1 00:00:12,210 --> 00:00:17,589 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,589 --> 00:00:22,250 Arquitecto Pedro Gumial de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,250 --> 00:00:27,269 de la unidad PR1 dedicada a la probabilidad en experimentos aleatorios simples. 4 00:00:28,309 --> 00:00:36,649 En la videoclase de hoy estudiaremos los sucesos, las operaciones con estos y sus propiedades. 5 00:00:37,549 --> 00:00:50,280 En esta videoclase vamos a hablar de sucesos. 6 00:00:50,979 --> 00:00:56,240 Vamos a estudiar tipos de sucesos, las operaciones con sucesos y las propiedades de estas operaciones. 7 00:00:56,640 --> 00:00:58,799 Vamos a comenzar con la definición que podéis leer aquí. 8 00:00:59,240 --> 00:01:04,000 Un suceso no es más que un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. 9 00:01:04,680 --> 00:01:06,519 Y existen distintos tipos de sucesos. 10 00:01:06,680 --> 00:01:12,700 Nosotros vamos a distinguir sucesos elementales, que son aquellos que están formados por un único elemento del espacio muestral, 11 00:01:12,980 --> 00:01:18,060 frente a sucesos compuestos, que van a estar formados por más de un elemento del espacio muestral. 12 00:01:18,060 --> 00:01:32,099 También vamos a distinguir sucesos imposibles y que vamos a representar por el símbolo del conjunto vacío. Son aquellos que nunca se verifican. Están formados por ningún elemento del espacio muestral. De ahí el símbolo del conjunto vacío. 13 00:01:32,840 --> 00:01:37,900 Vamos a denominar sucesos seguros a aquellos que siempre se verifican. 14 00:01:38,299 --> 00:01:48,599 Son aquellos que contienen todos los elementos del espacio muestral y entonces los vamos a representar habitualmente con la letra E mayúscula, la del espacio muestral, puesto que va a estar formado por todos esos elementos. 15 00:01:48,599 --> 00:01:55,400 vamos a llamar sucesos contrarios a una pareja de elementos ahora tenemos perdón una pareja de 16 00:01:55,400 --> 00:02:01,620 sucesos ahora tenemos dos sucesos un suceso a y otro que diremos que es su contrario y que 17 00:02:01,620 --> 00:02:07,819 vamos a representar de esta manera con una línea vertical por encima del nombre del suceso a el 18 00:02:07,819 --> 00:02:14,520 suceso contrario de a es aquel que se verifica cuando no se verifica el suceso a veremos un 19 00:02:14,520 --> 00:02:20,599 ejemplo más adelante, cuando retomemos una vez más los ejemplos del ejercicio número 1. 20 00:02:21,759 --> 00:02:27,599 En cuanto a las operaciones con sucesos, nosotros vamos a utilizar fundamentalmente estas tres. 21 00:02:28,259 --> 00:02:34,360 Vamos a llamar unión de A con B, unión de un suceso A con un suceso B, y vamos a representarlo 22 00:02:34,360 --> 00:02:41,060 con esta letra, es una U, al suceso que se verifica cuando bien se realiza el suceso A o bien se 23 00:02:41,060 --> 00:02:47,759 realiza el suceso B, o bien ambos. Está formado por todos los elementos del espacio muestral que 24 00:02:47,759 --> 00:02:53,180 forman o bien el suceso A o bien el suceso B. Y lo que vamos a hacer para construir el suceso A 25 00:02:53,180 --> 00:02:58,060 unión B no es más que escribir todos los elementos de A y todos los elementos de B, 26 00:02:58,800 --> 00:03:04,080 eliminando las duplicidades, puesto que, como bien sabéis, en los conjuntos no se duplican elementos. 27 00:03:05,000 --> 00:03:09,860 Vamos a llamar intersección de un suceso A con un suceso B y lo vamos a representar con este 28 00:03:09,860 --> 00:03:15,500 símbolo, que es el mismo de la unión pero boca abajo, así que es una U invertida, al suceso que 29 00:03:15,500 --> 00:03:21,460 se va a verificar cuando se verifican simultáneamente ambos sucesos A y B. En este caso lo que vamos a 30 00:03:21,460 --> 00:03:27,419 hacer para construir el suceso intersección es tomar y escribir en él todos aquellos elementos 31 00:03:27,419 --> 00:03:32,300 que están tanto en A como en B. Y los vamos a escribir una única vez, aunque estén en A y en B, 32 00:03:32,800 --> 00:03:38,639 puesto que, como acabo de mencionar, en los conjuntos no se duplican elementos. Si nos dan 33 00:03:38,639 --> 00:03:44,939 un cierto suceso A y queremos construir su suceso contrario A contrario, el que vamos a 34 00:03:44,939 --> 00:03:50,000 representar con esta línea vertical por encima, lo que vamos a hacer es tomar todos los elementos 35 00:03:50,000 --> 00:03:55,159 del espacio muestral que no se encuentran en A. Así que lo que haremos será tomar todos los 36 00:03:55,159 --> 00:04:01,340 elementos del espacio muestral e ir eliminando los que se encontraban en A. Todos los que están en E 37 00:04:01,340 --> 00:04:06,580 y no se encuentran en A van a formar parte del suceso contrario. Vamos a, como dije antes, 38 00:04:06,580 --> 00:04:13,819 hacer algún ejemplo cuando retomemos el ejercicio número 1. Antes de esto vamos a revisar las 39 00:04:13,819 --> 00:04:18,600 propiedades de estas operaciones en el espacio de sucesos que acabamos de definir. En primer lugar 40 00:04:18,600 --> 00:04:24,699 tenemos la propiedad idempotente. Si yo uno un suceso consigo mismo o bien si interseco un suceso 41 00:04:24,699 --> 00:04:30,459 consigo mismo voy a obtener el mismo suceso. A unión A es A, A intersección A es A. También 42 00:04:30,459 --> 00:04:35,839 tenemos la propiedad asociativa. ¿Qué ocurre si tengo tres sucesos y los quiero unir o bien los 43 00:04:35,839 --> 00:04:41,240 quiero intersecar. Bien, la propiedad asociativa lo que nos garantiza es que haremos las uniones o 44 00:04:41,240 --> 00:04:45,600 las intersecciones de dos en dos, pero el orden no importa, puesto que obtenemos el mismo resultado. 45 00:04:46,439 --> 00:04:52,000 A, unión con el resultado de unir B con C, en este caso unimos primero B con C y luego le unimos A, 46 00:04:52,519 --> 00:04:58,560 es igual a A unión B unión con C, en este caso primero unimos A con B y posteriormente unimos T. 47 00:04:58,759 --> 00:05:03,100 Da igual el orden en que hagamos las uniones, obtenemos el mismo resultado, lo mismo con las 48 00:05:03,100 --> 00:05:08,540 intersecciones. También tenemos la propiedad conmutativa. A unión B es igual a B unión A, 49 00:05:08,680 --> 00:05:13,620 igual que A intersección B es igual a B intersección A. El orden en el que se realiza la unión o la 50 00:05:13,620 --> 00:05:18,959 intersección no altera el resultado de la operación. También tenemos la propiedad que se llama 51 00:05:18,959 --> 00:05:28,680 absorción. Si primero intersecamos A con B y a eso le unimos el suceso A, obtenemos el suceso A. Si 52 00:05:28,680 --> 00:05:34,839 Si a A unimos un suceso B y eso lo intersecamos con el suceso A, nos quedamos con el suceso A. 53 00:05:35,939 --> 00:05:38,439 También tenemos la propiedad distributiva. 54 00:05:38,959 --> 00:05:47,220 A unión con B intersección C se puede determinar como A unión B y posteriormente intersección con el resultado de A intersección C. 55 00:05:47,720 --> 00:05:49,060 A unión B, perdón, como veis aquí. 56 00:05:49,959 --> 00:05:52,120 Lo mismo si intercambiamos el orden de las operaciones. 57 00:05:52,120 --> 00:06:01,220 A intersección con B unión C se puede calcular como A intersección B y luego la unión con resultado de A intersección con C, como veis aquí. 58 00:06:02,220 --> 00:06:07,399 En cuanto a la propiedad involutiva, nos habla del suceso contrario del suceso contrario. 59 00:06:07,920 --> 00:06:18,100 El contrario del contrario nos vuelve al mismo suceso, así que los elementos que no están en el contrario de A son los sucesos, los elementos que se encuentran en A. 60 00:06:18,100 --> 00:06:30,980 Hablando de contrarios, tenemos una propiedad importante y es que el contrario del suceso imposible es el suceso seguro, el contrario del suceso seguro es el suceso imposible. 61 00:06:30,980 --> 00:06:42,779 Y finalmente, uniendo o mezclando las leyes de la negación del suceso contrario, la unión y la intersección, tenemos las leyes de Morgan, que son dos. 62 00:06:42,779 --> 00:06:48,100 el contrario de la unión es la intersección de los contrarios 63 00:06:48,100 --> 00:06:52,980 fijaos en que aquí tengo A unión B el contrario del suceso que se obtiene de esta manera 64 00:06:52,980 --> 00:06:57,779 haciendo la unión, bien, lo que tenemos es el contrario de A intersección el contrario de B 65 00:06:57,779 --> 00:07:03,319 el equivalente pero intercambiando las operaciones sería esta ley que tenemos aquí 66 00:07:03,319 --> 00:07:07,279 el contrario de la intersección es la unión de los contrarios 67 00:07:07,279 --> 00:07:10,600 así que si primero interseco A con B y luego busco el contrario 68 00:07:10,600 --> 00:07:16,040 obtendré lo mismo que si hayo el contrario de A y a eso le uno el contrario de B. 69 00:07:18,550 --> 00:07:24,350 Como ejemplo de esto que hemos comentado en esta videoclase de sucesos, vamos a completar este ejercicio resuelto 1. 70 00:07:24,970 --> 00:07:31,490 Se nos dice que de cada uno de los experimentos aleatorios ABC que hemos discutido en la videoclase anterior, 71 00:07:32,209 --> 00:07:38,949 indiquemos algún suceso elemental, algún suceso compuesto, un suceso imposible, un suceso seguro y una pareja de sucesos contrarios. 72 00:07:38,949 --> 00:08:00,529 En el caso de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior, un suceso elemental podría ser cara. Un suceso compuesto es automáticamente el suceso obtener cara o cruz, el espacio muestral completo, puesto que necesitamos más de un suceso elemental, más de un elemento del espacio muestral, y el espacio muestral tiene dos elementos. 73 00:08:00,529 --> 00:08:04,990 Así que un suceso compuesto tiene que ser el suceso seguro, que salga cara o cruz. 74 00:08:05,470 --> 00:08:10,550 O, por ejemplo, que no salga escudo, si solamente tenemos cara y cruz. 75 00:08:11,490 --> 00:08:14,350 Un suceso imposible podría ser que salga escudo. 76 00:08:14,689 --> 00:08:18,449 Escudo no es un elemento del espacio mostral, así que es imposible que esto ocurra. 77 00:08:19,129 --> 00:08:24,449 Y en cuanto a una pareja de sucesos contrarios, podría ser que salga cara y que salga cruz. 78 00:08:24,670 --> 00:08:26,110 Son dos sucesos contrarios. 79 00:08:26,490 --> 00:08:29,730 O podríamos tener que salga cara o cruz, o bien que salga escudo. 80 00:08:29,730 --> 00:08:36,409 el suceso seguro y el suceso imposible son sucesos contrarios. En el caso de lanzar un dado de quinielas 81 00:08:36,409 --> 00:08:44,389 con un espacio muestral que sería 1, x y 2, un suceso elemental sería, por ejemplo, que saliera 82 00:08:44,389 --> 00:08:51,029 el número 1. Un suceso compuesto podría ser, por ejemplo, que saliera un número. Saldría un 1 o bien 83 00:08:51,029 --> 00:08:57,769 saldría un 2. Aquí tenemos dos elementos en el espacio dentro del suceso compuesto. Suceso 84 00:08:57,769 --> 00:09:02,169 imposible? Pues que saliera el 6 no es un elemento que tengamos dentro del espacio 85 00:09:02,169 --> 00:09:06,950 muestral. ¿Un suceso seguro? Pues podríamos decir, por ejemplo, que no salga un 6 y 86 00:09:06,950 --> 00:09:12,009 evidentemente 1, x, 2 son distintos de 6, cualquiera de ellos son posibles y juntos 87 00:09:12,009 --> 00:09:16,830 forman el suceso seguro. O bien podríamos directamente decir que saliera un 1, una x 88 00:09:16,830 --> 00:09:21,909 o un 2. En cuanto a una pareja de sucesos contrarios, podríamos tener que salga un 89 00:09:21,909 --> 00:09:27,429 1 y que no salga un 1, que se correspondería con que salga una x o bien un 2. O bien 90 00:09:27,429 --> 00:09:32,769 podríamos tener que salga un número que salga una letra. Que salga un número es que salga un uno o 91 00:09:32,769 --> 00:09:39,289 un dos, que salga una letra es el contrario, que salga una X. En el caso de extraer una carta de 92 00:09:39,289 --> 00:09:48,409 una baraja española y fijarnos en el palo, que sería oros, copas, bastos o bien espadas, un suceso 93 00:09:48,409 --> 00:09:54,230 elemental podría ser, por ejemplo, que saliera oros. Un suceso compuesto podría ser, por ejemplo, 94 00:09:54,230 --> 00:09:58,769 que salieran o bien bastos o bien espadas, aquí tenemos dos elementos del espacio muestral, 95 00:09:59,889 --> 00:10:06,070 un suceso imposible sería que saliera picas, puesto que ese no es un palo de la barraja española y eso no sería posible, 96 00:10:07,070 --> 00:10:13,190 un suceso seguro sería que no salga ninguno de los paros de la baraja anglosajona, 97 00:10:13,850 --> 00:10:16,830 puesto que evidentemente ninguno de estos se correspondería con aquellos, 98 00:10:17,409 --> 00:10:21,110 o bien decir que saliera o bien oros o bien copas o bien bastos o bien espadas, 99 00:10:21,110 --> 00:10:26,629 describir el espacio muestral y automáticamente ese sería el suceso seguro. En cuanto a una pareja 100 00:10:26,629 --> 00:10:33,889 de sucesos contrarios, pues podríamos tener oros y bastos frente a copas y espadas. Esos dos sucesos 101 00:10:33,889 --> 00:10:38,909 son contrarios. O bien que saliera oros y que no saliera oros, que estaría formado por copas, 102 00:10:39,049 --> 00:10:46,960 bastos y espadas. También esos dos sucesos serían contrarios. En el aula virtual de la asignatura 103 00:10:46,960 --> 00:10:53,620 tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes 104 00:10:53,620 --> 00:10:58,539 bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase 105 00:10:58,539 --> 00:11:02,620 o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.