1 00:00:00,240 --> 00:00:13,099 Vamos a empezar con funciones. Como lo vamos a hacer en estas clases extra, voy a ir muy despacito, porque sé que esto os cuesta, entonces voy a ir muy despacito. 2 00:00:13,199 --> 00:00:21,199 Vamos a empezar desde el principio y como en principio tenemos, con estas clases extra, tenemos bastante tiempo, vamos a ir despacito. 3 00:00:22,199 --> 00:00:28,820 Entonces, lo que vamos a ver en estas clases son exclusivamente el tema de funciones, 4 00:00:28,940 --> 00:00:34,060 el tema de lo que se llama en matemáticas análisis. 5 00:00:35,380 --> 00:00:41,359 Para entender lo que es una función, lo primero que tenemos que saber es 6 00:00:41,359 --> 00:00:48,140 cómo en matemáticas se ha establecido un sistema de representación, 7 00:00:48,140 --> 00:00:56,140 un sistema de puntos y de figuras que se llama el sistema de referencia cartesiano. 8 00:00:56,640 --> 00:01:02,159 Eso nos va a servir a entender cómo funcionan los sistemas de representación cartesianos, 9 00:01:02,820 --> 00:01:07,060 nos va a servir tanto en funciones, en el estudio de las funciones, 10 00:01:07,540 --> 00:01:15,939 como en las clases de los lunes y los martes, cuando hablemos de analítica de la recta y un plan. 11 00:01:16,680 --> 00:01:18,939 ¿Qué es un sistema de ejes cartesianos? 12 00:01:18,939 --> 00:01:21,659 Un sistema de ejes cartesianos todos lo tenéis en la cabeza. 13 00:01:22,079 --> 00:01:23,400 Es esto que estáis viendo aquí. 14 00:01:25,060 --> 00:01:32,359 Está formado, el sistema de representación cartesiana puede ser de dos dimensiones o de tres dimensiones. 15 00:01:32,359 --> 00:01:40,000 Si hablamos de dos dimensiones, lo que estamos hablando es de un sistema en el que ponemos dos ejes perpendiculares. 16 00:01:40,000 --> 00:01:49,900 A este le llamamos el eje de las X, a este el eje de las Y, entonces este es el eje de abscisas 17 00:01:49,900 --> 00:01:55,519 ¿Os suena esto, no? ¿Os suena o no os suena? 18 00:01:56,459 --> 00:01:59,019 La representación de puntos en un sistema de escasez 19 00:01:59,019 --> 00:02:01,400 Y esto se llama ordenar 20 00:02:01,400 --> 00:02:07,219 De manera que si yo represento un punto cualquiera aquí, o aquí, o aquí 21 00:02:07,219 --> 00:02:20,419 Y ese punto queda definido por su distancia al eje Y, que es esto, y su distancia al eje X, que es esto. 22 00:02:21,080 --> 00:02:28,300 Entonces, ese punto, de esa manera yo puedo referenciar, saber que, ahora veremos cómo se hace esa referencia, 23 00:02:30,379 --> 00:02:35,159 sabiendo dónde está colocado y con una referencia que se llaman coordenadas del punto, 24 00:02:35,159 --> 00:02:41,860 entonces puedo saber y colocar en cualquier momento, yo puedo dibujar dónde está el punto o lo que sea. 25 00:02:43,300 --> 00:02:50,680 El punto donde se cortan los dos ejes coordenados es este y se llama origen, se llama origen de coordenadas. 26 00:02:51,740 --> 00:03:02,580 Y luego las cuatro zonas en que se divide el plano cuando yo dibujo estos dos ejes se llaman cuadrantes, se llaman cuadrantes. 27 00:03:03,479 --> 00:03:06,800 El primer cuadrante, como veis, es este. 28 00:03:08,159 --> 00:03:09,180 Esto lo veis, ¿no? 29 00:03:09,620 --> 00:03:12,360 El segundo cuadrante es este de aquí. 30 00:03:13,960 --> 00:03:15,800 El tercero, este. 31 00:03:17,240 --> 00:03:19,639 Y el cuarto, este cuadrado. 32 00:03:20,719 --> 00:03:20,900 ¿Vale? 33 00:03:22,000 --> 00:03:22,419 ¿Sí? 34 00:03:23,080 --> 00:03:29,439 Bueno, pues vamos a ver cómo se define, 35 00:03:29,439 --> 00:03:35,400 cómo se define la situación de un punto en un sistema de ejes coordenados. 36 00:03:35,780 --> 00:03:39,240 Bueno, os digo una cosa. Antes de eso, os digo una cosa. 37 00:03:40,520 --> 00:03:46,479 Estamos hablando, como vemos aquí, en todo lo que tiene que ver con el análisis, 38 00:03:46,479 --> 00:03:51,300 con las gráficas, con lo que vamos a estudiar en estas clases, 39 00:03:52,080 --> 00:03:58,080 trabajamos siempre en un plano, con dos ejes coordenados y un plano. 40 00:03:58,080 --> 00:04:02,620 Veréis que cuando trabajemos en las clases de los lunes y los martes 41 00:04:02,620 --> 00:04:07,479 El estudio de las rectas y los planos 42 00:04:07,479 --> 00:04:12,139 Ahí trabajaremos con ese mismo sistema pero en tres dimensiones 43 00:04:12,139 --> 00:04:17,600 En tres dimensiones este sistema en vez de tener como veis el plano 44 00:04:17,600 --> 00:04:20,139 Tiene una tercera dimensión que es esta 45 00:04:20,139 --> 00:04:27,560 Entonces un punto cualquiera quedaría definido por su distancia a este plano 46 00:04:27,560 --> 00:04:32,740 por su distancia a este plano y por su distancia a este plano. 47 00:04:33,279 --> 00:04:38,180 Ya veremos esto cuando trabajemos con ello en analítica de la recta y del plano. 48 00:04:38,819 --> 00:04:45,519 Pero nosotros, para estudiar la parte de funciones, solo trabajamos en dos dimensiones. 49 00:04:47,519 --> 00:04:55,819 Bueno, vamos a ver cómo se define un punto dentro de un sistema de ejes coordenados. 50 00:04:56,620 --> 00:05:04,240 Como veis, repito, el sistema de ejes coordenados tiene mis dos ejes, mi eje X, mi eje Y, 51 00:05:05,259 --> 00:05:14,250 y un punto, como ya os he dicho, queda definido por esta distancia y por esta distancia. 52 00:05:14,250 --> 00:05:20,610 Esta distancia, como es en el eje Y, se llama Y, se llama Y sub cero, y esto se llama X sub cero. 53 00:05:21,050 --> 00:05:27,269 Y un punto queda definido de esta manera, es decir, un punto en un sistema de ejes coordenados 54 00:05:27,269 --> 00:05:35,149 queda definido siempre por esas distancias por dos coordenadas. 55 00:05:35,490 --> 00:05:40,730 Un punto, cuando yo lo estoy referenciando a un sistema de ejes coordenados, 56 00:05:41,110 --> 00:05:43,490 tiene dos coordenadas. 57 00:05:44,589 --> 00:05:48,209 Por ejemplo, este de aquí es el punto 2, 3. 58 00:05:48,389 --> 00:05:49,550 ¿Por qué es el punto 2, 3? 59 00:05:49,709 --> 00:05:52,930 Porque tiene x, esta distancia, es 2. 60 00:05:53,649 --> 00:05:56,089 Y esta distancia es 3. 61 00:05:56,689 --> 00:06:02,490 De tal manera que si a mí me dan un punto cualquiera, por ejemplo, el 2, 4, 62 00:06:03,329 --> 00:06:08,550 pues yo sé que tengo que hacer primero las X, 2, y ahora X, 1, 2, 3 y 4. 63 00:06:11,579 --> 00:06:13,000 Ese punto está ahí. 64 00:06:14,680 --> 00:06:21,000 Esta referencia a unos ejes es lo que se utiliza en un montón de cosas que vosotros utilizáis habitualmente. 65 00:06:21,000 --> 00:06:49,500 A los GPS es esto, los GPS, todos los puntos del espacio tienen unas coordenadas con respecto a un eje de referencia universal y entonces cuando te dicen que no, esto es lo que pasa es que en el caso de la Tierra se llaman latitud y altitud, longitud y altitud y latitud, pero es lo mismo, es una referencia a X e Y, de manera que yo sé, yo puedo referenciar un punto, yo donde estamos nosotros, donde estás colocado en ese momento, 66 00:06:49,500 --> 00:06:51,160 tiene una x y una y 67 00:06:51,160 --> 00:06:53,259 y entonces saben perfectamente 68 00:06:53,259 --> 00:06:55,300 lo pones con respecto 69 00:06:55,300 --> 00:06:57,360 a los ejes coordenados y sabes que estás 70 00:06:57,360 --> 00:06:58,420 de acuerdo 71 00:06:58,420 --> 00:06:59,779 bueno 72 00:06:59,779 --> 00:07:02,220 como veis 73 00:07:02,220 --> 00:07:05,360 para que yo pueda sacar 74 00:07:05,360 --> 00:07:07,300 las coordenadas 75 00:07:07,300 --> 00:07:08,279 de un punto 76 00:07:08,279 --> 00:07:11,060 los ejes coordenados tienen que estar graduados 77 00:07:11,060 --> 00:07:12,579 porque si no 78 00:07:12,579 --> 00:07:14,819 yo no sé ese 2 como le pongo 79 00:07:14,819 --> 00:07:17,699 los ejes coordenados hay que graduarlos 80 00:07:17,699 --> 00:07:19,480 en partes iguales 81 00:07:19,480 --> 00:07:26,000 Yo no puedo coger un eje coordenado y poner esto y el siguiente aquí y el otro aquí. 82 00:07:26,759 --> 00:07:29,079 Tienen que estar graduados siempre en partes iguales. 83 00:07:29,600 --> 00:07:36,959 Lo que sí puede ser es que el valor de lo que hay aquí, o sea, si esto es un 1, un 2, 84 00:07:37,339 --> 00:07:41,399 esto por conveniencia, ya veremos más adelante qué conveniencia es esa, 85 00:07:41,819 --> 00:07:46,600 esto en vez de 1, 2 puede ser 100, 200 o lo que sea. 86 00:07:46,600 --> 00:07:51,220 Es decir, la forma de graduar el eje X y el eje Y puede ser distinta. 87 00:07:51,779 --> 00:07:53,459 No tiene por qué ser las dos iguales. 88 00:07:53,560 --> 00:07:58,740 A eso sí, las partes en que los graduamos, tanto el eje Y como el eje X, tienen que ser iguales. 89 00:07:59,120 --> 00:07:59,459 ¿De acuerdo? 90 00:08:00,300 --> 00:08:13,399 Bueno, los signos de las coordenadas vienen dados en función de, a partir del eje, del origen de coordenadas. 91 00:08:13,399 --> 00:08:19,639 El eje X desde el origen de coordenadas hacia allá es positivo 92 00:08:19,639 --> 00:08:25,660 Y del origen de coordenadas hacia acá es negativo 93 00:08:25,660 --> 00:08:29,759 El eje Y hacia arriba del origen de coordenadas es positivo 94 00:08:29,759 --> 00:08:31,959 Y hacia abajo es negativo 95 00:08:31,959 --> 00:08:33,460 ¿Qué quiere decir eso? 96 00:08:34,039 --> 00:08:39,019 Quiere decir que la graduación, cuando yo graduo, esto es 1 97 00:08:39,019 --> 00:08:43,159 Pero esto es menos 1, esto es menos 2 98 00:08:43,159 --> 00:08:45,080 esto es menos 3 99 00:08:45,080 --> 00:08:47,139 es decir, las coordenadas 100 00:08:47,139 --> 00:08:49,360 o sea, la referencia 101 00:08:49,360 --> 00:08:50,840 a la coordenada del eje x 102 00:08:50,840 --> 00:08:52,720 a lo que se conoce como 103 00:08:52,720 --> 00:08:55,220 abscisa, recordad que esto se llama 104 00:08:55,220 --> 00:08:56,679 abscisa 105 00:08:56,679 --> 00:08:58,340 y esto se llama ordenada 106 00:08:58,340 --> 00:09:02,590 entonces 107 00:09:02,590 --> 00:09:04,750 las abscisas son positivas siempre 108 00:09:04,750 --> 00:09:06,769 del origen de coordenadas hacia la derecha 109 00:09:06,769 --> 00:09:08,289 y negativas hacia la izquierda 110 00:09:08,289 --> 00:09:10,370 y en este caso lo mismo 111 00:09:10,370 --> 00:09:11,950 esto si esto es 100 112 00:09:11,950 --> 00:09:13,990 esto sería menos 100 113 00:09:13,990 --> 00:09:16,529 Esto sería menos 200 114 00:09:16,529 --> 00:09:17,669 ¿Qué quiere decir eso? 115 00:09:17,870 --> 00:09:22,129 Quiere decir que un punto que se encuentra en el primer cuadrante 116 00:09:22,129 --> 00:09:27,629 Como este, va a tener siempre su X, su arcisa positiva 117 00:09:27,629 --> 00:09:32,049 Y su ordenada positiva 118 00:09:32,049 --> 00:09:34,669 Es decir, va a ser dos números positivos 119 00:09:34,669 --> 00:09:40,690 Un punto que se encuentra en el segundo cuadrante 120 00:09:40,690 --> 00:09:42,870 Las X son negativas 121 00:09:42,870 --> 00:09:48,970 y las is positivas, es decir, va a tener sus coordenadas con sus signos. 122 00:09:49,690 --> 00:09:53,490 Un punto que se encuentra en el tercer cuadrante tiene las x negativas 123 00:09:53,490 --> 00:09:57,450 y las is también negativas. 124 00:09:58,009 --> 00:10:02,950 Y un punto en el cuarto cuadrante tiene las x positivas y las is negativas. 125 00:10:03,350 --> 00:10:04,009 ¿Qué quiere decir eso? 126 00:10:04,009 --> 00:10:10,389 Quiere decir que si yo tengo, me dice, entrado el punto A, que es el punto menos 2, 3. 127 00:10:10,889 --> 00:10:11,970 ¿En qué cuadrante está eso? 128 00:10:12,870 --> 00:10:16,190 en el segundo, ¿lo veis? 129 00:10:17,490 --> 00:10:20,470 Sabemos inmediatamente por los signos de sus coordenadas, 130 00:10:20,769 --> 00:10:24,250 sabemos en qué cuadrante está colocado el punto, ¿vale? 131 00:10:24,389 --> 00:10:26,330 Por ejemplo, por ejemplo, ¿veis? 132 00:10:26,470 --> 00:10:31,970 Como veis, las coordenadas de este punto A son 2, 3, ¿lo veis, no? 133 00:10:32,809 --> 00:10:32,990 ¿Sí? 134 00:10:33,289 --> 00:10:38,710 Las coordenadas de este punto B es menos 1, menos 1, que es esto, 135 00:10:39,169 --> 00:10:41,169 y 2, porque es esto. 136 00:10:41,789 --> 00:10:44,029 Siempre primero la X y luego la Y. 137 00:10:44,610 --> 00:10:45,049 Siempre. 138 00:10:45,350 --> 00:10:47,789 Ojo con eso, que la cinta al principio se equivoca muchísimo. 139 00:10:48,330 --> 00:10:50,450 Siempre primero las X y luego las Y. 140 00:10:51,470 --> 00:10:53,750 Esto, mira, mira lo que te digo. 141 00:10:56,450 --> 00:10:56,889 Perfecto. 142 00:10:56,929 --> 00:10:57,509 Estamos ahí. 143 00:10:58,289 --> 00:11:00,450 Os he dicho que vamos a empezar desde el principio porque tenemos tiempo. 144 00:11:00,789 --> 00:11:01,129 Sí, sí. 145 00:11:01,210 --> 00:11:01,370 ¿Vale? 146 00:11:01,610 --> 00:11:05,289 Entonces estoy empezando, no desde el principio, estoy empezando desde la prehistoria. 147 00:11:05,950 --> 00:11:06,389 ¿Vale? 148 00:11:06,570 --> 00:11:09,929 De todas maneras, si vamos pasito a pasito, lo entenderéis perfectamente. 149 00:11:09,929 --> 00:11:14,909 Bueno, este punto, este punto B es el menos 1, 2 150 00:11:14,909 --> 00:11:18,169 Este punto C es el 0, 0 151 00:11:18,169 --> 00:11:20,029 No, es el 0 menos 3, ¿dónde está el C? 152 00:11:20,090 --> 00:11:22,049 Es este, este es el 0 menos 3 153 00:11:22,049 --> 00:11:27,669 La X es 0, es decir, si un punto está en el eje Y 154 00:11:27,669 --> 00:11:31,370 Está sobre el eje Y, su X 155 00:11:31,370 --> 00:11:38,559 Esto tiene la X en 0 156 00:11:38,559 --> 00:11:42,120 Si la X es 0 es porque está en el eje Y, ¿vale? 157 00:11:42,519 --> 00:12:12,080 El punto D, que es este, es el punto menos 3 menos 2 y el E, que es este, es el punto 1 menos 1, ¿de acuerdo? Vale, os pueden dar, que dibujéis, que podéis tener puntos que tenéis que poner en el sistema de referencia de coordenado o al revés, os pueden dar unos puntos y decir, o sea, perdón, sí, unos puntos y deciros que cuáles son sus coordenadas. 158 00:12:12,080 --> 00:12:34,980 Por ejemplo, ¿este qué coordenadas tiene? El A, 3. El B, 2, 2. El C, 0. No, no lo estaba leyendo, lo estaba viendo. ¿Veis? 0 porque la I, la I está ahí. ¿Vale? El E, menos 1, menos 1. Y el D, no. 1,5, menos 1. ¿De acuerdo? 159 00:12:35,980 --> 00:12:39,360 Venga, ahora, este estaba aquí, aquí, aquí esto. 160 00:12:39,519 --> 00:12:40,120 Decidme esto. 161 00:12:41,139 --> 00:12:42,320 ¿Esto lo tenéis que hacer? 162 00:12:42,539 --> 00:12:43,440 A un punto más grande. 163 00:12:44,120 --> 00:12:45,120 Sin pensar, ¿eh? 164 00:12:45,360 --> 00:12:50,299 Esto, esto, bueno, sin pensar no, o sea, es que esto es como, no sé, como vuestro nombre. 165 00:12:50,799 --> 00:12:52,100 Tenéis que saberlo como vuestro nombre. 166 00:12:52,500 --> 00:12:52,840 El A. 167 00:12:53,080 --> 00:12:53,919 Menos dos, menos dos. 168 00:12:54,460 --> 00:12:58,320 El A sería menos dos, menos dos. 169 00:12:58,840 --> 00:12:59,019 No. 170 00:12:59,820 --> 00:13:00,419 Menos dos. 171 00:13:00,639 --> 00:13:00,919 Dos. 172 00:13:01,019 --> 00:13:01,700 Menos dos, dos. 173 00:13:01,779 --> 00:13:02,120 Dos. 174 00:13:02,120 --> 00:13:05,159 Ojito, que la I hacia arriba es positiva 175 00:13:05,159 --> 00:13:05,899 ¿Vale? 176 00:13:06,460 --> 00:13:06,940 ¿De acuerdo? 177 00:13:07,639 --> 00:13:08,779 Venga, el B 178 00:13:08,779 --> 00:13:12,379 Menos 1, 4 179 00:13:12,379 --> 00:13:15,259 Menos 1, 4 180 00:13:15,259 --> 00:13:15,279 Menos 1, 4 181 00:13:15,279 --> 00:13:19,480 ¿Vale? 182 00:13:20,279 --> 00:13:20,779 El C 183 00:13:20,779 --> 00:13:23,539 0, 1,5 184 00:13:23,539 --> 00:13:27,320 Sí, es importante que lo sepáis 185 00:13:27,320 --> 00:13:29,120 Que no siempre tienen que coincidir con 186 00:13:29,120 --> 00:13:31,080 Tú haces las divisiones 187 00:13:31,080 --> 00:13:33,539 y luego hay muchas veces que te tienes que ir aproximando. 188 00:13:34,980 --> 00:13:37,080 El D, 2, 2, ¿no? 189 00:13:38,559 --> 00:13:39,980 2 aquí, 2 aquí. 190 00:13:40,559 --> 00:13:44,580 Y el E, 1, menos 4. 191 00:13:44,799 --> 00:13:45,720 1, menos 4. 192 00:13:48,179 --> 00:13:52,539 Ahora vosotros, en vuestro cuaderno, venga, dibujaros una hoja cualquiera. 193 00:13:53,139 --> 00:13:58,320 Dibujaros un eje, eso, y marcar estos puntos, ¿vale? 194 00:13:59,139 --> 00:14:02,220 Fijaros, yo voy a utilizar este gráfico, ¿no? 195 00:14:02,220 --> 00:14:07,759 Vosotros habréis tenido que dibujaros vuestros ejes coordenados y haberlos dividido. 196 00:14:07,820 --> 00:14:14,360 En este caso, nos podemos dividir los dos iguales de uno en uno, porque como no tenemos magnitudes, pues ya está. 197 00:14:14,820 --> 00:14:21,779 Entonces, el a será el menos 2, 3, que será este de aquí, ¿sí? 198 00:14:22,419 --> 00:14:24,120 Está en el segundo cuadrante. 199 00:14:25,159 --> 00:14:29,580 El menos 2, menos 2 sería el menos 2, menos 2. 200 00:14:29,580 --> 00:14:36,799 Este sería el menos 1,5, 0,5, sería menos 1,5, 0,5 hacia arriba, sería ese de ahí. 201 00:14:37,600 --> 00:14:38,820 ¿Lo veis? Este de ahí. 202 00:14:38,879 --> 00:14:44,159 Y el D es el 0, es decir, que está en el eje Y, y menos 1. 203 00:14:44,299 --> 00:14:51,159 ¿Vale? Sabemos colocar puntos, sabemos leer coordenadas para colocar en un punto. 204 00:14:51,740 --> 00:14:58,639 Yo, insisto, en gráficas, en funciones, no vamos a utilizar las tres dimensiones. 205 00:14:58,639 --> 00:15:00,940 Pero en analítica del plano sí 206 00:15:00,940 --> 00:15:03,580 Si esto lo tuvieses que hacer en tres dimensiones 207 00:15:03,580 --> 00:15:05,480 Sería lo mismo pero con una dimensión más 208 00:15:05,480 --> 00:15:08,000 Es decir, si yo esto estuviese trabajando 209 00:15:08,000 --> 00:15:09,820 En tres dimensiones 210 00:15:09,820 --> 00:15:12,080 Un punto tendría tres dimensiones 211 00:15:12,080 --> 00:15:13,759 Dos, uno, cuatro 212 00:15:13,759 --> 00:15:14,399 Por ejemplo 213 00:15:14,399 --> 00:15:16,100 Dos es las X 214 00:15:16,100 --> 00:15:19,720 Uno es las Y 215 00:15:19,720 --> 00:15:21,440 Y cuatro es las Z 216 00:15:21,440 --> 00:15:23,860 Entonces aquí lo que tendréis que hacer 217 00:15:23,860 --> 00:15:25,059 Es esto 218 00:15:25,059 --> 00:15:28,120 Bueno, ahí dibujas 219 00:15:28,120 --> 00:15:30,320 y lo colocas en el espacio, ¿vale? 220 00:15:30,440 --> 00:15:33,480 Es lo mismo, es un poco más complicado porque aparece una tercera dimensión, 221 00:15:33,779 --> 00:15:35,759 pero el procedimiento es exactamente igual. 222 00:15:36,100 --> 00:15:40,820 Se nombran los puntos exactamente igual, lo que pasa es que en vez de con dos dimensiones, con tres dimensiones. 223 00:15:41,299 --> 00:15:45,600 Insisto, de momento para lo que estamos estudiando, tres dimensiones no entran, 224 00:15:45,600 --> 00:15:51,700 pero bueno, ya que estamos estudiando la posición, cómo se representan puntos en un sistema coordenado, 225 00:15:52,000 --> 00:15:57,240 que sepáis que existen también las tres dimensiones que luego utilizaremos cuando trabajemos con rectas y planos, ¿vale? 226 00:15:58,120 --> 00:15:59,480 Bueno, seguimos. 227 00:16:01,600 --> 00:16:05,840 Vale, sabemos representar puntos en un sistema coordenado. 228 00:16:06,399 --> 00:16:10,700 Vamos a ver entonces, vamos a empezar con lo que es una función. 229 00:16:11,440 --> 00:16:14,960 Nosotros estamos acostumbrados hasta ahora, de lo que hemos visto, 230 00:16:15,320 --> 00:16:18,960 siempre que trabajábamos con números y letras en matemáticas, 231 00:16:19,460 --> 00:16:24,320 trabajábamos siempre como que, fundamentalmente con ecuaciones, 232 00:16:24,320 --> 00:16:41,419 es decir, con unas expresiones algebraicas que tienen que cumplir una determinada condición, por ejemplo, 2x cuadrado menos 3 igual a 5x, por ejemplo. 233 00:16:41,779 --> 00:16:52,759 Pues yo, esto es una ecuación, esto es una ecuación porque tiene un igual y porque tiene una solución o dos soluciones o las que sean, 234 00:16:52,759 --> 00:16:56,659 Es decir, hay unos valores de X que cumplen esa condición. 235 00:16:57,679 --> 00:17:01,879 Eso es una cosa, eso es el álgebra, son las ecuaciones, cuando son iguales. 236 00:17:02,179 --> 00:17:12,380 Cuando trabajamos con dos variables, con dos variables, las funciones en vez de con una variable se trabaja con dos variables, con dos variables, siempre. 237 00:17:13,920 --> 00:17:17,720 La función es una relación que hay entre dos variables. 238 00:17:17,720 --> 00:17:24,420 A una se le llama variable dependiente y a la otra se llama variable independiente. 239 00:17:25,579 --> 00:17:32,440 ¿De acuerdo? Por ejemplo, el número de escaños obtenidos por un partido político 240 00:17:32,440 --> 00:17:35,099 está en función del número de votos obtenidos. 241 00:17:36,480 --> 00:17:38,660 ¿Por qué? Eso es una función. ¿Por qué? 242 00:17:39,019 --> 00:17:44,259 Porque dependiendo del valor que tome una de las variables, 243 00:17:44,259 --> 00:17:48,019 me va a dar un valor u otro de otra de las variables. 244 00:17:48,019 --> 00:17:56,420 Es decir, una función es una magnitud, la que sea, que está en función de otra magnitud. 245 00:17:57,099 --> 00:18:04,759 Entonces, a esta magnitud i, que se le llama variable dependiente, y a esta independiente. 246 00:18:05,579 --> 00:18:08,440 Pero, ojo, con una cosa importantísima. 247 00:18:08,440 --> 00:18:15,220 solamente, solamente puede haber un único valor para cada valor de X. 248 00:18:15,940 --> 00:18:23,700 Es decir, yo no puedo decir si un partido saca mil votos tiene tres escaños 249 00:18:23,700 --> 00:18:27,619 y si saca ocho mil también tiene tres escaños. 250 00:18:28,259 --> 00:18:30,059 Entonces eso no es una función. 251 00:18:30,839 --> 00:18:36,759 Una función es siempre que para cada valor del término de la variable independiente 252 00:18:36,759 --> 00:18:37,980 solamente hay un valor. 253 00:18:38,440 --> 00:18:46,279 Por ejemplo, dice la temperatura del agua que está en un cazo al fuego depende de la cantidad de calor, ¿no? 254 00:18:46,359 --> 00:18:53,819 Entonces decimos que la temperatura del agua varía en función del calor recibido o simplemente que la temperatura está en función del calor. 255 00:18:54,500 --> 00:18:59,799 Cuanto más calor, más temperatura. Eso sí es una función. ¿Por qué? 256 00:19:00,140 --> 00:19:07,680 Porque si le ponemos tantas calorías estará a una temperatura, si le subo o le bajo, cambia la temperatura. 257 00:19:08,440 --> 00:19:18,599 Si la temperatura permanecía estable, por ejemplo, pues entonces, o tuviese con la misma cantidad de calor dos valores, pues entonces no sería una función. 258 00:19:18,599 --> 00:19:26,440 Eso es importantísimo. Es difícil saber si una relación entre dos variables es una función o no. 259 00:19:26,440 --> 00:19:38,880 Eso se ve muy bien. ¿Ves? A cada valor de la primera magnitud le hace corresponder un único valor de la y. 260 00:19:39,799 --> 00:19:51,279 ¿Vale? Bueno, ya sabéis que cuando tenemos una función los valores de x e y se llaman variables y una de ellas es la dependiente y la otra es la independiente. 261 00:19:51,279 --> 00:20:02,980 Entonces, siempre, siempre, que sepáis que lo normal es siempre llamar x a la variable independiente y y a la dependiente. 262 00:20:03,640 --> 00:20:05,319 Eso es lo más normal, ¿vale? 263 00:20:05,700 --> 00:20:15,289 Recordad que cuando representemos valores de una función, aquí lo representamos las x y aquí las x. 264 00:20:15,289 --> 00:20:20,170 Por ejemplo, vamos a ver esto que está resultando 265 00:20:20,170 --> 00:20:25,089 Dice, ¿cuáles son estas relaciones entre dos valores, entre dos variables? 266 00:20:25,509 --> 00:20:27,089 ¿Son funciones o no son funciones? 267 00:20:27,569 --> 00:20:31,549 El consumo de un coche y la velocidad a la que circula 268 00:20:31,549 --> 00:20:35,109 Esa sí, porque a más velocidad, más consumo 269 00:20:35,109 --> 00:20:37,430 Y a menos velocidad, menos consumo 270 00:20:37,430 --> 00:20:38,130 ¿De acuerdo? 271 00:20:39,289 --> 00:20:42,410 El perímetro de un polígono y la longitud de su lado 272 00:20:42,410 --> 00:20:43,869 también, porque 273 00:20:43,869 --> 00:20:46,309 cuanto más grande 274 00:20:46,309 --> 00:20:48,410 es el lado o más pequeño es el lado 275 00:20:48,410 --> 00:20:50,630 lo que es el perímetro 276 00:20:50,630 --> 00:20:52,549 cambia, el perímetro es 277 00:20:52,549 --> 00:20:53,990 la suma de la longitud de los lados 278 00:20:53,990 --> 00:20:55,990 luego cambiando la longitud de un lado 279 00:20:55,990 --> 00:20:58,109 cambia el perímetro de una 280 00:20:58,109 --> 00:21:00,529 el número de 281 00:21:00,529 --> 00:21:01,309 habitantes 282 00:21:01,309 --> 00:21:04,549 de los pueblos en la temperatura media en verano 283 00:21:04,549 --> 00:21:06,390 evidentemente eso no 284 00:21:06,390 --> 00:21:07,569 tiene ninguna relación 285 00:21:07,569 --> 00:21:10,349 bueno, pero no 286 00:21:10,349 --> 00:21:11,829 pero tú, no es siempre 287 00:21:11,829 --> 00:21:13,990 no es 288 00:21:13,990 --> 00:21:15,670 variable, o sea, que puede haber 289 00:21:15,670 --> 00:21:17,809 un año que tiene 20 grados 290 00:21:17,809 --> 00:21:19,609 y hay 100 habitantes, y otro año que tiene 291 00:21:19,609 --> 00:21:22,069 unos 20 grados y hay 1000, no depende 292 00:21:22,069 --> 00:21:22,930 de, ¿vale? 293 00:21:23,769 --> 00:21:26,230 ¿Y la altura y el número de hermanos de los estudiantes? 294 00:21:26,509 --> 00:21:28,049 Pues tampoco, ¿no? 295 00:21:28,089 --> 00:21:29,750 Evidente. En general, 296 00:21:29,890 --> 00:21:31,970 las relaciones funcionales son evidentes. 297 00:21:31,970 --> 00:21:34,210 Está claro cuando hay una relación funcional 298 00:21:34,210 --> 00:21:36,009 y cuando no, eso es una cosa que todos 299 00:21:36,009 --> 00:21:37,829 tenemos clara, claro, 300 00:21:37,930 --> 00:21:39,829 porque además, esta relación 301 00:21:39,829 --> 00:21:45,710 entre dos variables, lo vemos en la vida cotidiana muchísimo, casi todas las estadísticas, 302 00:21:45,849 --> 00:21:53,430 casi todo lo que hablamos siempre es una relación entre dos cosas, entre los años y la lluvia, 303 00:21:53,769 --> 00:22:01,390 siempre estamos muy acostumbrados a trabajar con funciones. Por ejemplo, la velocidad a 304 00:22:01,390 --> 00:22:06,609 la que circula un coche y la edad del conductor, evidentemente eso no es una función, el número 305 00:22:06,609 --> 00:22:11,970 habitantes de un barrio y el número de colegios públicos? Debería, debería, debería, ¿no? 306 00:22:12,769 --> 00:22:18,329 Debería que el número de colegios públicos dependa del número de habitantes que hay 307 00:22:18,329 --> 00:22:26,170 en un barrio. ¿La temperatura de un lugar y la hora? Sí. No. Por el sol. A las 10 hace 308 00:22:26,170 --> 00:22:31,470 más frío que a las 2. Algunos días. Siempre. No, siempre. Sí, en la porra, eso es porque 309 00:22:31,470 --> 00:22:35,170 lo dices tú. Hay días que se levanta estupendo y de pronto entra un viento horroroso como 310 00:22:35,170 --> 00:22:36,990 ayer, el ambiente de la noche hace un frío 311 00:22:36,990 --> 00:22:38,470 por la tarde a las 2 de la tarde. 312 00:22:38,490 --> 00:22:39,470 Y también depende del lugar. 313 00:22:40,390 --> 00:22:41,250 Claro, no. 314 00:22:41,930 --> 00:22:44,990 Que es posible, tal sea, 315 00:22:45,109 --> 00:22:46,990 no es una ley. No es ley que 316 00:22:46,990 --> 00:22:49,210 a las 2 de la tarde siempre haga más calor 317 00:22:49,210 --> 00:22:50,509 que a las 9 de la mañana. 318 00:22:50,809 --> 00:22:51,289 No es ley. 319 00:22:53,049 --> 00:22:55,049 El número de lados de un polígono 320 00:22:55,049 --> 00:22:56,690 y el número de diagonales, eso sí, 321 00:22:57,069 --> 00:22:57,630 lógicamente. 322 00:22:58,630 --> 00:22:59,769 Bueno, seguimos. 323 00:23:01,549 --> 00:23:01,950 Fijaros, 324 00:23:02,849 --> 00:23:05,109 esa relación entre dos variables 325 00:23:05,109 --> 00:23:08,890 que se llama función, se puede expresar de muchas maneras. 326 00:23:09,089 --> 00:23:11,150 Esto es importante, esto es importante. 327 00:23:11,529 --> 00:23:16,309 Mira, las funciones se pueden expresar mediante un lenguaje verbal, 328 00:23:16,609 --> 00:23:17,910 que es lo que estamos haciendo hasta ahora. 329 00:23:18,690 --> 00:23:22,470 Hemos hablado de la velocidad con respecto al consumo, 330 00:23:22,650 --> 00:23:26,170 hemos hablado, todo eso sí, lo hemos dicho verbalmente. 331 00:23:26,670 --> 00:23:30,569 Pues sí, hay una relación, cuanto más de pisa vayas, pues más consumes. 332 00:23:30,849 --> 00:23:32,869 Eso sería una forma de definir una función. 333 00:23:33,869 --> 00:23:51,990 Otra es una gráfica, por ejemplo, aquí tenemos este ejemplo, una gráfica, estamos hablando aquí de la relación entre el número de litros de gasolina que echamos en un coche y el precio que pagamos, 334 00:23:53,990 --> 00:24:02,289 aquí tenemos la cantidad de litros que echamos y aquí lo que estamos pagando, a medida que yo voy echando más litros voy pagando más precio, 335 00:24:02,289 --> 00:24:14,630 ¿Lo veis, no? ¿Veis cómo esta relación? Yo os puedo decir, la relación entre la cantidad de litros que he hecho de gasolina y el precio viene dada por esta gráfica. 336 00:24:14,930 --> 00:24:21,910 Vosotros aquí lo podíais entender, lo que está pasando. Esta es otra manera de expresar una función, una relación entre dos variables. 337 00:24:23,049 --> 00:24:30,069 Otra es una tabla de valores, por ejemplo esta. Yo puedo coger y decir, no, yo no te doy esto, te doy esto. 338 00:24:30,069 --> 00:24:32,589 Entonces te digo, si echas 10 litros 339 00:24:32,589 --> 00:24:33,990 Pagas 14,60 340 00:24:33,990 --> 00:24:36,369 Si echas 20, pagas 29,20 341 00:24:36,369 --> 00:24:37,450 Etcétera, etcétera 342 00:24:37,450 --> 00:24:40,390 Y por último, con una fórmula 343 00:24:40,390 --> 00:24:44,109 Una fórmula que puede ser 344 00:24:44,109 --> 00:24:47,130 Esta, por ejemplo 345 00:24:47,130 --> 00:24:50,690 El precio que pago es de 1,46 346 00:24:50,690 --> 00:24:53,529 Por la cantidad de gasolina de litros 347 00:24:53,529 --> 00:24:55,990 Entonces yo digo, si echo un litro, ¿cuánto pago? 348 00:24:56,069 --> 00:24:59,029 Si echo dos, 1,46 por dos 349 00:24:59,029 --> 00:25:08,089 Si he hecho tres, es decir, que yo puedo sacar los valores, la relación que hay entre las dos variables de todas estas maneras. 350 00:25:08,390 --> 00:25:19,589 Como veis, el gráfico este os dice que están relacionados, es decir, que no quiere decir que el hecho de darlo de esta manera no implique poder darlo de esta y poder darlo de esta. 351 00:25:20,549 --> 00:25:24,250 Si tú haces una descripción verbal, puedes hacer una gráfica. 352 00:25:24,250 --> 00:25:29,349 De una gráfica puedes sacar una descripción verbal, de la gráfica puedes sacar la tabla. 353 00:25:29,509 --> 00:25:37,430 Yo, si a mí me dan esta gráfica y me dicen, haz una tabla de valores teniendo esta gráfica, pues digo, a ver, ¿sí? 354 00:25:39,829 --> 00:25:46,809 Bueno, entonces, si yo quiero sacar una tabla una vez que me dan una gráfica, pues yo solo tengo que decir, por ejemplo, 355 00:25:46,809 --> 00:25:52,349 Cuando echo 10 litros pago 15 euros más o menos 356 00:25:52,349 --> 00:25:56,930 Cuando echo, entonces digo, si echo 10 litros pago 15 euros 357 00:25:56,930 --> 00:26:02,329 Fijaros que cuando tengo una tabla, cuando tengo una gráfica 358 00:26:02,329 --> 00:26:05,329 Siempre, estas son las X y estas son las Y 359 00:26:05,329 --> 00:26:06,750 Acordaros de eso siempre 360 00:26:06,750 --> 00:26:10,569 Las X es lo que expresa el eje horizontal 361 00:26:10,569 --> 00:26:13,029 Y las Y lo que expresa el eje vertical 362 00:26:13,029 --> 00:26:16,630 Es decir, las X son las abscisas y las Y 363 00:26:16,630 --> 00:26:17,650 las ordenadas 364 00:26:17,650 --> 00:26:31,750 esto son las X 365 00:26:31,750 --> 00:26:33,549 y esto son las Y 366 00:26:33,549 --> 00:26:35,529 ¿de acuerdo? siempre 367 00:26:35,529 --> 00:26:36,769 entonces yo digo 368 00:26:36,769 --> 00:26:39,470 en las X ¿qué es lo que estoy poniendo? 369 00:26:39,990 --> 00:26:42,210 siempre se pone la variable 370 00:26:42,210 --> 00:26:43,529 independiente 371 00:26:43,529 --> 00:26:45,869 es decir, lo que no depende 372 00:26:45,869 --> 00:26:47,210 de lo otro. Es decir, aquí 373 00:26:47,210 --> 00:26:49,630 la relación o la función 374 00:26:49,630 --> 00:26:51,890 entre la cantidad 375 00:26:51,890 --> 00:26:53,869 de litros y el precio, ¿cuál es la 376 00:26:53,869 --> 00:26:55,950 variable independiente? La cantidad 377 00:26:55,950 --> 00:26:57,849 de litros. Porque lo que depende 378 00:26:57,849 --> 00:26:59,990 es lo que pago, depende 379 00:26:59,990 --> 00:27:01,890 de la cantidad de litros, no al revés. 380 00:27:02,390 --> 00:27:03,589 La cantidad de litros, o sea, 381 00:27:03,869 --> 00:27:05,849 la cantidad de litros no 382 00:27:05,849 --> 00:27:06,990 depende de lo que pague. 383 00:27:07,930 --> 00:27:09,849 Yo lo que pido es tantos litros 384 00:27:09,849 --> 00:27:11,710 y de eso depende lo que pago. Entonces, 385 00:27:12,289 --> 00:27:14,089 siempre se pone la X y la Y. 386 00:27:14,349 --> 00:27:15,769 Entonces, si yo quiero sacar una tabla, 387 00:27:15,869 --> 00:27:19,970 Pues primero cojo la X y digo, pues a 20 litros, 30 euros. 388 00:27:21,230 --> 00:27:24,710 Y puedo ir haciendo, sacando de la gráfica, puedo sacar valores, 389 00:27:24,890 --> 00:27:28,170 puedo sacar los valores de X e Y e ir haciendo la tabla. 390 00:27:29,029 --> 00:27:35,250 De la tabla puedo sacar el gráfico, porque yo lo único que tengo que hacer 391 00:27:35,250 --> 00:27:40,150 es representar esto en un sistema coordenado. 392 00:27:40,470 --> 00:27:45,069 Digo, venga, 10, 20, 30, 40, 50, pues venga, lo voy a dividir de 10 en 10. 393 00:27:45,869 --> 00:27:51,470 10, 20, 30, 40 y así. 394 00:27:52,009 --> 00:27:57,450 Y aquí tengo 14, 29, bueno, pues los voy a dividir de 10 en 10 también. 395 00:27:57,849 --> 00:27:59,690 O de 5 en 5. 396 00:28:00,029 --> 00:28:01,009 De 5 en 5. 397 00:28:01,009 --> 00:28:06,250 Yo decido aquí 5, 10, 15, 20, 25, 30 y así. 398 00:28:07,269 --> 00:28:11,450 Y ahora yo digo, bueno, pues a 10, 14, pues más o menos por aquí. 399 00:28:11,450 --> 00:28:18,890 A 20 casi 30, pues 5, 10, 15, 20, 25, 30, pues a 20 casi 30. 400 00:28:19,529 --> 00:28:24,430 Esto lo sumo por aquí, lo sumo por aquí, bueno, y ahí. 401 00:28:24,910 --> 00:28:25,950 Y así sucesivamente. 402 00:28:26,269 --> 00:28:31,529 Yo, si tengo una tabla, puedo ir representando los puntos y puedo representar el gráfico. 403 00:28:31,990 --> 00:28:40,009 Y por último, si tengo una fórmula, yo puedo sacar pares de valores, 404 00:28:40,009 --> 00:28:41,970 lo que le corresponde a uno y lo que le corresponde al otro. 405 00:28:42,210 --> 00:28:42,950 ¿Cómo se hace eso? 406 00:28:43,049 --> 00:28:45,609 Yo doy valores a la variable independiente 407 00:28:45,609 --> 00:28:48,369 y voy sacando valores de la dependiente. 408 00:28:48,710 --> 00:28:50,490 Si yo quisiera hacer una tabla con esto, 409 00:28:50,809 --> 00:28:51,970 diría X e Y. 410 00:28:52,170 --> 00:28:54,890 La variable independiente son los litros que compro. 411 00:28:55,210 --> 00:28:57,950 Digo, pues si compro un litro, ¿cuánto pago? 412 00:28:58,089 --> 00:28:58,730 1,46. 413 00:29:00,430 --> 00:29:03,089 Si compro 2, pues lo que sea, 414 00:29:03,089 --> 00:29:16,309 2, pues 2, 9, 2, 2, 92, y así sucesivamente, si yo tengo la fórmula que me da la relación entre dos variables, 415 00:29:16,789 --> 00:29:25,390 yo puedo sacar valores, pares de valores, que a su vez me servirían para hacer una gráfica, ¿de acuerdo? 416 00:29:25,390 --> 00:29:32,329 Pero, ahora, yo si tengo la gráfica, puedo sacar la tabla. 417 00:29:33,049 --> 00:29:34,670 Si tengo la tabla, puedo sacar... 418 00:29:34,670 --> 00:29:35,990 Uy, digo, perdón, la gráfica. 419 00:29:36,069 --> 00:29:39,109 Si tengo la tabla, puedo sacar la gráfica. 420 00:29:39,150 --> 00:29:41,150 Si tengo la gráfica, puedo sacar la tabla. 421 00:29:41,769 --> 00:29:46,170 Ahora, lo que ya es bastante más complicado es sacar la fórmula. 422 00:29:47,470 --> 00:29:50,210 A veces es fácil y a veces es muy complicado. 423 00:29:50,210 --> 00:29:52,130 saber cuál es la relación 424 00:29:52,130 --> 00:29:54,470 en fórmula que tiene 425 00:29:54,470 --> 00:29:59,789 por ejemplo 426 00:29:59,789 --> 00:30:02,190 en esta, dice 427 00:30:02,190 --> 00:30:04,210 el cambio en euros a dólares está 428 00:30:04,210 --> 00:30:07,710 a 1,31,3 dólares 429 00:30:07,710 --> 00:30:10,150 completamos esta gráfica 430 00:30:10,150 --> 00:30:12,269 2 euros, ¿cuánto serían? 431 00:30:12,269 --> 00:30:14,269 2,5 euros 432 00:30:14,930 --> 00:30:15,390 ¿cuánto? 433 00:30:15,490 --> 00:30:16,289 6,5 434 00:30:16,289 --> 00:30:18,730 10,13 435 00:30:18,730 --> 00:30:27,670 27 lo que sea multiplicado y si es x y si le llamo a x al cambio tiene que estar en función de x 436 00:30:27,670 --> 00:30:34,309 ¿a qué llamo x aquí? ¿cuál es la variable independiente? estos son cambios cambio tantos euros y me dan tantos dólares 437 00:30:34,309 --> 00:30:41,529 tengo estoy haciendo un cambio tengo tantos euros y me dan tantos dólares 438 00:30:41,529 --> 00:30:47,210 luego la variable independiente aquí ¿cuál es? los euros que cambio 439 00:30:47,210 --> 00:30:49,549 y la dependiente son los dólares 440 00:30:49,549 --> 00:30:51,509 luego esta sería la X 441 00:30:51,509 --> 00:30:53,109 y entonces esta sería la Y 442 00:30:53,109 --> 00:30:54,809 y la Y, ¿cómo la calcularía? 443 00:30:54,950 --> 00:30:57,430 ¿cómo la calculo? ¿cómo calculo los dólares? 444 00:30:57,690 --> 00:30:58,970 que tengo, que tengo, que 445 00:30:58,970 --> 00:31:00,970 que me van a dar, no, X no 446 00:31:00,970 --> 00:31:03,089 X, exacto 447 00:31:03,089 --> 00:31:04,650 es 1,3 448 00:31:04,650 --> 00:31:06,910 ¿de acuerdo? 449 00:31:08,529 --> 00:31:08,869 Y 450 00:31:08,869 --> 00:31:10,849 hay que expresar 451 00:31:10,849 --> 00:31:13,089 Y es 1,3 452 00:31:13,089 --> 00:31:15,390 bueno 453 00:31:15,390 --> 00:31:18,150 da igual 454 00:31:18,150 --> 00:31:20,150 pero entendéis 455 00:31:20,150 --> 00:31:23,490 como se expresa siempre hay que poner 456 00:31:23,490 --> 00:31:24,869 la dependiente 457 00:31:24,869 --> 00:31:27,609 igual a la fórmula 458 00:31:27,609 --> 00:31:29,029 en la que aparece la independiente 459 00:31:29,029 --> 00:31:30,609 esto no 460 00:31:30,609 --> 00:31:33,529 siempre la que ponemos 461 00:31:33,529 --> 00:31:35,750 la fórmula siempre expresa 462 00:31:35,750 --> 00:31:37,269 el valor de la que depende 463 00:31:37,269 --> 00:31:39,589 y nos dice que operación 464 00:31:39,589 --> 00:31:41,849 tenemos que hacer con la que no depende 465 00:31:41,849 --> 00:31:42,930 para que nos den 466 00:31:42,930 --> 00:31:54,809 ¿De acuerdo? Es decir, que siempre una función, la expresión de una función siempre va a ser la variable que depende, la dependiente, y aquí la operación que hay que hacer con la independiente. 467 00:31:55,670 --> 00:31:56,049 ¿De acuerdo? 468 00:31:57,490 --> 00:32:08,009 Bueno, entonces, como hemos visto, las gráficas, las funciones se pueden representar por unas gráficas. 469 00:32:08,009 --> 00:32:27,089 Entonces, yo, hemos visto hasta ahora como si yo os digo una relación entre dos variables, sé si es una función o no es una función, en el caso de que en vez de darlo así, os lo dan en forma de gráfica, también podéis saber si es una función o no es una función, ¿por qué? 470 00:32:27,089 --> 00:32:38,789 Porque hemos dicho que la condición indispensable para que una función lo sea es que a cada valor de la variable independiente solo le corresponda uno de la variable dependiente. 471 00:32:39,049 --> 00:32:51,990 Es decir, que si yo cojo este punto de la variable independiente, esta x, aquí solamente puede haber un valor, no puede haber dos. 472 00:32:51,990 --> 00:32:57,349 Por lo tanto, si yo veo una gráfica, yo sé que esto, esta, es una función. 473 00:32:57,630 --> 00:33:01,829 ¿Por qué? Porque a los valores de las X solo les corresponde un valor de las Y. 474 00:33:02,269 --> 00:33:02,730 ¿Lo veis? 475 00:33:03,970 --> 00:33:05,329 ¿Esta es una función o no? 476 00:33:06,150 --> 00:33:07,430 Esta no. ¿Por qué? 477 00:33:07,710 --> 00:33:14,950 Porque fijaros que si cojo este valor, tiene este, tiene este y este. 478 00:33:15,430 --> 00:33:17,130 Es decir, eso ya no es una función. 479 00:33:18,029 --> 00:33:20,170 ¿Veis en la gráfica cómo se ve muy fácil? 480 00:33:20,170 --> 00:33:26,509 ¿Este es una función? No. Este valor tiene este y este de aquí arriba. 481 00:33:27,230 --> 00:33:33,230 ¿Y este es una función? Sí. ¿Por qué? Porque para cualquier valor de las X solamente hay un valor de la Y. 482 00:33:33,309 --> 00:33:38,609 Sí, no, no, sí. Esto representa, ¿cómo se llama? Figuras. 483 00:33:39,769 --> 00:33:45,950 Tú puedes representar figuras. En unos ejes coordenados tú puedes representar dos cosas. 484 00:33:45,950 --> 00:33:49,410 Puedes representar funciones, pero también puedes representar figuras. 485 00:33:49,410 --> 00:33:51,769 esto, esto tiene una ecuación 486 00:33:51,769 --> 00:33:53,029 exactamente igual 487 00:33:53,029 --> 00:33:55,450 la única diferencia es que cuando tú le das valores 488 00:33:55,450 --> 00:33:57,049 a la variable dependiente 489 00:33:57,049 --> 00:33:58,950 digo, independiente 490 00:33:58,950 --> 00:34:00,890 te pasa esto, que hay veces que 491 00:34:00,890 --> 00:34:03,670 es así, pero es lo mismo 492 00:34:03,670 --> 00:34:05,589 es decir, esta, por ejemplo 493 00:34:05,589 --> 00:34:07,230 yo que sé, pues a lo mejor esa 494 00:34:07,230 --> 00:34:09,289 es y igual 495 00:34:09,289 --> 00:34:11,449 a 2x cubo menos 496 00:34:11,449 --> 00:34:12,949 3x más 2 497 00:34:12,949 --> 00:34:15,309 y resulta que cuando empiezan a dar valores 498 00:34:15,309 --> 00:34:17,489 aquí, te ves que para un mismo 499 00:34:17,489 --> 00:34:19,489 valor, tienes 2. 500 00:34:21,190 --> 00:34:22,590 Entonces, si eso pasa, 501 00:34:23,309 --> 00:34:25,489 es una figura geométrica, que puede ser 502 00:34:25,489 --> 00:34:27,489 la que sea, pero no es 503 00:34:28,030 --> 00:34:28,510 una función. 504 00:34:29,610 --> 00:34:29,969 ¿De acuerdo? 505 00:34:33,659 --> 00:34:35,780 Bueno, vamos a hacer unos cuantos ejercicios sobre esto. 506 00:34:35,960 --> 00:34:37,619 Sobre el inicio de las funciones, 507 00:34:37,760 --> 00:34:40,179 el entendimiento de las funciones y la representación. 508 00:34:41,239 --> 00:34:41,840 Vamos con esto. 509 00:34:41,920 --> 00:34:42,960 El 6. Venga. 510 00:34:43,460 --> 00:34:45,619 ¿Lo veis bien o lo amplío? 511 00:34:48,019 --> 00:34:48,619 Venga. 512 00:34:50,599 --> 00:34:51,579 ¿Dice razona? 513 00:34:51,960 --> 00:34:54,219 ¿Si las variables pueden corresponder a una función o no? 514 00:34:54,800 --> 00:34:55,440 ¿Sí o no? 515 00:34:55,960 --> 00:34:56,920 No, ¿por qué? 516 00:34:57,360 --> 00:34:59,059 Porque, por ejemplo, el cero de la x... 517 00:34:59,059 --> 00:35:00,320 Sí, dime, dime, explícame. 518 00:35:00,800 --> 00:35:04,940 Para dos valores distintos de x, hay dos valores de la y. 519 00:35:05,280 --> 00:35:10,840 Como veis, a veces la y se pone como y o como f de x. 520 00:35:12,039 --> 00:35:14,079 Vamos a ir entrando en la nomenclatura. 521 00:35:14,079 --> 00:35:17,400 A veces una función, se nos va a imaginar esta función, 522 00:35:17,400 --> 00:35:24,400 igual a 3x cuadrado, o también se puede poner f de x igual a 3x cuadrado. 523 00:35:24,460 --> 00:35:27,880 Y ahora lo mismo, la variable dependiente, a veces se nombra como y, a veces no. 524 00:35:27,880 --> 00:35:29,980 ¿Por qué no es una función esta? Por esto. 525 00:35:32,559 --> 00:35:37,860 Porque para un mismo valor de la variable independiente tenemos, al revés, 526 00:35:37,960 --> 00:35:43,659 para dos distintos valores de la variable independiente tenemos un único valor para la dependiente. 527 00:35:43,659 --> 00:35:58,760 ¿Está claro? O sea, que ya veis cómo lo podemos ver, el distinguir si algo es una función o no, lo podemos ver, como hemos visto aquí, por su gráfica o también lo podemos ver por la tabla de valores. 528 00:35:59,760 --> 00:36:05,679 A veces también por las fórmulas, se puede ver que es más difícil. Siempre con las fórmulas es más difícil. 529 00:36:05,679 --> 00:36:12,679 Las gráficas estudiadas en tablas o estudiadas sobre todo en gráficas son muy fáciles. 530 00:36:13,659 --> 00:36:22,940 Son difíciles cuando lo que tenemos que estudiar es una función a través de una fórmula, que es justo lo que tienes que hacer vosotros más adelante, ¿vale? 531 00:36:24,420 --> 00:36:32,519 A ver, venga, empezamos a pensar. Este, dice una persona que camina a una velocidad de 4 km hora y parte del kilómetro 10. 532 00:36:33,320 --> 00:36:41,900 A ver si sois capaces de escribir la expresión algebraica, es decir, la fórmula que indica los kilómetros recorridos en función del tiempo. 533 00:36:43,659 --> 00:36:46,139 Una hora, cuatro kilómetros, ¿no? 534 00:36:46,400 --> 00:36:47,980 Sí, pero le tienes que poner 535 00:36:47,980 --> 00:36:49,480 Y igual a 536 00:36:49,480 --> 00:36:50,920 Tanto, tanto, por X 537 00:36:50,920 --> 00:36:53,780 Es decir, tenéis que inventaros una fórmula 538 00:36:53,780 --> 00:36:55,880 Que exprese eso 539 00:36:55,880 --> 00:36:56,719 Que me dé 540 00:36:56,719 --> 00:36:59,960 Los kilómetros recorridos en función del tiempo 541 00:36:59,960 --> 00:37:03,719 Venga, pensadlo tranquilamente 542 00:37:03,719 --> 00:37:04,639 Tenemos tiempo 543 00:37:04,639 --> 00:37:06,159 Lo bueno de esto es que ahora lo vamos a ir 544 00:37:06,159 --> 00:37:15,019 ¿Ya está? 545 00:37:16,079 --> 00:37:16,539 No, ahí 546 00:37:16,539 --> 00:37:20,860 Aquí lo tengo ahí, pero como que no sé cómo... 547 00:37:20,860 --> 00:37:23,079 ¿A qué vamos a llamar X y a qué vamos a llamar Y? 548 00:37:23,159 --> 00:37:29,599 Primero, vamos a expresar la fórmula, entonces vamos a decir, ¿cuál es la variable independiente? 549 00:37:29,900 --> 00:37:31,099 Los kilómetros recorridos. 550 00:37:31,519 --> 00:37:35,500 No, esa es constante. 551 00:37:36,739 --> 00:37:37,559 Claro, el tiempo. 552 00:37:37,699 --> 00:37:44,980 Es el tiempo, porque lo que nos está diciendo es cuántos kilómetros hemos recorrido dependiendo del tiempo. 553 00:37:44,980 --> 00:37:48,000 Lo dice la propia esto 554 00:37:48,000 --> 00:37:49,480 En función del tiempo 555 00:37:49,480 --> 00:37:52,599 Es decir, lo que no varía 556 00:37:52,599 --> 00:37:55,099 O sea, lo que es independiente es el tiempo 557 00:37:55,099 --> 00:37:56,659 Lo otro es lo que depende 558 00:37:56,659 --> 00:37:57,920 Entonces, X es el tiempo 559 00:37:57,920 --> 00:37:59,780 Y sería el 4 por X, no la Y 560 00:37:59,780 --> 00:38:01,559 Exacto 561 00:38:01,559 --> 00:38:02,980 ¿Y la Y qué es? 562 00:38:03,840 --> 00:38:04,579 Los kilómetros 563 00:38:04,579 --> 00:38:06,719 Los kilómetros recorridos 564 00:38:06,719 --> 00:38:09,059 Entonces, si yo tengo que expresar esto 565 00:38:09,059 --> 00:38:11,380 Lo primero ya sé que la Y 566 00:38:11,380 --> 00:38:13,360 Es la que tengo que poner Y igual 567 00:38:13,360 --> 00:38:16,780 porque son los kilómetros que he recorrido 568 00:38:16,780 --> 00:38:17,980 es la velocidad 569 00:38:17,980 --> 00:38:20,059 por, ¿de acuerdo? 570 00:38:21,500 --> 00:38:22,539 entonces, dice 571 00:38:22,539 --> 00:38:24,260 que partimos del kilómetro 10 572 00:38:24,260 --> 00:38:26,059 esto sería 573 00:38:26,059 --> 00:38:28,219 los kilómetros recorridos 574 00:38:28,219 --> 00:38:30,280 y yo digo, este es el kilómetro 10 575 00:38:30,280 --> 00:38:31,039 empieza aquí 576 00:38:31,039 --> 00:38:33,179 ¿cómo expresaría 577 00:38:33,179 --> 00:38:36,659 la distancia a la que estoy? 578 00:38:37,260 --> 00:38:38,079 en cada momento 579 00:38:38,079 --> 00:38:39,260 la distancia a la que estoy 580 00:38:39,260 --> 00:38:41,179 ahora hemos dicho 581 00:38:41,179 --> 00:38:43,639 son dos cosas distintas 582 00:38:43,639 --> 00:38:45,579 con las mismas variables 583 00:38:45,579 --> 00:38:46,679 yo digo 584 00:38:46,679 --> 00:38:49,000 voy a una velocidad constante 585 00:38:49,000 --> 00:38:52,039 y ¿cuántos kilómetros recorro 586 00:38:52,039 --> 00:38:52,980 en función del tiempo? 587 00:38:53,199 --> 00:38:55,219 pues si es una hora recorro 4 588 00:38:55,219 --> 00:38:56,760 si son 2 horas 8 kilómetros 589 00:38:56,760 --> 00:38:57,880 eso es una cosa 590 00:38:57,880 --> 00:38:59,559 pero también puedo expresar 591 00:38:59,559 --> 00:39:02,719 que en vez de que la i 592 00:39:02,719 --> 00:39:04,820 sea los kilómetros recorridos 593 00:39:04,820 --> 00:39:07,559 puede ser que la i 594 00:39:07,559 --> 00:39:09,780 sea distancia 595 00:39:09,780 --> 00:39:10,719 al origen 596 00:39:10,719 --> 00:39:17,380 imaginaros que esta es 597 00:39:17,380 --> 00:39:19,880 la puerta al sol 598 00:39:19,880 --> 00:39:21,219 y yo salgo de aquí 599 00:39:21,219 --> 00:39:22,659 a 10 kilómetros de la puerta al sol 600 00:39:22,659 --> 00:39:25,119 y digo, ¿cuánto, cuánto 601 00:39:25,119 --> 00:39:26,719 cuál es la fórmula que me da 602 00:39:26,719 --> 00:39:28,139 a qué distancia estoy de la puerta 603 00:39:28,139 --> 00:39:31,739 con las mismas variables 604 00:39:31,739 --> 00:39:33,099 puede ser que a mí 605 00:39:33,099 --> 00:39:35,119 me pidan o me den 606 00:39:35,119 --> 00:39:37,679 yo representando distintas cosas 607 00:39:37,679 --> 00:39:39,360 no es lo mismo, con eso mismo 608 00:39:39,360 --> 00:39:50,840 me pueden pedir, como hemos visto, los kilómetros recorridos o la distancia, por ejemplo, que hay a un origen en que sea, ¿vale? Sabiendo que yo parto de 10 kilómetros desde entonces, ¿vale? 609 00:39:52,760 --> 00:40:07,440 Y aquí os pregunto una cosa interesante que vamos a ir metiéndonos, dice, en este caso, yo puedo a esta X, que es el tiempo recorrido, el tiempo que yo estoy caminando, 610 00:40:07,440 --> 00:40:10,059 le puedo dar cualquier valor 611 00:40:10,059 --> 00:40:11,860 porque yo, si yo quiero 612 00:40:11,860 --> 00:40:14,000 hacer una tabla, si yo quiero hacer una tabla 613 00:40:14,000 --> 00:40:15,619 de esto, diré 614 00:40:15,619 --> 00:40:17,519 yo le puedo dar cualquier valor, o sea 615 00:40:17,519 --> 00:40:19,559 sí le puedo dar cualquier valor, pero 616 00:40:19,559 --> 00:40:21,920 ¿tiene sentido? Es decir, si yo digo 617 00:40:21,920 --> 00:40:23,579 que los kilómetros 618 00:40:23,579 --> 00:40:25,159 recorridos es 4 619 00:40:25,159 --> 00:40:27,599 por el tiempo y yo quiero 620 00:40:27,599 --> 00:40:29,800 hacer una tabla, ¿qué valores le daríais 621 00:40:29,800 --> 00:40:31,360 a la tabla? ¿Le puedo dar un valor 622 00:40:31,360 --> 00:40:33,559 menos una hora? ¿No? Es decir 623 00:40:33,559 --> 00:40:35,619 que en este caso 624 00:40:35,619 --> 00:40:37,280 por ejemplo no tiene sentido 625 00:40:37,280 --> 00:40:39,639 dar a la x valores negativos 626 00:40:39,639 --> 00:40:41,679 ¿por qué? porque lo que estoy representando 627 00:40:41,679 --> 00:40:42,599 a la x es tiempo 628 00:40:42,599 --> 00:40:44,400 y el tiempo no puede ser negativo 629 00:40:44,400 --> 00:40:45,980 ¿qué significa eso? 630 00:40:45,980 --> 00:40:47,519 me pregunta 631 00:40:47,519 --> 00:40:49,579 ¿en qué se traduce eso en su gráfica? 632 00:40:49,960 --> 00:40:51,980 pues es que si yo voy a representar 633 00:40:51,980 --> 00:40:53,659 esto, veré que 634 00:40:53,659 --> 00:40:55,000 a 0 es 0 635 00:40:55,000 --> 00:40:57,079 a 4 es lo que sea 636 00:40:57,079 --> 00:40:58,699 lo que sea 637 00:40:58,699 --> 00:41:00,920 pero aquí 638 00:41:00,920 --> 00:41:03,980 no hay gráfica 639 00:41:04,780 --> 00:41:06,239 porque yo nunca le voy a poder 640 00:41:06,239 --> 00:41:16,699 dar valores negativos y hacia abajo tampoco es una equis y en la y aquí tampoco es decir que 641 00:41:16,699 --> 00:41:24,420 esta gráfica es simplemente por lo que estoy expresando yo ya sé que esta gráfica sólo sólo 642 00:41:24,420 --> 00:41:31,239 va a tener representación en el primer cuadrante entendéis lo que digo que no no siempre todas las 643 00:41:31,239 --> 00:41:38,159 las gráficas, dependiendo de la función que yo estoy estudiando, tienen representación 644 00:41:38,159 --> 00:41:45,980 en todos los cuadrantes. Hay veces que hay cuadrantes en que no está porque no tiene 645 00:41:45,980 --> 00:41:51,739 sentido. ¿De acuerdo? Porque no tiene sentido que las X sean negativas o que las Y sean 646 00:41:51,739 --> 00:41:56,940 negativas. En este caso, claramente, ni las X pueden ser negativas ni las Y pueden ser 647 00:41:56,940 --> 00:41:58,280 ¿Vale? 648 00:41:58,719 --> 00:42:02,659 ¿Y en qué caso podría ser negativa? 649 00:42:02,880 --> 00:42:04,059 Por ejemplo, en temperaturas. 650 00:42:06,400 --> 00:42:08,360 Las temperaturas pueden ser negativas. 651 00:42:09,820 --> 00:42:11,820 Todo lo que las... 652 00:42:11,820 --> 00:42:12,639 Estas pueden ser negativas. 653 00:42:13,559 --> 00:42:14,679 Hay otra, por ejemplo, 654 00:42:15,440 --> 00:42:17,280 en raíces cuadradas, 655 00:42:17,280 --> 00:42:19,760 en raíces cuadradas, las equino pueden ser negativas. 656 00:42:19,980 --> 00:42:20,639 Porque tú no pruebas. 657 00:42:20,960 --> 00:42:23,679 Si yo tuviese una ecuación 658 00:42:23,679 --> 00:42:24,980 que fuese esto, 659 00:42:25,340 --> 00:42:26,840 o sea, una función que fuese esta, 660 00:42:26,940 --> 00:42:28,159 a la x no le puedo dar 661 00:42:28,159 --> 00:42:30,719 es que siempre va a ser positivo 662 00:42:30,719 --> 00:42:32,860 esta función 663 00:42:32,860 --> 00:42:34,719 también tendría esta misma 664 00:42:34,719 --> 00:42:37,440 dependiendo de lo que estés 665 00:42:37,440 --> 00:42:38,920 hay veces que tiene sentido 666 00:42:38,920 --> 00:42:41,639 dar valores negativos 667 00:42:41,639 --> 00:42:43,519 a las x y hay otras veces 668 00:42:43,519 --> 00:42:45,380 que incluso, por ejemplo 669 00:42:45,380 --> 00:42:46,460 en y 670 00:42:46,460 --> 00:42:49,119 igual a x cuadrado 671 00:42:49,119 --> 00:42:51,420 en esta función 672 00:42:51,420 --> 00:42:53,460 la x tú le puedes dar el valor 673 00:42:53,460 --> 00:42:55,500 que quieras, aquí no tienes ninguna 674 00:42:55,500 --> 00:42:57,079 la restricción, pero si me hago la I 675 00:42:57,079 --> 00:42:58,239 siempre que va a ser I positiva 676 00:42:58,239 --> 00:42:59,800 esta función 677 00:42:59,800 --> 00:43:04,489 esta función por ejemplo 678 00:43:04,489 --> 00:43:09,269 estaría aquí 679 00:43:09,269 --> 00:43:11,110 pero nunca 680 00:43:11,110 --> 00:43:11,869 estudiar eso 681 00:43:11,869 --> 00:43:13,909 eso es lo que es van a tener 682 00:43:13,909 --> 00:43:15,829 eso sí que es lo que motiva el examen 683 00:43:15,829 --> 00:43:17,210 no lo de antes, pero después sí 684 00:43:17,210 --> 00:43:20,010 es darle una función, estudiar 685 00:43:20,010 --> 00:43:21,690 dónde, qué valores puede estar 686 00:43:21,690 --> 00:43:23,710 todo eso 687 00:43:23,710 --> 00:43:24,590 bueno 688 00:43:24,590 --> 00:43:29,690 No, porque por ejemplo 689 00:43:29,690 --> 00:43:32,789 Si es y igual a x al cubo 690 00:43:32,789 --> 00:43:33,349 Ahí ya no 691 00:43:33,349 --> 00:43:35,489 Porque tú le puedes dar a la x cualquier valor 692 00:43:35,489 --> 00:43:37,590 Y la y te puede salir positiva o negativa 693 00:43:37,590 --> 00:43:38,130 ¿De acuerdo? 694 00:43:38,849 --> 00:43:40,250 Esta por ejemplo tiene los 4 695 00:43:40,250 --> 00:43:46,630 Bueno, vamos a seguir 696 00:43:46,630 --> 00:43:48,949 Vamos a seguir haciendo 697 00:43:48,949 --> 00:43:50,289 Esto es 9 698 00:43:50,289 --> 00:43:51,030 A ver 699 00:43:51,030 --> 00:43:54,250 ¿Lo podéis leer? 700 00:43:54,590 --> 00:43:59,989 La tarifa es de 0,5 euros. ¿Qué quiere decir eso? 701 00:44:00,929 --> 00:44:05,550 Que aunque estéis cero minutos, ya pagáis 0,5 euros. 702 00:44:06,210 --> 00:44:08,030 Ese es un poco el origen, efectivamente. 703 00:44:09,050 --> 00:44:11,829 Y el tiempo máximo de aparcamiento es de dos horas. 704 00:44:13,050 --> 00:44:17,449 Cada media hora cuesta eso, y cada fracción 0,05 euros. 705 00:44:17,449 --> 00:44:22,789 Claro, si tú estás tres cuartos de hora, te cobran la media hora 0,90, 706 00:44:22,789 --> 00:44:31,550 y cada fracción de cada, como son 15 minutos más, 0,05 por 15, ¿de acuerdo? 707 00:44:32,210 --> 00:44:34,429 Por eso 15 minutos, ¿no? 708 00:44:34,429 --> 00:44:39,349 Claro, por minuto, por cada fracción, por cada minuto que estés. 709 00:44:39,489 --> 00:44:45,449 Digo yo, vamos a suponerlo que es así, porque la fracción no sabemos a qué se refiere, 710 00:44:45,590 --> 00:44:50,369 pero vamos a suponer que las fracciones son cada minuto, nosotros vamos a darlo por cada minuto, ¿vale? 711 00:44:50,369 --> 00:45:13,329 Lo que te está diciendo es que la mínima que pagas sí o sí son 0,50, el máximo es 2 horas y cada media hora cuesta 0,90 y cada minuto que pase de media hora, o sea, cada minuto que pase de media hora es, no de media hora, sino, a ver, 712 00:45:13,329 --> 00:45:22,829 Si estás 35 minutos pagas la media hora y luego 5 minutos más, a ver si es capaz de 713 00:45:22,829 --> 00:45:23,829 sacarlas. 714 00:45:23,829 --> 00:45:30,210 Primero, la variable dependiente cuál es, lo que pagas, y x cuál sería el tiempo que 715 00:45:30,210 --> 00:45:33,570 estás, los minutos que estás, ¿de acuerdo? 716 00:45:33,570 --> 00:45:41,920 Pues venga, a ver si... 717 00:45:41,920 --> 00:45:48,139 Vamos a hacerla, vamos a hacerla, os quito esto, venga, os quito esto. 718 00:45:48,139 --> 00:45:49,079 Es lo que os va a estar liando. 719 00:45:49,440 --> 00:45:50,159 Venga, esa. 720 00:45:50,619 --> 00:45:50,900 ¿Qué más? 721 00:45:52,539 --> 00:45:53,159 ¿Copito eso? 722 00:45:55,260 --> 00:45:56,099 ¿Cero cincuenta? 723 00:45:56,599 --> 00:46:05,360 A ver, estudiamos esa, sin la fracción. 724 00:46:05,920 --> 00:46:08,440 Cada media hora más cuesta cero noventa. 725 00:46:08,519 --> 00:46:08,780 ¿Media hora? 726 00:46:08,900 --> 00:46:09,280 Dos horas. 727 00:46:09,659 --> 00:46:10,300 No, no, no. 728 00:46:10,380 --> 00:46:12,280 La tarifa mínima es de cero cincuenta. 729 00:46:12,639 --> 00:46:14,820 O sea, tú pagas cero cincuenta sí o sí. 730 00:46:14,820 --> 00:46:15,619 ¿Puedo entrar o no? 731 00:46:15,840 --> 00:46:16,280 Puedo entrar. 732 00:46:16,360 --> 00:46:17,320 ¿Puedo entrar? 733 00:46:17,320 --> 00:46:32,860 Y luego, tienes un máximo de dos horas y el tiempo que tienes es, lo diré, cada media hora más cuesta 0,90. 734 00:46:32,860 --> 00:46:35,139 o fracción 735 00:46:35,139 --> 00:46:38,099 entonces tú pagarías 736 00:46:38,099 --> 00:46:40,059 y que es lo que pagas 737 00:46:40,059 --> 00:46:41,519 serían los 0,50 738 00:46:41,519 --> 00:46:44,880 más 739 00:46:44,880 --> 00:46:47,539 0,90 740 00:46:47,539 --> 00:46:48,480 por X 741 00:46:48,480 --> 00:46:50,760 pero 742 00:46:50,760 --> 00:46:53,960 ojo, ¿qué es lo que pasa aquí? 743 00:46:54,199 --> 00:46:54,920 ¿qué es lo que pasa aquí? 744 00:46:55,659 --> 00:46:55,860 que 745 00:46:55,860 --> 00:46:59,179 esto es 746 00:46:59,179 --> 00:47:00,320 0,90 747 00:47:00,320 --> 00:47:25,619 Y es igual a 0,50 más 0,90x, pero solo y exclusivamente si x está entre 0 y 30 minutos. 748 00:47:26,800 --> 00:47:27,460 ¿No es así? 749 00:47:27,500 --> 00:47:31,860 Claro, porque tú estás, vamos a ver, esto es un poco, vamos a hacerlo de otra manera, 750 00:47:31,860 --> 00:47:33,920 porque esto es para que veáis que hay 751 00:47:33,920 --> 00:47:36,880 0,90 solo se aplica si estás con la media hora entera 752 00:47:36,880 --> 00:47:37,199 claro 753 00:47:37,199 --> 00:47:40,000 si no estás con la media hora da igual que es con el 0,90 754 00:47:40,000 --> 00:47:42,280 claro, y es 0,50 755 00:47:42,280 --> 00:47:43,360 más 756 00:47:43,360 --> 00:47:46,059 2 por 0,90 757 00:47:46,059 --> 00:47:48,199 si x está 758 00:47:48,199 --> 00:47:49,380 entre 759 00:47:49,380 --> 00:47:52,639 entre 30 760 00:47:52,639 --> 00:47:54,500 y 60 minutos 761 00:47:54,500 --> 00:47:55,920 ¿no? 762 00:47:55,920 --> 00:47:57,579 porque ya pagas dos periodos 763 00:47:57,579 --> 00:47:59,199 ¿de acuerdo? 764 00:47:59,199 --> 00:48:21,519 A ver, vamos a hacer una cosa. Vamos a representarlo. Yo voy a representarlo aquí para que veáis lo que es una función, cómo hay funciones que se expresan en trozos. En cada trozo, dependiendo del valor que yo doy a la X, tengo una fórmula u otra. 765 00:48:21,519 --> 00:48:23,739 Fijaros, en esta es 766 00:48:23,739 --> 00:48:25,840 Esto, el primero sería 767 00:48:25,840 --> 00:48:28,239 ¿Cuánto es? 0,50 euros 768 00:48:28,239 --> 00:48:31,059 0,50 769 00:48:31,059 --> 00:48:33,179 Ah, no, perdón, perdón 770 00:48:33,179 --> 00:48:34,719 Sí, sí, perdón, está mal 771 00:48:34,719 --> 00:48:35,840 0,50 es aquí 772 00:48:35,840 --> 00:48:38,940 No, estos son los euros 773 00:48:38,940 --> 00:48:40,719 0,50, no es media hora 774 00:48:40,719 --> 00:48:41,980 0,50 lo pagas 775 00:48:41,980 --> 00:48:43,599 Lo pagas por entrar 776 00:48:43,599 --> 00:48:47,280 Aquí, vamos a ponerlo 777 00:48:47,280 --> 00:48:48,539 Cada 30 minutos 778 00:48:48,539 --> 00:48:51,400 30, 60 779 00:48:51,400 --> 00:48:54,139 90 y 120 780 00:48:54,139 --> 00:48:56,300 hemos dicho que lo máximo es 120 781 00:48:56,300 --> 00:48:57,940 ¿no es así? 782 00:48:58,119 --> 00:48:59,980 entonces, si yo estoy 0 783 00:48:59,980 --> 00:49:01,800 si yo estoy 0 784 00:49:01,800 --> 00:49:03,579 pago 0,50 785 00:49:03,579 --> 00:49:05,159 ¿no? 786 00:49:05,840 --> 00:49:07,739 y hasta media hora 787 00:49:07,739 --> 00:49:09,760 pago, bueno, perdón 788 00:49:09,760 --> 00:49:11,599 pago eso y 789 00:49:11,599 --> 00:49:14,400 vamos a poner 0,50 790 00:49:14,400 --> 00:49:16,000 1 791 00:49:16,000 --> 00:49:17,880 1,50 792 00:49:17,880 --> 00:49:20,800 2 793 00:49:20,800 --> 00:49:22,639 2 euros, lo que sea 794 00:49:22,639 --> 00:49:24,739 entonces, si yo estoy 795 00:49:24,739 --> 00:49:26,039 media hora, ¿cuánto pago? 796 00:49:26,400 --> 00:49:28,739 pago 0,50 más 0,90 797 00:49:28,739 --> 00:49:29,800 pago 1,40 798 00:49:29,800 --> 00:49:30,880 ¿no es así? 799 00:49:32,139 --> 00:49:32,599 ¿sí o no? 800 00:49:34,760 --> 00:49:36,619 entonces, yo pagaría 801 00:49:36,619 --> 00:49:37,760 pues 1,40 802 00:49:37,760 --> 00:49:41,019 durante todo este tiempo 803 00:49:41,019 --> 00:49:43,219 pague el tiempo que esté 804 00:49:43,219 --> 00:49:45,059 hasta 30 minutos estoy ahí 805 00:49:45,059 --> 00:49:46,820 ¿de acuerdo? 806 00:49:48,000 --> 00:49:48,199 ¿vale? 807 00:49:49,239 --> 00:49:50,480 si estoy 808 00:49:50,480 --> 00:49:55,780 Si estoy entre 30 y 60, ¿cuánto pago? 809 00:49:57,119 --> 00:49:59,260 Entre media hora y una hora, ¿cuánto pago? 810 00:49:59,320 --> 00:50:02,960 Claro, pago un 80 más los 0,50. 811 00:50:03,079 --> 00:50:04,139 Es decir, pago 2,30. 812 00:50:08,050 --> 00:50:12,469 Es decir, que yo paso de aquí a aquí, a 2,30. 813 00:50:13,030 --> 00:50:14,849 Todo esto lo pago. 814 00:50:15,050 --> 00:50:15,329 ¿Veis? 815 00:50:15,489 --> 00:50:18,929 Esto es muy normal en pagos. 816 00:50:18,929 --> 00:50:22,489 Por ejemplo, en tarifas planas, en tarifas de no sé qué. 817 00:50:22,489 --> 00:50:26,309 Entre tanto y tanto pagas tanto, entre tanto y tanto pagas tanto. 818 00:50:27,050 --> 00:50:38,170 Si yo voy a, entre 60 y 90, pagaría 3 por 0,90 más 0,50, ¿no? 819 00:50:39,090 --> 00:50:43,210 O sea que serían 270, serían 320. 820 00:50:44,789 --> 00:50:49,110 Y arriba tendría, veis, esto, este tipo de funciones, 821 00:50:49,110 --> 00:50:55,369 que es lo que yo quería que vieses, este tipo de funciones es una función definida a trozos. 822 00:50:56,889 --> 00:51:01,989 Hasta ahora hemos visto cómo las funciones son así, así, como sea. 823 00:51:02,469 --> 00:51:12,030 Pero hay funciones que tienen distinto valor, distintas expresiones, es decir, que no son continuas, sino que van definidas a trozos. 824 00:51:12,030 --> 00:51:23,769 ¿Entendéis lo que es una función? ¿Lo veis? La diferencia entre esto, por ejemplo, que es una función que tiene una expresión y es una función que no tiene, siempre es la misma expresión. 825 00:51:24,190 --> 00:51:32,909 Esta, en este tipo, este tipo de funciones tiene distintas expresiones. Veremos cuando trabajemos ya con las fórmulas esto que sería. 826 00:51:32,909 --> 00:51:41,849 se definen como y, en este caso sería y, para definir esta función tendríamos que 827 00:51:41,849 --> 00:52:00,309 definirla de la siguiente manera, tendríamos que decir y es igual a 0.50 más 0.90 si el 828 00:52:00,309 --> 00:52:15,349 tiempo, x es igual, no, perdón, x está entre 0 y 30 minutos. Eso se escribe de esta manera, 829 00:52:15,869 --> 00:52:25,090 cuando x es menor que 30 y mayor que 30. ¿Entendéis esta manera de escribirlo? Este símbolo 830 00:52:25,090 --> 00:52:31,269 Es el símbolo menor, y es menor lo que hay en el pico y mayor lo que hay en el pico. 831 00:52:31,489 --> 00:52:36,670 Si x es mayor que 0 pero menor que 30, es decir, está entre 0 y 30, la fórmula es esta. 832 00:52:37,750 --> 00:52:52,170 Y es igual a 0,50 más 1,80 para, esto se escribiría así, x entre 60 y 30. 833 00:52:52,170 --> 00:53:02,849 ¿De acuerdo? Va cambiando la expresión que yo tengo que utilizar, va cambiando en función del rango de valores que tenga la X. 834 00:53:02,969 --> 00:53:09,650 Eso son lo que se llama funciones definidas a través de los valores, el rango de valores de la X. 835 00:53:09,650 --> 00:53:30,329 La siguiente, esta sería y es igual a 0,50 más 2,70 para x mayor que 60 y menor que 90. 836 00:53:30,329 --> 00:53:46,949 Y por último, y es igual a 0,50 más 0, no, 360, perdón, 360 para el x entre 120 y 90. 837 00:53:47,849 --> 00:53:52,289 Esta sería la expresión de lo que está. 838 00:53:52,289 --> 00:53:59,230 Que si esto lo llevo a una gráfica, pues sería una gráfica de este tipo. 839 00:54:00,329 --> 00:54:00,909 ¿De acuerdo? 840 00:54:02,630 --> 00:54:03,110 ¿Vale? 841 00:54:04,809 --> 00:54:05,650 Vamos con esto. 842 00:54:05,769 --> 00:54:12,170 Es decir, que si os dan una gráfica que no es así, sino que es así de esta manera, 843 00:54:12,730 --> 00:54:17,130 para definirla, cada trozo tiene una definición distinta. 844 00:54:17,750 --> 00:54:22,090 En las gráficas que son a trozos, es decir, que van saltando de un lado a otro, 845 00:54:22,610 --> 00:54:25,630 la definición en cada trozo es distinta. 846 00:54:26,369 --> 00:54:26,710 ¿De acuerdo? 847 00:54:27,429 --> 00:54:29,090 Bueno, vamos con esto. 848 00:54:30,329 --> 00:54:43,730 Vamos con este, dice, vamos a leer esta, este, dice, esta gráfica resume la excursión, una excursión que se ha realizado a la sierra de Guadarrama, ¿cuánto tiempo duró la excursión? 849 00:54:43,730 --> 00:54:53,510 Esto es tiempo y distancia recorrida, ¿vale? Esto es tiempo y estos son kilómetros recorridos. 850 00:54:53,510 --> 00:54:56,750 Cada raya de estas son 851 00:54:56,750 --> 00:54:58,889 A ver, estos son 10 852 00:54:58,889 --> 00:55:02,210 Estos son 12 853 00:55:02,210 --> 00:55:04,010 14 854 00:55:04,010 --> 00:55:06,269 16 855 00:55:06,269 --> 00:55:08,230 18 856 00:55:08,230 --> 00:55:09,050 Es en horas 857 00:55:09,050 --> 00:55:10,429 Y 20, ¿vale? 858 00:55:10,929 --> 00:55:12,050 Y estos son 10 859 00:55:12,050 --> 00:55:13,829 Estos son 20 860 00:55:13,829 --> 00:55:15,550 Estos son 30 861 00:55:15,550 --> 00:55:17,050 40, 50, 60 862 00:55:17,050 --> 00:55:19,510 ¿Lo veis? Ahora sí 863 00:55:19,510 --> 00:55:22,170 Dice, ¿cuánto tiempo duró la excursión? 864 00:55:22,269 --> 00:55:22,829 20 horas 865 00:55:22,829 --> 00:55:26,369 Ahí se refiere a las horas del día, no a las horas que han durado. 866 00:55:26,369 --> 00:55:29,329 Claro, eso será a las 10, a las 12, a las 12. 867 00:55:30,250 --> 00:55:31,389 ¿Cuántas horas hubo de fusión? 868 00:55:31,510 --> 00:55:32,409 Hasta las 8 de la tarde. 869 00:55:32,789 --> 00:55:35,030 ¿Qué son? ¿Cuánto? Bueno, 8 horas, ¿no? ¿Cuántas? 870 00:55:35,269 --> 00:55:36,469 10, 20 horas. 871 00:55:37,090 --> 00:55:37,670 ¿20 horas? 872 00:55:38,030 --> 00:55:39,289 Ay, entonces sí. 873 00:55:39,869 --> 00:55:40,630 ¿20 horas, no? 874 00:55:41,190 --> 00:55:44,650 Si salimos, si salimos, a ver, a qué hora salimos. 875 00:55:44,670 --> 00:55:45,309 A las 12. 876 00:55:46,210 --> 00:55:47,969 Ah, no, estas son las 8, son las 8. 877 00:55:48,150 --> 00:55:49,630 Espera, espera, sí, sí, es que no se ve. 878 00:55:49,929 --> 00:55:51,130 Esto, esto es... 879 00:55:51,130 --> 00:55:55,570 Yo los conozco que lo hacen 880 00:55:55,570 --> 00:55:58,010 Empezamos a las 8 881 00:55:58,010 --> 00:56:00,630 Empezamos a las 8 de la mañana 882 00:56:00,630 --> 00:56:01,570 Y terminamos a las 20 883 00:56:01,570 --> 00:56:03,369 ¿Cuántas horas se durará la excursión? 884 00:56:03,949 --> 00:56:04,809 12 horas 885 00:56:04,809 --> 00:56:05,989 ¿Vale? ¿Está claro? 886 00:56:07,349 --> 00:56:10,329 Dice, ¿en qué intervalo de tiempo se fue más rápido? 887 00:56:11,449 --> 00:56:12,409 Se fue más rápido 888 00:56:12,409 --> 00:56:14,230 Que entre las 11 y la 1 889 00:56:14,230 --> 00:56:16,510 A ver, nos dice 890 00:56:16,510 --> 00:56:18,409 En el intervalo, en este intervalo 891 00:56:18,989 --> 00:56:19,349 Aquí 892 00:56:19,349 --> 00:56:21,530 ¿En cuál otro se fue más rápido? 893 00:56:21,889 --> 00:56:23,909 En el de las ocho y las diez. 894 00:56:24,469 --> 00:56:24,969 ¿Ves, no? 895 00:56:25,610 --> 00:56:29,829 El que vaya más rápido se ve claramente la inclinación que tenga la línea. 896 00:56:30,429 --> 00:56:33,030 ¿Por qué se ve claramente la inclinación que tenga la línea? 897 00:56:33,230 --> 00:56:35,030 Porque cuanto más... 898 00:56:35,030 --> 00:56:39,409 Eso está tardando más tiempo en recorrer los mismos kilómetros. 899 00:56:39,409 --> 00:56:45,829 Pero si yo subo hacia acá el este, o sea, si yo lo voy subiendo hacia acá, 900 00:56:45,829 --> 00:56:48,030 pues lo que hago es ir aumentando 901 00:56:48,030 --> 00:56:49,809 el número de kilómetros en las mismas horas 902 00:56:49,809 --> 00:56:51,309 ¿lo veis? ¿no? entonces 903 00:56:51,309 --> 00:56:52,469 en este caso 904 00:56:52,469 --> 00:56:55,710 en este caso 905 00:56:55,710 --> 00:56:56,969 lo que nos preguntan 906 00:56:56,969 --> 00:57:00,050 ¿en qué periodos de tiempo ha ido más rápido 907 00:57:00,050 --> 00:57:02,050 que en este de aquí? pues en este 908 00:57:02,050 --> 00:57:03,389 y en este 909 00:57:03,389 --> 00:57:05,349 que es donde tiene mayor pendiente 910 00:57:05,349 --> 00:57:07,030 luego ha ido más rápido 911 00:57:07,030 --> 00:57:08,869 entre las 8 y las 10 912 00:57:08,869 --> 00:57:10,590 y entre las 913 00:57:10,590 --> 00:57:13,389 7 y las 8 de la tarde 914 00:57:13,389 --> 00:57:14,070 ¿de acuerdo? 915 00:57:14,070 --> 00:57:17,250 dice, venga, alguien que me explique 916 00:57:17,250 --> 00:57:19,650 a ver si es capaz de darme una explicación 917 00:57:19,650 --> 00:57:20,389 a esta excursión 918 00:57:20,389 --> 00:57:22,630 ¿qué es lo que se ha hecho en esta excursión? ¿qué ha pasado? 919 00:57:24,090 --> 00:57:24,489 ¿salimos? 920 00:57:24,630 --> 00:57:25,510 a las 8 de la noche 921 00:57:25,510 --> 00:57:28,530 un poquito más, alárgate un poquito más 922 00:57:28,530 --> 00:57:29,230 ¿qué pasó? 923 00:57:31,050 --> 00:57:32,110 ¿descansamos a las? 924 00:57:33,170 --> 00:57:34,230 a la 1 925 00:57:34,230 --> 00:57:36,250 ¿y entre las 8 y la 1 qué pasó? 926 00:57:36,250 --> 00:57:38,809 no paramos de andar 927 00:57:38,809 --> 00:57:39,429 ¿pero qué pasó? 928 00:57:41,110 --> 00:57:42,369 empezamos muy rápido 929 00:57:42,369 --> 00:57:44,829 empezamos muy rápido 930 00:57:44,829 --> 00:57:46,510 pero cuando llevábamos dos horas 931 00:57:46,510 --> 00:57:47,889 bajamos el ritmo 932 00:57:47,889 --> 00:57:49,969 pero aquí no sabemos cómo es el ritmo 933 00:57:49,969 --> 00:57:53,070 lo que sabemos es que íbamos más deprisa 934 00:57:53,070 --> 00:57:54,090 íbamos más despacio 935 00:57:54,090 --> 00:57:55,369 pero no sabemos por qué 936 00:57:55,369 --> 00:57:58,309 si porque somos mayores, si porque nos hemos cansado 937 00:57:58,309 --> 00:58:00,969 si porque el terreno era más escarpado 938 00:58:00,969 --> 00:58:02,610 no sabemos, eso no lo podemos decir 939 00:58:02,610 --> 00:58:03,250 no lo sabemos 940 00:58:03,250 --> 00:58:06,010 pero lo que sí sabemos es que íbamos 941 00:58:06,010 --> 00:58:07,530 empezamos muy rápido 942 00:58:07,530 --> 00:58:09,829 entre las 8 y las 10 y a las 10 bajamos el ritmo 943 00:58:09,829 --> 00:58:11,789 a las 11 decimos descansar 944 00:58:11,789 --> 00:58:13,030 ¿Cuánto descansamos? A la 1. 945 00:58:13,829 --> 00:58:16,010 Digo, a la 1. Hasta las 3. 946 00:58:16,150 --> 00:58:17,530 Estuvimos dos horas descansando. 947 00:58:17,929 --> 00:58:20,050 Supuestamente, dadas las horas, ponemos que es para comer. 948 00:58:20,630 --> 00:58:21,570 ¿No es así? Bueno. 949 00:58:21,889 --> 00:58:23,909 Y entonces, reanudamos la marcha. ¿A qué hora? 950 00:58:24,329 --> 00:58:24,829 A las 3. 951 00:58:26,010 --> 00:58:26,989 ¿Y qué pasó? 952 00:58:27,409 --> 00:58:29,309 A las 6. Estábamos cansados ya. 953 00:58:30,230 --> 00:58:31,409 Pero, ¿a qué ritmo? 954 00:58:31,809 --> 00:58:33,090 Empezamos después de comer, 955 00:58:33,809 --> 00:58:36,409 mantuvimos el ritmo 956 00:58:36,409 --> 00:58:38,550 que veníamos antes de comer. 957 00:58:38,550 --> 00:58:40,010 Es decir, que después de comer 958 00:58:40,010 --> 00:58:41,190 íbamos un poquito 959 00:58:41,190 --> 00:58:43,349 cancha o así de acción 960 00:58:43,349 --> 00:58:45,349 de la digestión y mantuvimos 961 00:58:45,349 --> 00:58:47,389 el ritmo. Y luego, ¿qué pasó? 962 00:58:47,769 --> 00:58:50,210 Descansamos una hora 963 00:58:50,210 --> 00:58:52,309 y ¿qué pasó? 964 00:58:52,750 --> 00:58:53,389 Que nos dimos cuenta 965 00:58:53,389 --> 00:58:54,230 que no llegábamos. 966 00:58:55,090 --> 00:58:57,690 O sea, hacía de noche. 967 00:58:58,030 --> 00:58:58,929 Algo pasó aquí 968 00:58:58,929 --> 00:59:02,090 que después del descanso 969 00:59:02,090 --> 00:59:03,429 tuvimos que aumentar 970 00:59:03,429 --> 00:59:05,429 muchísimo el ritmo porque 971 00:59:05,429 --> 00:59:07,469 o no llegábamos o se nos hacía 972 00:59:07,469 --> 00:59:09,269 de noche. Bueno, es difícil 973 00:59:09,269 --> 00:59:11,269 pensar que justamente al final es cuando más 974 00:59:11,269 --> 00:59:13,210 energía tengas, por mucho descanso que hayas 975 00:59:13,210 --> 00:59:15,110 hecho, pero es verdad que al final 976 00:59:15,110 --> 00:59:16,750 por alguna razón que desconocemos 977 00:59:16,750 --> 00:59:19,429 con la gráfica no nos lo dice, pasó esto 978 00:59:19,429 --> 00:59:19,989 ¿de acuerdo? 979 00:59:21,670 --> 00:59:23,389 bueno, pues venga, vamos con más 980 00:59:23,389 --> 00:59:24,809 a ver qué nos dice 981 00:59:24,809 --> 00:59:27,150 esto, dice, la relación entre 982 00:59:27,150 --> 00:59:28,949 la altura y la edad de los diferentes 983 00:59:28,949 --> 00:59:31,289 componentes en el que prepara un cesto, ¿es una relación 984 00:59:31,289 --> 00:59:31,789 funcional? 985 00:59:32,829 --> 00:59:34,489 no, ¿por qué? 986 00:59:36,610 --> 00:59:37,230 porque no 987 00:59:37,230 --> 00:59:38,329 depende una de la otra 988 00:59:38,329 --> 00:59:40,309 o sea, si hay una relación funcional 989 00:59:40,309 --> 00:59:41,650 es porque hay una dependencia 990 00:59:41,650 --> 00:59:44,110 cuando cambia una, cambia la otra 991 00:59:44,110 --> 00:59:45,510 de una manera continua 992 00:59:45,510 --> 00:59:48,329 y la relación entre la edad y la altura 993 00:59:48,329 --> 00:59:48,730 claro 994 00:59:48,730 --> 00:59:51,329 se supone 995 00:59:51,329 --> 00:59:52,849 van creciendo 996 00:59:52,849 --> 00:59:55,969 pero luego dejan de crecer 997 00:59:55,969 --> 00:59:56,550 vale 998 00:59:56,550 --> 00:59:58,710 bueno, seguimos 999 00:59:58,710 --> 01:00:01,449 bueno, así lo vamos a dejar 1000 01:00:01,449 --> 01:00:03,650 es que esto ya empezamos 1001 01:00:03,650 --> 01:00:05,250 en otro esto 1002 01:00:05,250 --> 01:00:07,550 que son las características de una función 1003 01:00:07,550 --> 01:00:08,750 que lo veremos en su presentación 1004 01:00:08,750 --> 01:00:09,650 ¿de acuerdo? 1005 01:00:10,869 --> 01:00:12,409 vale, pues