1 00:00:03,120 --> 00:00:10,400 Hola alumnos y alumnas de segundo de bachillerato. Vamos a resolver este límite. 2 00:00:10,939 --> 00:00:21,859 Ya aviso que este vídeo lo voy a ir haciendo despacio para que veáis cómo hay que justificar los resultados en matemáticas. 3 00:00:22,980 --> 00:00:27,160 Ya aviso que es un vídeo que a lo mejor es un poco largo. A ver lo que sale. 4 00:00:27,160 --> 00:00:29,339 Bueno, nos han pedido este límite 5 00:00:29,339 --> 00:00:31,440 Este es el límite que veis ahí 6 00:00:31,440 --> 00:00:34,619 Entonces lo primero que hacemos, como siempre, ya sabemos la técnica 7 00:00:34,619 --> 00:00:35,960 Sustituimos 8 00:00:35,960 --> 00:00:41,640 Y ahí abajo me va a quedar 1 elevado a más infinito 9 00:00:41,640 --> 00:00:48,840 Y esto ya sabemos que es una indeterminación de tipo E 10 00:00:48,840 --> 00:00:55,179 Vamos a ver cómo podemos resolver esta indeterminación 11 00:00:55,179 --> 00:01:05,579 Lo primero que vamos a recordar es qué es el número E, que es una cosa que no acabamos de tener claro. 12 00:01:05,579 --> 00:01:26,299 El número E lo encontramos en límites de esta forma, 1 más 1 partido por algo, voy a poner así, elevado a eso mismo. 13 00:01:26,299 --> 00:01:41,489 Pues, en estas condiciones, si esto se va a más infinito y esto, que es exactamente lo mismo, 14 00:01:41,489 --> 00:01:46,250 pues también tiene que ir a más infinito, es decir, en estas condiciones y sólo en estas, 15 00:01:47,189 --> 00:01:58,170 vamos a repasarlas, tiene que ser 1 más 1 entre una expresión y que esta expresión tienda a infinito 16 00:01:58,170 --> 00:02:01,769 y ahí también, bueno, pues en esas condiciones 17 00:02:01,769 --> 00:02:04,549 y solo en esas, por ahora no podemos decir nada más 18 00:02:04,549 --> 00:02:07,370 eso es el número E 19 00:02:07,370 --> 00:02:11,009 ¿de acuerdo? 20 00:02:12,310 --> 00:02:15,189 bien, ya digo lo primero que tengo que decir 21 00:02:15,189 --> 00:02:18,590 entonces, si esto de aquí 22 00:02:18,590 --> 00:02:21,710 tendiera a menos infinito, pues yo no sé nada 23 00:02:21,710 --> 00:02:24,270 yo no puedo contestar 24 00:02:24,270 --> 00:02:27,289 si ocurriera esto, porque no sé lo que es 25 00:02:27,289 --> 00:02:31,889 Ya veremos si luego sé contestar, a lo mejor al terminar este vídeo sí sabemos contestar 26 00:02:31,889 --> 00:02:36,629 Bien, pues vamos a empezar a hacer nuestro límite 27 00:02:36,629 --> 00:02:44,680 Entonces nuestro límite, lo voy a poner en negro, que no me gusta más 28 00:02:44,680 --> 00:02:56,240 Nuestro límite es este, límite cuando x tiende a más infinito de 1 menos 1 partido por x elevado a 1 29 00:02:56,240 --> 00:03:23,599 Yo lo que quiero es esto, quiero escribirlo de esta manera, yo quiero escribirlo como el límite cuando x tendrá más infinito, pero aquí lo que quiero tener es 1 más 1 entre algo elevado a eso mismo y que esto vaya más infinito y esto vaya más infinito. 30 00:03:23,599 --> 00:03:26,180 Vamos a ver si soy capaz de tener eso 31 00:03:26,180 --> 00:03:28,259 Porque si soy capaz de tener esto 32 00:03:28,259 --> 00:03:30,819 Y más cosas, pues ya podré contestar 33 00:03:30,819 --> 00:03:34,759 Así que seré capaz 34 00:03:34,759 --> 00:03:37,439 De conseguir esa expresión de esa manera 35 00:03:37,439 --> 00:03:39,180 Vamos a manipular esa expresión 36 00:03:39,180 --> 00:03:42,500 Por cierto, a lo único a lo que me puedo agarrar 37 00:03:42,500 --> 00:03:43,280 Es a la álgebra 38 00:03:43,280 --> 00:03:45,539 O sea, a manipular esta expresión 39 00:03:45,539 --> 00:03:48,099 Porque yo no sé otra cosa 40 00:03:48,099 --> 00:03:53,379 Lo primero que tenemos es lo siguiente 41 00:03:53,379 --> 00:03:54,719 A ver si lo entendemos bien 42 00:03:54,719 --> 00:03:57,280 Esta expresión 43 00:03:57,280 --> 00:03:59,740 que está elevado a x 44 00:03:59,740 --> 00:04:01,080 si yo opero abajo 45 00:04:01,080 --> 00:04:02,340 esto me queda 46 00:04:02,340 --> 00:04:05,560 x menos 1 entre x elevado a x 47 00:04:05,560 --> 00:04:12,000 bueno, pues entonces fijaros 48 00:04:12,000 --> 00:04:12,939 vamos a hacer 49 00:04:12,939 --> 00:04:16,199 esta división para que entendáis bien 50 00:04:16,199 --> 00:04:17,600 cuál es la problemática 51 00:04:17,600 --> 00:04:19,240 vamos a hacer esta división 52 00:04:19,240 --> 00:04:21,899 mirad, esta división 53 00:04:21,899 --> 00:04:24,100 que por cierto 54 00:04:24,100 --> 00:04:25,560 ya sabéis que es lo que va a salir 55 00:04:25,560 --> 00:04:26,519 va a salir esto de aquí 56 00:04:26,519 --> 00:04:29,279 esto, evidentemente 57 00:04:29,279 --> 00:04:31,459 x entre x 58 00:04:31,459 --> 00:04:33,540 vale 1, 1 por x, x 59 00:04:33,540 --> 00:04:35,399 lo estoy restando, menos x 60 00:04:35,399 --> 00:04:36,860 luego aquí me queda menos 1 61 00:04:36,860 --> 00:04:38,860 luego esto significa 62 00:04:38,860 --> 00:04:41,100 que al dividir x menos 1 63 00:04:41,100 --> 00:04:43,699 perdonadme que eso sale a veces 64 00:04:43,699 --> 00:04:46,040 porque lo hago muy seguido 65 00:04:46,040 --> 00:04:47,839 x menos 1 entre x elevado 66 00:04:47,839 --> 00:04:48,899 es igual al divisor 67 00:04:48,899 --> 00:04:50,680 o sea, al cociente, 1 68 00:04:50,680 --> 00:04:52,720 más el resto 69 00:04:52,720 --> 00:04:56,160 menos 1 partido por el 70 00:04:56,160 --> 00:04:59,680 bueno, pues este menos 1 71 00:04:59,680 --> 00:05:01,319 es el que nos está fastidiando 72 00:05:01,319 --> 00:05:03,620 este menos 1, 1 entre x 73 00:05:03,620 --> 00:05:05,079 bueno, lo vamos a poner así 74 00:05:05,079 --> 00:05:09,699 ¿veis? este es lo que nos está fastidiando 75 00:05:09,699 --> 00:05:10,720 porque esto de aquí 76 00:05:10,720 --> 00:05:13,560 yo quiero que sea un más y es un menos 77 00:05:13,560 --> 00:05:15,920 ¿por qué me sale un menos aquí? 78 00:05:16,420 --> 00:05:17,660 pues por lo siguiente 79 00:05:17,660 --> 00:05:20,079 porque en esta 80 00:05:20,079 --> 00:05:21,319 división que he hecho 81 00:05:21,319 --> 00:05:24,100 el dividendo 82 00:05:24,100 --> 00:05:26,180 es más pequeño 83 00:05:26,180 --> 00:05:27,740 que el divisor 84 00:05:27,740 --> 00:05:29,980 el dividendo 85 00:05:29,980 --> 00:05:31,220 es aquí menos 1 86 00:05:31,220 --> 00:05:40,379 y el divisor es x, al ser más pequeño, porque es x menos 1, pues el resto me sale negativo, me está restando. 87 00:05:42,019 --> 00:05:42,759 Ese es el problema. 88 00:05:46,040 --> 00:05:47,939 Entonces, ¿qué tenemos que hacer? 89 00:05:48,100 --> 00:05:52,379 Tenemos que conseguir que en esta expresión que tenemos aquí, 90 00:05:54,100 --> 00:06:00,360 de alguna manera, que esta fracción que hay aquí en la base, el numerador sea mayor que el denominador. 91 00:06:02,579 --> 00:06:03,639 ¿Cómo lo podemos hacer? 92 00:06:03,639 --> 00:06:12,339 Pues con esta manipulación, recordando que, ¿cómo se le daba la vuelta a una fracción? 93 00:06:12,699 --> 00:06:20,639 O sea, ¿qué operación hace que una fracción se convierta en la misma dada la vuelta? 94 00:06:20,939 --> 00:06:21,740 Pues esta operación. 95 00:06:22,560 --> 00:06:25,879 La voy a poner en rojo para que veáis que os vais a acordar. 96 00:06:28,040 --> 00:06:28,680 Esta operación. 97 00:06:29,779 --> 00:06:31,459 O sea, la fracción a partido por b. 98 00:06:31,459 --> 00:06:35,680 Si yo quiero darle la vuelta, ¿cómo se llama esta operación? 99 00:06:35,759 --> 00:06:42,500 Esta operación se le llama elevar a menos 1, claro que sí, ¿sí? 100 00:06:43,000 --> 00:06:49,980 Muy bien, pues ya voy aquí, entonces mi fracción, si yo le doy la vuelta, 101 00:06:50,839 --> 00:06:58,639 tengo que elevar a menos 1, y menos 1 por x, pues será menos x, ¿eh? 102 00:06:58,639 --> 00:07:06,439 Y ahora ya vamos bien, porque ahora ya mirad, voy a dividir x entre x menos 1, a ver quién es. 103 00:07:08,829 --> 00:07:15,430 1 por menos 1 menos 1, le estoy cambiando el signo, más 1, 1 por xx menos x, y me queda 1. 104 00:07:15,790 --> 00:07:21,110 Luego ya tengo que el dividendo entre el divisor es igual al cociente más el resto. 105 00:07:23,870 --> 00:07:28,550 Por tanto, mi nueva expresión va a ser esta. 106 00:07:28,550 --> 00:07:31,009 cociente 107 00:07:31,009 --> 00:07:35,800 1 más 108 00:07:35,800 --> 00:07:38,579 resto 109 00:07:38,579 --> 00:07:41,379 1 partido 110 00:07:41,379 --> 00:07:43,360 por el divisor 111 00:07:43,360 --> 00:07:47,379 y esto está elevado a menos x 112 00:07:47,379 --> 00:07:50,709 ya he conseguido lo que quería 113 00:07:50,709 --> 00:07:51,949 ya lo tengo 114 00:07:51,949 --> 00:07:56,660 bien, pues entonces ahora sí que puedo ya terminar 115 00:07:56,660 --> 00:07:57,379 fijaros 116 00:07:57,379 --> 00:08:00,480 lo escribo todo, límite cuando x 117 00:08:00,480 --> 00:08:02,500 tiende a más infinito de lo que me estaban pidiendo 118 00:08:02,500 --> 00:08:06,600 esto hemos visto 119 00:08:06,600 --> 00:08:08,399 que manipulando esa expresión 120 00:08:08,399 --> 00:08:16,899 sólo con álgebra. Esto es lo mismo que 1 más 1 partido por x menos 1 elevado a menos x. 121 00:08:17,500 --> 00:08:26,310 Y ahora esto sí que ya rapidísimo lo podemos hacer. Y esto es 1 más 1 partido por x menos 1, 122 00:08:26,550 --> 00:08:33,909 lo elevo a lo mismo, x menos 1, lo que había, menos x, y el inverso, 1 partido por x menos 1. 123 00:08:33,909 --> 00:08:37,700 esto no ha cambiado 124 00:08:37,700 --> 00:08:40,559 y ahora ya si que estoy 125 00:08:40,559 --> 00:08:42,539 en las condiciones de encontrar E 126 00:08:42,539 --> 00:08:43,700 ya he visto E 127 00:08:43,700 --> 00:08:46,460 te he encontrado, aquí está C 128 00:08:46,460 --> 00:08:52,289 eso es E 129 00:08:52,289 --> 00:08:53,669 ¿por qué esto es E? 130 00:08:54,429 --> 00:08:55,309 ahora si 131 00:08:55,309 --> 00:08:57,590 ahora si lo puedo decir 132 00:08:57,590 --> 00:08:59,330 porque esto 133 00:08:59,330 --> 00:09:01,809 va a más infinito 134 00:09:01,809 --> 00:09:04,990 y esto que es lo mismo 135 00:09:04,990 --> 00:09:07,690 también tiende a más infinito 136 00:09:07,690 --> 00:09:09,409 y ya tengo mi expresión 137 00:09:09,409 --> 00:09:14,649 1 más 1 partido por una expresión que tiende a más infinito 138 00:09:14,649 --> 00:09:16,929 Entonces todo esto que he rodeado de rojo 139 00:09:16,929 --> 00:09:18,610 Eso sí que es el número b 140 00:09:18,610 --> 00:09:24,580 Por tanto, este límite es igual a 141 00:09:24,580 --> 00:09:30,399 E elevado a este límite 142 00:09:30,399 --> 00:09:32,559 El límite cuando x tiende a más infinito 143 00:09:32,559 --> 00:09:34,340 De lo que queda ahí arriba 144 00:09:34,340 --> 00:09:37,700 Que es menos x partido por x menos 1 145 00:09:37,700 --> 00:09:40,539 Y el exponente de ese límite es menos 1 146 00:09:40,539 --> 00:09:42,840 Luego esto es elevado a menos 1 147 00:09:42,840 --> 00:09:44,899 Si lo queréis poner así, pues también es válido. 148 00:09:46,539 --> 00:09:48,519 Pues fijad, lo voy a poner más pequeñito. 149 00:09:49,419 --> 00:09:50,879 Ya lo hemos justificado. 150 00:09:52,340 --> 00:10:03,960 Os recuerdo una vez más que lo bonito, lo más bonito de la matemática es que todo, todo, todo se puede contestar, por decir así. 151 00:10:04,159 --> 00:10:06,500 O sea, se puede decir que sí o que no. 152 00:10:07,399 --> 00:10:12,179 En este caso lo hemos ido justificando pasito a pasito, aplicando la lógica. 153 00:10:12,179 --> 00:10:15,659 y lo que sabemos de matemáticas, hemos llegado a la conclusión de que nuestro límite es 154 00:10:15,659 --> 00:10:22,950 esto, elevado a menos 1. Como esto me parece 155 00:10:22,950 --> 00:10:27,230 muy interesante, lo voy a remarcar, porque ahora ya 156 00:10:27,230 --> 00:10:31,169 siempre que nos pidan este límite, ya podemos decir que esto es 157 00:10:31,169 --> 00:10:39,610 elevado a menos 1, lo acabamos de demostrar. Ahí está 158 00:10:39,610 --> 00:10:44,879 demostrado, buena fórmula. Lo que no podía hacer era acudir 159 00:10:44,879 --> 00:10:48,820 a esa fórmula que conocéis algunos, porque no sabemos cómo 160 00:10:48,820 --> 00:10:56,389 funciona en más infinito menos infinito no se sabe. Dicho esto voy a continuar 161 00:10:56,389 --> 00:11:04,009 porque al hacer esto nos surgen preguntas os están surgiendo preguntas os estoy 162 00:11:04,009 --> 00:11:09,129 oyendo desde aquí porque ahora mismo oigo que me están preguntando anda 163 00:11:09,129 --> 00:11:20,379 profesor entonces ¿cuánto será este límite? ¿cuánto será este límite? es decir 164 00:11:20,379 --> 00:11:22,659 ¿Este límite cuánto será? 165 00:11:23,860 --> 00:11:26,620 Porque tú nos has hecho mucho hincapié en eso 166 00:11:26,620 --> 00:11:27,320 ¿Y ahora cómo será? 167 00:11:27,460 --> 00:11:28,259 Fijaros ahora aquí 168 00:11:28,259 --> 00:11:32,419 Yo no puedo decir que esto sea el número E 169 00:11:32,419 --> 00:11:36,279 Porque esto de aquí tiende a menos infinito 170 00:11:36,279 --> 00:11:38,519 Y esto de aquí tiende a menos infinito 171 00:11:38,519 --> 00:11:40,000 ¿Qué será? 172 00:11:41,840 --> 00:11:45,080 Dicen algunos chicos y chicas, estudiantes 173 00:11:45,080 --> 00:11:48,340 Que han visto en los libros que eso también es el número E 174 00:11:48,340 --> 00:11:49,320 Pero yo no lo sé 175 00:11:49,320 --> 00:11:51,220 Que hay una fórmula que lo dice 176 00:11:51,220 --> 00:11:51,919 Bueno, no lo sé 177 00:11:51,919 --> 00:11:53,659 Vamos a hacerlo nosotros 178 00:11:53,659 --> 00:11:55,120 Porque ahora sí que podemos hacerlo 179 00:11:55,120 --> 00:11:56,899 Ahora sí que podemos hacerlo 180 00:11:56,899 --> 00:11:58,759 Como lo podemos hacer 181 00:11:58,759 --> 00:12:00,980 Pues vamos a estar contentos por haber sacado este resultado 182 00:12:00,980 --> 00:12:01,840 Vamos allá 183 00:12:01,840 --> 00:12:03,679 Venga, preparados 184 00:12:03,679 --> 00:12:04,559 Listo, ya 185 00:12:04,559 --> 00:12:08,080 Perdóname porque lo quiero poner en negro 186 00:12:08,080 --> 00:12:08,919 Ya estoy 187 00:12:08,919 --> 00:12:10,299 Vamos a hacer este límite 188 00:12:10,299 --> 00:12:11,700 Lo voy a hacer aquí 189 00:12:11,700 --> 00:12:12,980 Sigo a continuación 190 00:12:12,980 --> 00:12:14,100 Este límite 191 00:12:14,100 --> 00:12:17,080 Vaya, ¿por qué te pones rojo? 192 00:12:18,080 --> 00:12:18,659 Este límite 193 00:12:18,659 --> 00:12:27,519 es el límite cuando x tiende a, acordaros, cambio, 194 00:12:28,019 --> 00:12:31,799 cambio x tiende a menos infinito por x tiende a más infinito, 195 00:12:31,899 --> 00:12:33,360 y cambio la x por menos x. 196 00:12:36,690 --> 00:12:37,269 Muy bien. 197 00:12:39,210 --> 00:12:44,870 Resulta que esto es exactamente el límite cuando x tiende a más infinito 198 00:12:44,870 --> 00:12:48,769 de 1 menos 1 partido por x 199 00:12:48,769 --> 00:12:52,470 elevado a x por menos 1 200 00:12:52,470 --> 00:12:57,129 y ahora viene la maravilla 201 00:12:57,129 --> 00:13:00,970 ahora bien, que esto de aquí 202 00:13:00,970 --> 00:13:06,289 es justamente lo que nos ha costado tanto de mostrarlo 203 00:13:06,289 --> 00:13:08,210 todo eso de ahí es elevado a menos 1 204 00:13:08,210 --> 00:13:13,970 por tanto, este último límite será igual a 205 00:13:13,970 --> 00:13:16,230 e elevado a menos 1 206 00:13:16,230 --> 00:13:18,750 y todo eso 207 00:13:18,750 --> 00:13:20,450 elevado a menos 1 208 00:13:20,450 --> 00:13:26,070 por cierto, espero que esto lo entendáis 209 00:13:26,070 --> 00:13:26,830 porque 210 00:13:26,830 --> 00:13:28,149 a ver 211 00:13:28,149 --> 00:13:30,570 si lo entendéis 212 00:13:30,570 --> 00:13:32,610 esto de aquí 213 00:13:32,610 --> 00:13:35,789 es un producto 214 00:13:35,789 --> 00:13:38,210 de exponentes, ¿de dónde viene un producto de exponentes? 215 00:13:38,210 --> 00:13:40,250 un producto de exponentes viene de una potencia 216 00:13:40,250 --> 00:13:40,889 elevada a otra 217 00:13:40,889 --> 00:13:45,379 perfecto, y esto es 218 00:13:45,379 --> 00:13:46,919 ni más ni menos que 219 00:13:46,919 --> 00:13:56,299 elevado a menos uno por menos 11 luego ya puedo concluir lo siguiente 220 00:13:56,299 --> 00:14:01,679 que el límite cuando x tiende a menos infinito de poner el menos infinito que 221 00:14:01,679 --> 00:14:10,559 se real límite cuando x tiende a menos infinito de 1 más 1 partido por x 222 00:14:10,559 --> 00:14:21,539 elevado a x también es el número esto es interesante porque nosotros si 223 00:14:21,539 --> 00:14:26,759 sabíamos esto, que el límite cuando x tiende a más infinito de esto, esto es que 224 00:14:26,759 --> 00:14:30,720 lo sabíamos, de hecho esto es la definición, este es el número e, esto sí lo 225 00:14:30,720 --> 00:14:38,620 sabíamos, esto sí lo sabíamos, y ahora acabamos de demostrar esto, así que por 226 00:14:38,620 --> 00:14:47,919 eso en algunos libros pone que es el límite cuando x tiende a infinito, me da 227 00:14:47,919 --> 00:14:53,320 igual que sea más o menos de 1 partido por 1 partido por x elevado a x, pero 228 00:14:53,320 --> 00:14:58,759 esto sólo lo puedo poner después de demostrar esto basándome en esto. 229 00:15:00,059 --> 00:15:05,759 Por tanto, ahora sí que podemos utilizar esa fórmula que tanto os gusta, 230 00:15:06,820 --> 00:15:10,240 la que viene en los libros y tanto os gusta, ahora sí, porque ya hemos 231 00:15:10,240 --> 00:15:17,559 demostrado que el límite de 1 más 1 partido por x elevado a x es e, tanto si 232 00:15:17,559 --> 00:15:26,149 tienda más infinito como a menos infinito. Muy bien, pues este era el vídeo. Espero que os haya 233 00:15:26,149 --> 00:15:31,730 interesado. He intentado hacerlo despacio y razonando todos los pasos para que veáis bien 234 00:15:31,730 --> 00:15:38,690 cómo se trabaja matemáticamente. Un saludo y gracias por escucharme.