1
00:00:00,500 --> 00:00:02,640
Hola, vamos a hacer el ejercicio 33.

2
00:00:03,319 --> 00:00:07,320
Siempre lo primero, leer bien el enunciado para sacar la idea.

3
00:00:08,179 --> 00:00:14,060
Me están diciendo la recta de ecuación igual a menos 4x más 2 representa la trayectoria de un móvil A.

4
00:00:14,699 --> 00:00:20,120
Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación igual a g de x,

5
00:00:20,120 --> 00:00:27,780
donde g es la función definida por g de x igual a menos x cuadrado más 2x más c.

6
00:00:27,780 --> 00:00:38,840
¿Vale? Es decir, me están hablando de dos móviles, uno sigue una trayectoria que es una recta, que es el móvil A, y el otro sigue una trayectoria que es una función cuadrática, una parábola, que es el móvil B.

7
00:00:39,579 --> 00:00:49,100
¿Vale? Eso es lo primero que me están dando. Me piden dos apartados. En el apartado A me dicen que calculemos el valor de c, que es un parámetro desconocido en la función g de x,

8
00:00:49,740 --> 00:00:55,679
sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función g de x tiene un máximo local.

9
00:00:56,219 --> 00:01:02,820
Es decir, lo que me están diciendo es que la función, o sea, la trayectoria del móvil A y la trayectoria del móvil B se encuentran en un punto

10
00:01:02,820 --> 00:01:10,599
y justamente en el punto en el que se encuentran es el punto donde la función G, la trayectoria del móvil B, tiene un máximo.

11
00:01:11,980 --> 00:01:15,640
Eso es lo que vamos a utilizar para calcular el parámetro C.

12
00:01:16,200 --> 00:01:22,099
Y luego el apartado B, que lo haremos después, me preguntan si además de en ese punto coinciden en algún otro punto

13
00:01:22,099 --> 00:01:29,159
y en el caso de que coincidan, coincidan que calculemos el área de la región limitada por esas dos trayectorias, ¿vale?

14
00:01:29,159 --> 00:01:30,280
Y aparte que lo dibujemos.

15
00:01:31,040 --> 00:01:40,079
Entonces, lo que hemos dicho, para calcular el valor de c, lo que vamos a calcular es el punto justamente donde coinciden las dos trayectorias.

16
00:01:40,299 --> 00:01:46,739
Como me están diciendo que es donde la función g tiene un máximo local, pues, ¿qué significa que tenga un máximo local?

17
00:01:46,980 --> 00:01:50,739
Que la derivada primera de esa función tiene que ser cero, ¿vale?

18
00:01:50,739 --> 00:02:10,500
Por lo tanto, lo primero que hacemos es calcular g' de x, g' de x es menos 2x más 2, la igualamos a 0 y de aquí sacamos que la x es menos 2 entre menos 2, es decir, x es 1.

19
00:02:11,139 --> 00:02:17,219
Esta es la coordenada x del punto, vamos, donde hay un máximo, donde es un posible máximo.

20
00:02:18,139 --> 00:02:21,960
Como lo normal es que sea un máximo, pero vamos a confirmarlo, ¿vale?

21
00:02:22,240 --> 00:02:29,039
¿Cómo se confirmaba? Con la derivada segunda, derivada segunda de g de x es menos 2,

22
00:02:29,659 --> 00:02:36,360
por lo tanto la derivada segunda en el punto 1 va a ser también menos 2, que es menor que 0,

23
00:02:36,360 --> 00:02:43,479
lo que significa que x igual 1 efectivamente es un máximo local, ¿vale?

24
00:02:43,979 --> 00:02:48,219
Siempre lo comprobamos para verificar que el enunciado no sea incorrecto.

25
00:02:48,219 --> 00:03:09,300
¿Vale? ¿Y qué me están diciendo? Ese es el punto donde las dos funciones coinciden. Por lo tanto, lo que voy a calcular es la coordenada I de la recta, ¿vale? Para calcular la coordenada de los dos puntos, es decir, lo que yo sé aquí es que el punto este de intersección es el punto 1 y aquí no sé cuánto vale.

26
00:03:09,300 --> 00:03:20,319
La coordenada I no la conozco, ¿vale? Pues esta coordenada I la vamos a calcular como sustituyendo en la primera trayectoria, ¿vale? En la trayectoria del móvil A.

27
00:03:21,080 --> 00:03:34,439
Por lo tanto, lo que yo sé es que la I va a ser menos 4 por 1 más 2, ¿vale? Es decir, menos 4 más 2, menos 2.

28
00:03:34,439 --> 00:03:53,800
Por lo tanto, el punto en el que coinciden las dos, ¿vale? El punto en el que coinciden las trayectorias A y B, ¿cuál va a ser? Pues el punto 1 menos 2, ¿vale?

29
00:03:53,800 --> 00:04:04,780
¿Y para qué necesitamos esto? Pues porque ahora esto lo que nos quiere decir es que mi función g en el punto 1 es exactamente menos 2, ¿vale?

30
00:04:04,780 --> 00:04:11,819
Eso es lo que significa que el punto pertenezca a las dos funciones. Bueno, pues sustituimos. g de 1, ¿cuánto es?

31
00:04:11,819 --> 00:04:37,110
Entonces, pues g de 1 es sustituir en la función g el valor 1 y esto sería menos 1, ojo, el menos, ¿vale? No está en el cuadrado, no es menos 1 al cuadrado, sino menos 1 al cuadrado, que es 1, más 2, más c, y esto queremos que sea menos 2.

32
00:04:37,110 --> 00:04:47,689
Por lo tanto, la c será igual a menos 2 más 2 que es 0, paso el menos 1, no, menos 2 menos 2 es menos 4, más 1 menos 3

33
00:04:47,689 --> 00:04:50,850
Vale, perdón, que lo estaba haciendo de cabeza y lo he visto mal

34
00:04:50,850 --> 00:04:54,829
Vale, pues ya tenemos calculado cuánto vale el valor c, ¿vale?

35
00:04:54,829 --> 00:05:10,730
Luego c es menos 3 y por lo tanto la función g de la trayectoria del móvil b viene dada por la función menos x cuadrado más 2x en los 3, ¿vale?

36
00:05:11,050 --> 00:05:13,269
Y con esto estaría el apartado a.

37
00:05:14,509 --> 00:05:17,029
Ahora vamos con el apartado b.

38
00:05:17,269 --> 00:05:20,529
Voy a subir un poquito el enunciado para tener más espacio.

39
00:05:20,529 --> 00:05:26,910
Entonces ahora para el apartado b me piden ver si las trayectorias coinciden en algún otro punto

40
00:05:26,910 --> 00:05:30,430
La primera recta, la y, la voy a llamar f de x, ¿vale?

41
00:05:30,430 --> 00:05:37,290
Como la primera función, la función f de x, que es la recta, es menos 4x más 2

42
00:05:37,290 --> 00:05:50,129
Y la trayectoria de la función del móvil b, la g de x, acabamos de obtener que es menos x cuadrado más 2x menos 3, ¿vale?

43
00:05:50,529 --> 00:05:55,170
Venga, ahora ya sí que subo todo y ahora seguimos aquí.

44
00:05:55,370 --> 00:06:02,129
Lo que queremos es ver si hay algún otro punto en el que coincidan, es decir, lo que queremos es resolver este sistema de ecuaciones.

45
00:06:02,790 --> 00:06:07,689
Fijaos que en ambos casos sería y igual, y igual, ¿vale? Siempre la función la llamamos y.

46
00:06:07,910 --> 00:06:19,949
Es decir, hacemos igualación y lo que obtenemos es que menos 4x más 2, queremos ver si esto puede ser menos x cuadrado más 2x menos 3.

47
00:06:20,529 --> 00:06:33,870
Lo pasamos todo, por ejemplo, al miembro de la izquierda y me queda aquí x cuadrado menos 4x menos 2x más 2 más 3 igual a 0.

48
00:06:34,269 --> 00:06:40,949
Luego la ecuación es x cuadrado menos 6x más 5 igual a 0.

49
00:06:41,870 --> 00:06:46,189
Resolvemos la ecuación bien por la fórmula, por Ruffini, por Cardano-Vieta.

50
00:06:46,189 --> 00:06:52,089
se ve que dos valores cuyo producto es 5 y cuya suma es 6 son 1 y 2, ¿vale?

51
00:06:52,449 --> 00:06:58,889
Luego las soluciones son 1 y 1 y 2, he dicho 1 y 5, perdón, 1 y 5.

52
00:06:59,310 --> 00:07:03,389
1 es el valor que teníamos antes y 5 es el valor nuevo.

53
00:07:03,870 --> 00:07:05,610
Efectivamente sí que hay otro punto.

54
00:07:06,230 --> 00:07:07,810
¿Cómo calculamos el valor de i?

55
00:07:08,769 --> 00:07:14,430
Simplemente porque ya que me están pidiendo que se coinciden en algún otro punto,

56
00:07:14,430 --> 00:07:22,730
pues ya sabemos que este es el punto que sabíamos, que era el punto 1 menos 3 y este es el otro punto que será el punto 5

57
00:07:22,730 --> 00:07:31,709
y para calcular la Y me da igual sustituirla en la F o en la G, es más fácil sustituirla en la F y sería menos 4 por 5 es menos 20,

58
00:07:32,550 --> 00:07:42,930
menos 20 más 2 menos 18, ¿vale? Luego este sería mi otro punto, entonces ahora me están diciendo en tal caso dibuja la región limitada

59
00:07:42,930 --> 00:07:50,529
por ambas trayectorias, vale, pues a ver, vamos a hacerlo, son una recta y una parábola,

60
00:07:53,170 --> 00:08:03,560
la verdad es que no, vamos a poner este más arriba, esta es mi X, esta es mi Y, vale,

61
00:08:04,459 --> 00:08:15,740
tenemos 1, 2, 3, 4, 5, y aquí voy a ir haciendo de 3 en 3, vale, para que me quede, porque

62
00:08:15,740 --> 00:08:20,220
si no tendría que hacer 18 rayitas hacia abajo, entonces vamos a poner como que esto

63
00:08:20,220 --> 00:08:28,540
fuera menos 3, ¿vale? Lo voy a poner diferente, aquí vamos a ponerlo 1, 2, 3, 4, 5, diferente

64
00:08:28,540 --> 00:08:35,220
escala y aquí le voy a poner como si esto fuera menos 3, menos 6, menos 9, menos 12,

65
00:08:35,820 --> 00:08:43,740
menos 15 y menos 18, ¿vale? Entonces, a ver, lo voy a hacer, a ojo, bueno, la primera la

66
00:08:43,740 --> 00:08:49,620
podemos hacer porque es una recta, es decir, la recta pasa por el punto 1 menos 3, por

67
00:08:49,620 --> 00:08:57,929
este punto, y por el 5 menos 18. Sé que estoy poniendo diferente escala, bueno, pero más

68
00:08:57,929 --> 00:09:05,370
o menos para que nos hagamos un poquito una idea. A ver, bueno, ya sabéis que lo mío

69
00:09:05,370 --> 00:09:22,299
no es el dibujo. A ver cómo consigo hacer la recta. Es que es complicado. Esto sería

70
00:09:22,299 --> 00:09:26,779
más o menos la recta. Ya sé que diréis, si tienes la opción de hacer una recta, bien,

71
00:09:27,000 --> 00:09:33,860
pero soy así. Venga, y el otro vamos a ponerle con otro color, con el verde mismo. La otra

72
00:09:33,860 --> 00:09:41,279
es una parábola, ¿vale? Una parábola que tiene el coeficiente de mayor grado negativo,

73
00:09:41,399 --> 00:09:48,940
por lo tanto es convexa. Y sabemos que pasa en los dos mismos puntos, por este punto y

74
00:09:48,940 --> 00:09:54,059
por este punto. Y además, ¿qué es lo que sabemos? Que justamente en el 1 tiene un máximo,

75
00:09:55,039 --> 00:10:02,659
¿vale? Luego su eje de simetría es justamente este punto, el x igual 1. Es decir, que esto

76
00:10:02,659 --> 00:10:10,240
aquí sería, no consigo nunca que me salgan bien en la primera, esta sería la parábola

77
00:10:10,240 --> 00:10:17,659
así, y vendría más o menos por aquí, y la otra sería, es decir, si tuviéramos aquí

78
00:10:17,659 --> 00:10:27,980
en el menos 5, si aquí estuviera el menos 5, suponiendo que hubiéramos hecho, no, el

79
00:10:27,980 --> 00:10:35,539
menos 5 no sería el menos 4, ¿vale? Porque tiene, del 1 al 5 van 4, luego del 1 tendría

80
00:10:35,539 --> 00:10:41,379
que ir, no, tendría que ir, ¿cuántas van? Al menos 3, perdón. Esto sería como una

81
00:10:41,379 --> 00:10:51,320
cosa así, ¿vale? De verdad. Bueno, ya sabéis que mis dibujos son muy malos. Esto aquí

82
00:10:51,320 --> 00:10:55,980
para arriba, aquí tendría que ser al menos 3. Tiene que haber lo mismo, del 1 al 5 van

83
00:10:55,980 --> 00:10:59,799
cuatro y del uno al menos tres van cuatro. ¿Pero qué es la parte que a nosotros nos

84
00:10:59,799 --> 00:11:06,500
interesa? A nosotros lo que nos están pidiendo calcular es el área comprendida entre la

85
00:11:06,500 --> 00:11:12,559
recta y la parábola, es decir, este sería el trocito que nos están pidiendo calcular

86
00:11:12,559 --> 00:11:19,340
y es lo que nos han pedido que dibujáramos. Entonces, ¿cuál va a ser este área? Pues

87
00:11:19,340 --> 00:11:27,860
el área, es la integral definida entre 1 y 5, ¿de quién? De una función menos la

88
00:11:27,860 --> 00:11:32,659
otra. Según este dibujo la función que está arriba es la g, ¿verdad? Es decir, sería

89
00:11:32,659 --> 00:11:42,480
de g de x menos f de x diferencial de x. Teóricamente no me debería dar negativa, bueno, sí me

90
00:11:42,480 --> 00:11:46,679
va a dar negativa porque está arriba, está abajo, pero bueno, daría lo mismo, que es

91
00:11:46,679 --> 00:11:51,580
lo que hemos dicho siempre, ponemos valores absolutos, ¿vale? No los voy a poner, voy

92
00:11:51,580 --> 00:11:57,299
a esperar hasta el final y luego ya los colocamos. Venga, pues esto sería la integral entre

93
00:11:57,299 --> 00:12:08,049
1 y 5, de quien g de x es menos x cuadrado más 2x menos 3 y ahora el resto, el f de

94
00:12:08,049 --> 00:12:17,029
x es menos, luego cambio todo de signo, luego sería más 4x menos 2 diferencial de x, ¿vale?

95
00:12:17,029 --> 00:12:28,190
Sigo por aquí abajo y esto va a ser la integral entre 1 y 5 de operamos y me queda menos x cuadrado

96
00:12:28,190 --> 00:12:37,570
2x más 4x es 6x más 6x menos 3 menos 2 menos 5 diferencial de x

97
00:12:37,570 --> 00:12:42,269
calculamos una primitiva que sería menos x cubo partido de 3

98
00:12:42,269 --> 00:12:48,529
más 3x cuadrado menos 5x

99
00:12:48,529 --> 00:12:53,629
y esto lo tenemos que evaluar entre 1 y 5

100
00:12:53,629 --> 00:12:58,850
igual a, aplicamos la regla de barro 1

101
00:12:58,850 --> 00:13:01,669
es lo que hemos estado haciendo para calcular la integral definida

102
00:13:01,669 --> 00:13:03,830
calculamos el valor en el 5

103
00:13:03,830 --> 00:13:19,889
Y esto sería, en el 5, menos 125 partido de 3 más 5 al cuadrado es 25 por 3, 75, menos 25.

104
00:13:20,289 --> 00:13:32,830
Esto es evaluarlo en el 5 y ahora menos, lo evaluamos en el 1 y sería menos un tercio, más 3, menos 5.

105
00:13:33,830 --> 00:13:45,970
¿Vale? Igual a, operamos, menos 125, bueno, voy a hacerlo con calculadora y pongo el resultado, ¿vale?

106
00:13:46,190 --> 00:13:46,970
Pausa un momentito.

107
00:13:47,870 --> 00:13:50,870
Vale, haciéndolo todo nos da 32 tercios, ¿vale?

108
00:13:51,990 --> 00:13:53,309
A ver, espera que no estoy en rojo.

109
00:13:54,389 --> 00:13:59,830
Nos da 32 tercios unidades al cuadrado, ¿vale?

110
00:13:59,830 --> 00:14:02,250
no hace falta poner valores absolutos

111
00:14:02,250 --> 00:14:04,110
porque en el fondo ya hemos puesto

112
00:14:04,110 --> 00:14:06,149
la que está, hemos empezado por la g de x

113
00:14:06,149 --> 00:14:07,070
que es la que está arriba

114
00:14:07,070 --> 00:14:09,429
por eso nos sale en positivo

115
00:14:09,429 --> 00:14:11,909
bueno, pues este sería el ejercicio