1
00:00:00,000 --> 00:00:06,799
vale, vamos a aprender cómo se derivan operaciones con funciones

2
00:00:06,799 --> 00:00:11,660
hemos visto que la suma y la resta de funciones al derivarlo nos queda la suma y la resta de derivadas

3
00:00:11,660 --> 00:00:16,980
cuando multiplicamos una función por un número, su derivada se multiplica también por ese número

4
00:00:16,980 --> 00:00:17,940
no afecta nada más

5
00:00:17,940 --> 00:00:27,699
así que nos vamos directamente a los problemas de multiplicar funciones y de dividir funciones

6
00:00:27,699 --> 00:00:34,100
cuando queramos derivar todo esto

7
00:00:34,100 --> 00:00:35,500
vamos a tener que aplicar una fórmula

8
00:00:35,500 --> 00:00:37,799
no es tan fácil como la derivada de uno

9
00:00:37,799 --> 00:00:38,920
entre la derivada de otro

10
00:00:38,920 --> 00:00:44,700
así que cuando queramos derivar

11
00:00:44,700 --> 00:00:48,399
f de x por g de x

12
00:00:48,399 --> 00:00:50,799
vamos a tener que aplicar una fórmula

13
00:00:50,799 --> 00:00:52,179
que dice que es

14
00:00:52,179 --> 00:00:54,719
la derivada del primero

15
00:00:54,719 --> 00:00:56,159
por el segundo sin derivar

16
00:00:56,159 --> 00:00:59,479
f' de x por el segundo sin derivar

17
00:00:59,479 --> 00:01:00,359
g de x

18
00:01:00,359 --> 00:01:02,460
más la derivada del segundo

19
00:01:02,460 --> 00:01:05,000
por el primero sin derivar

20
00:01:05,000 --> 00:01:08,340
solo eso

21
00:01:08,340 --> 00:01:11,120
pero vamos a tener que aplicarlo

22
00:01:11,120 --> 00:01:12,040
¿vale?

23
00:01:12,299 --> 00:01:14,439
lo vamos a demostrar ahora con polinomios

24
00:01:14,439 --> 00:01:15,420
que es con lo que sabéis trabajar

25
00:01:15,420 --> 00:01:16,540
para que veamos que es verdad

26
00:01:16,540 --> 00:01:17,560
¿vale?

27
00:01:19,299 --> 00:01:20,859
división de polinomios

28
00:01:20,859 --> 00:01:21,659
igual

29
00:01:21,659 --> 00:01:24,719
tiene una fórmula que nos tenemos que aprender

30
00:01:24,719 --> 00:01:28,939
si queremos averiguar la derivada de esto

31
00:01:28,939 --> 00:01:29,799
nos quedaría

32
00:01:29,799 --> 00:01:32,459
el primero, o sea, la derivada del primero

33
00:01:32,459 --> 00:01:35,459
por el segundo sin derivar

34
00:01:35,459 --> 00:01:38,120
menos la derivada del segundo

35
00:01:38,120 --> 00:01:40,060
por el primero sin derivar

36
00:01:40,060 --> 00:01:42,420
estas son fórmulas que nos vamos a aprender, repito

37
00:01:42,420 --> 00:01:43,939
y aquí viene la magia

38
00:01:43,939 --> 00:01:45,000
partido

39
00:01:45,000 --> 00:01:49,450
de la segunda parte al cuadrado

40
00:01:49,450 --> 00:01:51,250
¿vale?

41
00:01:52,090 --> 00:01:53,409
vamos a demostrar esto

42
00:01:53,409 --> 00:01:55,349
repito, con cosas que sabéis

43
00:01:55,349 --> 00:01:57,650
me voy a inventar aquí

44
00:01:57,650 --> 00:02:00,769
que f de x, por ejemplo

45
00:02:00,769 --> 00:02:02,090
es x al cuadrado

46
00:02:02,090 --> 00:02:04,590
y que g de x es

47
00:02:04,590 --> 00:02:06,750
3x más 1

48
00:02:06,750 --> 00:02:07,750
¿vale?

49
00:02:08,310 --> 00:02:09,110
facilito

50
00:02:09,110 --> 00:02:12,650
si yo derivo esto

51
00:02:12,650 --> 00:02:15,270
¿vale? voy a llamar al conjunto

52
00:02:15,270 --> 00:02:17,349
h de x

53
00:02:17,349 --> 00:02:18,669
¿vale? va a ser f de x

54
00:02:18,669 --> 00:02:20,610
por g de x

55
00:02:20,610 --> 00:02:22,870
si yo quiero derivar h de x

56
00:02:22,870 --> 00:02:24,849
me va a quedar

57
00:02:24,849 --> 00:02:26,150
la derivada del primero

58
00:02:26,150 --> 00:02:27,849
¿cuál es la derivada

59
00:02:27,849 --> 00:02:29,650
de f de x?

60
00:02:29,650 --> 00:02:58,689
2X. Perfecto. ¿Y la derivada del segundo? 3. Vale, todo esto sí que sabemos por física. Gracias, Conchi. Seguimos. Si quiero derivar el producto de estos dos, es como si dijera, la derivada del primero, 2X, por el segundo sin derivar, pues por 3X más 1, más la derivada del segundo, 3, por el segundo sin derivar.

61
00:02:58,689 --> 00:03:00,250
x cuadrado

62
00:03:00,250 --> 00:03:02,129
voy a poner todo esto bonito

63
00:03:02,129 --> 00:03:04,349
y me va a quedar por aquí

64
00:03:04,349 --> 00:03:05,969
6x cuadrado

65
00:03:05,969 --> 00:03:07,810
más 2x

66
00:03:07,810 --> 00:03:09,710
más 3x cuadrado

67
00:03:09,710 --> 00:03:12,090
y esto, si lo termino de poner precioso

68
00:03:12,090 --> 00:03:13,590
me queda

69
00:03:13,590 --> 00:03:16,430
9x cuadrado más 2x

70
00:03:16,430 --> 00:03:19,030
voy a comprobar que esto es verdad

71
00:03:19,030 --> 00:03:20,330
¿y cómo?

72
00:03:20,669 --> 00:03:23,009
haciendo la operación antes de derivar

73
00:03:23,009 --> 00:03:25,050
voy para acá

74
00:03:25,050 --> 00:03:25,569
y digo

75
00:03:25,569 --> 00:03:31,729
h de x es lo mismo que x cuadrado por 3x más 1

76
00:03:31,729 --> 00:03:37,069
es decir, es 3x al cubo más x cuadrado

77
00:03:37,069 --> 00:03:41,090
¿cuál es la derivada de h de x según esto?

78
00:03:42,310 --> 00:03:44,530
pues bajo el 3 multiplicando

79
00:03:44,530 --> 00:03:48,969
queda lo mismo, 9 al cuadrado más 2x

80
00:03:48,969 --> 00:03:52,669
¿vale? con eso estoy demostrando que la fórmula es verdad

81
00:03:52,669 --> 00:03:57,669
Habrá veces que podamos operar y luego derivar y será maravilloso

82
00:03:57,669 --> 00:04:02,370
Y habrá otras veces cuando tengamos logaritmos, cuando tengamos raíces, cuando tengamos cosas raras

83
00:04:02,370 --> 00:04:04,990
Que no nos merecerá la pena operar

84
00:04:04,990 --> 00:04:05,750
¿Vale?

85
00:04:07,810 --> 00:04:09,889
Ejemplo 2 de la división

86
00:04:09,889 --> 00:04:17,810
Me voy a inventar que mi f de x es 3x cuadrado más x

87
00:04:17,810 --> 00:04:23,310
y que mi miembro de abajo es x solo

88
00:04:23,310 --> 00:04:25,069
para que sea más bonito

89
00:04:25,069 --> 00:04:29,529
cuando yo tengo mi nueva función h de x

90
00:04:29,529 --> 00:04:33,649
que es f de x partido de g de x

91
00:04:33,649 --> 00:04:35,170
y quiero derivar esto

92
00:04:35,170 --> 00:04:37,490
pues voy paso a paso

93
00:04:37,490 --> 00:04:42,750
y digo, vale, la derivada de f de x

94
00:04:42,750 --> 00:04:43,389
¿cuánto es?

95
00:04:46,209 --> 00:04:47,470
6x más 1

96
00:04:47,470 --> 00:04:49,910
6x más 1

97
00:04:49,910 --> 00:04:52,029
y la de g de x

98
00:04:52,029 --> 00:04:54,589
1

99
00:04:54,589 --> 00:04:57,449
vale, pues voy a empezar a derivar

100
00:04:57,449 --> 00:04:59,149
yo siempre suelo apuntarme

101
00:04:59,149 --> 00:05:01,089
las derivadas parciales para luego rellenar

102
00:05:01,089 --> 00:05:03,470
la fórmula más rápidamente, vale, y así no tengo que hacerlo de cabeza

103
00:05:03,470 --> 00:05:04,829
os queda ahí ya grabado

104
00:05:04,829 --> 00:05:07,029
decimos, la derivada del primero

105
00:05:07,029 --> 00:05:08,009
pues 6x más 1

106
00:05:08,009 --> 00:05:10,250
6x más 1

107
00:05:10,250 --> 00:05:12,589
por el segundo sin derivar

108
00:05:12,589 --> 00:05:14,970
x, menos la derivada del segundo

109
00:05:14,970 --> 00:05:16,870
1 por el primero sin derivar

110
00:05:16,870 --> 00:05:18,810
3x cuadrado más x

111
00:05:18,810 --> 00:05:21,329
Partido todo ello

112
00:05:21,329 --> 00:05:23,910
De el segundo al cuadrado

113
00:05:23,910 --> 00:05:26,029
x cuadrado

114
00:05:26,029 --> 00:05:29,350
¿Bien?

115
00:05:29,509 --> 00:05:30,850
O sea, solamente estoy aplicando la fórmula

116
00:05:30,850 --> 00:05:32,990
Vale, lo pongo bonito

117
00:05:32,990 --> 00:05:36,129
Y me queda que h' de x es

118
00:05:36,129 --> 00:05:37,730
6x por x

119
00:05:37,730 --> 00:05:39,110
6x cuadrado

120
00:05:39,110 --> 00:05:41,209
Más 1 por x, pues más x

121
00:05:41,209 --> 00:05:43,889
Menos 1 por 3x cuadrado

122
00:05:43,889 --> 00:05:45,730
Pues menos 3x cuadrado

123
00:05:45,730 --> 00:05:47,870
Menos 1 por x, menos x

124
00:05:47,870 --> 00:05:49,430
partido de todo ello

125
00:05:49,430 --> 00:05:51,170
de x cuadrado

126
00:05:51,170 --> 00:05:54,009
esto con esto se me va

127
00:05:54,009 --> 00:05:55,769
y me queda que h' de x

128
00:05:55,769 --> 00:05:58,310
es igual a 6x cuadrado

129
00:05:58,310 --> 00:05:59,889
menos 3x cuadrado, ¿cuánto es?

130
00:06:01,389 --> 00:06:02,350
3x cuadrado

131
00:06:02,350 --> 00:06:03,870
¿y 3x cuadrado partido de x cuadrado?

132
00:06:05,889 --> 00:06:06,370
3

133
00:06:06,370 --> 00:06:10,470
vale, voy a probar igual que antes

134
00:06:10,470 --> 00:06:12,509
a hacer primero la operación y luego derivar

135
00:06:12,509 --> 00:06:13,730
y digo, vale

136
00:06:13,730 --> 00:06:15,930
h de x es

137
00:06:15,930 --> 00:06:18,290
3x cuadrado más x

138
00:06:18,290 --> 00:06:19,509
partido de x

139
00:06:19,509 --> 00:06:21,790
esto si yo elimino lo que hay en común

140
00:06:21,790 --> 00:06:22,889
las x con las x

141
00:06:22,889 --> 00:06:24,370
me queda por aquí

142
00:06:24,370 --> 00:06:26,389
3x más 1

143
00:06:26,389 --> 00:06:31,250
lo veis que he sacado el factor común la x

144
00:06:31,250 --> 00:06:32,350
elimino arriba y abajo

145
00:06:32,350 --> 00:06:34,750
¿cuál es la derivada

146
00:06:34,750 --> 00:06:37,370
de 3x más 1?

147
00:06:37,370 --> 00:06:40,779
3

148
00:06:40,779 --> 00:06:43,019
¿vale?

149
00:06:43,360 --> 00:06:44,540
y así demostramos

150
00:06:44,540 --> 00:06:46,240
producto y cociente