1
00:00:00,050 --> 00:00:04,769
Vamos a ver, vamos a hacer la actividad 11

2
00:00:04,769 --> 00:00:10,130
del archivo de herramientas básicas de la geometría.

3
00:00:10,589 --> 00:00:16,350
Mira, dice, determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto

4
00:00:16,350 --> 00:00:23,510
P de coordenadas 3, 2 y tiene como vector director V

5
00:00:23,510 --> 00:00:26,890
de coordenadas 2, menos 3.

6
00:00:27,370 --> 00:00:29,129
Te piden la ecuación vectorial.

7
00:00:29,129 --> 00:00:47,740
Entonces, veamos, recordemos que era la ecuación vectorial. La ecuación vectorial es, pues bien, la construcción de la ecuación vectorial a partir de un punto de anclaje A, que decimos, y un vector director V,

8
00:00:47,740 --> 00:01:08,920
Pues lo que hacemos es, cualquier punto de la recta Q, que tendrá coordenadas X y Y, pues cualquier punto de la recta se accede a él,

9
00:01:08,920 --> 00:01:36,549
En el punto A, en este caso, el vector este, que sería 2V, es decir, que Q, el punto Q, sería igual al punto A más 2V.

10
00:01:36,549 --> 00:01:55,409
Y en general, pues cualquier punto de la recta R, imaginemos que Q es cualquier punto de la recta, pues sería que podemos acceder a él anclando en A un vector proporcional a V, o sea, lambda por V.

11
00:01:55,409 --> 00:02:30,349
Bien, esta es lo que me da lugar a la ecuación vectorial, porque q es el vector, como sabemos, de posición oq, a sería el vector de posición oa, igual a un cierto lambda por v, lambda puede valer cualquier cosa, es decir, que dando valores a lambda, lo que obtengo es un punto de la recta, ¿vale?

12
00:02:30,349 --> 00:02:54,379
Entonces, según esto, diríamos que Q, esta es la ecuación vectorial de la recta R, o mejor dicho, esta, escrito vectorialmente.

13
00:02:54,379 --> 00:03:08,270
Entonces, o Q es XY, o A sería, bueno, A en este caso es lo que hemos llamado P, es el punto de anclaje, lo hemos llamado A,

14
00:03:08,270 --> 00:03:12,330
pero deberíamos haberlo llamado P. En nuestro ejemplo estamos usando esa terminología.

15
00:03:13,729 --> 00:03:23,800
Bueno, OP, que es de coordenadas 3, 2, más un cierto lambda por V, que es 2 menos.

16
00:03:25,919 --> 00:03:37,840
Y fijaros, así obtengo lo que se llama la ecuación vectorial de la recta.

17
00:03:37,840 --> 00:03:41,800
Vamos a ver cómo se interpreta esto. Se interpreta del siguiente modo.

18
00:03:41,800 --> 00:03:45,879
Si damos valores diferentes de lambda

19
00:03:45,879 --> 00:03:51,060
Obtengo un punto

20
00:03:51,060 --> 00:03:54,020
Diferente de x y que pertenece a la recta

21
00:03:54,020 --> 00:03:55,819
Entonces

22
00:03:55,819 --> 00:03:58,479
Para obtener puntos de la recta

23
00:03:58,479 --> 00:04:00,439
Por ejemplo, vamos a obtener un punto

24
00:04:00,439 --> 00:04:01,699
Pues das un valor de lambda

25
00:04:01,699 --> 00:04:05,080
Puede ser decimal, lambda igual a 2,5

26
00:04:05,080 --> 00:04:05,819
Incluso, ¿no?

27
00:04:06,319 --> 00:04:07,000
Por ejemplo

28
00:04:07,000 --> 00:04:11,099
Pues vas aquí a la ecuación vectorial

29
00:04:11,099 --> 00:04:14,219
Y sustituyes en lambda 2,5

30
00:04:14,219 --> 00:04:26,160
y así te va a dar lugar a un punto de la recta

31
00:04:26,160 --> 00:04:31,420
2,5 por 2, que es 5

32
00:04:31,420 --> 00:04:35,079
y por menos 3, que es menos 7,5

33
00:04:35,079 --> 00:04:38,860
la sumamos

34
00:04:38,860 --> 00:04:44,740
bien, este punto pertenece a la recta

35
00:04:44,740 --> 00:04:48,160
y en particular, gráficamente en el dibujo

36
00:04:48,160 --> 00:04:50,740
como lambda es 2,5

37
00:04:50,740 --> 00:04:52,120
pues en realidad es este

38
00:04:52,120 --> 00:04:59,240
este V

39
00:04:59,240 --> 00:05:01,399
el 2,5V sería

40
00:05:01,399 --> 00:05:06,160
¿no? porque

41
00:05:06,160 --> 00:05:12,319
1V, 2V, aquí estaría 3V y este es 2,5V.

42
00:05:13,000 --> 00:05:20,079
Y este punto es de coordenadas 8-5.

43
00:05:20,279 --> 00:05:22,300
Ahora, esta es la ecuación vectorial.

44
00:05:26,230 --> 00:05:30,949
Vamos a obtener ahora la ecuación en paramétricas.

45
00:05:31,310 --> 00:05:35,410
La ecuación paramétrica es equivalente a esto.

46
00:05:35,410 --> 00:06:38,100
OQ es igual a OP, OP es 3.

47
00:06:38,100 --> 00:07:11,170
Es operar esto coordenada a coordenada, es decir, en realidad, según esto, la x debería de ser igual a 3 más lambda por 2,

48
00:07:11,170 --> 00:07:20,430
e y debería de ser 2 más lambda por menos 3.

49
00:07:20,430 --> 00:07:49,639
Así obtienes la ecuación. X tiene que ser igual a 3 más lambda por 2 e y igual a 2 más lambda por menos 3 y estas son las ecuaciones, la ecuación paramétrica.

50
00:07:49,639 --> 00:08:24,449
Pero daros cuenta de que en realidad está diciendo lo mismo que la ecuación vectorial, lo único que trabajando por coordenadas, es decir, aquí estamos diciendo que si xy debe ser igual a esto, pues entonces coordenada a coordenada, x debe ser igual a 3 más lambda por 2.

51
00:08:24,449 --> 00:08:30,029
y luego i debe ser igual a 2 más lambda por menos 3

52
00:08:30,029 --> 00:08:33,289
y así obtenemos la ecuación paramétrica

53
00:08:33,289 --> 00:08:35,629
vamos a hacerlo de forma genérica

54
00:08:35,629 --> 00:08:39,509
ya que hemos visto para que analicemos un poco

55
00:08:39,509 --> 00:08:41,629
vamos a verlo pero de forma genérica

56
00:08:41,629 --> 00:08:45,570
es decir, vamos a ver cómo encontrar la ecuación vectorial y la ecuación paramétrica

57
00:08:45,570 --> 00:08:48,990
a partir de un punto genérico cualquiera

58
00:08:48,990 --> 00:08:51,009
o sea, pensemos en una recta

59
00:08:51,009 --> 00:09:00,440
que tiene un punto de anclaje que llamamos P con coordenadas P1 y P2

60
00:09:00,440 --> 00:09:09,879
y un vector V con coordenadas, vector director de la recta, con coordenadas V1 y V2.

61
00:09:10,799 --> 00:09:19,779
Pues bien, la ecuación vectorial ya hemos dicho que es, se diría que Q pertenece a la recta,

62
00:09:19,779 --> 00:09:38,940
Sí, solamente sí. OQ es igual a OP más, vamos a ponerlo mejor, que el punto Q es igual al punto P al que le hemos anclado un vector proporcional a V.

63
00:09:38,940 --> 00:09:48,529
Esta es la ecuación vectorial, que también se puede escribir como el vector OQ igual a OP,

64
00:09:48,710 --> 00:09:59,789
porque recuerdo que un punto es también un vector director, perdona, un vector posición, que nace en el origen.

65
00:09:59,789 --> 00:10:06,289
Aquí está el origen, aquí está P, pues OP tiene las mismas coordenadas que el punto P, se entiende que es lo mismo.

66
00:10:06,289 --> 00:10:09,610
más lambda por v.

67
00:10:10,750 --> 00:10:13,110
Esta es la ecuación vectorial de la recta.

68
00:10:13,889 --> 00:10:15,929
Si sustituimos nuestros valores,

69
00:10:18,259 --> 00:10:23,480
diríamos que OQ, que es el punto de coordenada genérico x y,

70
00:10:25,639 --> 00:10:29,139
sería igual a el punto P,

71
00:10:29,139 --> 00:10:31,899
que es coordenadas P1, P2,

72
00:10:32,440 --> 00:10:37,159
más un cierto lambda por v1, v2,

73
00:10:37,259 --> 00:10:38,759
que son las coordenadas del vector v.

74
00:10:38,980 --> 00:10:43,610
Y así obtengo la ecuación vectorial.

75
00:10:47,759 --> 00:10:59,519
Bien, y ahora para obtener la ecuación paramétrica, fijaos, aquí van las coordenadas del punto de anclaje de la recta

76
00:10:59,519 --> 00:11:04,580
y aquí las coordenadas del vector, director de la recta.

77
00:11:05,279 --> 00:11:08,080
Vamos a ver ahora la ecuación paramétrica.

78
00:11:08,480 --> 00:11:13,879
Para obtener las ecuaciones paramétricas, lo que decimos es que si esto es igual a esto,

79
00:11:13,879 --> 00:11:21,840
pues ha de serlo coordenada a coordenada, es decir, porque esto para operarlo se opera a coordenada a coordenada.

80
00:11:22,940 --> 00:11:25,019
Es decir, vamos a verlo, ¿cómo lo haríamos?

81
00:11:25,519 --> 00:11:33,360
x y, fijaros, lo voy a demostrar, es p1, p2, más, ahora multiplico lambda por el vector,

82
00:11:33,700 --> 00:11:37,860
me queda lambda por v1, lambda por v2.

83
00:11:37,860 --> 00:11:42,080
Ahora, desarrollando esta suma, diríamos

84
00:11:42,080 --> 00:11:47,240
xy es igual a p1 más lambda por v1

85
00:11:47,240 --> 00:11:50,779
y luego p2 más lambda por v2

86
00:11:50,779 --> 00:11:54,600
Y por tanto, se desprende de esto que

87
00:11:54,600 --> 00:11:57,720
x tiene que ser igual a esto

88
00:11:57,720 --> 00:12:03,419
e y tiene que ser igual a esto

89
00:12:03,419 --> 00:12:10,440
Y he obtenido así las ecuaciones paramétricas de la recta

90
00:12:10,440 --> 00:12:18,960
Fijaros, las coordenadas de P hemos llamado P1, P2. Aquí aparecen, aquí.

91
00:12:20,059 --> 00:12:25,720
Y las coordenadas del vector director de la recta, que es V1, V2, van aquí.

92
00:12:26,120 --> 00:12:28,399
Y aquí está el parámetro lambda.

93
00:12:29,159 --> 00:12:33,759
Así que, para obtener de forma, por ejemplo, vamos a hacer otro ejemplo,

94
00:12:33,759 --> 00:12:46,460
Para obtener rápidamente las ecuaciones paramétricas de una recta que tiene punto de amortelaje 1, menos 1 y vector director, por ejemplo, 2, 3,

95
00:12:47,379 --> 00:12:57,480
pues la ecuación paramétrica diríamos que x es igual a p1, que es 1, este es p1 y este es p2, 1 más lambda por v1, que es 2,

96
00:12:57,480 --> 00:13:06,059
y luego y es menos 1 más lambda por 3

97
00:13:06,059 --> 00:13:09,500
y obtengo así la ecuación paramétrica

98
00:13:09,500 --> 00:13:11,340
en realidad se suelen escribir así

99
00:13:11,340 --> 00:13:16,230
se deja el parámetro al final

100
00:13:16,230 --> 00:13:21,149
esta es la ecuación paramétrica de la recta

101
00:13:21,149 --> 00:13:24,850
esta es la manera de construir la ecuación paramétrica

102
00:13:24,850 --> 00:13:27,009
a partir del punto y el vector director

103
00:13:27,009 --> 00:13:29,669
sin tener que pasar por la ecuación vectorial