1
00:00:05,870 --> 00:00:12,109
Hola, este es el cuarto vídeo de derivadas, el segundo de derivadas en las que intervienen funciones trigonométricas.

2
00:00:12,589 --> 00:00:18,109
Vamos a comenzar viendo unas derivadas trigonométricas un poquito más complicadas que las anteriores.

3
00:00:19,350 --> 00:00:25,309
Por ejemplo, 2 elevado a seno de x.

4
00:00:25,989 --> 00:00:32,350
Bien, para hacer esta derivada, pues tenemos que tener en cuenta que la derivada de a elevado a f de x y prima

5
00:00:32,350 --> 00:00:39,130
es la derivada de la función por a elevado a la función sin derivar por el neperiano de la base.

6
00:00:40,070 --> 00:00:42,090
Y que, por supuesto, la derivada del seno es el coseno.

7
00:00:43,429 --> 00:00:55,100
Por lo tanto, pues f' de x será igual a la derivada de la función, la derivada del seno,

8
00:00:55,219 --> 00:01:01,399
que es el coseno de x, por 2 elevado a la función sin derivar.

9
00:01:01,399 --> 00:01:08,420
2 elevado a seno de x por el neperiano de 2, por el neperiano de la base.

10
00:01:09,140 --> 00:01:12,219
Es lo mismo que tenemos aquí arriba, aunque está cambiado de orden.

11
00:01:14,750 --> 00:01:20,950
Bien, vamos a ver ahora la derivada de x cuadrado más 1 por tangente de x.

12
00:01:21,689 --> 00:01:28,510
Es la derivada de un producto, y la derivada de un producto, pues es la derivada del primero por el segundo sin derivar,

13
00:01:28,510 --> 00:01:32,989
más la derivada del segundo por el primero sin derivar.

14
00:01:33,290 --> 00:01:36,209
Y hay que recordar que la derivada de la tangente es la secante al cuadrado.

15
00:01:36,750 --> 00:01:56,260
Bueno, pues f' de x será igual a derivada de el primero, derivada de x al cuadrado más 1, que es 2, perdón, que es 2x, 2x, por el segundo sin derivar.

16
00:01:58,079 --> 00:02:03,659
Más la derivada del segundo, la derivada del segundo es secante al cuadrado de x.

17
00:02:05,560 --> 00:02:14,229
por el primero sin derivar, por x cuadrado más 1, ¿vale? Y ya estaría.

18
00:02:20,840 --> 00:02:26,819
Bien, aquí, la derivada de seno de 2x por 3 elevado a 2x.

19
00:02:27,979 --> 00:02:34,680
Nuevamente es un producto, derivada de un producto, pues es derivada del primero por el segundo sin derivar,

20
00:02:34,819 --> 00:02:37,099
más derivada del segundo por el primero sin derivar.

21
00:02:37,099 --> 00:02:44,879
si es igual al seno de f de x, su derivada de prima aplicando la regla de la cadena

22
00:02:44,879 --> 00:02:49,719
es derivada de la función f' de x por el coseno de la función sin derivar

23
00:02:49,719 --> 00:02:56,039
y si es igual a a elevado a f de x, también aplicando la regla de la cadena

24
00:02:56,039 --> 00:03:02,699
pues si prima es f' de x por a elevado a la función sin derivar por el neperiano de a

25
00:03:02,699 --> 00:03:04,939
vale, pues venga, vamos a hacerlo

26
00:03:04,939 --> 00:03:26,080
F' de x es igual a la derivada del seno de 2x, que es 2, que es la derivada de 2x, por el coseno de 2x, por el coseno de la función sin derivar, por el segundo sin derivar.

27
00:03:26,080 --> 00:03:53,960
3 elevado a 2x, más la derivada de 3 elevado a 2x, que es 2, por 3 elevado a 2x, por el neperiano de 3, por el primero sin derivar, que es el seno de 2x.

28
00:03:54,439 --> 00:04:01,139
Y bueno, ya lo tendríamos, porque esto que tenemos aquí es lo mismo que tenemos ahí arriba, pero cambiando de orden algunos productos, ¿no?

29
00:04:06,389 --> 00:04:10,030
La raíz cuarta de la tangente de x cuadrado.

30
00:04:10,710 --> 00:04:26,069
Pues esto es igual a, esto se puede poner así como la tangente de x cuadrado elevado a un cuarto, ¿vale?

31
00:04:26,430 --> 00:04:29,129
Entonces lo vamos a poner de esta forma para hacer la derivada.

32
00:04:29,889 --> 00:04:33,350
Bien, pues tenemos que hacer la derivada de una función potencial f de x elevado a n.

33
00:04:33,870 --> 00:04:38,129
Y su derivada es n por la función elevado a n menos 1 por la derivada de la,

34
00:04:38,129 --> 00:04:40,430
pero de dentro la derivada de la función, ¿vale?

35
00:04:40,430 --> 00:04:51,970
Aquí estamos aplicando nuevamente la regla de la cadena, ¿no? Siempre es con composición de funciones. Y si es igual a la tangente de f de x, pues f' es f' de x por la secante al cuadrado de f de x.

36
00:04:51,970 --> 00:05:14,750
Bien. Entonces, ¿qué nos queda? Pues que f' de x es un cuarto por la tangente de x cuadrado elevado a una unidad menos, un cuarto menos uno, por la derivada de lo de dentro.

37
00:05:14,750 --> 00:05:28,399
¿Cuál es la derivada de la tangente de x cuadrado? Pues es 2x por la secante cuadrado de la función sin derivar, de x cuadrado, ¿vale?

38
00:05:28,399 --> 00:05:49,160
Y esto, ¿qué nos queda? Pues que f' de x es igual a 1 cuarto de la tangente de x cuadrado elevado a menos 3 cuartos por 2x por la secante cuadrada de x cuadrado.

39
00:05:49,800 --> 00:05:53,860
Fijaos, este 2 y este 4 lo podemos simplificar.

40
00:05:53,860 --> 00:06:15,220
Entonces, f' de x será igual a 1 medio de 1 partido por la raíz de índice 4 de la tangente de x cuadrado, de la tangente cubo de x cuadrado, ¿vale?

41
00:06:15,220 --> 00:06:24,160
o sea, la tangente de x cuadrado le va a dar cubo, por x y por secante cuadrado de x cuadrado.

42
00:06:26,410 --> 00:06:38,860
Entonces, pues f' de x lo podemos dejar de la siguiente forma, como x por la secante cuadrado de x cuadrado,

43
00:06:38,860 --> 00:06:54,579
dividido entre dos veces la raíz de índice 4 de la tangente cubo de x cuadrado, ¿vale?

44
00:06:55,000 --> 00:06:56,819
Y así nos quedaría.

45
00:06:57,259 --> 00:07:02,480
No sé si es exactamente igual que lo que tenemos aquí porque la tangente elevada a 3 cuartos de x cuadrado

46
00:07:02,480 --> 00:07:08,540
no es otra cosa que la raíz de índice 4 de la tangente cubo de x cuadrado, ¿vale?

47
00:07:08,540 --> 00:07:30,620
Bien, 29. Vamos a hacer el siguiente. Tangente cubo de x a la cuarta. Bien, este nuevamente lo podemos expresar de esta forma. Tangente de x elevado a 4 elevado al cubo.

48
00:07:30,620 --> 00:07:35,060
¿Vale? Entonces vamos a utilizar la derivada de una función potencial.

49
00:07:35,879 --> 00:07:45,819
Igual que antes tenemos f de x elevado a n, su derivada es n por f de x elevado a n menos 1 por la derivada de lo de dentro, derivada de la función.

50
00:07:45,819 --> 00:08:03,800
¿Vale? Bien, pues entonces f' de x será igual a 3 tangente de x elevado a 4 elevado a una unidad menos.

51
00:08:04,399 --> 00:08:07,759
que es 2, por la derivada de lo de dentro.

52
00:08:08,420 --> 00:08:10,579
¿Cuál es la derivada de la tangente de f de x?

53
00:08:10,579 --> 00:08:14,920
Pues es f' de x por la secante cuadrada de f de x.

54
00:08:15,639 --> 00:08:21,839
Bien, y esto es 4x cubo, esa es la derivada de x elevado a 4,

55
00:08:22,420 --> 00:08:30,100
4x cubo por la secante cuadrada de x elevado a 4.

56
00:08:33,299 --> 00:08:35,519
Secante cuadrada de x elevado a 4.

57
00:08:35,519 --> 00:09:05,580
Bien, y ya lo tendríamos, ¿no? 3 por 4 es 12, f' de x, 12 por la tangente cuadrada de x elevado a 4, por x cubo, por x cubo, por la secante cuadrada de x a la cuarta.

58
00:09:05,580 --> 00:09:11,049
vale, secante cuadrado de x a la cuarta

59
00:09:11,049 --> 00:09:12,289
vale, muy bien

60
00:09:12,289 --> 00:09:17,360
bien, vamos a hacer ahora

61
00:09:17,360 --> 00:09:21,500
la derivada del seno de 3x por coseno de 2x

62
00:09:21,500 --> 00:09:23,620
hay que aplicar la derivada de un producto

63
00:09:23,620 --> 00:09:24,820
que aquí la tenéis

64
00:09:24,820 --> 00:09:27,759
y hay que recordar la derivada del seno de una función

65
00:09:27,759 --> 00:09:29,940
y el coseno de una función

66
00:09:29,940 --> 00:09:32,340
vale, y también las tenemos aquí

67
00:09:32,340 --> 00:09:35,240
la derivada del seno es f'x por el coseno de f de x

68
00:09:35,240 --> 00:10:06,639
Y la del coseno es menos f' de x por el seno de f de x. Bueno, pues entonces, f' de x, f' de x, ¿a qué va a ser igual? Pues va a ser igual a derivada del seno de 3x, que es 3 por el coseno de la función sin derivar, coseno de 3x, por el segundo sin derivar, coseno de 2x, más.

69
00:10:07,600 --> 00:10:14,240
Derivada del segundo, la derivada del segundo, pues es la derivada de 2x, la derivada de la función, que es 2,

70
00:10:15,100 --> 00:10:25,159
por menos el seno de la función sin derivar, por el primero sin derivar, ¿vale?

71
00:10:25,159 --> 00:10:45,600
Al final, ¿qué nos queda? Pues que f' de x es igual a 3 coseno de 3x por el coseno de 2x menos 2 seno de 2x por el seno de 3x.

72
00:10:45,600 --> 00:10:57,899
Por el seno de 3x. ¿Vale? Bueno, y así nos quedaría.

73
00:10:57,899 --> 00:11:23,379
Bien, y por último vamos a hacer esta otra derivada que es un poquitín más complicada, bastante más complicada que las anteriores, seno a la cuarta de x cubo por coseno cubo de x a la cuarta, es la derivada de un producto y también estamos aplicando, vamos a tener que aplicar la derivada de la función potencial, ¿vale?

74
00:11:23,379 --> 00:11:44,179
Que, pues, recuerdo ahora mismo, si es igual a f de x elevado a n, entonces y' es igual a n por f de x elevado a n menos 1 por f' de x, ¿vale?

75
00:11:44,179 --> 00:12:11,509
Bueno, pues venga, vamos a hacerla. f' de x es la derivada del primero. La derivada del primero es 4 por seno cubo de x cubo por la derivada de lo de dentro, que es 3x cuadrado,

76
00:12:11,509 --> 00:12:44,100
por el segundo sin derivar, coseno, borramos un momento, la derivada de seno de x cubo es 3x cuadrado por el coseno de x cubo, ¿vale?

77
00:12:44,100 --> 00:12:57,659
Este es 4 por la función elevada a una unidad menos de la función sin derivar y luego la derivada del seno de x cubo, que es 3x cuadrado por el coseno de x cubo.

78
00:12:57,659 --> 00:13:12,320
Todo esto es f' de x. f de x elevado a menos 1, aquí lo tenemos, y n, pues aquí lo tenemos, por el segundo sin derivar, coseno cubo de x a la cuarta,

79
00:13:14,340 --> 00:13:16,940
Más la derivada del segundo.

80
00:13:16,940 --> 00:13:29,539
La derivada del segundo, lo voy a poner aquí abajo, es 3 coseno elevado a una unidad menos de la función sin derivar de x a la cuarta

81
00:13:29,539 --> 00:13:41,340
por la derivada de coseno de x a la cuarta, que es 4x cubo.

82
00:13:41,340 --> 00:14:00,039
La derivada del coseno es menos el seno de la función sin derivar, menos el seno de x a la cuarta, por el primero sin derivar, seno a la cuarta de x cubo.

83
00:14:00,039 --> 00:14:27,679
Vale, y todo esto, ¿cómo nos queda? A ver, si podemos resumir, f' de x es igual a, a ver, 4 por 3, 12, 12x al cuadrado, por el seno cubo de x cubo, por el coseno de x cubo, por el coseno cubo de x a la cuarta.

84
00:14:27,679 --> 00:14:33,759
Menos, menos, porque aquí tenemos un menos, ¿de acuerdo? Aquí tenemos un menos

85
00:14:33,759 --> 00:14:41,279
Menos 3 por 4, 12, 12x cubo, 12x cubo

86
00:14:41,279 --> 00:14:45,480
Por el coseno cuadrado de x a la cuarta

87
00:14:45,480 --> 00:14:49,980
Por el seno de x a la cuarta

88
00:14:49,980 --> 00:14:53,740
Y por seno elevado a 4 de x cubo

89
00:14:54,720 --> 00:15:06,799
Bueno, y así nos quedaría, comprobamos un momento la solución, seno a la cuarta de x cubo por coseno al cuadrado de x a la cuarta,

90
00:15:07,679 --> 00:15:11,340
vale, y ya está todo perfecto, ¿de acuerdo?

91
00:15:12,519 --> 00:15:23,080
Bien, pues esto es todo, con esto completamos este vídeo y bueno, haremos uno más de derivadas un poquitín más complicadas, bueno, un poco de todo.