este valor es justamente el radio de la Tierra.

103
00:10:42,620 --> 00:10:54,740
Aquí. El caso es que, si os fijáis, para este valor del radio de la Tierra, el valor de energía potencial es un número negativo. ¿Cuál? Bueno, pues bastaría con poner aquí el radio de la Tierra.

104
00:10:54,740 --> 00:11:02,879
sería menos g por m por m entre el radio de la Tierra.

105
00:11:03,519 --> 00:11:06,799
¿Qué ocurre? Que si yo quiero que este valor sea cero,

106
00:11:07,539 --> 00:11:12,519
lo que puedo hacer es que esta constante valga justamente lo mismo que esto,

107
00:11:12,679 --> 00:11:13,580
pero con signo contrario.

108
00:11:14,080 --> 00:11:16,440
Porque si yo se lo sumo, ¿qué voy a hacer?

109
00:11:17,080 --> 00:11:21,519
Voy a hacer que esto se vaya hacia arriba de tal manera

110
00:11:21,519 --> 00:11:25,799
Que justamente ahí la energía potencial valga cero.

111
00:11:26,200 --> 00:11:33,220
Es decir, estoy escogiendo la constante de tal manera que justamente ahí tenga el cero de energía potencial.

112
00:11:33,840 --> 00:11:41,200
Y de ahí en adelante la energía potencial es positiva, que serían nuestros mgh en variaciones pequeñas de la coordenada radial.

113
00:11:42,700 --> 00:11:48,399
En general en gravitación la elección que realizamos es otra y es la siguiente.

114
00:11:49,179 --> 00:11:51,379
Ponemos esto justamente de esta manera.

115
00:11:51,519 --> 00:11:58,500
Porque donde nos interesa realmente que se haga cero la energía potencial, porque es muy intuitivo, es en el infinito.

116
00:11:58,940 --> 00:12:04,179
Además, eso nos deja un valor negativo y en general en física los valores negativos significan estados ligados.

117
00:12:04,759 --> 00:12:09,100
Como veis aquí, una masa estaría ligada a la otra por la atracción gravitatoria.

118
00:12:09,480 --> 00:12:13,159
Solamente cuando llegase al infinito sería realmente libre.

119
00:12:13,159 --> 00:12:27,539
A efectos prácticos para el resto del curso, nosotros estaremos trabajando con una energía potencial con esta expresión, puesto que habremos fijado este valor a cero en el infinito.

120
00:12:28,399 --> 00:12:30,620
Muy bien, espero que os haya gustado. Hasta la siguiente.