1 00:00:00,050 --> 00:00:06,049 En este vídeo veremos algunos problemas de optimización, es decir, un problema que hemos anunciado que habrá que interpretar. 2 00:00:07,370 --> 00:00:16,030 Tal es lo cual, lo que hay que hacer es, por una función, calcular el mínimo y el máximo con las técnicas de derivación, etc. 3 00:00:16,750 --> 00:00:29,320 Un problema de optimización es un problema donde tenemos una variable o varias y una función para dicha variable o varias 4 00:00:29,320 --> 00:00:34,679 que o bien nos la dan en el problema o bien la deducimos de los datos del problema 5 00:00:34,679 --> 00:00:43,880 y nos piden hallar un punto x0 que sea un máximo absoluto de f o un mínimo absoluto de f. 6 00:00:46,159 --> 00:00:51,039 O nos pueden pedir pues varias cosas, por ejemplo, un máximo y un mínimo según qué parte del problema, etc. 7 00:00:51,979 --> 00:00:56,899 Bien, para ello conviene recordar cómo se encuentran los máximos y mínimos absolutos de una función. 8 00:00:58,020 --> 00:00:59,140 Necesitamos por una parte. 9 00:00:59,140 --> 00:01:03,259 mirar los ceros de la derivada, obviamente 10 00:01:03,259 --> 00:01:08,129 los extremos, es decir, si tenemos una función 11 00:01:08,129 --> 00:01:09,790 por ejemplo, f definida 12 00:01:09,790 --> 00:01:12,730 por ejemplo, entre 0 y 7 13 00:01:12,730 --> 00:01:16,409 habría que mirar también f de 0 y f de 7 14 00:01:16,409 --> 00:01:19,890 si tenemos una función que está definida 15 00:01:19,890 --> 00:01:22,870 entre 0 e infinito sin incluir 16 00:01:22,870 --> 00:01:25,730 pues habría que mirar el límite cuando x tiende a 0 17 00:01:25,730 --> 00:01:27,969 por supuesto por la derecha de f de x 18 00:01:27,969 --> 00:01:30,269 y el límite cuando x tiende a infinito 19 00:01:30,269 --> 00:01:31,930 de f de x 20 00:01:31,930 --> 00:01:33,989 lo que pasa es que es posible que aquí 21 00:01:33,989 --> 00:01:35,310 el máximo y el mínimo se alcancen 22 00:01:35,310 --> 00:01:38,269 y aquí no lleguen a alcanzarse 23 00:01:38,269 --> 00:01:41,430 y por último 24 00:01:41,430 --> 00:01:44,090 también hay que mirar en una función de finia de trozos 25 00:01:44,090 --> 00:01:46,549 los puntos de unión 26 00:01:46,549 --> 00:01:48,010 tanto si es 27 00:01:48,010 --> 00:01:49,090 continua como si no 28 00:01:49,090 --> 00:01:51,549 porque es posible que tengamos una función 29 00:01:51,549 --> 00:01:53,909 como el valor absoluto 30 00:01:53,909 --> 00:01:55,409 de modo que aquí hay un mínimo 31 00:01:55,409 --> 00:01:57,930 o una función por ejemplo 32 00:01:57,930 --> 00:01:59,030 que sea así si no es continua 33 00:01:59,030 --> 00:02:02,109 y en este caso pues aquí hay un mínimo 34 00:02:02,109 --> 00:02:07,090 que puede ser absoluto dependiendo de lo demás 35 00:02:07,090 --> 00:02:11,789 veamos un ejemplo 36 00:02:11,789 --> 00:02:15,569 vamos a tomar una función f definida de la siguiente manera 37 00:02:15,569 --> 00:02:18,669 tenemos 1 partido por x 38 00:02:18,669 --> 00:02:23,370 si x es menor que menos 1 39 00:02:23,370 --> 00:02:29,750 x cuadrado si x está entre menos 1 y 1 40 00:02:29,750 --> 00:02:30,810 ambos incluidos 41 00:02:30,810 --> 00:02:32,849 y 2x menos 1 42 00:02:32,849 --> 00:02:43,599 si x está entre menos 1, perdón, entre 1 y 5, incluido. 43 00:02:44,240 --> 00:02:51,159 De modo que la función f está definida en intervalo de menos infinito al 5, cerrado en el 5. 44 00:02:53,400 --> 00:02:56,319 Bien, pues vamos a buscar los puntos que hay que comprobar. 45 00:02:58,039 --> 00:03:00,039 Primero hay que mirar los celos de la derivada. 46 00:03:02,219 --> 00:03:02,979 Vamos a mirarlos. 47 00:03:02,979 --> 00:03:08,379 aquí tenemos que f' de x es menos 1 entre x cuadrado 48 00:03:08,379 --> 00:03:09,819 que nunca se anula 49 00:03:09,819 --> 00:03:14,180 aquí f' de x es 2x que es igual a 0 50 00:03:14,180 --> 00:03:20,319 si, solo si, x es igual a 0 y además 0 está en el dominio de la función en ese trozo 51 00:03:20,319 --> 00:03:21,620 o sea, está en el trozo que nos dicen 52 00:03:21,620 --> 00:03:28,620 y por último, aquí f' de x es 2 que siempre es dentro de 0 53 00:03:28,620 --> 00:03:33,680 De modo que los de la derivada únicamente nos darían el punto 0 54 00:03:33,680 --> 00:03:38,979 Los extremos, bueno, pues la función está definida entre menos infinito y 5 55 00:03:38,979 --> 00:03:45,379 Pues serían menos infinito y 5 56 00:03:45,379 --> 00:03:52,099 Y por último, los puntos de unión en las funciones a trozos 57 00:03:52,099 --> 00:03:54,759 Que en este caso son claramente menos 1 y 1 58 00:03:54,759 --> 00:04:02,770 También podemos considerar esos puntos como extremos de dichos intervalos 59 00:04:02,770 --> 00:04:04,150 Pero así es un poco más claro 60 00:04:04,150 --> 00:04:10,680 Bueno, pues en este caso vamos a calcular los valores 61 00:04:10,680 --> 00:04:17,000 Vamos a ver, f de 0 es 0 62 00:04:17,000 --> 00:04:28,110 f de 5 es igual a 2 por 5 es 10 menos 1 es 9 63 00:04:28,110 --> 00:04:38,220 El límite, ahora vamos a ver que ocurre con el menos infinito 64 00:04:38,220 --> 00:04:44,699 El límite cuando x tiende a menos infinito de f de x sería 1 partido entre infinito que es 0 65 00:04:44,699 --> 00:05:05,629 Y nos quedan los extremos. Vamos a ver, hay que ver si continúo o no. f de menos uno menos, que es el límite cuando x tiende a menos uno por la izquierda, de f sería, pues uno partido por menos uno, que es menos uno. 66 00:05:05,629 --> 00:05:18,439 f de menos 1 más, esto es directamente f de menos 1, que es menos 1 al cuadrado, que es 1. 67 00:05:18,759 --> 00:05:34,250 Y ahora, f de 1 menos, que es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, de f de x, en este caso coincide con f de 1, 68 00:05:34,250 --> 00:05:37,170 y es 1 al cuadrado que es 1 69 00:05:37,170 --> 00:05:41,189 y f de 1 por la derecha que es el límite 70 00:05:41,189 --> 00:05:45,509 cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x 71 00:05:45,509 --> 00:05:53,399 en este caso es 2 por 1 menos 1 72 00:05:53,399 --> 00:05:56,579 que es 1 73 00:05:56,579 --> 00:05:58,759 bueno, aquí tenemos que f es continuo en 1 74 00:05:58,759 --> 00:06:04,199 y aquí tenemos que f no es continuo en 1 75 00:06:04,199 --> 00:06:08,730 en menos 1, perdón 76 00:06:08,730 --> 00:06:11,149 bueno, pues de todos los valores que hemos tomado 77 00:06:11,149 --> 00:06:21,670 Tenemos el 0, el 9, el 0, el menos 1, el 1 y el 1, que aquí es igual a las dos. 78 00:06:24,889 --> 00:06:27,009 ¿Cuál sería el candidato a máximo absoluto? 79 00:06:27,329 --> 00:06:28,829 Pues el número mayor de todos es el 9. 80 00:06:37,980 --> 00:06:39,899 Pues ya está, ya hemos conseguido el máximo absoluto. 81 00:06:40,399 --> 00:06:41,680 Y se alcanza de más. 82 00:06:44,689 --> 00:06:47,889 Bien, ¿y cuál sería el mínimo absoluto? 83 00:06:52,899 --> 00:06:56,740 Pues tenemos, aquí está el 0, 9, 0, menos 1. 84 00:06:56,740 --> 00:06:58,779 es menos 1, pero menos 1 no se alcanza 85 00:06:58,779 --> 00:07:00,980 porque 86 00:07:00,980 --> 00:07:04,920 aquí no está definida menos 1 87 00:07:04,920 --> 00:07:06,660 es un límite pero no hay ningún valor 88 00:07:06,660 --> 00:07:07,899 donde dé menos 1, entonces 89 00:07:07,899 --> 00:07:10,160 no existe 90 00:07:10,160 --> 00:07:17,589 muy bien, pues entonces ya tenemos 91 00:07:17,589 --> 00:07:19,470 el cálculo, fijaos que no 92 00:07:19,470 --> 00:07:20,910 nos ha hecho falta calcular 93 00:07:20,910 --> 00:07:22,629 si el 0 94 00:07:22,629 --> 00:07:25,410 es mínimo o no, es mínimo porque 95 00:07:25,410 --> 00:07:26,449 si hacemos la derivada segunda 96 00:07:26,449 --> 00:07:29,189 es igual a 2 97 00:07:29,189 --> 00:07:31,709 que es mayor que 0 98 00:07:31,709 --> 00:07:32,709 y por tanto es un mínimo 99 00:07:32,709 --> 00:07:34,750 y puede venir bien hacerlo 100 00:07:34,750 --> 00:07:36,930 pero si evaluamos 101 00:07:36,930 --> 00:07:38,269 en la teoría 102 00:07:38,269 --> 00:07:40,569 puede venir bien para elevar un obstante 103 00:07:40,569 --> 00:07:42,350 indicar si es un mínimo 104 00:07:42,350 --> 00:07:43,670 local, etc. 105 00:07:44,230 --> 00:07:45,069 puede venir bien 106 00:07:45,069 --> 00:07:46,670 de acuerdo 107 00:07:46,670 --> 00:07:50,189 pero si hemos hecho todo lo demás 108 00:07:50,189 --> 00:07:52,470 pues ya nos va a dar los máximos y mínimos 109 00:07:52,470 --> 00:07:54,129 absolutos solo calculando sus valores 110 00:07:54,129 --> 00:08:00,500 empecemos con los problemas 111 00:08:00,500 --> 00:08:01,339 hemos puesto 112 00:08:01,339 --> 00:08:05,019 aquí el año de cada problema, son todos de la Boda de Madrid 113 00:08:05,019 --> 00:08:07,660 por si quieren localizarse. 114 00:08:08,860 --> 00:08:13,920 Bien, paráis la grabación, podéis leer bien el enunciado del problema 115 00:08:13,920 --> 00:08:16,240 y después lo corregimos. 116 00:08:18,300 --> 00:08:21,060 Una vez leído el enunciado, vemos que lo que nos piden es 117 00:08:21,060 --> 00:08:25,060 fijar el precio de la papeleta de modo que la recaudación sea máxima. 118 00:08:26,480 --> 00:08:29,420 De modo que la variable que buscamos va a ser x, 119 00:08:30,500 --> 00:08:34,519 que es el precio de la papeleta. 120 00:08:34,519 --> 00:08:42,960 Y la función que vamos a tener que minimizar va a ser la función recaudación. 121 00:08:44,360 --> 00:08:55,240 Pero para calcular la recaudación vamos a tener que calcular el número de papeletas vendidas, que es lo que nos dicen en la siguiente parte. 122 00:08:58,980 --> 00:09:01,480 Entonces, ¿qué nos indica el enunciado del problema? 123 00:09:01,480 --> 00:09:10,940 A ver, si tenemos dos papeletas, se venden, perdón, si X son 2 euros, entonces se venden 5.000. 124 00:09:11,519 --> 00:09:17,120 Por otra parte, para un número X arbitrario, nos dicen que por cada euro de incremento de precio, 125 00:09:18,500 --> 00:09:29,169 el incremento sería X menos 2, nos dicen que se venden 500 papeletas menos. 126 00:09:29,169 --> 00:09:34,210 Entonces la pérdida sería el incremento por 500. 127 00:09:35,370 --> 00:09:53,610 Entonces la función que es el número de papeletas que se venderían sería las 5000 menos x menos 2 por 500, que es lo que se pierde. 128 00:09:53,610 --> 00:09:56,009 convendría calcular esto ya 129 00:09:56,009 --> 00:09:57,730 para hacerlo más sencillo 130 00:09:57,730 --> 00:10:00,190 5000 menos 131 00:10:00,190 --> 00:10:01,649 500X 132 00:10:01,649 --> 00:10:03,149 más 1000 133 00:10:03,149 --> 00:10:05,509 y esto es igual a 134 00:10:05,509 --> 00:10:06,649 6000 135 00:10:06,649 --> 00:10:09,730 menos 500X 136 00:10:09,730 --> 00:10:11,529 y ahora ya nos falta 137 00:10:11,529 --> 00:10:13,690 la función, vamos a llamarla R 138 00:10:13,690 --> 00:10:16,889 la función de la recaudación 139 00:10:16,889 --> 00:10:20,259 que vamos a llamarla 140 00:10:20,259 --> 00:10:21,740 RDX que sería 141 00:10:21,740 --> 00:10:23,899 la cantidad de proyectas vendidas 142 00:10:23,899 --> 00:10:27,820 que es 6.000 menos 500x 143 00:10:27,820 --> 00:10:30,679 multiplicado por el precio que es x 144 00:10:30,679 --> 00:10:35,980 y esto es 6.000x menos 500x al cuadrado 145 00:10:35,980 --> 00:10:40,100 y ya con esto hay que buscar la x 146 00:10:40,100 --> 00:10:43,539 el valor x0 que haga que esta función sea mínima 147 00:10:43,539 --> 00:10:46,700 bueno, pues para ello derivamos 148 00:10:46,700 --> 00:10:48,759 r' de x sería 149 00:10:48,759 --> 00:10:52,740 6.000 menos 150 00:10:52,740 --> 00:10:54,179 1.000x 151 00:10:54,179 --> 00:10:56,000 y es igual a 0 152 00:10:56,000 --> 00:10:57,059 si y solo si 153 00:10:57,059 --> 00:11:02,509 1.000x es igual a 6.000 154 00:11:02,509 --> 00:11:05,029 si y solo si 155 00:11:05,029 --> 00:11:06,450 x es igual a 6.000 156 00:11:06,450 --> 00:11:08,009 partido por 1.000 157 00:11:08,009 --> 00:11:09,950 que es 6 158 00:11:09,950 --> 00:11:11,750 y ya está 159 00:11:11,750 --> 00:11:14,809 bueno, ya sabemos que es un máximo muy fácilmente 160 00:11:14,809 --> 00:11:15,809 porque, a ver 161 00:11:15,809 --> 00:11:18,409 si calculamos r' de x 162 00:11:18,409 --> 00:11:20,009 esto es menos 1.000 163 00:11:20,009 --> 00:11:23,090 que es menor que 0, por lo tanto es un máximo relativo 164 00:11:23,090 --> 00:11:28,070 no obstante voy a dibujar la tabla 165 00:11:28,070 --> 00:11:29,649 porque es fácil en primer lugar 166 00:11:29,649 --> 00:11:30,409 y en segundo lugar 167 00:11:30,409 --> 00:11:35,340 porque nos dice algo más de información 168 00:11:35,340 --> 00:11:40,970 bien, dibujamos la tabla 169 00:11:40,970 --> 00:11:43,250 bueno, la función r de x 170 00:11:43,250 --> 00:11:45,529 es una función r 171 00:11:45,529 --> 00:11:48,610 definida de 2 172 00:11:48,610 --> 00:11:51,029 en el llevado de 2 a infinito 173 00:11:51,029 --> 00:11:52,870 porque parece que 2 es el precio mínimo 174 00:11:52,870 --> 00:11:53,649 de la veleta 175 00:11:53,649 --> 00:11:56,049 en r entonces 176 00:11:56,049 --> 00:11:57,970 pues 177 00:11:57,970 --> 00:12:00,549 cogeríamos 178 00:12:00,549 --> 00:12:03,649 de 2 hasta el 6 179 00:12:03,649 --> 00:12:05,350 el 6 180 00:12:05,350 --> 00:12:09,320 y del 6 en adelante 181 00:12:09,320 --> 00:12:13,590 f' 182 00:12:13,909 --> 00:12:17,960 si calculamos, bueno, aquí es 183 00:12:17,960 --> 00:12:20,379 es una recta que tiene pendiente negativa 184 00:12:20,379 --> 00:12:22,360 con lo cual nos puede servir 185 00:12:22,360 --> 00:12:25,360 ver que tiene esta forma 186 00:12:25,360 --> 00:12:27,799 aquí en el 6 187 00:12:27,799 --> 00:12:29,679 aquí esto es 188 00:12:29,679 --> 00:12:33,950 positivo, aquí vale 0, aquí es negativo 189 00:12:33,950 --> 00:12:40,620 y si miramos f 190 00:12:40,620 --> 00:12:43,220 pues es creciente 191 00:12:43,220 --> 00:12:44,919 decreciente 192 00:12:44,919 --> 00:12:46,220 por lo tanto aquí hay un máximo 193 00:12:46,220 --> 00:12:49,240 cosa que ya sabíamos 194 00:12:49,240 --> 00:12:51,080 aquí es creciente 195 00:12:51,080 --> 00:12:53,860 y aquí es decreciente 196 00:12:53,860 --> 00:12:57,600 y ya no hace falta calcular los valores 197 00:12:57,600 --> 00:12:59,080 en los extremos porque ya se ve que 198 00:12:59,080 --> 00:13:00,460 si aquí es creciente y aquí es decreciente 199 00:13:00,460 --> 00:13:03,059 por fuerza pues es que 200 00:13:03,059 --> 00:13:04,700 va a ser un máximo absoluto 201 00:13:04,700 --> 00:13:05,279 entonces 202 00:13:05,279 --> 00:13:08,840 0 es un 203 00:13:08,840 --> 00:13:10,960 perdón, 0 me he confundido, quería decir 204 00:13:10,960 --> 00:13:39,649 6 es un máximo. De hecho, si calculásemos, voy a hacerlo en otro color, para que, si calculásemos que no hace falta, pero también otra forma de hacerlo sería calcular f de 2, que en este caso es 5.000, el límite cuando x tiende a infinito de f de x, que es menos infinito, y ya se ve claramente que y f de 6, 205 00:13:39,649 --> 00:13:42,470 que claramente es 206 00:13:42,470 --> 00:13:44,409 pues hay que calcularlo 207 00:13:44,409 --> 00:13:47,230 vamos a hacerlo 208 00:13:47,230 --> 00:13:48,970 la recaudación de 6 209 00:13:48,970 --> 00:13:50,590 vale 210 00:13:50,590 --> 00:13:57,059 36.000 211 00:13:57,059 --> 00:13:57,419 menos 212 00:13:57,419 --> 00:14:00,340 500 por 36 213 00:14:00,340 --> 00:14:02,620 que es 214 00:14:02,620 --> 00:14:03,559 18.000 215 00:14:03,559 --> 00:14:05,899 y esto nos da 216 00:14:05,899 --> 00:14:07,120 18.000 euros 217 00:14:07,120 --> 00:14:14,000 bien, entonces 218 00:14:14,000 --> 00:14:15,559 sería 18.000 219 00:14:15,559 --> 00:14:18,159 y claramente el máximo es F de 6. 220 00:14:20,629 --> 00:14:25,509 Entonces tendríamos 6 máximo absoluto. 221 00:14:25,669 --> 00:14:27,409 Esto es otra forma de resolverlo. 222 00:14:30,000 --> 00:14:35,250 Bien, vamos a responder las preguntas. 223 00:14:36,129 --> 00:14:40,370 Pregunta, ¿a qué precio hay que vender la papeleta? 224 00:14:40,610 --> 00:14:49,220 Pues entonces hay que vender la papeleta a 6 euros. 225 00:14:51,080 --> 00:14:56,000 Segunda pregunta, si el único gasto es la compra del ordenador, ¿cuánto dinero podrán donar a la ONG? 226 00:14:56,259 --> 00:15:18,480 Bueno, pues entonces el beneficio serían el ingreso menos el gasto, que serían los 18.000 euros menos los 600 que cuesta el ordenador, esto es lo importante que estaba arriba de los datos, y son 17.400 euros. 227 00:15:18,480 --> 00:15:42,269 Entonces, la segunda parte es, donarán o podrán donar, podrán donar 7400, perdón, 17400 euros a la ONG. 228 00:15:42,649 --> 00:15:43,710 Y aquí estaría el resultado. 229 00:15:48,840 --> 00:15:57,600 Nuevamente podéis parar la grabación, leer el enunciado y después intentar resolverlo por vuestra cuenta 230 00:15:57,600 --> 00:16:01,139 o directamente escuchar la corrección. 231 00:16:06,820 --> 00:16:09,019 Bien, el problema se divide en dos etapas. 232 00:16:09,360 --> 00:16:12,179 Primero determina el valor máximo de la función CDT 233 00:16:12,179 --> 00:16:16,259 indicando el momento en que se alcanza dicho valor máximo. 234 00:16:17,700 --> 00:16:20,659 Ese es el problema de optimización por B20 dicho. 235 00:16:21,659 --> 00:16:24,299 Y después hay un segundo problema que se hace a partir de él 236 00:16:24,299 --> 00:16:26,980 que es sencillo. 237 00:16:26,980 --> 00:16:28,460 Bien, empezamos. 238 00:16:28,460 --> 00:16:31,279 tenemos una función C 239 00:16:31,279 --> 00:16:32,960 de concentración 240 00:16:32,960 --> 00:16:35,980 sobre el tiempo 241 00:16:35,980 --> 00:16:37,559 que va de 0 242 00:16:37,559 --> 00:16:40,200 porque el momento en que empezamos a contar el tiempo 243 00:16:40,200 --> 00:16:41,879 desde que se toma 244 00:16:41,879 --> 00:16:42,980 el medicamento 245 00:16:42,980 --> 00:16:44,840 en R 246 00:16:44,840 --> 00:16:47,620 y tenemos que la función 247 00:16:47,620 --> 00:16:48,240 C de T 248 00:16:48,240 --> 00:16:51,600 nos dicen que es T por elevado a menos 249 00:16:51,600 --> 00:16:52,299 T medios 250 00:16:52,299 --> 00:16:55,659 para maximizar hay que derivar 251 00:16:55,659 --> 00:16:56,659 C' de T 252 00:16:56,659 --> 00:17:15,490 T es igual a la derivada de T, que es 1, por elevado a menos T medios, más T por la derivada de E elevado a menos T medios, que es E elevado a menos T medios, por menos 1 medio. 253 00:17:16,950 --> 00:17:19,089 Podemos sacar el factor común de elevado a T. 254 00:17:19,650 --> 00:17:25,990 Sería elevado a menos T medios por 1 menos T medios. 255 00:17:25,990 --> 00:17:28,970 y eso es igual a 0 256 00:17:28,970 --> 00:17:33,410 si solo si lo de dentro es igual a 0 257 00:17:33,410 --> 00:17:35,529 1 menos t medios es igual a 0 258 00:17:35,529 --> 00:17:36,789 porque esto nunca se anula 259 00:17:36,789 --> 00:17:37,869 eso siempre se siente de 0 260 00:17:37,869 --> 00:17:42,900 y esto ocurre si solo si 261 00:17:42,900 --> 00:17:44,680 t medios es igual a 1 262 00:17:44,680 --> 00:17:46,740 si solo si t es igual a 2 263 00:17:46,740 --> 00:17:48,380 bien 264 00:17:48,380 --> 00:17:53,500 podemos ahora ver si eso es máximo o mínimo 265 00:17:53,500 --> 00:17:56,240 hay más formas de hacerlo 266 00:17:56,240 --> 00:17:58,000 una de ellas es la tabla famosa 267 00:17:58,000 --> 00:18:00,720 tenemos aquí f' 268 00:18:00,720 --> 00:18:10,779 f, tenemos desde 0 hasta 2, en el 2, y del 2 hasta infinito. 269 00:18:13,569 --> 00:18:19,299 Entonces calculamos el valor de la derivada, podemos hacerlo dando valores, 270 00:18:19,779 --> 00:18:23,460 o si observamos que eso es mayor que 0, pues viendo que el signo de esto, 271 00:18:23,599 --> 00:18:26,619 eso es una recta, pues que tiene esta forma, se muestra en el 2, 272 00:18:27,420 --> 00:18:31,339 perdón, me he confundido, quería decir esta forma, porque esto es negativo, 273 00:18:31,960 --> 00:18:33,180 entonces aquí es positiva, aquí es negativa. 274 00:18:33,180 --> 00:18:43,220 Bueno, aquí es positivo, aquí es negativo, aquí vale cero, aquí es creciente, aquí es decreciente y aquí por tanto es un máximo. 275 00:18:47,710 --> 00:18:50,309 Y aquí ya se ve que es un máximo absoluto y ya está. 276 00:18:50,309 --> 00:19:25,490 Entonces, ya tenemos que, resultado, bueno, como nos piden el valor, vamos a poner que c de 2 es igual a 2 por elevado a menos 2 medios, que es 2 elevado a menos 1, que es 2 partido por e. 277 00:19:25,490 --> 00:19:36,930 Si lo calculamos, esto nos da 0,73576, por ejemplo, redondeando. 278 00:19:37,549 --> 00:19:51,819 Bueno, pues ponemos el valor máximo, podemos poner 2 partido por E, o casi mejor, 0,73576. 279 00:19:51,819 --> 00:20:15,210 Que eso es lo correcto porque nos quedamos a miligramos. Casi mejor ponemos directamente esto, miligramos por mililitro. Y se alcanza para T igual a 2. 280 00:20:15,210 --> 00:20:19,190 ahora ya vamos a la segunda pregunta 281 00:20:19,190 --> 00:20:21,970 sabiendo que la máxima concentración 282 00:20:21,970 --> 00:20:24,690 sin peligro es de un miligramos por mililitro 283 00:20:24,690 --> 00:20:26,930 señales en algún momento 284 00:20:26,930 --> 00:20:27,890 el riesgo del paciente 285 00:20:27,890 --> 00:20:28,869 pues no, no hay riesgo 286 00:20:28,869 --> 00:20:30,049 porque nunca se alcanza 287 00:20:30,049 --> 00:20:36,559 como CD2 es 0,73576 288 00:20:36,559 --> 00:20:37,720 es menor que 1 289 00:20:37,720 --> 00:20:39,319 y eso es el máximo 290 00:20:39,319 --> 00:20:41,579 el máximo 291 00:20:41,579 --> 00:20:43,660 es menor 292 00:20:43,660 --> 00:20:44,859 que 1 293 00:20:44,859 --> 00:20:47,660 no hay 294 00:20:47,660 --> 00:20:49,920 riesgo 295 00:20:49,920 --> 00:21:02,500 para el paciente, pues el valor máximo es menor que 1. 296 00:21:07,829 --> 00:21:09,009 Y ya estaría resuelto. 297 00:21:13,250 --> 00:21:16,170 Bien, aquí nos dicen directamente la variable y la función. 298 00:21:18,440 --> 00:21:21,720 Tenemos unas medidas de un objeto, es lo que hay que comprender bien, 299 00:21:22,099 --> 00:21:24,299 que se han tomado, una medida, otra, 300 00:21:27,390 --> 00:21:32,569 y nos piden calcular con qué valor vamos a aproximar al objeto, 301 00:21:32,569 --> 00:21:36,369 O sea, con estas medidas, ¿cuál sería el valor óptimo para calcular el objeto? 302 00:21:37,410 --> 00:21:43,390 Entonces lo que vamos a buscar es el valor que minimice la función error, de hecho la función error cuadrático, que se llama así. 303 00:21:44,549 --> 00:21:48,589 Bueno, pues un resultado conocido de la estadística es que ese valor va a ser la media de los valores. 304 00:21:49,549 --> 00:21:53,289 Vamos a ponerlo como observación, para que luego nos quede. 305 00:21:53,289 --> 00:22:13,529 Observación. La media, que es 0,92 más 0,94 más 0,89 más 0,90 más 0,91, todo ello entre 5, la suma da 4,56 y la media es 0,912. 306 00:22:13,529 --> 00:22:23,720 Vamos a comprobar que ese va a ser el valor final que nos pide. Vamos a ponerlo como observación y vamos a hacerlo directamente. 307 00:22:24,799 --> 00:22:54,779 Entonces, pues vamos a poner la función error, que es x menos la primera medida al cuadrado, más x menos la segunda medida al cuadrado, más x menos la tercera medida al cuadrado, más x menos la cuarta medida al cuadrado, más x menos la quinta medida al cuadrado. 308 00:22:54,799 --> 00:22:57,940 Bueno, pues ahora hay que desarrollar esto 309 00:22:57,940 --> 00:22:59,740 Es desarrollar cada cuadrado 310 00:22:59,740 --> 00:23:01,940 Lo podemos hacer rápidamente 311 00:23:01,940 --> 00:23:02,420 Esto es 312 00:23:02,420 --> 00:23:05,980 Primero al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo 313 00:23:05,980 --> 00:23:07,519 Que es 314 00:23:07,519 --> 00:23:09,200 1,84x 315 00:23:09,200 --> 00:23:11,440 Más 0,92 al cuadrado 316 00:23:11,440 --> 00:23:13,740 Que es 0,8464 317 00:23:15,220 --> 00:23:17,319 Más x al cuadrado 318 00:23:17,319 --> 00:23:19,480 Menos 2 por 0,94 319 00:23:19,480 --> 00:23:21,299 Que es 320 00:23:21,299 --> 00:23:23,759 1,88 por x 321 00:23:23,759 --> 00:23:26,960 más 0,94 al cuadrado 322 00:23:26,960 --> 00:23:30,339 que es 0,8836 323 00:23:30,339 --> 00:23:33,200 más x al cuadrado 324 00:23:33,200 --> 00:23:35,460 menos 2 veces por 0,89 325 00:23:35,460 --> 00:23:38,240 que es 1,78 por x 326 00:23:38,240 --> 00:23:41,700 más 0,89 al cuadrado 327 00:23:41,700 --> 00:23:45,400 que es 0,7921 328 00:23:45,400 --> 00:23:48,000 más x al cuadrado 329 00:23:48,000 --> 00:23:49,619 menos 2 veces 0,9 330 00:23:49,619 --> 00:23:52,720 que es 1,8 por x 331 00:23:52,720 --> 00:24:12,980 más 0,1 al cuadrado, que es 0,81, más x al cuadrado, menos dos veces 0,91, que es 1,82, más 0,91 al cuadrado, que es 0,8281. 332 00:24:14,339 --> 00:24:16,279 Y hay que calcular lo que vale esta función. 333 00:24:17,619 --> 00:24:24,039 Sumamos primero las 5x al cuadrado, y eso es 5x al cuadrado. 334 00:24:24,039 --> 00:24:35,940 Ahora sumamos estos valores de la X y eso nos da menos 9,12X 335 00:24:35,940 --> 00:24:45,440 Y ya los valores que nos quedan, que nos da la suma de 4,1602 336 00:24:45,440 --> 00:24:48,380 Y esta es la función que hay que minimizar 337 00:24:48,380 --> 00:24:49,660 derivamos 338 00:24:49,660 --> 00:24:52,200 e' de x 339 00:24:52,200 --> 00:24:54,119 que es 10x 340 00:24:54,119 --> 00:24:55,839 menos 341 00:24:55,839 --> 00:24:58,500 9,12 342 00:24:58,500 --> 00:24:59,859 y eso es igual a 0 343 00:24:59,859 --> 00:25:01,240 si y solo si 344 00:25:01,240 --> 00:25:03,980 10x es igual a 345 00:25:03,980 --> 00:25:05,759 9,12 346 00:25:05,759 --> 00:25:07,799 si y solo si 347 00:25:07,799 --> 00:25:09,480 x es igual a 9,12 348 00:25:09,480 --> 00:25:10,519 partido por 10 349 00:25:10,519 --> 00:25:12,660 que es 0,912 350 00:25:12,660 --> 00:25:16,500 falta ver que es un mínimo 351 00:25:16,500 --> 00:25:19,440 aunque bueno, si calculamos la derivada segunda 352 00:25:19,440 --> 00:25:24,130 esto nos da 10 que es mayor que 0 353 00:25:24,130 --> 00:25:25,410 por lo tanto es un mínimo relativo 354 00:25:25,410 --> 00:25:32,150 y como hay un único mínimo relativo 355 00:25:32,150 --> 00:25:34,529 porque es creciente fuera, pues ya se ve 356 00:25:34,529 --> 00:25:36,230 sino también con, vamos a ver 357 00:25:36,230 --> 00:25:39,890 de menos infinito hasta 0,912 358 00:25:39,890 --> 00:25:42,369 0,912 359 00:25:42,369 --> 00:25:46,009 y de 0,912 hasta infinito 360 00:25:46,009 --> 00:25:50,390 tenemos aquí f' 361 00:25:50,390 --> 00:25:50,430 f' 362 00:25:50,750 --> 00:25:58,009 la función es una recta que tiene esta forma 363 00:25:58,009 --> 00:26:08,829 E' quiere decir, aquí es negativa, aquí es positiva, aquí vale 0, aquí es decreciente, aquí es creciente, por lo tanto es un mínimo. 364 00:26:14,910 --> 00:26:30,579 Entonces, el valor de x es 0,92, 912, y ese es el resultado. 365 00:26:44,680 --> 00:26:49,460 Porque, además de ser un mínimo relativo, es un mínimo absoluto. 366 00:26:49,460 --> 00:27:06,869 Aquí está el nivel que es relativo. Podemos saber que menos 2, perdón, 0,912 es el mínimo absoluto. 367 00:27:07,849 --> 00:27:10,849 Y ya está. Ya hemos resuelto el problema. 368 00:27:12,150 --> 00:27:23,539 Aquí no hace falta calcular los extremos, aunque los límites sean más o menos infinito de e' de x, pues nos dan, en un caso, perdón, quería decir de f de x, 369 00:27:24,099 --> 00:27:28,640 no nos va a dar infinito en ambos casos, quiero decir, es una parábola, ¿vale? 370 00:27:30,039 --> 00:27:33,279 Pero bueno, ya viendo la forma de la función ya se ve que es un mínimo absoluto. 371 00:27:35,460 --> 00:27:36,259 Bien, sigamos. 372 00:27:40,430 --> 00:27:47,369 Pero bueno, si se quiere poner límite cuando x tiende a infinito de e de x es igual a infinito 373 00:27:47,369 --> 00:27:59,309 y límite cuando x tiende a menos infinito de e de x es igual a infinito. 374 00:27:59,910 --> 00:28:01,509 Sería otra forma de demostrarlo. 375 00:28:02,950 --> 00:28:07,509 En fin, hay muchas formas de demostrarlo y todas son correctas. 376 00:28:07,509 --> 00:28:14,009 podemos comprobar por último que en efecto el valor obtenido es el que obtuvimos con la media 377 00:28:14,009 --> 00:28:20,869 de hecho, la demostración de que la media es el valor que minimiza el valor cuadrático 378 00:28:20,869 --> 00:28:24,089 se realiza exactamente igual que hemos hecho esto 379 00:28:24,089 --> 00:28:31,970 es decir, al tomar EDX como sumatorio de X menos cada medida MI al cuadrado 380 00:28:31,970 --> 00:28:36,130 y desarrollando cada cuadrado, etc. 381 00:28:36,369 --> 00:28:40,210 y sumando todos los números, solo que aplicando las propiedades de los sumatorios 382 00:28:40,210 --> 00:28:43,609 pero igual que hemos hecho ahí, pues obtenemos un valor 383 00:28:43,609 --> 00:28:48,130 que se puede derivar, y al derivarlo 384 00:28:48,130 --> 00:28:52,369 se comproba fácilmente despejando que eso es igual a 0 385 00:28:52,369 --> 00:28:55,710 si solo si x es la media 386 00:28:55,710 --> 00:29:00,589 y de hecho también se comproba que la derivada segunda de x es un número 387 00:29:00,589 --> 00:29:05,789 que es mayor que 0 y que por tanto esto es un mínimo 388 00:29:05,789 --> 00:29:09,589 que al ser una parábola es un mínimo absoluto 389 00:29:09,589 --> 00:29:18,349 podéis parar la grabación, leer bien el enunciado 390 00:29:18,349 --> 00:29:21,289 y después o bien resolverlo y ver como lo resolvería yo 391 00:29:21,289 --> 00:29:24,410 después o bien directamente escuchar la corrección 392 00:29:24,410 --> 00:29:29,210 antes de nada una observación para entender bien el problema 393 00:29:29,210 --> 00:29:32,109 esto no es parte del problema, es que tenemos un frasco 394 00:29:32,109 --> 00:29:36,269 con 12 mililitros y una cantidad 395 00:29:36,269 --> 00:29:38,690 X que no conocemos de alcohol 396 00:29:38,690 --> 00:29:43,809 con esto nos dan, bueno la cantidad por supuesto que es 397 00:29:43,809 --> 00:29:46,650 12 más X y el precio 398 00:29:46,650 --> 00:29:53,630 del mililitro, el precio total 399 00:29:53,630 --> 00:29:58,250 será el producto de los dos, podemos ponerlo 400 00:29:58,250 --> 00:30:03,269 el precio total es igual al 401 00:30:03,269 --> 00:30:14,039 precio del mililitro por la cantidad de mililitros. Y ahora ya podemos empezar el problema. 402 00:30:15,099 --> 00:30:19,700 Determinar el precio de un frasco de perfume en el caso de que es igual a cero. Bueno, pues en este caso, 403 00:30:19,700 --> 00:30:28,740 en que solo hay 12 mililitros, el precio sería 12 por el precio, que nos han dicho que es 48 euros en este caso, 404 00:30:28,740 --> 00:30:37,259 Y esto nos da 576. Por lo tanto, ya tenemos el resultado. El resultado ya es que es 576 euros. 405 00:30:39,650 --> 00:30:46,289 Vamos a la B. Es prestar en función de X el precio del frasco que contiene 12 más X mililitros. 406 00:30:46,390 --> 00:30:52,890 Bueno, pues tenemos el precio por una parte del mililitro, que nos han dicho que es 48. 407 00:30:52,890 --> 00:30:56,930 y luego por cada mililitro 408 00:30:56,930 --> 00:30:58,089 se pierden 3 euros 409 00:30:58,089 --> 00:30:59,210 como hay X mililitros 410 00:30:59,210 --> 00:31:00,930 pues se pierden 3 euros por mililitro 411 00:31:00,930 --> 00:31:01,750 menos 3X 412 00:31:01,750 --> 00:31:05,650 y luego la cantidad de mililitros 413 00:31:05,650 --> 00:31:09,210 que es 12 más X 414 00:31:09,210 --> 00:31:11,009 por lo tanto el precio 415 00:31:11,009 --> 00:31:15,210 es 48 menos 3X 416 00:31:15,210 --> 00:31:16,490 el precio de mililitro 417 00:31:16,490 --> 00:31:18,289 por la cantidad de mililitros 418 00:31:18,289 --> 00:31:19,049 12 más X 419 00:31:19,049 --> 00:31:20,930 realizamos este producto 420 00:31:20,930 --> 00:31:31,349 48 por 12, que es 576, más 48x, menos 3x por 12, que es menos 36x, y ahora menos 3x al cuadrado. 421 00:31:32,170 --> 00:31:39,069 Calculando esto nos da 576 más 12x menos 3x al cuadrado. 422 00:31:39,269 --> 00:31:40,990 Ya tenemos el resultado de B. 423 00:31:42,049 --> 00:31:48,069 B es 576 más 12x menos 3x al cuadrado, bueno, en euros. 424 00:31:48,069 --> 00:32:02,099 El siguiente apartado no es más que una ecuación de segundo grado. Nos piden deducir para qué valor de la x el precio de la mezcla es cero. 425 00:32:02,220 --> 00:32:08,420 Entonces hay que calcular cuándo 576 más 12x menos 3x cuadrado, esto es cero. 426 00:32:09,519 --> 00:32:19,380 Naturalmente x es positivo. Hay que llegar una de las soluciones a dar positivo y otra negativa. Pues bueno, la positiva es la que valdrá. 427 00:32:19,380 --> 00:32:24,880 Bueno, para realizar la ecuación del segundo grado queremos que el término en grado 2 sea positivo 428 00:32:24,880 --> 00:32:27,900 Podemos pasar todo a la derecha, por ejemplo, multiplicarlo por menos 1 429 00:32:27,900 --> 00:32:33,440 3x cuadrado menos 12x menos 576 es igual a 0 430 00:32:33,440 --> 00:32:42,299 Por lo tanto, x es igual a menos b, 12, más menos raíz cuadrada de b cuadrado que es 144 431 00:32:42,299 --> 00:32:53,049 Menos por menos más, más 4c, que es 3 por 576 por 4, que es 6912 432 00:32:53,049 --> 00:32:56,410 todo ello entre 2 saque 6 433 00:32:56,410 --> 00:32:59,230 12 más menos raíz cuadrada de 434 00:32:59,230 --> 00:33:02,509 7.056 entre 6 435 00:33:02,509 --> 00:33:05,630 12 más menos 84 entre 6 436 00:33:05,630 --> 00:33:08,170 esto nos da por una parte 96 437 00:33:08,170 --> 00:33:10,089 entre 6 que es 16 438 00:33:10,089 --> 00:33:12,009 y por otra parte menos 72 439 00:33:12,009 --> 00:33:15,029 entre 6 que es 440 00:33:15,029 --> 00:33:17,769 menos 12 441 00:33:17,769 --> 00:33:20,250 y esta solución no nos vale 442 00:33:20,250 --> 00:33:23,250 por lo tanto la solución es fácil 443 00:33:23,250 --> 00:33:28,029 C serían 16 mililitros 444 00:33:28,029 --> 00:33:28,650 que es la cantidad 445 00:33:28,650 --> 00:33:33,569 o si queréis X igual a 16 446 00:33:33,569 --> 00:33:34,490 que es lo que nos pide 447 00:33:34,490 --> 00:33:39,069 bien 448 00:33:39,069 --> 00:33:41,730 de hecho como nos pide el valor de X 449 00:33:41,730 --> 00:33:43,089 se puede incluso poner X igual a 16 450 00:33:43,089 --> 00:33:45,529 porque no nos están diciendo que se ponga con la unidad 451 00:33:45,529 --> 00:33:48,230 pero bueno lo pongo entre paréntesis y ya está 452 00:33:48,230 --> 00:33:51,369 sin tener en cuenta otros costes 453 00:33:51,369 --> 00:33:52,390 determina el valor de X 454 00:33:52,390 --> 00:33:54,769 para el que sostiene el fresco perfume 455 00:33:54,769 --> 00:33:55,890 de precio máximo 456 00:33:55,890 --> 00:34:26,159 Bueno, pues eso ya es maximizar la función. Tenemos el precio, el precio de x, que es 576 más 12x menos 3x cuadrado, la derivada es 12 menos 6x, y eso es igual a 0, si, solo si, 6x es igual a 12, si, solo si, x es igual a 12 sextos, que es 2. 457 00:34:27,780 --> 00:34:30,239 Con lo cual es una cantidad pequeña, 2 mililitros. 458 00:34:31,300 --> 00:34:37,539 Bueno, una observación es que esto es una parábola, realmente, donde esto es negativo, ya sabemos que tiene esta forma. 459 00:34:39,039 --> 00:34:47,400 Con decir que es una parábola invertida o una parábola con esta forma, ya se sabría que es el máximo absoluto. 460 00:34:47,780 --> 00:34:59,380 También se puede saber, porque la derivada segunda es igual a menos 6, que es menor que 0, luego es un máximo relativo. 461 00:34:59,380 --> 00:35:29,579 Entonces podéis poner que esto es un máximo relativo, y si escribís como p de x es una parábola, 2 es un máximo absoluto, y ya estaría, no había que hacer más. 462 00:35:29,579 --> 00:35:34,409 bueno, sí, lo supondría el resultado final 463 00:35:34,409 --> 00:35:37,289 pero ya estaría justificado que es un máximo absoluto 464 00:35:37,289 --> 00:35:39,030 también se puede hacer lo siguiente 465 00:35:39,030 --> 00:35:41,250 la tabla, por supuesto 466 00:35:41,250 --> 00:35:45,909 tenemos pues 467 00:35:45,909 --> 00:35:50,809 de menos infinito 468 00:35:50,809 --> 00:35:53,309 hasta 6 469 00:35:53,309 --> 00:35:54,670 perdón, hasta 2 470 00:35:54,670 --> 00:35:55,969 el 2 471 00:35:55,969 --> 00:35:57,949 y de 2 a infinito 472 00:35:57,949 --> 00:35:59,929 bueno, pues aquí 473 00:35:59,929 --> 00:36:03,630 f' es positivo 474 00:36:03,630 --> 00:36:04,550 aquí es negativo 475 00:36:04,550 --> 00:36:09,460 se puede ver también, viendo que es una recta 476 00:36:09,460 --> 00:36:11,599 componente negativa, que tiene esta forma. 477 00:36:16,460 --> 00:36:20,719 Por lo tanto, aquí es creciente, aquí es decreciente, por lo tanto, es un máximo. 478 00:36:21,340 --> 00:36:25,980 Aquí es 0, creciente, decreciente. 479 00:36:26,639 --> 00:36:30,940 Una observación es que sería más correcto decir que la x va de 0 hasta 2, 480 00:36:32,079 --> 00:36:38,199 y hasta que el pedido sea positivo, es decir, de 2 hasta 16. 481 00:36:38,199 --> 00:36:40,500 pero 482 00:36:40,500 --> 00:36:44,000 indicar a calcular el máximo 483 00:36:44,000 --> 00:36:45,079 tampoco es imprescindible 484 00:36:45,079 --> 00:36:46,340 porque 485 00:36:46,340 --> 00:36:49,760 si el 2 es un máximo 486 00:36:49,760 --> 00:36:51,780 de la función entre menos infinito e infinito 487 00:36:51,780 --> 00:36:53,360 también absoluto quiero decir 488 00:36:53,360 --> 00:36:55,000 pues con más razón va a ser un 489 00:36:55,000 --> 00:36:58,239 más absoluto si restringimos 490 00:36:58,239 --> 00:36:59,599 el intervalo 491 00:36:59,599 --> 00:37:02,260 de 2 al 16, bueno, los dejo cerrados 492 00:37:02,260 --> 00:37:05,159 pero bueno 493 00:37:05,159 --> 00:37:07,500 también se puede con infinito 494 00:37:07,500 --> 00:37:10,099 entonces ya tenemos viendo la gráfica que 495 00:37:10,099 --> 00:37:14,139 2 es un máximo 496 00:37:14,139 --> 00:37:16,659 absoluto 497 00:37:16,659 --> 00:37:20,920 y ya lo siguiente sería por ejemplo calcular los extremos 498 00:37:20,920 --> 00:37:24,280 más menos infinito y ver que el límite es menos infinito 499 00:37:24,280 --> 00:37:26,820 y también funciona, o sea que ver que el límite cuando x 500 00:37:26,820 --> 00:37:29,500 o de otro color para que se vea que es un argumento diferente 501 00:37:29,500 --> 00:37:33,280 límite cuando x tiende a más menos infinito 502 00:37:33,280 --> 00:37:35,460 de p de x 503 00:37:35,460 --> 00:37:37,260 es menos infinito 504 00:37:37,260 --> 00:37:39,699 y luego tenemos que 505 00:37:39,699 --> 00:37:41,800 calculamos P de 2 506 00:37:41,800 --> 00:37:44,679 que además no lo van a pedir 507 00:37:44,679 --> 00:37:46,260 lo vamos a poner 508 00:37:46,260 --> 00:37:47,320 ¿cuánto vale P de 2? 509 00:37:48,480 --> 00:37:50,539 pues 576 510 00:37:50,539 --> 00:37:51,039 menos 511 00:37:51,039 --> 00:37:52,760 12 por 2 512 00:37:52,760 --> 00:37:54,980 perdón, más 24 513 00:37:54,980 --> 00:37:56,320 menos 3 por 4, 12 514 00:37:56,320 --> 00:37:58,679 y esto es 515 00:37:58,679 --> 00:38:00,699 igual a 516 00:38:00,699 --> 00:38:07,070 588 517 00:38:07,070 --> 00:38:10,909 Pues P2 es 588 518 00:38:10,909 --> 00:38:18,110 Y aquí tenemos nuevamente que 2 es un máximo absoluto 519 00:38:18,110 --> 00:38:21,570 Bueno, pues hemos demostrado de tres formas diferentes que es un máximo absoluto 520 00:38:21,570 --> 00:38:22,710 Las tres son correctas 521 00:38:22,710 --> 00:38:25,170 Vamos a resolver el problema final 522 00:38:25,170 --> 00:38:29,590 C. Indicar la capacidad del frasco 523 00:38:29,590 --> 00:38:31,250 Bueno, la capacidad del frasco 524 00:38:31,250 --> 00:38:34,269 Me falta poner eso 525 00:38:34,269 --> 00:38:50,059 La capacidad del frasco es 12 más X, los 12 mililitros de la sustancia, más los dos, es 12 más 2, que es 14. 526 00:38:51,320 --> 00:39:03,179 Pues B, la capacidad es 14 mililitros y el precio, lo que vamos a calcular, 588 mililitros. 527 00:39:03,179 --> 00:39:11,539 Y esto es el resultado final. Bueno, basta de. Y ya está. 528 00:39:14,000 --> 00:39:23,739 Igual que antes, podéis parar la grabación, leer bien el enunciado, después intentarlo vosotros, o bien mirar directamente la corrección. 529 00:39:28,000 --> 00:39:33,300 Este programa tiene tres apartados. El tercero es un integral, de la que ya hablaremos. 530 00:39:33,300 --> 00:39:40,130 el segundo apartado es propiamente el problema de optimización 531 00:39:40,130 --> 00:39:46,889 ya que, dada esta función, nos piden el momento en el que alcanza el valor máximo 532 00:39:46,889 --> 00:39:47,929 hay que buscar el valor máximo 533 00:39:47,929 --> 00:39:51,309 como esta función está definida en un intervalo 534 00:39:51,309 --> 00:39:57,309 pues además de derivar habrá que calcular los valores en los extremos del intervalo 535 00:39:57,309 --> 00:40:04,110 bien, por último, el apartado A en el fondo es 536 00:40:04,110 --> 00:40:05,789 mirar si entendemos bien el enunciado 537 00:40:05,789 --> 00:40:07,909 y es lo que vamos a hacer ahora 538 00:40:07,909 --> 00:40:10,829 A ver, ¿cuál es la función T? 539 00:40:11,329 --> 00:40:18,690 Es una función continua que va de 0 a 30 y que recorre los 30 días del mes de abril 540 00:40:18,690 --> 00:40:26,710 Pero es continua, lo cual quiere decir que en el momento 0 estaríamos en el 1 de abril a las 0 horas 541 00:40:26,710 --> 00:40:34,630 En el momento 1 estaríamos en el 1 de abril a las 24 horas 542 00:40:34,630 --> 00:40:39,230 Que obviamente coincide con el 2 de abril a las 0 horas 543 00:40:39,230 --> 00:41:03,829 Y así sucesivamente. En el 30 de abril, pues en el 29 tendríamos el 29 de abril a las 24 horas y también el 30 de abril a las 12, perdón, quería poner a las 0 horas hasta el final que es el 30 de abril a las 24 horas. 544 00:41:03,829 --> 00:41:15,300 Bueno, pues ya sabiendo eso, podemos calcular para qué valor de t tenemos las 12 horas el 10 de abril. 545 00:41:16,840 --> 00:41:20,159 Entonces, evidentemente, pues aquí tenemos el 9, aquí el 10. 546 00:41:20,800 --> 00:41:23,099 Con todo esto que hemos dicho, ¿qué sería el 9? 547 00:41:23,300 --> 00:41:27,159 El 9 es el 10 de abril a las 0 horas. 548 00:41:27,920 --> 00:41:32,760 Y el número 10, t igual a 10, es el 10 de abril a las 24 horas. 549 00:41:32,760 --> 00:41:43,159 Por lo tanto, a la mitad, que es el 10 de abril, a las 12 horas, tenemos el valor 9,5. 550 00:41:43,880 --> 00:41:48,880 Bueno, pues bastaría con poner t igual a 9,5. 551 00:41:49,159 --> 00:41:50,760 Y ahora tendríamos que c de t... 552 00:41:51,619 --> 00:41:56,179 Voy a escribir la fórmula, no haría falta hacerlo, lo voy a hacer porque estoy explicando. 553 00:41:56,179 --> 00:42:02,699 Bastería componer c de 9,5 y poner el valor en la calculadora. 554 00:42:03,000 --> 00:42:07,599 Lo escribo por sobre explicación, incluso en otro color para que se vea que no es necesario. 555 00:42:08,619 --> 00:42:09,019 Y ya está. 556 00:42:09,599 --> 00:42:20,659 80 menos 6 por 9,5 más 23 por 9,5 al cuadrado entre 20 menos 9,5 al cubo partido por 30. 557 00:42:21,619 --> 00:42:31,500 Calculamos esto y nos da 98,20833, por ejemplo. 558 00:42:32,500 --> 00:42:42,900 Bueno, pues entonces el resultado de la A sería 98,20833 miligramos por metro cúbico. 559 00:42:48,679 --> 00:42:49,820 Veamos ahora el apartado B. 560 00:42:50,440 --> 00:42:53,800 Tenemos que calcular el máximo de esta función. 561 00:42:53,800 --> 00:43:06,679 C de t es igual a 80 menos 6t más 23t cuadrado entre 20 menos t cubo partido por 30. 562 00:43:07,500 --> 00:43:21,059 Su derivada es c prima de t, que es menos 6 más 23 por 2t entre 20 menos 3t cuadrado entre 30. 563 00:43:21,059 --> 00:43:23,900 de paso que es lípico voy a ordenarlo 564 00:43:23,900 --> 00:43:25,159 primero esto 565 00:43:25,159 --> 00:43:29,239 simplificado es menos t cuadrado partido por 10 566 00:43:29,239 --> 00:43:30,820 ahora esto de aquí 567 00:43:30,820 --> 00:43:35,380 simplificado es más 23t partido por 10 568 00:43:35,380 --> 00:43:37,639 y ahora el menos 6 569 00:43:37,639 --> 00:43:39,639 y eso es igual a 0 570 00:43:39,639 --> 00:43:42,800 así solo si multiplicamos todo por menos 10 571 00:43:42,800 --> 00:43:44,519 para quitar denominadores y a la vez 572 00:43:44,519 --> 00:43:48,280 que el término con t cuadrado tenga signo positivo 573 00:43:48,280 --> 00:43:54,380 y esto es t cuadrado menos 23t más 60 574 00:43:54,380 --> 00:43:56,980 y eso es igual a cero, si solo si 575 00:43:56,980 --> 00:44:05,239 t es igual a 23 más menos la raíz cuadrada b cuadrado que es 576 576 00:44:05,239 --> 00:44:09,840 menos 4ac que es 240 entre 2 577 00:44:09,840 --> 00:44:15,739 eso es 23 más menos la raíz cuadrada de 289 entre 2 578 00:44:15,739 --> 00:44:19,400 eso es 23 más menos 17 entre 2 579 00:44:19,400 --> 00:44:21,559 eso es 40 entre 2 que es 20 580 00:44:21,559 --> 00:44:24,800 la suma y la resta es 23 menos 7 que es 6 581 00:44:24,800 --> 00:44:26,480 6 entre 2 es 3 582 00:44:26,480 --> 00:44:30,619 de modo que hay dos valores donde la derivada se anula 583 00:44:30,619 --> 00:44:35,610 un método muy rápido es calcular los valores 584 00:44:35,610 --> 00:44:38,889 de la función en esos dos valores 585 00:44:38,889 --> 00:44:41,329 y en los dos extremos 586 00:44:41,329 --> 00:44:44,789 calcular c de 0 587 00:44:44,789 --> 00:44:47,349 c de 3 588 00:44:47,349 --> 00:44:53,480 CD20 y CD30 589 00:44:53,480 --> 00:44:58,019 CD0 nos da 80 590 00:44:58,019 --> 00:45:04,110 CD3 nos da 71,45 591 00:45:04,110 --> 00:45:10,539 CD20 nos da 153,3 periodo 592 00:45:10,539 --> 00:45:12,559 Bueno, vamos a ver con 233 593 00:45:12,559 --> 00:45:14,900 Por ejemplo, redondeando 594 00:45:14,900 --> 00:45:18,119 5 decimales ya que aquí tenemos 5 también 595 00:45:18,119 --> 00:45:22,260 Y CD30 es 35 596 00:45:22,260 --> 00:45:25,820 de modo que aquí el mínimo absoluto 597 00:45:25,820 --> 00:45:26,840 se alcanzaría en el 30 598 00:45:26,840 --> 00:45:29,579 y el máximo absoluto en el 20 599 00:45:29,579 --> 00:45:34,889 con lo cual 600 00:45:34,889 --> 00:45:37,190 con esto ya estaría el problema 601 00:45:37,190 --> 00:45:38,409 también se puede calcular 602 00:45:38,409 --> 00:45:40,789 entonces 603 00:45:40,789 --> 00:45:49,579 el nivel máximo 604 00:45:49,579 --> 00:45:53,829 se alcanzó 605 00:45:53,829 --> 00:45:56,869 el día 20 606 00:45:56,869 --> 00:45:59,469 el 20 de abril 607 00:45:59,469 --> 00:46:02,269 a las 24 horas 608 00:46:02,269 --> 00:46:08,599 y el nivel máximo 609 00:46:08,599 --> 00:46:13,840 de NO2 610 00:46:13,840 --> 00:46:17,539 fue de 153, 611 00:46:17,840 --> 00:46:23,769 y ya tendríamos 612 00:46:23,769 --> 00:46:30,480 este apartado resuelto. 613 00:46:31,840 --> 00:46:33,099 Realicemos el último apartado. 614 00:46:36,820 --> 00:46:37,760 Esa es la función promedio. 615 00:46:37,920 --> 00:46:38,559 No es raro. 616 00:46:38,559 --> 00:46:39,980 A ver si 617 00:46:39,980 --> 00:46:42,739 tuviéramos 30 datos, 618 00:46:43,019 --> 00:46:44,900 ¿qué tendríamos como promedio? 619 00:46:44,980 --> 00:46:46,239 Pues el sumatorio de C 620 00:46:46,239 --> 00:46:47,760 de T sub i 621 00:46:47,760 --> 00:46:51,059 entre 1 y 30, 622 00:46:51,579 --> 00:46:52,500 todo ello entre 30. 623 00:46:52,500 --> 00:47:06,619 Bueno, pues esto, pasando de forma continua y haciendo límites, sería la integral de CDT entre 0 y 30, también dividido entre la longitud del intervalo, que es 30. 624 00:47:07,219 --> 00:47:10,239 O sea, esto no es raro. Eso es una observación, ¿vale? 625 00:47:10,239 --> 00:47:36,130 Bueno, pues vamos a calcularlo. Nos piden calcular 1 partido por 30 por la integral entre 0 y 30 de CDT, que es 80 menos 6T más 23T cuadrado entre 20 menos T al cubo partido por 30. 626 00:47:36,130 --> 00:48:06,510 Y eso es 1 partido por 30, abrimos el corchete, hacemos la integral, 80t menos 6t cuadrado partido por 2, que es 3t cuadrado, más 23t al cubo partido por 20 por 3, 60, menos t a la 4, entre 30 por 4, 120. 627 00:48:06,510 --> 00:48:10,670 Es un integral elemental, solo que hay que calcularla. 628 00:48:11,469 --> 00:48:13,650 Todo ello entre 0 y 30. 629 00:48:14,150 --> 00:48:19,710 Como estamos explicando, voy a poner todos los detalles, pero el siguiente paso no es necesario. 630 00:48:20,769 --> 00:48:22,289 Bueno, falta el 1 partido por 30. 631 00:48:24,670 --> 00:48:33,300 Ya tendríamos 80 por 30 menos 3 por 30 al cuadrado al cuadrado, 632 00:48:33,300 --> 00:48:39,840 más 23 por 30 al cubo partido por 60 633 00:48:39,840 --> 00:48:41,719 menos 30 a la 4 634 00:48:41,719 --> 00:48:44,960 partido por 120 635 00:48:44,960 --> 00:48:46,159 y luego menos 636 00:48:46,159 --> 00:48:48,699 bueno, si así que sea 0 cuatro veces 637 00:48:48,699 --> 00:48:50,800 menos 0 638 00:48:50,800 --> 00:48:53,679 y eso nos da 639 00:48:53,679 --> 00:48:58,980 1 partido por 30 640 00:48:58,980 --> 00:49:02,679 3.300 menos 0 641 00:49:02,679 --> 00:49:04,280 que eso es lo que se podría poner directamente 642 00:49:04,280 --> 00:49:06,500 pasando de aquí hasta aquí 643 00:49:06,500 --> 00:49:11,769 y eso nos da como resultado 644 00:49:11,769 --> 00:49:15,309 110 645 00:49:15,309 --> 00:49:18,889 entonces podemos como resultado 646 00:49:18,889 --> 00:49:26,349 el promedio es 647 00:49:26,349 --> 00:49:30,309 110 miligramos por metro cúbico 648 00:49:30,309 --> 00:49:40,449 podéis poner la grabación 649 00:49:40,449 --> 00:49:44,829 y después leer bien enunciado 650 00:49:44,829 --> 00:49:47,610 y luego ya pues intentar resolverlo por vuestra cuenta 651 00:49:47,610 --> 00:49:50,050 o bien escuchar directamente la corrección 652 00:49:50,050 --> 00:49:55,000 tenemos dos apartados, el segundo es probablemente 653 00:49:55,000 --> 00:49:59,940 el de optimización, y el primero es un cálculo necesario para realizar el segundo. 654 00:50:01,159 --> 00:50:07,059 Nos piden calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide X. 655 00:50:08,380 --> 00:50:17,190 Podemos dibujarlo. Esta es la altura, esto es X, y esto es X medios. 656 00:50:17,909 --> 00:50:26,250 Una forma de hacerlo es utilizar el torneo de Pitágoras, es decir, que el cuadrado de la hipotenusa, 657 00:50:26,250 --> 00:50:38,869 la potencia es x, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es h al cuadrado más x medios al cuadrado. 658 00:50:42,679 --> 00:50:44,940 Por lo tanto solo hay que despejar h al cuadrado. 659 00:50:48,159 --> 00:50:57,340 Tenemos que h al cuadrado es igual a x al cuadrado menos x medios al cuadrado, esto es x al cuadrado menos x al cuadrado partido por 4, 660 00:50:57,340 --> 00:51:05,360 Y esto es 4x cuadrado menos x cuadrado partido por 4, que es 3x cuadrado entre 4. 661 00:51:05,960 --> 00:51:14,199 Por lo tanto, h es la raíz cuadrada de 3x cuadrado entre 4, que es la raíz cuadrada de 3 partido por 2, x. 662 00:51:15,260 --> 00:51:15,760 Y ya está. 663 00:51:17,260 --> 00:51:27,079 Tendríamos como resultado que la altura es la raíz cuadrada de 3 partido por 2 por x. 664 00:51:31,360 --> 00:51:32,340 En metros, claro está. 665 00:51:34,280 --> 00:51:36,860 Otra forma de hacerlo sería la siguiente. 666 00:51:38,800 --> 00:51:43,519 Bueno, sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo son 180 grados, 667 00:51:43,519 --> 00:51:47,539 entonces la del equilátero será 180 partido por 3, que es 60. 668 00:51:48,900 --> 00:51:59,380 Como 180 grados es pi, pues 60 grados son pi tercios de radian, la tercera parte de 180. 669 00:51:59,380 --> 00:52:07,699 Entonces, otra opción es que si tenemos aquí este triángulo 670 00:52:07,699 --> 00:52:11,579 Y son 60 grados, o pi tercios 671 00:52:11,579 --> 00:52:21,840 Esos X es la altura, entonces H partido por X es el seno de 60 672 00:52:21,840 --> 00:52:28,539 Por lo tanto, H es X por el seno de 60 673 00:52:28,539 --> 00:52:36,860 Y en la calculadora tenéis que el seno de 60 es 0,866 674 00:52:36,860 --> 00:52:44,780 Si no os acordáis que es el cuadrado de 3 partido por 2 675 00:52:44,780 --> 00:52:49,719 Podéis hacer un truco y es el siguiente 676 00:52:49,719 --> 00:52:54,750 ¿Cómo resulta que este valor que vamos a llamar de u? 677 00:52:56,170 --> 00:52:58,570 De acuerdo, sabemos que hay que descuadrar el promedio 678 00:52:58,570 --> 00:53:02,630 Si cogéis el valor de la calculadora y lo eleváis al cuadrado 679 00:53:02,630 --> 00:53:17,130 ponéis u cuadrado es igual a 0,866 etcétera al cuadrado os va a dar 0.75 de ese modo es 0.75 680 00:53:17,130 --> 00:53:24,530 raíz cuadrada la red cuadrada de tres cuartos que raíz cuadrada de 3 partido por 2 si alguna 681 00:53:24,530 --> 00:53:30,769 vez necesitáis este valor eso es un truco para conseguirlo con la calculadora bueno sigamos 682 00:53:30,769 --> 00:53:36,769 El apartado A ya está, vamos con el apartado B. 683 00:53:36,769 --> 00:53:57,139 Podemos ver que la figura contiene cuatro trozos de longitud X y hay dos trozos más con una longitud diferente que podemos decir que tiene longitud Y. 684 00:53:57,139 --> 00:54:08,829 En total, suman las x son 4x, y hay dos y y son 10 metros. 685 00:54:08,829 --> 00:54:17,000 En el enunciado nos dice que hay que determinar cómo se debe cortar la barra. 686 00:54:17,000 --> 00:54:21,000 Es decir, en el fondo es decir, la longitud de la x y de la y. 687 00:54:21,000 --> 00:54:28,000 Diciendo que hay cuatro barras de tal longitud y tras dos barras está toda la longitud. 688 00:54:28,000 --> 00:54:36,079 Y hay que calcular las X y las Y de modo que el área total sea máxima. 689 00:54:36,079 --> 00:54:42,079 Lo primero que hacemos es calcular el valor de Y en función de X, lo sabemos por esta ecuación. 690 00:54:42,079 --> 00:54:46,079 Porque la longitud total son 10 metros, hemos dicho. 691 00:54:46,079 --> 00:54:50,079 Así que 2Y es 10 menos 4X. 692 00:54:50,079 --> 00:54:56,079 Y es igual a 10 menos 4X entre 2, que es 5 menos 2X. 693 00:54:56,079 --> 00:55:00,900 Así pues, esto es 5 menos 2X. 694 00:55:00,900 --> 00:55:25,679 Y con esto podemos calcular el área total. El área será el área del triángulo, hemos visto que la altura es raíz cuadrada de 3 partido por 2 por x, y como el área de un triángulo es base, que es x, por altura, raíz cuadrada de 3 partido por 2x, entre 2, 695 00:55:25,679 --> 00:55:52,199 Y el rectángulo tiene como área, base por altura, la base es x, la altura es la y, que es 5 menos 2x, y calculando tenemos x por x, x cuadrado, x raíz de 3 partido por 4, más 5x menos 2x al cuadrado. 696 00:55:52,199 --> 00:56:07,739 Y esto es igual a 5x menos, bueno, más raíz de 3 partido por 4 menos 2. 697 00:56:14,699 --> 00:56:23,719 De hecho podemos poner, vamos a ponerlo, el área como a de x, una función que depende de x. 698 00:56:25,739 --> 00:56:27,480 Aquí falta un x al cuadrado, que he olvidado. 699 00:56:27,480 --> 00:56:43,480 Y esto podemos dejarlo de forma más sencilla poniendo que esto es 5x más raíz cuadrada de 3 menos 8 entre 4 por x al cuadrado. 700 00:56:43,480 --> 00:57:02,920 Entonces daríamos A' de X es igual a 5 más la raíz cuadrada de 3 menos 8 partido por 4 por 2X y esto es 5 más la raíz cuadrada de 3 menos 8 entre 2 por X. 701 00:57:02,920 --> 00:57:20,420 Y esto es igual a 0, si solo si, raíz cuadrada de 3 menos 8 partido por 2 es igual a, perdón, por x es igual a 5, a menos 5. 702 00:57:20,420 --> 00:57:23,400 si multiplicamos todo por menos 1 703 00:57:23,400 --> 00:57:28,659 tenemos aquí 8 menos raíz cuadrada de 3 704 00:57:28,659 --> 00:57:32,199 aquí partido por 2, x es igual a 5 705 00:57:32,199 --> 00:57:39,760 si solo si, x es igual a 5 por 2 entre 8 menos raíz de 3 706 00:57:39,760 --> 00:57:46,380 si solo si, racionalizando 707 00:57:46,380 --> 00:57:49,340 eso es 10 entre 8 menos raíz de 3 708 00:57:50,559 --> 00:57:52,960 racionalizamos, arriba y abajo, 8 más raíz de 3 709 00:57:52,960 --> 00:57:54,579 8 más raíz de 3 710 00:57:54,579 --> 00:57:56,099 Y esto nos da 711 00:57:56,099 --> 00:57:59,119 80 más 10 raíz de 3 712 00:57:59,119 --> 00:58:02,559 Entre 8 por 8 713 00:58:02,559 --> 00:58:04,940 64 menos 3 714 00:58:04,940 --> 00:58:06,619 Y esto es 715 00:58:06,619 --> 00:58:08,840 8 más 10 raíz de 3 716 00:58:08,840 --> 00:58:10,880 Entre 61 717 00:58:10,880 --> 00:58:16,000 Y este valor 718 00:58:16,000 --> 00:58:19,219 Y esto es un máximo 719 00:58:19,219 --> 00:58:23,139 Pues 720 00:58:23,139 --> 00:58:24,920 A' de X 721 00:58:24,920 --> 00:58:28,820 Es igual a 722 00:58:28,820 --> 00:58:30,820 Raíz de 3 menos 8 partido por 723 00:58:30,820 --> 00:58:55,110 2, que es menor que 0. Además, es un máximo absoluto, ya que ADX es una parábola, o una 724 00:58:55,110 --> 00:59:04,519 función cuadrática. Parábola porque os podéis acordar mejor, pero lo más correcto sería 725 00:59:04,519 --> 00:59:15,739 decir una función cuadrática. Y con esto ya tenemos demostrado que es un máximo, con 726 00:59:15,739 --> 00:59:36,590 Con lo cual, tenemos x, nos faltaría calcular y, y es 5 menos 2x, que es 5 menos 2 veces 8 más 10 raíz de 3 partido por 61, 727 00:59:36,590 --> 01:00:03,420 que sería 5 menos 16 más 20 raíz de 3 partido por 61, y eso es 305 menos 16 más, perdón, menos 20 raíz de 3 partido por 61, 728 01:00:03,420 --> 01:00:13,769 que es 289 menos 20 raíz de 3 entre 61. 729 01:00:14,150 --> 01:00:17,539 Por lo tanto, el resultado sería 730 01:00:17,539 --> 01:00:30,360 hay que cortar la barra en 4 trozos 731 01:00:30,360 --> 01:00:41,480 de longitud 8 más 10 raíz de 3 partido por 61 732 01:00:41,480 --> 01:00:48,019 y 2 de 29 menos 20 raíz de 3 partido por 61. 733 01:00:48,719 --> 01:00:50,360 Bueno, esa sería la forma de ponerlo. 734 01:00:50,599 --> 01:01:13,340 Si se quiere poner el ejercicio con datos exactos, otra opción sería, si hay poca falta de tiempo puede ser buena idea, tomar el valor del seno del ángulo tal como lo tenemos así, ir calculando y obtener los valores, pues, números exactos. 735 01:01:13,340 --> 01:01:15,099 que en este caso serían 736 01:01:15,099 --> 01:01:20,260 vamos a escribirlo con los valores que nos darían exactos 737 01:01:20,260 --> 01:01:27,800 hay que cortar la barra 738 01:01:27,800 --> 01:01:33,809 en 4 trozos de longitud 739 01:01:33,809 --> 01:01:38,929 0,415 740 01:01:38,929 --> 01:01:50,190 y 2 trozos de longitud 741 01:01:50,190 --> 01:01:53,679 ah, me falta aquí metros 742 01:01:53,679 --> 01:02:02,849 4,17 metros 743 01:02:02,849 --> 01:02:04,329 bueno, aquí también me faltan los metros 744 01:02:04,329 --> 01:02:05,909 y aquí los metros 745 01:02:05,909 --> 01:02:10,010 y también se podría hacer así 746 01:02:10,010 --> 01:02:13,750 en este caso no tendréis que calcular esta fórmula 747 01:02:13,750 --> 01:02:15,670 ponéis directamente el valor del seno 748 01:02:15,670 --> 01:02:18,010 lo que os da de 60 749 01:02:18,010 --> 01:02:19,570 y ya está 750 01:02:19,570 --> 01:02:24,289 nuevamente podéis parar la grabación 751 01:02:24,289 --> 01:02:25,789 leer bien el enunciado 752 01:02:25,789 --> 01:02:27,469 y después intentadlo vosotros 753 01:02:27,469 --> 01:02:29,750 o directamente escuchar la solución 754 01:02:29,750 --> 01:02:32,190 corregimos 755 01:02:32,190 --> 01:02:35,429 de toda esta parte del enunciado 756 01:02:35,429 --> 01:02:39,059 lo importante es 757 01:02:39,059 --> 01:02:45,380 que el huerto es un rectángulo de 72 metros cuadrados 758 01:02:45,380 --> 01:02:48,780 esto es, tenemos aquí un rectángulo 759 01:02:48,780 --> 01:02:52,909 donde el área es 72 760 01:02:52,909 --> 01:02:58,409 luego nos dicen que el área está dividida en dos partes 761 01:02:58,409 --> 01:03:01,150 y una de ellas es un rectángulo interior 762 01:03:01,150 --> 01:03:08,710 donde los lados de arriba están 763 01:03:08,710 --> 01:03:13,929 grandes, están a una distancia de 0,5 764 01:03:13,929 --> 01:03:22,789 y los lados cortos están a una distancia de 1 765 01:03:22,789 --> 01:03:31,389 bueno, además lo primero que nos piden son las dimensiones del huerto 766 01:03:31,389 --> 01:03:34,809 con lo cual lo lógico es que las variables que vamos a poner x e y 767 01:03:34,809 --> 01:03:39,130 sean los lados del huerto 768 01:03:39,130 --> 01:03:44,550 entonces los lados del huerto pequeño 769 01:03:44,550 --> 01:03:52,880 pues esta distancia de aquí sería pues 770 01:03:52,880 --> 01:03:58,519 y menos por una parte aquí 0.5 de aquí y 0.5 de aquí 771 01:03:58,519 --> 01:04:04,980 que es y menos 1, y esta parte de aquí sería x menos 2. 772 01:04:07,579 --> 01:04:13,150 Bien, sigamos. Vamos siguiendo con los datos. 773 01:04:15,429 --> 01:04:23,289 Era 72, tenemos la x y la y, pues sabemos que x por y vale 72, 774 01:04:23,789 --> 01:04:28,469 por lo que es lo mismo, y es igual a 72 partido por x. 775 01:04:30,550 --> 01:04:34,090 Y luego la función que nos interesa, aquí hemos cogido ya el área, 776 01:04:34,090 --> 01:04:35,969 Bueno, le podemos llamar también F, total. 777 01:04:38,289 --> 01:04:45,519 El área de la parte pequeña, esta es la parte de hortalizas, ¿no? 778 01:04:47,179 --> 01:04:50,219 Esta es la parte de flores, etc. 779 01:04:51,219 --> 01:04:58,010 Bueno, pues el área de la zona de hortalizas, vamos a llamarle F de X, 780 01:04:59,409 --> 01:05:06,610 es el área del rectángulo pequeño, que es base por altura, 781 01:05:06,610 --> 01:05:15,269 Y esto es igual a X menos 2 multiplicado por 72 partido por X menos 1. 782 01:05:16,530 --> 01:05:33,039 Y realizando el producto, X por 72 partido por X, eso es 72, menos X, menos 144 partido por X, más 2. 783 01:05:33,039 --> 01:05:49,650 Y esto es igual a 74 menos x menos 144 partido por x. 784 01:05:50,030 --> 01:06:02,849 La derivada de f sería la derivada de esto, que es menos 1. 785 01:06:03,210 --> 01:06:11,929 Y ahora ya la derivada de esto, que sería menos 144 por la derivada de 1 entre x, que es menos 1 entre x al cuadrado. 786 01:06:11,929 --> 01:06:17,110 Si nos acordáis, pues si g de x es x a la menos 1 787 01:06:17,110 --> 01:06:22,170 g' de x es menos x a la menos 2 788 01:06:22,170 --> 01:06:23,829 que es menos 1 entre x al cuadrado 789 01:06:23,829 --> 01:06:28,210 Y esto nos da menos 1 menos por menos más 790 01:06:28,210 --> 01:06:30,190 144 entre x al cuadrado 791 01:06:30,190 --> 01:06:37,239 Eso es igual a 0, si y solo si 792 01:06:37,239 --> 01:06:42,099 144 partido por x al cuadrado es igual a 1 793 01:06:42,099 --> 01:06:43,420 si y solo si 794 01:06:43,420 --> 01:06:46,559 144 es igual a x al cuadrado 795 01:06:46,559 --> 01:06:47,760 si, solo si 796 01:06:47,760 --> 01:06:50,880 x es la raíz cuadrada de 144 797 01:06:50,880 --> 01:06:52,579 bueno, sería más menos 798 01:06:52,579 --> 01:06:56,019 pero como tomamos la positiva 799 01:06:56,019 --> 01:06:58,760 porque la negativa no la tomamos porque son distancias 800 01:06:58,760 --> 01:07:01,000 sería la positiva 801 01:07:01,000 --> 01:07:10,880 sería la raíz cuadrada de 144 que es 12 802 01:07:10,880 --> 01:07:14,139 vamos a borrar esto 803 01:07:14,139 --> 01:07:17,300 porque aquí se sobrevive por el contexto 804 01:07:17,300 --> 01:07:20,639 Nos falta probar que es un máximo 805 01:07:20,639 --> 01:07:23,800 Aquí lo más sencillo es con la tabla 806 01:07:23,800 --> 01:07:37,949 Tenemos el intervalo desde 0 sin incluir 807 01:07:37,949 --> 01:07:39,809 Porque nuestra definida funciona en el 0 808 01:07:39,809 --> 01:07:44,349 Hasta el 12, en el 12 y del 12 al infinito 809 01:07:44,349 --> 01:07:49,929 Solo cantemos los positivos 810 01:07:49,929 --> 01:07:54,780 Aquí tenemos f' y aquí tenemos f 811 01:07:54,780 --> 01:07:58,699 La derivada ha sido 0 812 01:07:58,699 --> 01:08:01,320 Como cogemos un valor cualquiera 813 01:08:01,320 --> 01:08:02,800 Por ejemplo el 1 814 01:08:02,800 --> 01:08:05,119 Y el valor en el 1 815 01:08:05,119 --> 01:08:09,619 sería menos 1 más 144, que es 816 01:08:09,619 --> 01:08:13,500 143. Aquí es positiva, por lo tanto 817 01:08:13,500 --> 01:08:17,640 aquí la función es creciente. Cogemos aquí un valor 818 01:08:17,640 --> 01:08:26,760 por ejemplo el 20, y si en el calculador 819 01:08:26,760 --> 01:08:31,539 cogemos menos 1 más 144 entre 20 al cuadrado 820 01:08:31,539 --> 01:08:34,039 nos da menos 0,64 821 01:08:34,039 --> 01:08:38,960 y esto es negativo. Por lo tanto 822 01:08:38,960 --> 01:09:00,279 Aquí es decreciente. Por tanto, esto es un máximo. Entonces, 12 es un máximo absoluto de f en 0, infinito. 823 01:09:02,800 --> 01:09:14,250 Entonces, ¿cuáles son las dimensiones? Las dimensiones serían x, que es 12, e y, que es 72 partido por 12, que es 6. 824 01:09:15,810 --> 01:09:21,750 Y bueno, pues efectivamente I es el lado menor, aquí coincide con el enunciado, es todo correcto. 825 01:09:22,689 --> 01:09:27,909 Podría ocurrir que nos dicen que I no fuese el lado menor y que el problema estuviera mal hecho. 826 01:09:28,350 --> 01:09:37,420 Entonces ponemos el resultado, las dimensiones o directamente el huerto. 827 01:09:37,420 --> 01:09:43,689 tenemos A, pues serían 828 01:09:43,689 --> 01:09:47,510 el largo son 12 metros 829 01:09:47,510 --> 01:09:51,170 y el ancho son 6 metros 830 01:09:51,170 --> 01:09:58,819 B, calcule el área de la zona de cultivo de hortalizas, bueno, pues eso es muy sencillo 831 01:09:58,819 --> 01:10:01,159 el triángulo más pequeño 832 01:10:01,159 --> 01:10:05,720 tenía una longitud aquí de X menos 2 y aquí Y menos 1 833 01:10:05,720 --> 01:10:08,859 X menos 2 es 12 menos 2 834 01:10:08,859 --> 01:10:20,720 que es 10, y menos 1 es 6 menos 1, que es 5, el área sería 10 por 5, que es 50. 835 01:10:22,300 --> 01:10:32,239 Pues ponemos B, 50 metros cuadrados. También se podría calcular directamente con esta fórmula, 836 01:10:32,239 --> 01:10:53,989 Por supuesto, haríamos 74 menos 12 menos 144 entre 12, que sería f de 12, y nos da 74 menos 12 menos 12, que es 74 menos 24, que es 50. 837 01:10:54,289 --> 01:10:55,270 Es otra forma de hacerlo. 838 01:10:56,189 --> 01:10:59,149 De hecho, sería incluso más rápido hacerlo así porque no hay que volver a hacer cálculos. 839 01:11:00,829 --> 01:11:02,010 Pues ya hemos terminado.