1 00:00:02,200 --> 00:00:10,960 Hoy vamos a dar el primer concepto ya complicado, que ya lo dimos el año pasado y es lo mismo, 2 00:00:11,160 --> 00:00:17,620 pero con tres dimensiones, y empezaremos ya a tener cierto tipo de ejercicios, que es 3 00:00:17,620 --> 00:00:21,320 el concepto de producto escalar de dos vectores. 4 00:00:21,320 --> 00:00:39,439 El producto escalar de dos vectores, obviamente, como dice su propio nombre, es un producto de dos vectores y el resultado es un escalar. 5 00:00:39,439 --> 00:00:48,780 Mauro, ciérrame la puerta, si no te importa. Y el resultado es un escalar, es decir, el resultado es un número. 6 00:00:48,780 --> 00:01:03,000 ¿Y qué número? Bueno, pues vamos a verlo, nos vamos a la entrada y vamos a escribir un vector que fuera, por ejemplo, 3, 1, 5. 7 00:01:03,000 --> 00:01:24,980 Os recuerdo que eso se escribía simplemente poniendo dos veces paréntesis, vector delante, claro, vector, dos paréntesis y las coordenadas que he dicho, 3, 1, 5, por ejemplo, ¿vale? 8 00:01:24,980 --> 00:01:29,060 damos enter y ya tenemos 9 00:01:29,060 --> 00:01:32,260 nuestro vector 10 00:01:32,260 --> 00:01:38,799 3, 1, 5, ahí le tenéis 11 00:01:38,799 --> 00:01:41,540 y ahora vamos a poner 12 00:01:41,540 --> 00:01:44,060 por ejemplo el vector 13 00:01:44,060 --> 00:01:53,180 0, 1, 2 14 00:01:53,180 --> 00:01:56,859 entonces sabéis que podemos dar bajar 15 00:01:56,859 --> 00:02:00,120 y escribir 16 00:02:00,120 --> 00:02:02,340 en vez de 3, 1, 5 17 00:02:02,340 --> 00:02:04,799 pues 0, 1 18 00:02:04,799 --> 00:02:07,819 2 19 00:02:07,819 --> 00:02:12,699 y ahí tengo mis dos vectores 20 00:02:12,699 --> 00:02:15,479 para hacer el producto escalar 21 00:02:15,479 --> 00:02:19,340 pues si queréis los vamos a poner en distintos colores 22 00:02:19,340 --> 00:02:26,759 el vector U le vamos a poner en azul 23 00:02:26,759 --> 00:02:29,840 y más gordito 24 00:02:29,840 --> 00:02:34,000 hasta 10 25 00:02:34,000 --> 00:02:36,659 y el V en rojo 26 00:02:36,659 --> 00:02:40,680 y también más gordito 27 00:02:40,680 --> 00:02:45,780 el que quiera hablar se puede salir fuera 28 00:02:45,780 --> 00:02:47,219 y charla todo lo que quiera 29 00:02:47,219 --> 00:02:50,039 y ya cuando haya terminado de hablar que entre 30 00:02:50,039 --> 00:02:52,439 vale 31 00:02:52,439 --> 00:02:55,280 a mi no me importa 32 00:02:55,280 --> 00:03:00,500 bueno, pues ahí tengo mis dos vectores 33 00:03:00,500 --> 00:03:01,400 ¿de acuerdo? 34 00:03:02,860 --> 00:03:04,580 entonces, si nosotros 35 00:03:04,580 --> 00:03:08,020 tenemos dos maneras de hacer el producto escalar 36 00:03:08,020 --> 00:03:11,020 en GeoGebra 37 00:03:11,020 --> 00:03:13,520 una será simplemente poner u por v 38 00:03:13,520 --> 00:03:16,419 si yo pongo u por v, pues nos va a dar un número 39 00:03:16,419 --> 00:03:21,080 Pero ahora veremos qué número. En este caso, da 11 y luego explicaremos por qué. 40 00:03:22,020 --> 00:03:32,759 También hay otro comando, si no me equivoco, ahí lo tenéis, que es escribir producto escalar. 41 00:03:33,759 --> 00:03:39,680 Si yo pongo prop, ya me sale producto escalar y luego pondría los dos vectores. 42 00:03:39,680 --> 00:03:49,539 ¿De acuerdo? No tiene mucho sentido utilizar el comando producto escalar cuando simplemente con poner u por v ya lo tiene. 43 00:03:50,159 --> 00:03:53,699 Y evidentemente, como hemos dicho, ¿para de dónde sale ese número? 44 00:03:54,580 --> 00:04:02,020 Pues ese número es el producto de un vector por la proyección del otro en su dirección. 45 00:04:02,520 --> 00:04:04,340 Vamos a hacerlo y lo vamos a ver. 46 00:04:04,340 --> 00:04:10,020 Vamos a empezar, y esto es lo bueno, que para eso venimos aquí a hacerlo con GeoGebra 47 00:04:10,020 --> 00:04:16,980 Pintando los puntos que después vamos a necesitar para hacer rectas y tal 48 00:04:16,980 --> 00:04:23,720 Entonces vamos a definir el punto O, mayúscula, O mayúscula como el 0, 0, 0 49 00:04:23,720 --> 00:04:27,399 ¿Vale? 50 00:04:28,899 --> 00:04:30,199 Ahí lo tenéis 51 00:04:30,199 --> 00:04:52,180 Y si bajamos, pues vamos a definir el punto A, por ejemplo, como O más el vector. 52 00:04:52,180 --> 00:04:58,199 esto ya dijimos que no se puede escribir en un examen 53 00:04:58,199 --> 00:05:02,100 ¿verdad? porque estoy utilizando una aritmética de puntos 54 00:05:02,100 --> 00:05:06,379 y vectores, si, escribimos 55 00:05:06,379 --> 00:05:10,120 a igual a o más u 56 00:05:10,120 --> 00:05:13,759 o más vector 3, 1, 5 si lo tenemos escrito 57 00:05:13,759 --> 00:05:18,019 efectivamente yo aquí, en vez de, lo he puesto porque ya lo tenía 58 00:05:18,019 --> 00:05:22,100 escrito, pero si tengo que empezar, pues sería más fácil poner 59 00:05:22,100 --> 00:05:23,699 A igual a O más U 60 00:05:23,699 --> 00:05:26,160 veis que ya ha salido el puntito 61 00:05:26,160 --> 00:05:26,839 A 62 00:05:26,839 --> 00:05:28,819 y B 63 00:05:28,819 --> 00:05:30,160 sería 64 00:05:30,160 --> 00:05:32,920 O más V 65 00:05:32,920 --> 00:05:35,959 ya tenemos ahí el otro puntito 66 00:05:35,959 --> 00:05:36,240 ¿vale? 67 00:05:37,360 --> 00:05:40,019 o sea que he preparado el ejercicio 68 00:05:40,019 --> 00:05:42,019 para tener los tres puntitos 69 00:05:42,019 --> 00:05:44,019 y ahora vamos a empezar con lo que es 70 00:05:44,019 --> 00:05:45,720 el producto 71 00:05:45,720 --> 00:05:46,860 escalar 72 00:05:46,860 --> 00:05:50,139 ¿todos listos? 73 00:05:52,100 --> 00:05:57,600 Bueno, empezamos por hacer la dirección 74 00:05:57,600 --> 00:06:00,620 Atended que ahora viene lo medianamente complicado 75 00:06:00,620 --> 00:06:03,579 Empezamos por hacer la dirección del vector U 76 00:06:03,579 --> 00:06:07,339 La dirección del vector U hay que coger la herramienta recta 77 00:06:07,339 --> 00:06:12,699 Y pinchar en O y en A 78 00:06:12,699 --> 00:06:17,160 Y ya tengo la dirección del vector U 79 00:06:17,160 --> 00:06:18,220 ¿Lo veis? 80 00:06:18,220 --> 00:06:23,160 si tenéis interés 81 00:06:23,160 --> 00:06:24,259 pues se puede hacer 82 00:06:24,259 --> 00:06:26,740 que sea más finita 83 00:06:26,740 --> 00:06:30,220 o que sea punteada 84 00:06:30,220 --> 00:06:34,399 ¿vale? 85 00:06:35,420 --> 00:06:37,560 vamos a ver, lo voy a volver a repetir 86 00:06:37,560 --> 00:06:39,060 no tengo ningún problema 87 00:06:39,060 --> 00:06:41,579 con que el que tenga algo que hablar del fin de semana 88 00:06:41,579 --> 00:06:42,620 que se lo ha pasado muy bien 89 00:06:42,620 --> 00:06:44,779 se salga afuera con quien quiera 90 00:06:44,779 --> 00:06:46,300 y esté un rato ahí hablando 91 00:06:46,300 --> 00:06:49,420 Ya cuando entre, que entre a dar matemáticas 92 00:06:49,420 --> 00:06:50,620 Y si no entra, es su problema 93 00:06:50,620 --> 00:06:54,000 Más fácil no lo puedo poner 94 00:06:54,000 --> 00:06:58,259 Bueno 95 00:06:58,259 --> 00:07:02,980 ¿Lo veis? 96 00:07:05,079 --> 00:07:05,439 Bueno 97 00:07:05,439 --> 00:07:06,639 Esto 98 00:07:06,639 --> 00:07:08,800 Cuando nosotros 99 00:07:08,800 --> 00:07:10,000 Hacíamos 100 00:07:10,000 --> 00:07:15,240 El año pasado 101 00:07:15,240 --> 00:07:17,779 nosotros teníamos un vector 102 00:07:17,779 --> 00:07:21,519 y otro vector 103 00:07:21,519 --> 00:07:23,779 y decíamos, lo que nosotros hacemos 104 00:07:23,779 --> 00:07:25,220 para hacer el producto escalar 105 00:07:25,220 --> 00:07:27,680 es la proyección 106 00:07:27,680 --> 00:07:29,699 es decir, la perpendicular 107 00:07:29,699 --> 00:07:32,120 que pasa por el extremo 108 00:07:32,120 --> 00:07:32,920 del vector 109 00:07:32,920 --> 00:07:36,300 y esto es la proyección 110 00:07:36,300 --> 00:07:37,420 os dije 111 00:07:37,420 --> 00:07:39,579 no sé si alguno lo habrá hecho 112 00:07:39,579 --> 00:07:42,019 que os miraréis 113 00:07:42,019 --> 00:07:43,759 los apuntes del producto escalar 114 00:07:43,759 --> 00:07:44,540 del año pasado 115 00:07:44,540 --> 00:07:46,639 eso era la proyección 116 00:07:46,639 --> 00:07:47,660 desde ahí hasta ahí 117 00:07:47,660 --> 00:07:49,019 y el producto escalar 118 00:07:49,019 --> 00:07:51,500 si este sube y este sube 119 00:07:51,500 --> 00:07:52,779 pues era 120 00:07:52,779 --> 00:07:54,800 esta longitud 121 00:07:54,800 --> 00:07:59,079 por esta longitud 122 00:07:59,079 --> 00:08:01,160 si lo ponemos en otro color 123 00:08:01,160 --> 00:08:05,040 es producto de esas dos longitudes 124 00:08:05,040 --> 00:08:06,420 vamos a ver si somos 125 00:08:06,420 --> 00:08:07,680 capaces de hacerlo 126 00:08:07,680 --> 00:08:10,439 en GeoGebra 127 00:08:10,439 --> 00:08:13,819 en tres dimensiones 128 00:08:13,819 --> 00:08:22,920 Bien, aquí como podéis entender no podemos hacer la recta perpendicular a U 129 00:08:22,920 --> 00:08:26,600 Y ya estamos aprendiendo conceptos de geometría 3D 130 00:08:26,600 --> 00:08:30,600 ¿Cuántas rectas perpendiculares a U creéis que se pueden trazar? 131 00:08:32,620 --> 00:08:34,100 Al vector azul 132 00:08:34,100 --> 00:08:39,759 Infinitas 133 00:08:39,759 --> 00:08:50,940 En realidad, lo que es perpendicular al vector azul o a la línea que lo contiene es un plano. 134 00:08:51,360 --> 00:08:54,480 Lo perpendicular a la línea punteada es un plano. 135 00:08:55,360 --> 00:08:55,919 ¿Entendéis? 136 00:08:57,379 --> 00:09:04,039 Si ponéis vuestro dedo así, lo perpendicular a vuestro dedo es mi mano. 137 00:09:05,139 --> 00:09:07,639 O al dedo es mi mano, ¿lo entendéis o no? 138 00:09:07,639 --> 00:09:11,340 lo perpendicular a una recta en 3D es un plano 139 00:09:11,340 --> 00:09:15,200 ¿vale? así que vamos a hacer 140 00:09:15,200 --> 00:09:19,899 el plano perpendicular a U que pasa por 141 00:09:19,899 --> 00:09:23,980 Barcelona, el plano perpendicular 142 00:09:23,980 --> 00:09:27,940 a U que pasa por Barcelona, así que aquí 143 00:09:27,940 --> 00:09:30,039 tenemos la herramienta plano perpendicular 144 00:09:30,039 --> 00:09:34,759 la cogéis 145 00:09:34,759 --> 00:09:40,360 y pinchamos en la línea F 146 00:09:40,360 --> 00:09:42,659 que hemos creado, la recta 147 00:09:42,659 --> 00:09:45,519 y en B de Barcelona 148 00:09:45,519 --> 00:09:49,899 y os tiene que haber salido un dibujo parecido al mío 149 00:09:49,899 --> 00:09:52,559 si estáis haciendo los mismos vectores 150 00:09:52,559 --> 00:09:54,200 porque podíais haber hecho otros 151 00:09:54,200 --> 00:09:56,100 pues exactamente igual al mío 152 00:09:56,100 --> 00:09:57,240 ¿lo veis? 153 00:09:57,480 --> 00:09:59,720 esa línea, mirad, si yo me pongo así 154 00:09:59,720 --> 00:10:01,460 si tengo suficiente 155 00:10:01,460 --> 00:10:03,960 es perpendicular al azul 156 00:10:03,960 --> 00:10:07,519 ¿Lo veis? Al vector, a la negra. 157 00:10:08,419 --> 00:10:10,799 Y por otro lado pasa por el punto B. 158 00:10:12,299 --> 00:10:24,740 Ahora os pregunto, ¿cuál es, cómo podríamos calcular la proyección del vector rojo sobre la línea azul? 159 00:10:26,340 --> 00:10:29,139 ¿Qué paso habría que hacer? Mirar ahí y decirme. 160 00:10:29,419 --> 00:10:30,279 Pues yo haría esto. 161 00:10:33,960 --> 00:10:42,200 perpendicular ya está hecha 162 00:10:42,200 --> 00:10:51,940 la intersección entre el plano 163 00:10:51,940 --> 00:10:53,220 y la barra esta negra 164 00:10:53,220 --> 00:10:54,320 obviamente 165 00:10:54,320 --> 00:10:58,000 si yo hago comando intersección 166 00:10:58,000 --> 00:11:02,440 comando intersección 167 00:11:02,440 --> 00:11:03,620 pincho en el plano 168 00:11:03,620 --> 00:11:06,559 y en la recta 169 00:11:06,559 --> 00:11:08,299 me acaba de salir 170 00:11:08,299 --> 00:11:09,580 ¿qué punto? ¿le veis ahí? 171 00:11:11,460 --> 00:11:11,980 C 172 00:11:11,980 --> 00:11:14,039 ¿le puedo ocultar el plano 173 00:11:14,039 --> 00:11:15,100 para que se vea mejor? 174 00:11:16,220 --> 00:11:17,720 ¿veis todos el punto C? 175 00:11:27,519 --> 00:11:29,620 si no tienes el plano 176 00:11:29,620 --> 00:11:31,779 es muy difícil hacer la intersección 177 00:11:31,779 --> 00:11:32,500 con el plano 178 00:11:32,500 --> 00:11:39,940 Le voy a poner en color blanco, no, rojo para que sea la proyección 179 00:11:39,940 --> 00:11:42,659 ¿Lo veis ahora en la pizarra mía mejor? 180 00:11:45,019 --> 00:11:48,639 Sí, lo voy a repetir a ver si lo podéis hacer 181 00:11:48,639 --> 00:11:55,480 Para eso, para poder hacerlo en cualquier caso es imprescindible que tengáis dibujado los dos vectores 182 00:11:55,480 --> 00:11:56,779 Claro, si no, no se puede 183 00:11:56,779 --> 00:11:58,799 Lo voy a repetir 184 00:11:58,799 --> 00:12:06,179 He dicho, se coge la herramienta plano, aquí arriba, perpendicular, plano perpendicular. 185 00:12:07,500 --> 00:12:17,360 Se pincha en la recta que habíamos hecho, que pasa por O y por A, y en el plano. 186 00:12:18,299 --> 00:12:21,039 Y entonces os habrá salido esto. 187 00:12:21,039 --> 00:12:30,080 ¿Alguien ha conseguido dibujar el plano perpendicular al vector U que pasa por B? 188 00:12:31,200 --> 00:12:33,100 Muy bien, ¿los demás no? 189 00:12:34,759 --> 00:12:36,200 Pues vosotros veréis 190 00:12:36,200 --> 00:12:43,419 A ver si cuando lo repitamos, porque lo vamos a hacer dos veces para demostrar que es conmutativo 191 00:12:43,419 --> 00:12:45,919 A ver si entonces sois capaces de hacerlo 192 00:12:45,919 --> 00:12:48,919 entre tanto, por favor 193 00:12:48,919 --> 00:12:51,200 intentar pintar los puntos 194 00:12:51,200 --> 00:12:52,480 O, A y B 195 00:12:52,480 --> 00:12:54,259 que se pueden meter directamente 196 00:12:54,259 --> 00:12:56,340 y los vectores que los unen 197 00:12:56,340 --> 00:12:57,460 O, A y O, B 198 00:12:57,460 --> 00:13:00,700 porque si no, no podréis seguir nada más 199 00:13:00,700 --> 00:13:01,580 bueno 200 00:13:01,580 --> 00:13:05,200 ahora, esperad, es que no hemos terminado 201 00:13:05,200 --> 00:13:06,620 ahora nos ha dicho Álvaro 202 00:13:06,620 --> 00:13:08,919 que él entiende que para hacer la proyección 203 00:13:08,919 --> 00:13:10,240 como hemos dicho en 2D 204 00:13:10,240 --> 00:13:11,720 del año pasado 205 00:13:11,720 --> 00:13:15,000 pues que halláramos con el comando intersección 206 00:13:15,000 --> 00:13:22,139 pinchamos en el plano y en la recta 207 00:13:22,139 --> 00:13:26,659 con el comando de intersección pinchamos en el plano y la recta 208 00:13:26,659 --> 00:13:29,320 y nos sale obviamente el punto C 209 00:13:29,320 --> 00:13:34,759 y ahí tenemos, si me acerco más, si queréis 210 00:13:34,759 --> 00:13:39,360 pues la intersección en el plano con el vector U 211 00:13:39,360 --> 00:13:41,419 ¿lo veis en mi pizarra? 212 00:13:41,860 --> 00:13:42,559 bueno, pues vale 213 00:13:42,559 --> 00:13:48,120 ¿Cuál es la proyección de OB sobre OA? 214 00:13:49,000 --> 00:13:52,220 OC, muy bien, solo preguntaba eso. 215 00:13:52,980 --> 00:13:56,500 Vamos a coger ahora la herramienta segmento. 216 00:13:57,779 --> 00:13:59,980 Cogemos todo la herramienta segmento. 217 00:13:59,980 --> 00:14:03,779 Y vamos a ver cuánto mide OA. 218 00:14:04,980 --> 00:14:11,259 Si yo pincho en O y luego en A, pues me sale cuánto mide OA. 219 00:14:11,259 --> 00:14:12,980 alguien me lo puede leer 220 00:14:12,980 --> 00:14:15,080 está ahí con 25 decimales 221 00:14:15,080 --> 00:14:16,299 vamos a quitarlo porque 222 00:14:16,299 --> 00:14:18,240 vamos a dejarlo con 2 223 00:14:18,240 --> 00:14:19,960 ¿cuánto mide? 224 00:14:21,240 --> 00:14:22,779 5,92 225 00:14:22,779 --> 00:14:25,019 si habéis utilizado los mismos puntos que yo 226 00:14:25,019 --> 00:14:26,639 y ahora 227 00:14:26,639 --> 00:14:29,120 vamos a hallar 228 00:14:29,120 --> 00:14:30,679 el segmento OC 229 00:14:30,679 --> 00:14:37,960 ¿cuánto mide? 230 00:14:37,960 --> 00:14:42,759 1,86 231 00:14:42,759 --> 00:14:45,840 atended por favor ahora 232 00:14:45,840 --> 00:14:47,580 porque ahora viene la sorpresita 233 00:14:47,580 --> 00:14:49,159 por si alguien no lo ha entendido 234 00:14:49,159 --> 00:14:51,980 OA es el vector U 235 00:14:51,980 --> 00:14:54,620 OC es la proyección 236 00:14:54,620 --> 00:14:55,919 de V sobre U 237 00:14:55,919 --> 00:14:58,360 ¿qué pasa si yo multiplico 238 00:14:58,360 --> 00:15:00,580 esos dos números G por H? 239 00:15:01,259 --> 00:15:02,740 ¿qué creéis que va a dar 240 00:15:02,740 --> 00:15:04,500 si yo multiplico G por H? 241 00:15:07,960 --> 00:15:25,360 ¿Y qué es qué? Lo tenemos ahí un poco más arriba. El producto escalar. El producto escalar. ¿Entendido? 242 00:15:25,360 --> 00:15:29,519 mirad 243 00:15:29,519 --> 00:15:31,299 vamos a verlo así 244 00:15:31,299 --> 00:15:32,759 en perpendicular 245 00:15:32,759 --> 00:15:34,740 si soy capaz 246 00:15:34,740 --> 00:15:37,980 mirad ahora a la pizarra 247 00:15:37,980 --> 00:15:38,940 voy a quitar 248 00:15:38,940 --> 00:15:40,940 vaya hombre, he pinchado en la casita 249 00:15:40,940 --> 00:15:41,740 bueno 250 00:15:41,740 --> 00:15:44,860 voy a acercarme 251 00:15:44,860 --> 00:15:48,399 voy a quitar el plano gris 252 00:15:48,399 --> 00:15:50,200 ¿veis ahí 253 00:15:50,200 --> 00:15:52,220 un triángulo? 254 00:15:52,220 --> 00:15:55,679 sí, ¿verdad? 255 00:15:57,679 --> 00:15:59,679 un trozo azul hasta C 256 00:15:59,679 --> 00:16:01,379 el rojo hasta B 257 00:16:01,379 --> 00:16:03,360 y el trocito de C 258 00:16:03,360 --> 00:16:07,960 si nosotros pensamos 259 00:16:07,960 --> 00:16:09,419 en el ángulo alfa 260 00:16:09,419 --> 00:16:11,379 voy a pintarlo 261 00:16:11,379 --> 00:16:15,799 para hacer el ángulo en sentido antihorario 262 00:16:15,799 --> 00:16:17,600 ¿qué letras tengo que pintar? 263 00:16:19,120 --> 00:16:19,860 ¿quién me lo dice? 264 00:16:22,220 --> 00:16:26,440 Muy bien, C, O, D. 265 00:16:27,440 --> 00:16:32,360 Ahí está el ángulo, que casi no se ve, en nuestro caso es 33,74, 266 00:16:33,559 --> 00:16:36,240 y en estilo le voy a decir que lo haga más grande. 267 00:16:36,460 --> 00:16:41,399 Por favor, el que esté un poco perdido, que saque la calculadora 268 00:16:41,399 --> 00:16:45,799 y por lo menos podrá ver lo que vamos a hacer ahora. 269 00:16:47,379 --> 00:16:49,500 A ver si soy capaz, ahí. 270 00:16:50,399 --> 00:16:51,440 ¿Cuánto mide el ángulo? 271 00:16:52,220 --> 00:16:59,679 Treinta y tres con setenta y cuatro grados. 272 00:17:00,679 --> 00:17:06,680 Pues, si nosotros nos vamos a... 273 00:17:10,180 --> 00:17:14,859 Aquí tenemos que el vector es... 274 00:17:14,859 --> 00:17:19,740 Tenemos un vector que es el azul, 275 00:17:21,680 --> 00:17:23,740 otro vector que es el rojo, 276 00:17:23,980 --> 00:17:28,980 Y un ángulo que nos dice que es 33 grados. 277 00:17:29,700 --> 00:17:31,000 ¿Cuánto medía este? 278 00:17:31,920 --> 00:17:33,319 5,92. 279 00:17:34,079 --> 00:17:35,079 ¿Y el otro? 280 00:17:40,160 --> 00:17:43,160 1,86, ¿no? La proyección. 281 00:17:44,599 --> 00:17:49,420 La proyección, es decir, no lo voy a poner ahí porque puede llevar a confusión. 282 00:17:50,420 --> 00:17:52,440 1,86 mide este trozo. 283 00:17:53,980 --> 00:18:07,759 Acabamos de decir que u por v es el módulo de u por la proyección de v sobre u. 284 00:18:07,759 --> 00:18:16,440 Y la proyección de v sobre u, utilizando trigonometría, ¿cómo llamaríais al coseno de alfa? 285 00:18:16,440 --> 00:18:29,779 cateto contiguo que es la proyección partido por cateto por hipotenusa que es módulo de V 286 00:18:29,779 --> 00:18:33,339 si despejáis la P y sustituimos aquí, ¿qué tenemos? 287 00:18:35,460 --> 00:18:41,920 la definición del producto escalar, la definición del producto escalar 288 00:18:41,920 --> 00:18:47,759 El producto escalar de los vectores es un módulo de u por módulo de v por el coseno. 289 00:18:49,180 --> 00:18:53,420 El otro día enseñamos cómo se hacía el módulo de u con coordenadas. 290 00:18:53,640 --> 00:18:55,119 ¿Cuáles son las coordenadas de u? 291 00:18:58,039 --> 00:18:59,059 Es 1, 5. 292 00:19:03,339 --> 00:19:05,779 Así que esa es la longitud del vector u. 293 00:19:05,900 --> 00:19:06,660 ¿Cuánto da eso? 294 00:19:06,660 --> 00:19:11,759 raíz de 35 295 00:19:11,759 --> 00:19:13,680 alguien por favor con la calculadora 296 00:19:13,680 --> 00:19:15,720 me puede dar la raíz de 35 297 00:19:15,720 --> 00:19:18,799 muy bien 298 00:19:18,799 --> 00:19:21,279 5,92 299 00:19:21,279 --> 00:19:21,960 lo veis 300 00:19:21,960 --> 00:19:23,180 y el módulo de V 301 00:19:23,180 --> 00:19:23,819 ¿cuál es? 302 00:19:25,779 --> 00:19:28,380 ¿cuál eran las coordenadas del vector V? 303 00:19:28,619 --> 00:19:29,759 0, 1, 2 304 00:19:29,759 --> 00:19:35,680 así que serán 305 00:19:35,680 --> 00:19:38,240 raíz de 5 306 00:19:38,240 --> 00:19:40,660 alguien con la calculadora me puede hacer 307 00:19:40,660 --> 00:19:42,000 raíz de 35 308 00:19:42,000 --> 00:19:43,859 por raíz de 5 309 00:19:43,859 --> 00:19:47,240 por el coseno de 33,74 310 00:19:47,240 --> 00:19:48,160 grados 311 00:19:48,160 --> 00:19:50,599 a lo mejor no le da exactamente 312 00:19:50,599 --> 00:19:52,299 entero 313 00:19:52,299 --> 00:19:54,099 pero seguramente sí porque son 314 00:19:54,099 --> 00:19:55,259 mucha precisión 315 00:19:55,259 --> 00:19:57,279 muy bien 316 00:19:57,279 --> 00:20:00,299 y entonces como dice Daniel 317 00:20:00,299 --> 00:20:02,480 muy bien pues eso es lo que 318 00:20:02,480 --> 00:20:04,039 tiene que dar 11 319 00:20:05,680 --> 00:20:10,839 lo tenéis 320 00:20:10,839 --> 00:20:14,920 luego veremos una manera mucho más fácil de hacerlo 321 00:20:14,920 --> 00:20:16,859 ¿alguna pregunta? 322 00:20:19,539 --> 00:20:23,539 lógicamente el producto escalar tiene la propiedad conmutativa 323 00:20:23,539 --> 00:20:28,039 vamos a hacer muy rápido la cuenta en GeoGebra 324 00:20:28,039 --> 00:20:32,240 para ver si de paso le vais cogiendo un poquito el pulso 325 00:20:32,240 --> 00:20:35,539 voy a ocultar el plano y el punto C 326 00:20:35,539 --> 00:20:59,440 Voy a poner la casita. Voy a ocultar el plano y el punto C. Ahora lo voy a hacer al revés. ¿Qué creéis que tengo que hacer? Primero, no, la recta que pasa por hoy por B. 327 00:20:59,440 --> 00:21:02,220 Empiezo desde cero, el que se haya perdido antes 328 00:21:02,220 --> 00:21:04,700 Pero tenga al menos los dos vectores, intente hacerlo 329 00:21:04,700 --> 00:21:08,400 Primero, herramienta recta 330 00:21:08,400 --> 00:21:12,079 Pincho en O y en B 331 00:21:12,079 --> 00:21:19,640 Por cierto, si alguien quiere pegar las características de la recta 332 00:21:19,640 --> 00:21:22,980 Que hemos cogido antes, os recuerdo que se pinchaba aquí 333 00:21:22,980 --> 00:21:25,099 Copiar estilo visual 334 00:21:25,099 --> 00:21:27,240 Pincharía en F 335 00:21:27,240 --> 00:21:30,180 en la recta y luego en I 336 00:21:30,180 --> 00:21:33,220 y ya sale punteada como lo habíamos hecho antes 337 00:21:33,220 --> 00:21:37,000 os recuerdo que dar a la tecla escape 338 00:21:37,000 --> 00:21:38,420 quita mucho trabajo 339 00:21:38,420 --> 00:21:40,880 para volver al I que mueve 340 00:21:40,880 --> 00:21:43,400 ya tengo la recta, ahora que tengo que hacer 341 00:21:43,400 --> 00:21:47,920 el plano perpendicular a esa recta que pasa por 342 00:21:47,920 --> 00:21:55,279 el plano perpendicular a la recta que está punteada 343 00:21:55,279 --> 00:21:56,380 que pasa por 344 00:21:57,240 --> 00:22:05,339 el plano perpendicular a la recta que está punteada, que pasa por A. 345 00:22:06,339 --> 00:22:10,619 Si lo que quiero ahora es proyectar el azul en el rojo, en la dirección del rojo. 346 00:22:13,119 --> 00:22:17,099 Así que, mirad, cojo la herramienta plano perpendicular, 347 00:22:17,799 --> 00:22:22,839 pincho en la recta que acabamos de construir y en A. 348 00:22:24,259 --> 00:22:26,200 Y ahí está el plano perpendicular. 349 00:22:26,200 --> 00:22:27,779 mirar a mi pizarra 350 00:22:27,779 --> 00:22:29,819 lo veis ahí que pasa por A 351 00:22:29,819 --> 00:22:33,420 y veis que corta la recta 352 00:22:33,420 --> 00:22:34,619 entonces 353 00:22:34,619 --> 00:22:36,779 si me alejo un poco 354 00:22:36,779 --> 00:22:40,079 ahora como hallaré la proyección 355 00:22:40,079 --> 00:22:43,579 ahora ya está mamado, ¿no? 356 00:22:46,799 --> 00:22:48,900 ahora sí que es la intersección 357 00:22:48,900 --> 00:22:51,900 entre el plano que acabo de hacer 358 00:22:51,900 --> 00:22:55,720 y la recta punteada 359 00:22:55,720 --> 00:22:57,259 ¿Y qué nos da el punto? 360 00:22:58,940 --> 00:22:59,500 D 361 00:22:59,500 --> 00:23:03,000 ¿Y qué es lo que nos tiene que dar 11 cuando multiplique qué dos cosas? 362 00:23:08,660 --> 00:23:09,220 No 363 00:23:09,220 --> 00:23:11,779 Ya tengo la proyección 364 00:23:11,779 --> 00:23:14,359 Aquí ya no tengo que utilizar el ángulo 365 00:23:14,359 --> 00:23:16,460 A ver 366 00:23:16,460 --> 00:23:19,519 V por la proyección 367 00:23:19,519 --> 00:23:20,960 O contando los puntos 368 00:23:20,960 --> 00:23:25,180 O Barcelona por O Dinamarca 369 00:23:25,720 --> 00:23:28,500 Orlo Barcelona por Orlo Dinamarca 370 00:23:28,500 --> 00:23:29,259 vamos a hacerlo 371 00:23:29,259 --> 00:23:32,440 claro, cogemos la herramienta 372 00:23:32,440 --> 00:23:33,420 segmento 373 00:23:33,420 --> 00:23:36,119 cogemos la herramienta segmento 374 00:23:36,119 --> 00:23:38,400 y pinchamos en Orlo Barcelona 375 00:23:38,400 --> 00:23:40,519 ¿cuántos ha dado? 376 00:23:41,859 --> 00:23:43,859 muy bien, y ahora 377 00:23:43,859 --> 00:23:46,460 otra vez, Orlo Dinamarca 378 00:23:46,460 --> 00:23:48,299 ¿qué os da? 379 00:23:48,299 --> 00:23:48,359 ¿qué os da? 380 00:23:50,619 --> 00:23:51,960 4.92 381 00:23:51,960 --> 00:23:53,880 y si ahora en la entrada escribo 382 00:23:53,880 --> 00:23:55,200 J por K 383 00:23:55,200 --> 00:23:57,099 ¿qué creéis que va a dar? 384 00:23:59,200 --> 00:24:00,359 está ahí abajo 385 00:24:00,359 --> 00:24:01,960 exactamente 386 00:24:01,960 --> 00:24:04,240 11 387 00:24:04,240 --> 00:24:10,019 ¿veis lo que hemos hecho? 388 00:24:14,339 --> 00:24:14,980 ¿eh? 389 00:24:16,559 --> 00:24:19,000 en un caso hemos hecho la proyección 390 00:24:19,000 --> 00:24:20,400 del rojo sobre el azul 391 00:24:20,400 --> 00:24:22,240 y en otra del azul sobre 392 00:24:22,240 --> 00:24:23,599 el rojo 393 00:24:23,599 --> 00:24:26,920 Por supuesto la proyección del azul sobre el rojo 394 00:24:26,920 --> 00:24:28,559 Como es mucho más grande, ¿qué pasa? 395 00:24:30,900 --> 00:24:33,019 Porque la proyección es más larga que el vector 396 00:24:33,019 --> 00:24:34,299 Eso no es ningún problema 397 00:24:34,299 --> 00:24:37,700 ¿Veis las dos proyecciones ahora? 398 00:24:38,140 --> 00:24:39,119 Y quedan lo mismo 399 00:24:39,119 --> 00:24:41,759 Por eso el producto escalar es 400 00:24:41,759 --> 00:24:45,299 Conmutativo 401 00:24:45,299 --> 00:24:48,339 Vaya, se me ha olvidado en la grabación pasarlo 402 00:24:48,339 --> 00:24:49,700 Todo lo que he ido haciendo 403 00:24:49,700 --> 00:24:51,680 Pero bueno, ahí lo tenéis 404 00:24:51,680 --> 00:24:57,180 ¿La proyección viese para el sentido contrario que el vector? 405 00:24:57,180 --> 00:25:04,779 Muy bien. Sería negativo. El producto escalar puede ser negativo, sin ningún problema. 406 00:25:05,279 --> 00:25:08,960 Segunda pregunta, con respecto a lo que acaba de preguntar Diego. 407 00:25:09,420 --> 00:25:13,160 ¿Qué implica que el producto escalar sea negativo? 408 00:25:13,940 --> 00:25:18,740 Lo podéis ver en los vectores y lo podéis ver desde el punto de vista trigonométrico. 409 00:25:18,740 --> 00:25:29,640 más de 90 410 00:25:29,640 --> 00:25:33,940 tanto en la proyección con los vectores 411 00:25:33,940 --> 00:25:37,119 como si lo pensáis desde el punto de vista trigonométrico 412 00:25:37,119 --> 00:25:40,140 ¿en qué cuadrante el coseno de alfa era negativo? 413 00:25:42,579 --> 00:25:44,500 en el segundo y en el tercero 414 00:25:44,500 --> 00:25:47,400 como aquí no puede ser mayor que 180 415 00:25:47,400 --> 00:25:50,279 porque siempre se toma el ángulo más pequeño que forma 416 00:25:50,279 --> 00:25:54,420 pues el segundo 417 00:25:54,420 --> 00:25:57,339 es decir, que un producto escalar negativo 418 00:25:57,339 --> 00:25:59,940 implica que el ángulo que forman los vectores 419 00:25:59,940 --> 00:26:01,180 es mayor que 90 420 00:26:01,180 --> 00:26:04,500 ¿Queda claro eso? 421 00:26:06,259 --> 00:26:08,279 Muy bien, Diego 422 00:26:08,279 --> 00:26:11,279 Mirad, tengo aquí preparado 423 00:26:11,279 --> 00:26:13,160 y lo colgaré 424 00:26:13,160 --> 00:26:18,460 de unas construcciones que tenemos hechas 425 00:26:18,460 --> 00:26:19,940 mi amigo Álvaro y yo 426 00:26:19,940 --> 00:26:24,859 por la interpretación geométrica del producto escalar 427 00:26:24,859 --> 00:26:28,319 si consigo 428 00:26:28,319 --> 00:26:30,059 que se ve aquí 429 00:26:30,059 --> 00:26:31,640 porque no sé por qué se ha movido 430 00:26:31,640 --> 00:26:38,440 no sé si es que está pequeño o grande 431 00:26:38,440 --> 00:26:42,759 bueno, esto se me ha ido 432 00:26:42,759 --> 00:26:46,319 bueno 433 00:26:46,319 --> 00:26:48,440 se vería ahí 434 00:26:48,440 --> 00:26:50,759 debería verse en el dibujo 435 00:26:50,759 --> 00:26:52,140 vale 436 00:26:52,140 --> 00:26:55,880 os voy a poner otra 437 00:26:55,880 --> 00:26:58,259 muy importante 438 00:26:58,259 --> 00:27:00,940 y para que puedo utilizar 439 00:27:00,940 --> 00:27:06,619 el producto escalar 440 00:27:06,619 --> 00:27:08,900 pues por ejemplo 441 00:27:08,900 --> 00:27:12,359 para hallar el ángulo de dos vectores 442 00:27:12,359 --> 00:27:15,519 mirad a la pizarra 443 00:27:15,519 --> 00:27:18,599 aquí tengo dos vectores u y v 444 00:27:18,599 --> 00:27:21,680 los veis, parecidos a los que hemos dibujado antes 445 00:27:21,680 --> 00:27:29,640 y el vector verde 446 00:27:29,640 --> 00:27:31,559 es la resta de u menos v 447 00:27:31,559 --> 00:27:34,059 de acuerdo, de v menos u, perdón 448 00:27:34,059 --> 00:27:38,420 ya sabéis que para poder en realidad ver ese vector v 449 00:27:38,420 --> 00:27:40,039 ¿qué tendríamos que hacer? 450 00:27:40,039 --> 00:27:43,559 pintar u y v en el mismo punto 451 00:27:43,559 --> 00:27:46,259 de aplicación, en el mismo origen 452 00:27:46,259 --> 00:27:48,640 y luego el vector v menos u 453 00:27:48,640 --> 00:27:53,740 sería del extremo de u al extremo de v 454 00:27:53,740 --> 00:27:54,839 ¿se acordáis? 455 00:27:55,980 --> 00:27:57,019 como vectores libres 456 00:27:57,019 --> 00:27:59,259 bueno, ahora ya lo he movido al punto 457 00:27:59,259 --> 00:28:01,480 veis que ya están los dos en el mismo punto 458 00:28:01,480 --> 00:28:04,160 y también he movido v menos u 459 00:28:04,160 --> 00:28:05,299 ¿y qué nos queda ahí? 460 00:28:06,740 --> 00:28:08,740 un triángulo 461 00:28:08,740 --> 00:28:23,039 Ya lo dijimos el otro día. Vale, ¿cuánto mide ese triángulo? ¿Cuánto mide el V menos U por el teorema del coseno a que era igual? ¿Os acordáis del teorema del coseno? 462 00:28:23,039 --> 00:28:28,900 Bueno, por si no os acordáis del teorema del coseno 463 00:28:28,900 --> 00:28:30,380 Lo voy a poner aquí 464 00:28:30,380 --> 00:28:40,519 Si yo quería calcular, por ejemplo, c cuadrado 465 00:28:40,519 --> 00:28:43,680 Pues era a cuadrado más b cuadrado 466 00:28:43,680 --> 00:28:50,720 Menos 2ab por el coseno del ángulo sobre c 467 00:28:50,720 --> 00:28:53,960 Esto podía escribirse 468 00:28:53,960 --> 00:28:55,660 recordáis 469 00:28:55,660 --> 00:29:00,279 con cualquiera 470 00:29:00,279 --> 00:29:01,839 de los tres ángulos, ¿no? 471 00:29:04,359 --> 00:29:06,039 ¿Se acordáis de esto o no? 472 00:29:09,099 --> 00:29:10,380 Ojalá os acordéis. 473 00:29:10,640 --> 00:29:12,279 Algunos sí que se acuerdan, pero... 474 00:29:13,000 --> 00:29:14,599 Eso era el teorema del coseno. 475 00:29:15,859 --> 00:29:16,119 ¿Vale? 476 00:29:17,299 --> 00:29:17,900 Entonces, 477 00:29:18,779 --> 00:29:20,039 vamos a coger la de 478 00:29:20,039 --> 00:29:21,720 arriba, por ejemplo. 479 00:29:23,960 --> 00:29:28,779 Mirad la construcción. 480 00:29:29,079 --> 00:29:31,619 Lo de arriba va a ser v menos u. 481 00:29:32,640 --> 00:29:38,500 ¿A qué sería igual según la fórmula v menos u al cuadrado? 482 00:29:47,740 --> 00:29:53,359 Pues sería igual a v u al cuadrado más v cuadrado, 483 00:29:53,359 --> 00:29:54,279 lo estáis viendo ahí 484 00:29:54,279 --> 00:29:56,819 menos 2u por v 485 00:29:56,819 --> 00:30:00,079 por el coseno 486 00:30:00,079 --> 00:30:01,180 que forma nu y v 487 00:30:01,180 --> 00:30:03,079 porque es el que está enfrente del verde 488 00:30:03,079 --> 00:30:04,980 ¿me entendéis? 489 00:30:05,680 --> 00:30:06,660 vale, seguimos 490 00:30:06,660 --> 00:30:09,500 si yo opero 491 00:30:09,500 --> 00:30:13,579 v menos u al cuadrado 492 00:30:13,579 --> 00:30:15,819 eso es v menos u 493 00:30:15,819 --> 00:30:16,680 por v menos u 494 00:30:16,680 --> 00:30:19,920 si hacéis el producto quedaría 495 00:30:19,920 --> 00:30:26,410 v cuadrado 496 00:30:26,410 --> 00:30:29,210 más u cuadrado 497 00:30:29,210 --> 00:30:32,329 menos 2u por v 498 00:30:32,329 --> 00:30:33,630 ¿si o no? 499 00:30:35,009 --> 00:30:37,569 donde u cuadrado y v cuadrado son números 500 00:30:37,569 --> 00:30:39,470 pero u por v es el producto escalar 501 00:30:39,470 --> 00:30:41,869 ¿lo entendéis? 502 00:30:41,869 --> 00:30:45,809 y si ahora igualamos esa expresión con la de antes 503 00:30:45,809 --> 00:30:50,710 ¿que queda? 504 00:30:51,869 --> 00:31:00,809 Pues que u por v es lo otro, a ver, si lo habéis entendido. 505 00:31:00,809 --> 00:31:20,690 Por un lado, nosotros hemos visto que por el teorema del coseno, v menos u al cuadrado era u cuadrado más v cuadrado menos 2uv coseno del ángulo que formaba. 506 00:31:20,690 --> 00:31:46,890 Por otro lado, v menos u al cuadrado era v cuadrado, u cuadrado ya que lo estamos poniendo en ese orden, u cuadrado más v cuadrado menos 2uv, pero aquí es producto escalar y aquí es módulo, porque estamos hablando de trigonometría, ¿entendéis? 507 00:31:46,890 --> 00:31:50,369 al igualar estas dos cosas 508 00:31:50,369 --> 00:31:53,529 esto con esto, ¿qué pasa? 509 00:31:54,630 --> 00:31:56,990 se va, y el menos 2 con el menos 2, ¿qué pasa? 510 00:31:57,809 --> 00:32:00,670 se va, y me queda que u por v, ¿a qué es igual? 511 00:32:02,190 --> 00:32:04,589 al módulo de u, por el módulo de v 512 00:32:04,589 --> 00:32:06,849 por el coseno del ángulo que es 513 00:32:06,849 --> 00:32:12,970 esa es una demostración 514 00:32:12,970 --> 00:32:16,710 de cómo obtener el producto 515 00:32:16,710 --> 00:32:33,210 escalar. Bien, ahora vamos a cambiar. El vector u tiene de coordenadas 1, u2, u3. Expresión 516 00:32:33,210 --> 00:32:38,829 del producto escalar en función de sus coordenadas. Esto en la clase anterior aprendimos que era 517 00:32:38,829 --> 00:32:52,049 que era esto, ¿sí o no?, decir que el vector U tiene de coordenadas U1, U2, U3, es que 518 00:32:52,049 --> 00:32:59,069 es U1 por I más U2 por J más U3 por K, ¿sí o no?, el vector V va a tener de coordenadas 519 00:32:59,069 --> 00:33:03,710 V1, V2, V3, ¿que qué quiere decir?, 520 00:33:08,829 --> 00:33:10,809 Que lo puedo expresar así, ¿sí o no? 521 00:33:12,210 --> 00:33:19,849 Si yo ahora hiciera u por v, estaría multiplicando estas dos cosas. 522 00:33:20,230 --> 00:33:22,210 ¿Cuántos términos saldrían al multiplicar? 523 00:33:27,170 --> 00:33:36,190 Si yo multiplico esto por esto, ¿cuántos términos saldrían? 524 00:33:36,829 --> 00:33:37,390 Nueve. 525 00:33:38,829 --> 00:33:41,589 Cada uno multiplicaría por otros tres, ¿sí o no? 526 00:33:42,769 --> 00:33:45,809 Vamos a empezar. ¿Quién quiere empezar a multiplicar? 527 00:33:45,970 --> 00:33:47,470 Empezamos de izquierda a izquierda. 528 00:33:47,650 --> 00:33:50,529 Ya sé que normalmente se multiplica de derecha a derecha, pero da igual. 529 00:33:50,730 --> 00:33:51,910 Empezamos de izquierda a izquierda. 530 00:33:52,450 --> 00:33:53,849 ¿Cuál sería el primer producto? 531 00:33:55,710 --> 00:33:57,890 He dicho empezamos de izquierda a izquierda. 532 00:33:59,930 --> 00:34:03,730 Uno por V1, ¿por qué más? 533 00:34:05,650 --> 00:34:07,289 Por I por I, ¿sí o no? 534 00:34:07,289 --> 00:34:14,969 ¿Y cuánto es el producto escalar de I por I sabiendo que es el módulo de I por el módulo de I por el coseno que forma I con I? 535 00:34:16,869 --> 00:34:18,130 ¿Cuánto vale el módulo de I? 536 00:34:18,869 --> 00:34:19,309 Uno 537 00:34:19,309 --> 00:34:22,369 ¿Cuánto vale el ángulo que forma I con I? 538 00:34:23,010 --> 00:34:23,889 Cero grados 539 00:34:23,889 --> 00:34:25,329 ¿Cuánto vale el coseno de cero? 540 00:34:26,429 --> 00:34:28,210 Por tanto, ¿cuánto vale esto? 541 00:34:29,130 --> 00:34:29,570 Uno 542 00:34:29,570 --> 00:34:37,409 Y si multiplico U2 por V2, JJ, ¿qué quedaría? 543 00:34:39,230 --> 00:34:40,849 U2 por V2, ¿no? 544 00:34:41,190 --> 00:34:42,650 Porque JJ, ¿qué sería? 545 00:34:43,409 --> 00:34:43,969 1. 546 00:34:44,449 --> 00:34:49,570 Y si multiplico U3 por V3, por KK, ¿cuánto sería KK? 547 00:34:50,510 --> 00:34:51,349 1. 548 00:34:51,809 --> 00:34:52,630 Y ahora sigo. 549 00:34:53,809 --> 00:34:54,730 Productos cruzados. 550 00:34:54,730 --> 00:35:00,170 Por ejemplo, si yo multiplico V1 por U2, ¿qué me quedaría? 551 00:35:01,989 --> 00:35:03,329 Quedaría esto, ¿no? 552 00:35:05,289 --> 00:35:07,550 ¿Qué ángulo forma ni por J? 553 00:35:08,630 --> 00:35:10,050 90 grados. 554 00:35:10,530 --> 00:35:12,250 Así que, ¿cuál es el coseno de 90? 555 00:35:13,110 --> 00:35:13,869 Cero. 556 00:35:14,090 --> 00:35:20,110 Por tanto, todos estos términos, los otros seis términos, ¿qué pasa? 557 00:35:21,050 --> 00:35:22,570 Se cancelan. 558 00:35:22,570 --> 00:35:24,769 desaparecen 559 00:35:24,769 --> 00:35:26,550 porque son perpendiculares 560 00:35:26,550 --> 00:35:28,989 con lo cual de los nueve términos 561 00:35:28,989 --> 00:35:30,070 ¿cuántos me quedan? 562 00:35:31,130 --> 00:35:31,730 tres 563 00:35:31,730 --> 00:35:34,050 me quedan tres 564 00:35:34,050 --> 00:35:37,730 eran tres pero son 565 00:35:37,730 --> 00:35:40,489 eran nueve, no dejan de ser nueve 566 00:35:40,489 --> 00:35:41,750 sino que seis dan cero 567 00:35:41,750 --> 00:35:44,650 por lo tanto ¿cuánto es el producto de u por v? 568 00:35:44,650 --> 00:35:46,050 y ya termino 569 00:35:46,050 --> 00:35:50,809 uno por v uno 570 00:35:50,809 --> 00:35:53,909 más u2 por v2 571 00:35:53,909 --> 00:35:57,190 más u3 por v3 572 00:35:57,190 --> 00:35:59,090 por ejemplo, en el caso que teníamos 573 00:35:59,090 --> 00:36:00,389 ¿cuánto era u? 574 00:36:04,389 --> 00:36:05,670 el vector u 575 00:36:05,670 --> 00:36:10,090 3, 1, 5 576 00:36:10,090 --> 00:36:13,969 y el vector v 577 00:36:13,969 --> 00:36:20,210 ¿me podéis hacer esta multiplicación? 578 00:36:20,809 --> 00:36:27,670 y eso era lo que nos daba el producto escalar 579 00:36:27,670 --> 00:36:31,070 por lo tanto 580 00:36:31,070 --> 00:36:34,849 ahora puedo sacar la fórmula estrella 581 00:36:34,849 --> 00:36:38,510 la fórmula estrella 582 00:36:38,510 --> 00:36:42,690 y ya hemos terminado con el producto escalar 583 00:36:42,690 --> 00:36:47,670 el módulo de u por el módulo de v 584 00:36:47,670 --> 00:36:50,190 por el coseno de alfa es lo mismo que 585 00:36:50,190 --> 00:36:55,170 siempre que tenga las coordenadas. 586 00:36:56,730 --> 00:36:58,389 Y resulta que con esto 587 00:36:58,389 --> 00:37:07,139 puedo resolver prácticamente todos los ejercicios 588 00:37:07,139 --> 00:37:13,079 que tenga del producto escalar. 589 00:37:13,079 --> 00:37:16,099 Por cierto, será la fórmula que hay que utilizar 590 00:37:16,099 --> 00:37:19,019 siempre que me pregunten algo que tenga que ver con el ángulo, 591 00:37:19,119 --> 00:37:20,500 como dijimos el año pasado. 592 00:37:20,500 --> 00:37:38,000 Entonces, en particular, yo me aprendería eso así, pero en particular, si yo despejo el coseno de alfa, pues lo que viene en algunos libros y algunos alumnos se aprenden como una fórmula particular, 593 00:37:38,000 --> 00:37:51,820 que en realidad es, simplemente despejar la de arriba, una fórmula para el coseno de alfa. 594 00:37:52,000 --> 00:38:01,420 En nuestro ejercicio, por cierto, el coseno de alfa era 11, ¿cuánto valía el módulo de u? 595 00:38:01,420 --> 00:38:03,579 que también lo calculamos, raíz de 35 596 00:38:03,579 --> 00:38:06,139 y el módulo de V 597 00:38:06,139 --> 00:38:07,900 raíz de 5 598 00:38:07,900 --> 00:38:09,840 si hacéis eso con la calculadora 599 00:38:09,840 --> 00:38:12,539 y luego hacéis arco coseno 600 00:38:12,539 --> 00:38:13,239 ¿qué os da? 601 00:38:19,960 --> 00:38:22,019 acordaros que hay que hacer el arco coseno 602 00:38:22,019 --> 00:38:25,739 y que si la calculadora está en radianes 603 00:38:25,739 --> 00:38:26,760 nos saldrá 604 00:38:26,760 --> 00:38:28,559 en radianes 605 00:38:28,559 --> 00:38:30,099 si está en grado nos saldrá 606 00:38:30,099 --> 00:38:32,760 en grados. Cuidado con eso. 607 00:38:33,059 --> 00:38:34,599 Porque algunos la tienen radianes 608 00:38:34,599 --> 00:38:35,960 y luego pone que son grados. 609 00:38:37,880 --> 00:38:38,880 ¿Alguna pregunta? 610 00:38:43,079 --> 00:38:44,000 Más cosas. 611 00:38:44,880 --> 00:38:46,199 ¿Cuánto será el producto 612 00:38:46,199 --> 00:38:47,760 de U por U? 613 00:38:49,139 --> 00:38:50,840 Con la fórmula que acabamos 614 00:38:50,840 --> 00:38:52,940 de hacer, ¿cuál será el producto de U por U 615 00:38:52,940 --> 00:38:53,739 con coordenadas? 616 00:38:58,239 --> 00:38:58,800 ¿No? 617 00:39:00,099 --> 00:39:05,619 y esto que era 618 00:39:05,619 --> 00:39:08,239 que lo vimos en la clase anterior 619 00:39:08,239 --> 00:39:11,659 muy bien 620 00:39:11,659 --> 00:39:13,400 y eso que no estuvo 621 00:39:13,400 --> 00:39:16,420 el cuadrado del módulo 622 00:39:16,420 --> 00:39:18,280 terminamos la clase anterior 623 00:39:18,280 --> 00:39:19,840 con esto, ¿no habéis visto el vídeo? 624 00:39:24,179 --> 00:39:25,840 el cuadrado del módulo 625 00:39:25,840 --> 00:39:32,420 O sea, que para obtener el módulo también podemos hacer el producto escalar. 626 00:39:32,619 --> 00:39:37,719 Esto se llama norma o longitud del vector. 627 00:39:40,980 --> 00:39:43,840 No el cuadrado, el módulo. 628 00:39:48,860 --> 00:39:51,780 Norma, longitud, módulo, se llama de las tres maneras. 629 00:39:51,780 --> 00:39:57,800 ¿De acuerdo? Si oís hablar de la norma de un vector, pues es simplemente su módulo, ¿vale? 630 00:40:04,460 --> 00:40:05,500 ¿Alguna pregunta? 631 00:40:06,599 --> 00:40:11,780 Espero que se esté grabando lo que se tiene que grabar, pero todavía no se grabó, si no lo volveré a... 632 00:40:12,880 --> 00:40:13,119 Sí. 633 00:40:18,940 --> 00:40:19,440 Vale. 634 00:40:21,780 --> 00:40:28,639 ¿Cómo sé si dos vectores son perpendiculares? 635 00:40:41,800 --> 00:40:43,880 Pregunto. 636 00:40:45,920 --> 00:40:48,179 ¿Cuál es la respuesta? 637 00:40:48,179 --> 00:40:55,159 Si su producto escalar da cero. 638 00:41:00,079 --> 00:41:00,599 ¿Entendido? 639 00:41:01,300 --> 00:41:03,000 Pues ahora os voy a hacer una pregunta. 640 00:41:03,139 --> 00:41:04,460 ¿Me invento el vector u? 641 00:41:06,960 --> 00:41:08,659 3 menos 1, 5. 642 00:41:08,820 --> 00:41:11,219 Por cierto, ¿no os acordáis del año pasado que os decía 643 00:41:11,219 --> 00:41:15,500 que cuando escribo un vector, escribo igual a sus coordenadas? 644 00:41:16,219 --> 00:41:17,460 Pero cuando escribo un punto, 645 00:41:18,619 --> 00:41:21,920 Pongo las coordenadas al lado sin el igual, porque es mentira. 646 00:41:23,880 --> 00:41:26,159 ¿Entendido? ¿Se acuerdan de eso del año pasado? 647 00:41:27,679 --> 00:41:29,099 Pues es importante. 648 00:41:31,199 --> 00:41:32,519 Es importante. 649 00:41:38,929 --> 00:41:40,269 Ahora os digo una cosa. 650 00:41:41,750 --> 00:41:43,329 Decidme un vector perpendicular. 651 00:41:43,789 --> 00:41:45,389 Inventaros un vector perpendicular. 652 00:41:46,829 --> 00:41:50,530 Si os acordáis de lo que hemos dicho hace un rato, 653 00:41:50,769 --> 00:42:13,269 ¿Cuántas respuestas podríais darme? Por ejemplo, Diego me acaba de decir 1, 3, 0. ¿Es verdad? Sí. ¿Quién me dice otro? 0, 5, 1. Muy bien. ¿Quién me dice otro? 654 00:42:13,269 --> 00:42:26,250 ¿Ese sería perpendicular? 655 00:42:33,250 --> 00:42:34,409 ¿No? 656 00:42:34,409 --> 00:42:50,650 No. Pues cualquiera tendría que inventarse, ser capaz de inventarse un vector perpendicular al que os he dado. 657 00:42:52,230 --> 00:43:00,130 Por cierto, a ver si alguien ha entendido algo de la clase. Si puede ser Diego, asciente de contestar de momento. 658 00:43:00,130 --> 00:43:05,409 ¿dónde están esos tres vectores V 659 00:43:05,409 --> 00:43:06,570 que nos hemos inventado? 660 00:43:07,269 --> 00:43:09,170 así como cualquier otro vector V 661 00:43:09,170 --> 00:43:10,070 que os inventéis 662 00:43:10,070 --> 00:43:15,429 muy bien, en el mismo plan 663 00:43:15,429 --> 00:43:17,829 los tres vectores están en el mismo plan 664 00:43:17,829 --> 00:43:20,389 si nos acordamos de la clase del jueves 665 00:43:20,389 --> 00:43:23,349 si los tres vectores están en el mismo plano 666 00:43:23,349 --> 00:43:23,929 es que son 667 00:43:23,929 --> 00:43:26,050 linealmente 668 00:43:26,050 --> 00:43:28,849 dependientes y por tanto 669 00:43:28,849 --> 00:43:53,530 Su determinante debería dar cero. Nos hemos inventado tres vectores pensando en perpendicularidad y ahora el profesor nos dice que este determinante tiene que dar cero. ¿Será verdad? Dará cero y por tanto todos los vectores que nos inventemos estarán en el mismo plano y de paso voy comprendiendo que era eso de la linealmente dependiente. 670 00:44:07,059 --> 00:44:11,420 ¿Qué ha pasado? 671 00:44:16,800 --> 00:44:18,039 ¿Qué cosas, eh? 672 00:44:19,780 --> 00:44:21,139 Tiene la geometría. 673 00:44:22,380 --> 00:44:25,159 Me he inventado tres vectores que no son paralelos, 674 00:44:25,460 --> 00:44:27,840 porque por cierto, algunos de esos vectores son paralelos, 675 00:44:27,880 --> 00:44:29,980 de los tres UVs, entre ellos. 676 00:44:31,099 --> 00:44:32,659 Tienen la misma dirección. 677 00:44:34,480 --> 00:44:36,280 Terminamos el otro día la clase diciendo 678 00:44:36,280 --> 00:44:38,559 cómo sabía si dos vectores eran paralelos. 679 00:44:39,659 --> 00:44:46,940 Si eran proporcionales sus coordenadas, ¿alguno de los tres vectores V que nos hemos inventado tiene las coordenadas proporcionales? 680 00:44:47,280 --> 00:44:53,239 No, por tanto, no están en la misma recta, no están en la misma dirección, porque, claro, habría sido muy fácil. 681 00:44:53,420 --> 00:44:59,940 Si yo en V digo 1, 3, 0 y digo 2, 6, 0, 2, 6, 0 también sería perpendicular a U. 682 00:45:02,960 --> 00:45:05,500 Pregunto, ¿2, 6, 0 también sería perpendicular a U? 683 00:45:06,139 --> 00:45:08,880 Pero sería proporcional a 1, 3, 0, ¿sí o no? 684 00:45:09,659 --> 00:45:11,960 Por tanto, claro, el determinante daría cero. 685 00:45:12,579 --> 00:45:15,179 Pero no, nos hemos inventado tres que no son paralelos. 686 00:45:15,179 --> 00:45:20,519 Y sin embargo, la geometría funciona. 687 00:45:21,619 --> 00:45:27,019 Como la definición es que los tres tienen que estar en el mismo plano por ser perpendiculares al mismo vector, 688 00:45:28,380 --> 00:45:30,659 son linealmente dependientes. 689 00:45:33,039 --> 00:45:38,440 Si os inventáis otro vector v, que cumpla que el producto de escalar con u sea cero, el que queráis, 690 00:45:38,440 --> 00:45:45,139 Y cogeis tres vectores y hacéis el determinante, siempre, siempre, siempre dará cero. 691 00:45:47,139 --> 00:45:49,239 ¿Vale? 692 00:45:54,199 --> 00:45:57,489 Muy bien. 693 00:46:03,690 --> 00:46:07,289 Por cierto, bueno, ya voy a hacer un ejercicio. 694 00:46:08,429 --> 00:46:09,110 Apuntáis. 695 00:46:09,110 --> 00:46:13,369 ¿Cómo sé si cuatro puntos son coplanarios? 696 00:46:16,369 --> 00:46:19,670 ¿Cómo podríamos saber si cuatro puntos están en el mismo plan, 697 00:46:19,989 --> 00:46:21,550 abundando en el ejercicio anterior? 698 00:46:30,039 --> 00:46:32,940 Es decir, yo podría hacer... 699 00:46:40,940 --> 00:46:52,559 también podría ser 700 00:46:52,559 --> 00:46:53,980 pero te lo estoy poniendo así 701 00:46:53,980 --> 00:46:55,300 porque esta es una manera 702 00:46:55,300 --> 00:46:57,280 de dar 703 00:46:57,280 --> 00:47:01,860 de comprobarlo con esto 704 00:47:01,860 --> 00:47:06,420 si unimos cada uno 705 00:47:06,420 --> 00:47:10,639 esto tendría que dar 706 00:47:10,639 --> 00:47:13,659 pero 707 00:47:13,659 --> 00:47:17,340 por cierto 708 00:47:17,340 --> 00:47:19,300 también se podría hacer así 709 00:47:37,719 --> 00:47:39,500 lo único que es determinante 710 00:47:39,500 --> 00:47:40,619 de qué tamaño es 711 00:47:40,639 --> 00:47:43,480 4 por 4 712 00:47:43,480 --> 00:47:48,840 4 por 4 713 00:47:48,840 --> 00:47:51,880 pues si ese determinante de 4 por 4 714 00:47:51,880 --> 00:47:53,500 que tiene las 4 coordenadas 715 00:47:53,500 --> 00:47:57,739 da 0, pues los 4 puntos son 716 00:47:57,739 --> 00:47:59,400 coplanarios, y si no da 0 717 00:47:59,400 --> 00:48:01,219 pues no lo toma 718 00:48:01,219 --> 00:48:06,739 vale 719 00:48:06,739 --> 00:48:09,719 lo suyo sería que lo hicierais de la manera 720 00:48:09,719 --> 00:48:10,699 de la izquierda, claro 721 00:48:10,699 --> 00:48:13,059 lo que ha dicho Álvaro 722 00:48:13,059 --> 00:48:14,239 hacemos los tres vectores 723 00:48:14,239 --> 00:48:17,980 y lo ponemos 724 00:48:17,980 --> 00:48:22,559 pues creo que no se me olvida nada 725 00:48:22,559 --> 00:48:23,699 del producto escalar 726 00:48:23,699 --> 00:48:28,760 simplemente que si tú quieres saber 727 00:48:28,760 --> 00:48:31,179 si cuatro puntos están por ejemplo 728 00:48:31,179 --> 00:48:34,980 ahí en la pizarra pues hago estos tres vectores 729 00:48:34,980 --> 00:48:38,300 y con lo que acabamos de explicar 730 00:48:38,300 --> 00:48:41,420 para que los cuatro puntos estén en el mismo plano, 731 00:48:41,679 --> 00:48:44,500 los tres vectores tienen que estar en el mismo plano. 732 00:48:45,179 --> 00:48:45,579 Nada más. 733 00:48:46,179 --> 00:48:48,340 ¿Y cómo se conseguían las coordenadas de un vector? 734 00:48:52,119 --> 00:48:54,639 Restando coordenadas, extremo menos origen. 735 00:48:56,579 --> 00:48:57,099 ¿Entendido? 736 00:48:57,219 --> 00:48:58,800 Por eso he puesto lo de la izquierda. 737 00:49:01,380 --> 00:49:02,380 ¿Entendéis ya o no? 738 00:49:02,380 --> 00:49:08,260 Es un ejercicio que ha caído en la EBAU más de una vez. 739 00:49:08,300 --> 00:49:11,460 adivinar si estos cuatro puntos son coplanarios 740 00:49:11,460 --> 00:49:15,639 porque no os engañéis 741 00:49:15,639 --> 00:49:18,059 todos los ejercicios de geometría 742 00:49:18,059 --> 00:49:21,900 se terminan haciendo con una matriz o con un determinante 743 00:49:21,900 --> 00:49:24,400 por desgracia 744 00:49:24,400 --> 00:49:26,800 quiero decir que no hay otra cosa 745 00:49:26,800 --> 00:49:30,059 una matriz o un determinante 746 00:49:30,059 --> 00:49:32,199 vamos, todos no 747 00:49:32,199 --> 00:49:34,440 si te piden el ángulo que forman dos vectores 748 00:49:34,440 --> 00:49:35,320 no llegas a eso 749 00:49:35,320 --> 00:49:37,679 me refiero a cualquier ejercicio 750 00:49:37,679 --> 00:49:38,900 que tenga un poco de enjundia 751 00:49:38,900 --> 00:49:40,639 con rectas, planos, cosas de esas 752 00:49:40,639 --> 00:49:42,659 termina siendo un problema 753 00:49:42,659 --> 00:49:44,420 de matrices y determinantes 754 00:49:44,420 --> 00:49:46,320 de hecho 755 00:49:46,320 --> 00:49:48,519 las matrices y los determinantes 756 00:49:48,519 --> 00:49:51,400 estudian para después utilizarlo así