1
00:00:00,000 --> 00:00:03,759
Hola a todos. Hoy vamos a desentrañar los sistemas de ecuaciones.

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00:00:04,259 --> 00:00:05,960
¿Suenan complicados? Pues para nada.

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00:00:06,339 --> 00:00:10,259
Son una herramienta súper útil para resolver un montón de problemas que nos encontramos por ahí.

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00:00:10,880 --> 00:00:12,919
A ver, empecemos con un pequeño reto.

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00:00:13,359 --> 00:00:17,859
Imagina que tengo 11 euros en el bolsillo, pero solo en monedas de 1 y de 2 euros.

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00:00:18,260 --> 00:00:19,059
¿Cuántas tengo de cada?

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00:00:19,579 --> 00:00:24,899
Pues podría ser una moneda de 2 euros y 9 de 1, o quizá 2 de 2 y 7 de 1.

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00:00:25,460 --> 00:00:27,359
Como vemos, hay un montón de posibilidades.

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00:00:27,359 --> 00:00:30,780
Con solo esta información es imposible saberlo con certeza.

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00:00:31,239 --> 00:00:33,920
Nos falta algo, ¿verdad? Necesitamos más pistas.

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00:00:34,479 --> 00:00:39,740
Y justo para eso, para resolver acertijos con varias pistas, usamos los sistemas de ecuaciones.

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00:00:40,479 --> 00:00:43,899
No hay que asustarse con el nombre. Un sistema no es más que eso.

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00:00:44,119 --> 00:00:48,520
Un conjunto de pistas, de condiciones, que tienen que cumplirse todas a la vez.

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00:00:48,920 --> 00:00:52,579
La clave está ahí, en que la solución que encontremos funcione para todo el pack.

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00:00:53,359 --> 00:00:55,320
Vale, y ahora viene lo chulo.

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00:00:55,320 --> 00:01:01,859
porque una cosa es la teoría, pero ¿y si pudiéramos ver la solución? Pues se puede. Vamos a ver la

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00:01:01,859 --> 00:01:08,299
clave visual de todo esto. Pensemos en esto. Cada una de esas ecuaciones con dos incógnitas, x e y,

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00:01:08,599 --> 00:01:14,400
es en realidad como el ADN de una línea recta en una gráfica. ¿Y cómo se dibuja esa recta? Muy

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00:01:14,400 --> 00:01:19,439
fácil, con una tabla de valores. Le damos un valor a la x, el que queramos, y vemos qué valor le toca

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00:01:19,439 --> 00:01:24,719
a la y. ¡Pum! Ya tenemos un punto. Hacemos eso otra vez y con dos puntos ya podemos dibujar la

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00:01:24,719 --> 00:01:29,959
línea entera? Cada uno de los infinitos puntos de esa recta es una solución para esa ecuación en

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00:01:29,959 --> 00:01:36,280
concreto. Entonces, si una ecuación es una recta y un sistema tiene dos ecuaciones, tenemos dos

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00:01:36,280 --> 00:01:41,700
rectas. La pregunta es obvia, ¿dónde está la solución del sistema en esa gráfica? Pues aquí

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00:01:41,700 --> 00:01:48,760
lo tenemos. Es el punto donde se cruzan. Ese único punto, ese punto de encuentro, pertenece a las dos

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00:01:48,760 --> 00:01:55,159
rectas a la vez. Por lo tanto, sus coordinadas, su x y su y, son la única pareja de números que

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00:01:55,159 --> 00:02:01,640
hacen que las dos ecuaciones sean verdad al mismo tiempo. Es la solución que buscamos. Si las rectas

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00:02:01,640 --> 00:02:07,260
se cortan, como en este caso, en un solo punto, pues el sistema tiene una única solución. ¿Así

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00:02:07,260 --> 00:02:12,639
de sencillo? Esto es lo que pasa la mayoría de las veces. ¿Y qué pasa si las rectas son paralelas?

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00:02:12,979 --> 00:02:17,419
Pues que van cada una por su dado y no se van a cruzar jamás, ni aquí ni en el infinito. Si no

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00:02:17,419 --> 00:02:22,180
hay punto de encuentro, no hay punto en común y, por tanto, no hay solución. Es como si las pistas

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00:02:22,180 --> 00:02:27,800
que nos dan se contradijeran entre sí. Y el tercer escenario posible. ¿Qué pasa si al dibujar las dos

32
00:02:27,800 --> 00:02:33,659
rectas nos damos cuenta de que son la misma? Una está pintada justo encima de la otra. Son como

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00:02:33,659 --> 00:02:38,879
dos caminos que coinciden en todo su recorrido. En este caso, ¿cuántos puntos tienen en común?

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00:02:39,539 --> 00:02:45,780
Todos. Por eso decimos que el sistema tiene infinitas soluciones. Vale, el método gráfico es genial para

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00:02:45,780 --> 00:02:50,319
entenderlo, pero a veces no es muy práctico. O si el punto de cruce no es un número entero,

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00:02:50,620 --> 00:02:56,099
a ojo es imposible de saber. Por eso vamos a ver ahora la caja de herramientas del álgebra. Tres

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00:02:56,099 --> 00:03:01,360
métodos para calcular ese punto de forma exacta. Empecemos con el método de sustitución. Su nombre

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00:03:01,360 --> 00:03:06,419
lo dice todo. El plan es este. Paso 1. Elegimos una ecuación y despejamos una incógnita, la que

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00:03:06,419 --> 00:03:11,819
sea más fácil. Por ejemplo, dejamos la X sola. Paso 2. Cogemos esa expresión para la X y la

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00:03:11,819 --> 00:03:17,060
metemos la sustituimos en la otra ecuación. ¿Y qué conseguimos con esto? Pues una nueva ecuación

41
00:03:17,060 --> 00:03:23,539
donde sólo aparece la i y eso ya sí sabemos resolverlo. Ojo, mucho ojo aquí. Este es el

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00:03:23,539 --> 00:03:28,639
error más típico. La sustitución hay que hacerla siempre en la otra ecuación, no en la misma de la

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00:03:28,639 --> 00:03:34,400
que hemos despejado. Si te equivocas y la sustituyes en la misma, te va a salir algo como 5 es igual a

44
00:03:34,400 --> 00:03:40,379
5. Y sí, es verdad, pero no ayuda para nada. Es un callejón sin salida. El siguiente es el método

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00:03:40,379 --> 00:03:45,620
de igualación. Este es súper útil cuando es fácil despejar la misma incógnita en las dos

46
00:03:45,620 --> 00:03:51,139
ecuaciones. Imagina que en la primera despejas la i y te queda i igual a, y en la segunda también

47
00:03:51,139 --> 00:03:56,759
despejas la i y te queda i igual a. A ver, si i es igual a una cosa y también es igual a otra,

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00:03:57,199 --> 00:04:02,520
esas dos cosas tienen que ser iguales entre sí. Así que las igualamos y listo, otra vez una

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00:04:02,520 --> 00:04:07,539
ecuación con una sola incógnita. Y llegamos al método de reducción que a veces parece magia.

50
00:04:07,539 --> 00:04:12,620
La idea es preparar las ecuaciones para que, al sumarlas, una de las incógnitas desaparezca.

51
00:04:13,259 --> 00:04:19,519
¿Cómo? Multiplicamos una ecuación o las dos por un número para que el coeficiente de la x, por ejemplo, sea opuesto.

52
00:04:20,120 --> 00:04:23,420
Imagina tener un más 2x arriba y un menos 2x abajo.

53
00:04:23,879 --> 00:04:28,819
Cuando las sumas, ¡puf!, las x se esfuman y te queda una ecuación sencillísima con solo la y.

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00:04:29,399 --> 00:04:31,480
Vale, tenemos tres métodos. ¿Cuál usamos?

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00:04:31,839 --> 00:04:34,980
No hay uno mejor que otro, se trata de elegir el más rápido en cada caso.

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00:04:35,480 --> 00:04:36,740
Esta tabla es como una choleta.

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00:04:37,339 --> 00:04:41,519
Sustitución es tu amigo si ves una incógnita sola, con coeficiente 1 o menos 1.

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00:04:42,120 --> 00:04:45,079
Igualación, si despejar la misma letra en las dos, es pan comido.

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00:04:45,680 --> 00:04:48,600
Y reducción cuando ves coeficientes que son iguales u opuestos

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00:04:48,600 --> 00:04:51,300
o que puedes hacer que lo sean con una simple multiplicación.

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00:04:51,839 --> 00:04:52,959
Bueno, basta de teoría.

62
00:04:53,240 --> 00:04:55,420
Vamos a mancharnos las manos y aplicar todo esto.

63
00:04:55,980 --> 00:04:59,699
Veremos cómo se resuelve un problema de la vida real desde el principio hasta el final.

64
00:04:59,939 --> 00:05:02,000
Aquí tenemos un problema clásico.

65
00:05:02,480 --> 00:05:04,800
¿La suma de dos números es 14?

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00:05:05,439 --> 00:05:08,519
Añadiendo 1 al mayor, se obtiene el doble del menor.

67
00:05:09,180 --> 00:05:12,620
El primer paso, y el más crucial, es actuar como traductores.

68
00:05:13,019 --> 00:05:15,800
Pasar esto del lenguaje de la calle al lenguaje de las mates.

69
00:05:16,279 --> 00:05:19,519
Para no liarnos, lo mejor es seguir siempre un plan de cuatro pasos.

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00:05:20,079 --> 00:05:21,500
Primero, leer y entender bien.

71
00:05:21,980 --> 00:05:24,279
¿Qué nos piden? ¿Quiénes son X e Y?

72
00:05:24,839 --> 00:05:28,079
Segundo, plantear el sistema, o sea, escribir las ecuaciones.

73
00:05:28,740 --> 00:05:31,519
Tercero, resolverlo con el método que veamos más fácil.

74
00:05:31,519 --> 00:05:36,939
Y cuarto, y esto es muy importante, comprobar el resultado. ¿Tiene lógica lo que hemos encontrado?

75
00:05:37,459 --> 00:05:43,540
Venga, vamos a hacerlo. A un número lo llamamos x, el mayor, y al otro y, el menor. La primera

76
00:05:43,540 --> 00:05:52,019
pista, la suma de dos números es 14. Fácil, x más y igual a 14. Segunda pista, añadiendo 1 al mayor

77
00:05:52,019 --> 00:05:58,699
se obtiene el doble del menor. Es decir, si a x le sumamos 1, nos da lo mismo que 2 por y, o sea,

78
00:05:58,699 --> 00:06:05,680
x más 1 igual a 2y. Perfecto, ya está planteado el sistema. Si observamos las ecuaciones, en la

79
00:06:05,680 --> 00:06:11,480
primera es súper fácil despejar la x, así que parece que sustitución va a ir bien. Despejamos

80
00:06:11,480 --> 00:06:17,959
x de la primera. x es igual a 14 menos y. Ahora, este valor de x lo enchufamos en la segunda

81
00:06:17,959 --> 00:06:26,720
ecuación. En lugar de x más 1, escribimos 14 menos y más 1 igual a 2y. Ahora a operar. 14 y 1 son

82
00:06:26,720 --> 00:06:33,339
15. Pasamos la menos i sumando al otro lado. Nos queda que 15 es igual a 3i. Si 15 es 3 veces i,

83
00:06:33,800 --> 00:06:40,420
entonces i tiene que ser 5. Ya tenemos el número pequeño. Esto ya está casi hecho. Si sabemos que

84
00:06:40,420 --> 00:06:46,699
i es 5, volvemos a la ecuación más fácil, la de x igual a 14 menos i. Sustituimos. ¿x es igual a

85
00:06:46,699 --> 00:06:54,259
14 menos 5? Pues x es 9. La solución está clara. Los números que buscábamos son el 9 y el 5. Pero

86
00:06:54,259 --> 00:07:00,920
no nos fiemos. Vamos a comprobar. ¿Se cumplen las pistas originales? Primera, ¿suman 14? Pues 9 más

87
00:07:00,920 --> 00:07:09,920
5 es 14. ¡Correcto! Segunda, si al mayor 9 le sumo 1, ¿me da el doble del menor 5? A ver, 9 más 1 es

88
00:07:09,920 --> 00:07:17,160
10. ¿Y el doble de 5? ¡También es 10! ¡Clavado! La solución es correcta, sin ninguna duda. Y esto

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00:07:17,160 --> 00:07:22,439
nos lleva a una última idea. Hemos resuelto un problema de números, pero esto va mucho más allá.

90
00:07:22,439 --> 00:07:26,000
Piensa en economía para encontrar el punto de equilibrio entre oferta y demanda

91
00:07:26,000 --> 00:07:27,899
En química para balancear reacciones

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00:07:27,899 --> 00:07:29,899
O en logística para optimizar rutas

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00:07:29,899 --> 00:07:31,819
Al final, todo se reduce a lo mismo

94
00:07:31,819 --> 00:07:35,300
Buscar ese punto de encuentro donde todas las condiciones se cumplen

95
00:07:35,300 --> 00:07:36,480
Ahora la pregunta es

96
00:07:36,480 --> 00:07:40,100
¿Qué otros problemas de nuestro alrededor se podrían resolver con esta misma idea?