1 00:00:00,000 --> 00:00:15,000 Una de las demostraciones geométricas más sencillas del Teorema de Pitágoras se debe 2 00:00:15,000 --> 00:00:21,400 al matemático hindú Bhaskara, que en su libro Vijaganita no añade más comentarios 3 00:00:21,400 --> 00:00:23,360 que el de mira. 4 00:00:23,360 --> 00:00:44,040 Con GeoGebra podemos hacer ese mira interactivo y observad que efectivamente se cumple el 5 00:00:44,040 --> 00:00:46,840 Teorema de Pitágoras. 6 00:00:46,840 --> 00:01:09,640 La demostración de Bhaskara también nos proporciona el siguiente mosaico pitagórico. 7 00:01:09,640 --> 00:01:10,640 Vamos a construirlo. 8 00:01:10,640 --> 00:01:23,040 Para ello hicimos, por ejemplo, GeoGebra clásico. 9 00:01:23,040 --> 00:01:31,760 Vamos a quitar los ejes de la cuadrícula porque no nos interesa y comenzamos. 10 00:01:31,760 --> 00:01:36,000 Comenzamos poniendo dos vértices, A y B. 11 00:01:36,000 --> 00:01:43,480 Vamos a dibujar un arco de circunferencia que nos va a garantizar un ángulo de 90 grados 12 00:01:43,480 --> 00:01:46,320 en C por la propiedad del ángulo inscrito. 13 00:01:46,320 --> 00:02:00,840 Podemos ocultar así la semicircunferencia. 14 00:02:00,840 --> 00:02:04,680 Voy a configurar GeoGebra para que no me ponga etiqueta a todos los segmentos que haga. 15 00:02:04,680 --> 00:02:12,560 Vamos a propiedades y vamos a decir que no se etiquete ningún objeto nuevo o solo puntos 16 00:02:12,560 --> 00:02:13,560 nuevos. 17 00:02:13,560 --> 00:02:25,760 Vale, y a los segmentos le vamos a quitar la etiqueta, etiqueta visible, vamos a elegir 18 00:02:25,760 --> 00:02:34,160 el segmento etiqueta visible, elegimos etiqueta visible, hemos cogido el triángulo en lugar 19 00:02:34,160 --> 00:02:35,160 del segmento. 20 00:02:35,160 --> 00:02:50,240 Segmento etiqueta visible y ya tenemos el triángulo, un triángulo que siempre es rectángulo. 21 00:02:50,240 --> 00:03:00,680 Vamos a construir la figura que hace el mosaico, para ello podemos girar este triángulo respecto 22 00:03:00,680 --> 00:03:17,080 de este punto 90 grados y ahora este triángulo lo podemos trasladar por el vector A B. 23 00:03:17,080 --> 00:03:26,680 El vector A B lo podemos escribir aquí, vector A B y ahora si podemos decirle realiza una 24 00:03:26,680 --> 00:03:36,720 traslación de este triángulo según este vector y este triángulo lo podemos ocultar. 25 00:03:36,720 --> 00:03:43,480 Ocultamos también los vértices que se han generado, aquí hay que ocultar con cuidado 26 00:03:43,480 --> 00:04:00,120 el A' selecciono el A y oculto, muy bien, ya vamos teniendo poco a poco la figura. 27 00:04:00,120 --> 00:04:10,160 Ahora puedo marcar el punto medio entre A y B' y hacer una simetría central de este 28 00:04:10,160 --> 00:04:21,120 triángulo por este punto y de este triángulo por este punto y obtenemos la figura base. 29 00:04:21,120 --> 00:04:31,880 Por último nos quedaría también marcar este polígono. 30 00:04:31,880 --> 00:04:46,600 Ahora nos quedaría limpiar la imagen, para ello cojo este triángulo y lo pongo rojo 31 00:04:46,600 --> 00:05:12,840 y lo ponemos al 50%, por ejemplo rojo, este 50% rojo, este lo voy a poner más naranja, 32 00:05:12,840 --> 00:05:26,400 aquí el 50% y este, pues aquí voy a enseñar un botón nuevo para no tener que estar copiando 33 00:05:26,400 --> 00:05:34,800 estilo visual, cojo este triángulo y lo digo que este me lo ponga igual. 34 00:05:34,800 --> 00:05:42,240 Por último me quedaría coger el cuadrado y por ejemplo pues le podemos poner este azul 35 00:05:42,240 --> 00:05:55,200 al 50%, aquí se ve mejor lo del 50%, por último vamos a ocultar todos los elementos 36 00:05:55,200 --> 00:06:02,800 que no nos interesan, para ello en esta ventana le voy a decir que me ordene los objetos por 37 00:06:02,800 --> 00:06:10,200 tipo de objeto y esto va a agrupar los objetos según su naturaleza, permitiéndome seleccionar 38 00:06:10,200 --> 00:06:21,760 todos los objetos de un tipo, por ejemplo puntos, voy a propiedades, como tengo seleccionado 39 00:06:21,760 --> 00:06:33,000 todos los puntos lo voy a hacer ocultar y solo voy a dejar visibles el A, el B y el 40 00:06:33,000 --> 00:06:40,640 C, que son los tres puntos que me definen el triángulo, además lo voy a cambiar de 41 00:06:40,640 --> 00:06:50,400 color para que se distingan que son puntos importantes, voy a bajar también el vector 42 00:06:50,400 --> 00:07:03,280 y lo voy a ocultar, que me queda ahora desplazar y hacer el mosaico, para eso voy a crear aquí 43 00:07:03,280 --> 00:07:14,640 un deslizador aquí abajo de tipo entero con 1 a 30 y incremento de 1, se va a llamar 44 00:07:14,640 --> 00:07:25,200 N, muy bien y fijaros, ahora hay que desplazar esas figuras para hacer el mosaico, yo voy 45 00:07:25,200 --> 00:07:40,480 a enseñar un comando nuevo, que es secuencia, para repetir, fijaros este comando lo que 46 00:07:40,480 --> 00:07:46,320 va a hacer es repetir una instrucción, yo quiero que este triángulo, perdón, yo quiero 47 00:07:46,320 --> 00:07:53,040 que este triángulo que le voy a poner etiqueta para identificarlo, mejor aún lo voy a renombrar, 48 00:07:53,040 --> 00:08:07,400 le voy a llamar T1, bueno pues T2, T1 va a ser este, T2, este le vamos a llamar T3 49 00:08:07,400 --> 00:08:17,120 y este le vamos a llamar T4 y este le voy a poner también etiqueta visible, luego se 50 00:08:17,120 --> 00:08:26,000 la quitaré, vale pues lo que vamos a hacer es trasladar el T2 según el vector A B un 51 00:08:26,000 --> 00:08:34,600 número de veces, luego haremos lo mismo con el T3, con el T4 y con el T3 de forma que 52 00:08:34,600 --> 00:08:43,760 conseguiremos desplazar esta imagen hacia la derecha, vamos a comenzar, recordad secuencia 53 00:08:43,760 --> 00:08:50,000 si le doy aquí me dice lo que voy a necesitar, necesito una expresión, la expresión es 54 00:08:50,000 --> 00:09:03,380 traslada el objeto T1, vamos a empezar por el T1, T1 según el vector V, según la flecha 55 00:09:03,380 --> 00:09:18,020 pero vamos a poner N por V, bueno K por V, U y le vamos a decir que es la variable K empieza en 1 56 00:09:18,020 --> 00:09:26,140 y termine en N, esta instrucción como podéis ver lo que nos va a hacer es repetir el comando traslada 57 00:09:26,140 --> 00:09:32,700 un montón de veces, tantas como la N, como la N la tengo en 1 pues solo la traslado una vez 58 00:09:32,700 --> 00:09:42,020 pero si la pongo en 2 lo traslado 2 veces, 3 veces, 4 veces, 30 veces, podemos coger y usando el 59 00:09:42,020 --> 00:09:50,220 comando que os enseñé de copiar estilo visual marco este triángulo para que se copie aquí y se 60 00:09:50,220 --> 00:10:04,740 pone rojo, bien, esto que acabo de hacer hay que hacerlo con cada figura, podemos traer secuencia 61 00:10:04,740 --> 00:10:18,540 expresión traslada, ahora vamos a trasladar el triángulo T2 por el vector KU, la K que va a 62 00:10:18,540 --> 00:10:29,420 empezar en 1 y va a acabar en N, bien, si me voy aquí a listas, se ha creado una lista con todos los 63 00:10:29,420 --> 00:10:38,140 triángulos, puedo irme aquí a los tres puntitos y decir duplicar, entrada y ahora cambio esto 64 00:10:38,140 --> 00:10:53,860 voy a usar este comando que no lo vamos a usar, puedo escribir secuencia, aquí pongo traslada 65 00:10:53,860 --> 00:11:11,060 vamos ya con el T3, vector KU, la variable K que va a ir de 1 hasta N, voy a trasladar el de arriba, vuelvo a copiar lo mismo 66 00:11:11,060 --> 00:11:28,660 secuencia, traslada, el triángulo T4 por el vector KU, la variable K que empieza en 1 y termina en N 67 00:11:28,660 --> 00:11:50,660 y por último quedaría secuencia, traslada, el objeto C1 que es el cuadrado, K por U, la variable K en 1 y en N 68 00:11:50,660 --> 00:12:06,660 ya tengo todo, ahora puedo hacerlo del estilo visual, le digo copia este aquí y aquí, doy a la flecha, vuelvo a darle a este y digo copia este aquí 69 00:12:06,660 --> 00:12:18,660 le doy a la flecha, copio estilo visual, este y este, como veis si yo ahora agrando el museo se repite 70 00:12:18,660 --> 00:12:45,660 ahora nos quedaría también que se vaya repitiendo para arriba, como veis tendremos que desplazar ahora un vector que empiece en A y apunte hacia arriba 71 00:12:45,660 --> 00:13:06,660 para eso necesitaría saber un punto para indicar que vector O, es decir que el vector V va a ser el vector normal al vector U 72 00:13:06,660 --> 00:13:17,660 así me va a formar justo el vector que forma 90 grados con el vector AB, con lo cual ya tengo mi vector para hacer la lista para arriba 73 00:13:17,660 --> 00:13:34,660 ahora podría hacer lo mismo pero lo que vamos a hacer es en lugar de trasladar cada triángulo vamos a trasladar todos a la vez, fijaros que cada triángulo de esos está en una lista 74 00:13:34,660 --> 00:13:57,660 debería haber dos naranjas, dos rojos, este verde me está sobrando, voy a borrarlo, vale, no pasa nada, ya que estaba bien 75 00:13:58,660 --> 00:14:08,660 bien, pues ahora lo que voy a hacer es usar el comando secuencia pero en lugar de con los triángulos iniciales, con sus listas 76 00:14:09,660 --> 00:14:29,660 vale, entonces voy a secuencia, traslada, traslada, L1, ahora voy a usar el vector V para que vaya para arriba, con K desde 1 hasta N 77 00:14:30,660 --> 00:14:52,660 y me lo hace para arriba, pues sí, lo mismo, secuencia, traslada, he borrado L2, seguimos por L3, coma KV, K, 1, N 78 00:14:53,660 --> 00:15:08,660 secuencia, traslada, L4, KV, K, 1, N 79 00:15:09,660 --> 00:15:29,660 y estoy acabando, secuencia, repite, traslada, L1, L3, L4, L5, KV, K, 1, N 80 00:15:29,660 --> 00:15:54,660 y me queda el cuadrado, secuencia, traslada, cuadrado será L6, KV, K, 1, N 81 00:15:55,660 --> 00:16:06,660 y si hemos hecho bien, vale, ahora vamos a copiar el estilo visual, vamos a decir que este rojo tiene que ser este y este 82 00:16:06,660 --> 00:16:20,660 voy aquí, el estilo visual de este naranja, tiene que ser este, no lo he cogido bien, estilo visual, el triángulo este y este 83 00:16:21,660 --> 00:16:36,660 damos escape, cogemos la flecha, copia el estilo visual, el azul, y vemos que algo pasa 84 00:16:36,660 --> 00:17:01,660 vamos a ver que ha pasado aquí, aquí hemos puesto L6, que es el cuadrado, por LV, aquí tenemos un error porque sería KV 85 00:17:01,660 --> 00:17:12,660 ahora si, vale, y además fijaros que empezamos aquí ya en 1 porque ya lo hemos trasladado una vez 86 00:17:12,660 --> 00:17:23,660 así es que lo que tendríamos que haber hecho era decirle a todas estas comandos que en lugar de 1 hubieran empezado en 0 87 00:17:23,660 --> 00:17:50,660 vamos a cambiarlo, 0, 0, 0, 0, y ahora aquí ha aparecido el delgador misterioso y esta K también misteriosa 88 00:17:50,660 --> 00:18:01,660 ya tenemos todas estas en 0, vamos a empezar también esta en 0 para que el primero sea el mismo 89 00:18:01,660 --> 00:18:06,660 y aquí exactamente igual 90 00:18:32,660 --> 00:18:47,660 vale, y ahora fijaros que como la N empieza en 1 pues algo nos queda, todo está en 0, muy bien 91 00:18:47,660 --> 00:18:54,660 podemos decirle ahora que la N también empieza en 0 para que sea la posición inicial 92 00:18:54,660 --> 00:19:11,660 y ahora tenemos así, y cuando agrandemos tenemos esto, si os dais cuenta veo que la primera está repetida más oscura 93 00:19:11,660 --> 00:19:20,660 eso es porque la que desplaza para arriba está machacando encima de la que desplaza para abajo, así es que las originales las deberíamos de ocultar 94 00:19:21,660 --> 00:19:26,660 y si también queremos podemos ocultar los triángulos iniciales 95 00:19:28,660 --> 00:19:31,660 porque como hemos puesto que empieza en 0 96 00:19:35,660 --> 00:19:37,660 ocultamos también el vector 97 00:19:39,660 --> 00:19:42,660 y ya tenemos nuestro mosaico, podemos quitar la letra 98 00:19:43,660 --> 00:19:58,660 y ahora fijaros, yo ahora hago así y mi mosaico empieza, puedo hacer el triángulo que quiera, puede ser así 99 00:19:59,660 --> 00:20:05,660 si no quiero que se vean las líneas, como está pasando aquí que las líneas destacan mucho 100 00:20:05,660 --> 00:20:21,660 me puedo ir a la lista, decirle propiedades y decirle aquí en el estilo que el grosor del trazo sea 0 101 00:20:22,660 --> 00:20:28,660 si hago lo mismo aquí iré ocultando todas las líneas 102 00:20:28,660 --> 00:20:53,660 como veis pues sale el mosaico bonito y además como quiera, y como le hemos puesto hasta 30 lo puedo agrandar todas las veces que quiera 103 00:20:54,660 --> 00:21:00,660 eso si, lo que hemos configurado es de esta figura para delante 104 00:21:11,660 --> 00:21:12,660 espero que os salga