1 00:00:01,199 --> 00:00:07,799 Hola, vamos a ver cómo, vamos a recordar cómo se hacían las ecuaciones de primer grado. 2 00:00:08,460 --> 00:00:15,119 Vamos a ver unos cuantos ejemplos que van a servir de base para todos los demás ejemplos siguientes, 3 00:00:15,720 --> 00:00:18,519 para todos los ejercicios que tenéis que hacer. 4 00:00:19,739 --> 00:00:23,660 Vamos a ver, lo primero de todo es entender que una ecuación de primer grado 5 00:00:23,660 --> 00:00:29,000 siempre se va a poder reducir a algo así de sencillo como esto, 6 00:00:29,000 --> 00:00:34,799 Un número a que multiplica a la variable x y eso tiene que ser igual a otro número b. 7 00:00:36,320 --> 00:00:43,759 También se suele decir que las ecuaciones de primer grado son ecuaciones que solo tienen polinomios de primer grado con la x elevado a 1, 8 00:00:44,039 --> 00:00:56,100 pero no es del todo cierto porque a veces se disfrazan de segundo grado ecuaciones que en realidad son de primer grado cuando se van aplicando las técnicas que tenemos para resolver ecuaciones. 9 00:00:56,759 --> 00:01:05,340 Resulta que en algún momento las x al cuadrado se cancelan, desaparecen y entonces se quedan sencillitas y esas son ecuaciones de primer grado. 10 00:01:06,780 --> 00:01:13,239 Repito, todas las que se puedan reducir a una forma de este tipo son ecuaciones de primer grado, en realidad. 11 00:01:14,200 --> 00:01:17,019 Vamos a ver unos cuantos ejemplos. 12 00:01:17,879 --> 00:01:21,000 Tenemos que resolver 3x más 4 igual a 2. 13 00:01:21,000 --> 00:01:28,780 ¿Qué valor de la x hace que 3 por x y luego sumado 4 nos dé como resultado 2? 14 00:01:29,980 --> 00:01:38,299 Tenemos que recordar aquí la regla básica que es que lo que hagamos a un lado del igual tiene que ser lo mismo que lo que hagamos al otro lado del igual. 15 00:01:39,019 --> 00:01:48,099 A partir de aquí surgen las otras reglas que solemos recordar y que se suelen decir así muy rápidas pero hay que recordar exactamente de dónde vienen. 16 00:01:48,099 --> 00:01:58,920 Bien, fijaros en una cosa, yo he puesto aquí el menos 4. Este menos 4 lo que viene a decir es que a los dos lados del igual he restado 4. 17 00:01:58,920 --> 00:02:19,599 Entonces si, un segundito cambiando de aquí, fijaros en una cosa, si a 3x, ¿por qué se ha puesto? Perdón, un segundito que quería ponerlo en azul, exactamente. 18 00:02:19,599 --> 00:02:38,560 Si a 3x más 4 le resto 4, entonces más 4 menos 4 se queda como 3x. Y entonces esta parte, 3x más 4, se queda como estáis viendo aquí, 3x. 19 00:02:38,560 --> 00:02:54,500 Si al 2 del otro lado del igual le resto 4, tenemos esto otro de aquí. ¿Qué ocurre? Que esto es como si hubiera cogido el más 4 que está aquí y lo hubiera pasado al otro lado del igual restando, menos 4. 20 00:02:54,500 --> 00:03:12,939 Entonces fijaros que desaparece del primer miembro y aparece en el segundo miembro cambiado de signo. Nosotros solamente tendríamos que hacer este paso y de hecho normalmente tampoco se indica qué es lo que hacemos. 21 00:03:12,939 --> 00:03:29,199 Es decir, este más cuatro de aquí no suele ponerse, no suele indicarse. Y entonces, lo que realmente se suele decir abreviando, la idea es que lo que está sumando pasa al otro lado restando. 22 00:03:30,120 --> 00:03:43,919 De esta manera estamos diciendo lo mismo pero de una manera más rápida de entender, más rápida de comprender, pero siempre pensando que pasa restando porque en realidad a los dos lados del igual he restado 4. 23 00:03:45,139 --> 00:03:58,240 Lo mismo pasa con el 3 que se queda aquí. Ahora, una vez que hacemos las operaciones se queda que 3x es igual a menos 2. 3x igual a menos 2 es una ecuación equivalente a la primera. 24 00:03:59,199 --> 00:04:10,439 Pero ahora el 3 está multiplicando. Claro, esto ya no es como en el vídeo de introducción que era 3x igual a 6, no, ahora es 3x igual a menos 2. 25 00:04:10,919 --> 00:04:21,860 ¿Qué número es ese? Bueno, pues si dividimos a los dos lados del igual, 3x entre 3 se queda como x. 26 00:04:21,860 --> 00:04:36,860 Y entonces la x, 3x, la x se queda sola, x. El menos 2, si lo dividimos entre 3, pues no se puede simplificar. Así que, de nuevo, tenemos aquí una fracción. 27 00:04:36,860 --> 00:04:49,220 No pasa nada, las fracciones forman parte de la vida del estudiante de matemáticas. Entonces, tampoco se suele poner por cuánto dividimos. 28 00:04:49,920 --> 00:05:05,300 Simplemente se dice aquello de que lo que está multiplicando la x pasa al otro lado dividiendo, pero es porque he dividido a los dos lados de la ecuación original, he dividido entre 3 y entonces he simplificado y me sale esto. 29 00:05:05,959 --> 00:05:14,120 3x entre 3 lo simplifico y me queda la x y al otro lado menos 2 entre 3 que no lo puedo simplificar y ya he encontrado la solución. 30 00:05:14,120 --> 00:05:25,199 es una fracción, menos 2 entre 3, menos 2 tercios, si lo multiplico por 3 y luego le sumo 4, me da 2. Lo podéis comprobar con una calculadora 31 00:05:25,199 --> 00:05:41,899 haciendo esta operación. 3 por menos 2 tercios, le sumáis 4 y ale, con una calculadora, a ver qué os sale. Si no os sale 4, mal asunto. 32 00:05:41,899 --> 00:05:54,569 Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos aquí otra ecuación donde algo está restando y luego multiplicando la x? 33 00:05:54,569 --> 00:06:06,649 Bueno, pues aquí al estar restando el menos 3 yo lo quiero eliminar este menos 3 porque no es semejante, igual que aquí el más 4, no son semejantes, entonces esto no lo puedo sumar hasta que no conozca el valor de la x. 34 00:06:07,389 --> 00:06:13,009 Por tanto, como no son semejantes y no se pueden sumar, yo lo que quiero es quitar este menos 3. 35 00:06:13,529 --> 00:06:16,470 Entonces sumo 3 a los dos lados de la ecuación. 36 00:06:20,209 --> 00:06:29,709 2x menos 3 le sumo 3 y el menos 3 con más 3 se queda en 0 y se queda esto en 2x, que es lo que pasa aquí. 37 00:06:30,569 --> 00:06:33,910 2x menos 3 le sumo 3, me queda 2x. 38 00:06:34,209 --> 00:06:39,569 Y si a 5 le sumo 3 porque hago a los dos lados del igual, hago la misma operación, 39 00:06:40,329 --> 00:06:42,490 eso me queda 2x igual a 8. 40 00:06:43,470 --> 00:06:45,290 ¿Qué es lo que ha pasado realmente? 41 00:06:46,170 --> 00:06:50,709 Es como si hubiéramos cogido este menos 3 y lo hubiéramos pasado al otro lado sumando. 42 00:06:51,290 --> 00:06:53,189 Estaba restando, pasa sumando. 43 00:06:53,189 --> 00:06:57,350 Lo que está restando a un lado del igual pasa sumando al otro lado del igual. 44 00:06:57,350 --> 00:07:08,790 pero es simple y llanamente porque realmente estamos, como se dice, sumando a los dos lados la misma cantidad, a los dos lados de la ecuación. 45 00:07:09,870 --> 00:07:17,389 Tened en cuenta que aunque hemos sumado a los dos lados de la ecuación un 3, eso no se suele poner, no se suele indicar. 46 00:07:17,750 --> 00:07:27,069 Si lo indicáis, estupendo, pero hay que indicarlo como hago yo, encima de la flecha. Estoy sumando más 3 a los dos lados del igual y pasa el menos 3, pasa al otro lado sumando. 47 00:07:27,709 --> 00:07:33,810 Pasa lo mismo con el 2 que está aquí multiplicando, que me molesta, digamos, por decirlo de alguna forma. 48 00:07:34,430 --> 00:07:39,870 Entonces quiero quitarlo para dejar la x sola, x igualada a un número, al que sea. 49 00:07:40,670 --> 00:07:45,009 Entonces divido a los dos lados del igual entre 2. 50 00:07:45,649 --> 00:07:52,829 2x entre, perdón, que se ha quedado esto, a ver, sí, ahora. 51 00:07:53,550 --> 00:07:59,730 2x entre 2, se simplifican los 2es y me queda solamente la x. 52 00:08:01,089 --> 00:08:13,170 Resultado, pues que tengo que x es igual a 8 medios, es decir, que una vez simplificada, o mejor dicho, hecha la división porque 8 entre 2 es exacto, me queda 4. 53 00:08:13,829 --> 00:08:18,329 Y este es el resultado de mi operación, de mi ecuación. 54 00:08:19,029 --> 00:08:29,370 ¿Qué ocurre? Que esto de nuevo no se pone, no suele ponerse, esto es una cuenta de sucio por supuesto, así que nada, y nos quedaría de esta manera. 55 00:08:30,610 --> 00:08:42,850 Fijaros que yo pongo flechas porque estoy haciendo operaciones a los dos lados del igual, entonces no es igual, 2x menos 3 no es igual a 2x, 56 00:08:42,850 --> 00:09:01,509 Lo he transformado y por eso no se pueden poner, donde hay flechas no se pueden poner iguales. Los he transformado haciendo a los dos lados del igual la misma operación y me van saliendo ecuaciones que son distintas pero que son equivalentes porque tienen la misma solución. 57 00:09:01,509 --> 00:09:11,009 Entonces estas flechas no se pueden sustituir por iguales. Así que no lo hagáis en los exámenes. 58 00:09:12,850 --> 00:09:31,350 Bueno, con estos ejemplos vamos a ir un poco más rápido. Fijaros en una cosa, me molesta este 5, entendiendo que me molesta porque no lo puedo sumar con el que tiene x, así que lo quiero pasar al otro lado y resto 5 a los dos lados del igual. 59 00:09:31,350 --> 00:09:46,350 Entonces este 5 de aquí menos 5 se va, desaparece y entonces me queda 10 menos 5. Como veis es como que resulta que el 5 que estaba sumando pasa al otro lado restando. 60 00:09:46,350 --> 00:09:51,429 ¿Qué pasa cuando tengo un número negativo multiplicando la x? 61 00:09:51,889 --> 00:09:55,950 Bueno, pues divido entre ese número negativo con su signo y todo. 62 00:09:56,570 --> 00:10:11,830 Entonces, a la hora de multiplicar, lo que nos queda es, a la hora de multiplicar, perdón, de dividir, lo que nos queda es menos 4x entre menos 4. 63 00:10:11,830 --> 00:10:26,269 4 entre 4 es 1, así que esto se queda x. Es como que el menos 4 ha pasado al otro lado porque si divido el 5 entre menos 4 me queda 5 entre menos 4. 64 00:10:26,929 --> 00:10:39,990 Como sabéis no se puede dejar una fracción con el signo menos abajo, entonces se deja menos 5 cuartos, así como está puesto aquí. 65 00:10:39,990 --> 00:10:51,610 Esto de aquí, de nuevo, no se pone. No es necesario ponerlo. Si lo ponéis, estupendo. Mucho mejor para vosotros incluso si tenéis que corregir porque os hayáis perdido. 66 00:10:52,309 --> 00:11:03,399 Mucho mejor si ponéis las transformaciones que hacéis. Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos varias cosas que trasladar de un lado para otro? 67 00:11:04,159 --> 00:11:06,279 Entonces, fijaros en una cosa. 68 00:11:08,649 --> 00:11:17,389 Lo que hacemos es que si tengo un número que pasar al otro lado, resto ese número, pero lo hago a los dos lados del igual. 69 00:11:17,610 --> 00:11:28,629 Más 2 menos 2 fuera desaparece y aparece 6 menos 2, porque resto menos 2, resto 2 en los dos lados del igual. 70 00:11:28,629 --> 00:11:41,049 La x esta que está aquí también yo la quiero pasar al otro lado y entonces esta x resto x a los dos lados del igual. 71 00:11:42,110 --> 00:11:46,649 Entonces fijaros, lo que he hecho en realidad es esto. 72 00:11:46,649 --> 00:12:06,990 A ver, perdón. Yo cojo y tengo 3x más 2, le resto 2 y le resto x. Menos 2 más 2 o más 2 menos 2 fuera y la x se restaría. 73 00:12:06,990 --> 00:12:15,909 Es verdad que podría ya restar directamente y pasar directamente de aquí a este paso de aquí. Podríamos pasar. 74 00:12:16,649 --> 00:12:26,250 Pero no se suele hacer así, se suele hacer como en dos pasos, es decir, como si la x pasara al otro lado restando y el 2 pasara al otro lado restando. 75 00:12:26,250 --> 00:12:31,669 Lo que está sumando pasa al otro lado restando y esto es lo que se suele hacer. 76 00:12:33,490 --> 00:12:41,909 Y efectivamente, normalmente no se pone lo que se hace, pero repito, si lo ponéis, estupendamente. 77 00:12:41,909 --> 00:13:05,340 De esta forma se queda 3x menos x igual a 2x, 6 menos 2 igual a 4 y si divido entre 2 a los dos lados es como si el 2 que está multiplicando pasa dividiendo y entonces tengo aquí 4 entre 2 que es una división exacta y queda igual a 2. 78 00:13:06,299 --> 00:13:23,879 De la misma manera, 8x está aquí molestando, resto a los dos lados del igual y entonces al restar a los dos lados del igual, 7x menos 8x y luego 8x más 5, si le quito 8x, 8x desaparece de este lado del igual. 79 00:13:24,879 --> 00:13:32,779 Así que esto sería lo que ocurre, que el 8x que está sumando pasa al otro lado cambiado de signo, menos 8x. 80 00:13:32,779 --> 00:13:50,000 7 menos 8x es menos 1x, el 1 recordad que no se pone, claro el menos x no es x, entonces tiene que quedar como x, fijaros arriba en los casos anteriores ha quedado la x sola, menos x no es x. 81 00:13:50,000 --> 00:14:04,059 Así que tengo que quitarle el signo dividiendo entre menos 1 a un lado y al otro lado del igual. Entonces menos x entre menos 1 es x y 5 entre menos 1 es menos 5. 82 00:14:04,059 --> 00:14:17,240 Y nos quedaría de esta manera, perfecto, perfecto. ¿Qué pasa cuando tengo una fracción x partido por 3 igual a 2? Pues nada, multiplico por este denominador que tengo aquí. 83 00:14:18,480 --> 00:14:29,960 Y entonces al multiplicar por este denominador lo que nos queda es que se simplifica. Acordaos de una cosa, si yo tengo x tercios y lo multiplico por 3, 84 00:14:29,960 --> 00:14:42,659 3 entre 3 o lo que es lo mismo, 3x entre 3, eso nos deja una x y al otro lado 2 por 3, tengo que multiplicar a los dos lados del igual por 3 85 00:14:42,659 --> 00:14:51,159 y entonces aquí no hace falta hacer más operaciones, ninguna, porque 2 por 3 es 6, con lo cual ya hemos terminado. 86 00:14:51,159 --> 00:14:57,259 Bueno, ¿qué pasa cuando la cosa se va complicando con fracciones y demás? 87 00:14:57,259 --> 00:15:09,200 Bueno, pues este 4 que está aquí dividiendo, multiplicando a los dos lados del igual es como si pasara al otro lado multiplicando. 88 00:15:09,360 --> 00:15:15,000 El 4 pasaría al otro lado multiplicando, pero multiplicando a todo el segundo miembro. 89 00:15:15,600 --> 00:15:17,139 Entonces hay que poner paréntesis. 90 00:15:18,139 --> 00:15:20,940 Y entonces aquí tenemos una ecuación de primer grado con paréntesis. 91 00:15:21,159 --> 00:15:26,799 ¿Cómo se resuelven las que tienen paréntesis? Pues nada, se aplica la propiedad distributiva cuando haya que aplicarla. 92 00:15:27,519 --> 00:15:36,759 4 por 2x es 8x, 4 por 2 es 8 y me queda que x es igual a 8x más 8, que se parece a alguna de las anteriores. 93 00:15:37,659 --> 00:15:49,860 El 8x lo paso al otro lado de la ecuación, recordad que es como si restara 8x a los dos lados del igual, el 8x pasa entonces al otro lado, se queda así. 94 00:15:49,860 --> 00:16:06,100 Y al restar x menos 8x me queda menos 7x. El menos 7 dividiendo a los dos lados del igual entre menos 7 es como si el menos 7 que está multiplicando la x pasara dividiendo al otro lado del igual. 95 00:16:07,559 --> 00:16:19,220 Está multiplicando, pasa dividiendo con su signo. Entonces 8 entre menos 7 no se deja así, menos 8 séptimos, es decir que la x es menos 8 séptimos. 96 00:16:22,000 --> 00:16:31,139 Bueno, y ya terminamos con estos dos ejemplos. Vamos a ver, un caso muy común es aquí hacer las cosas mal en el ejercicio este 8 que he llamado 8. 97 00:16:31,820 --> 00:16:40,960 Al ver esto, porque mucha gente se precipita y en lugar de coger y pasar el 3 al otro lado lo que quiere es quitar el 2 antes que nada. 98 00:16:41,960 --> 00:16:55,399 Entonces un error muy común a la hora de hacer este ejercicio es decir, multiplico todo por 2, pero el 2 que está dividiendo aquí lo paso al otro lado multiplicando. 99 00:16:55,580 --> 00:17:07,700 Y entonces hacen esto, dejan el 3 sin multiplicar y multiplican todo lo demás, 3x por 2 se queda en 6x y 1 por 2 se queda en 2. 100 00:17:08,220 --> 00:17:10,680 Esto está mal por culpa de este. 101 00:17:13,599 --> 00:17:16,160 ¿Qué es lo que hay que hacer si yo quisiera hacer eso? 102 00:17:16,440 --> 00:17:22,920 Si yo quisiera hacer esto, lo que tendría que hacer es multiplicar por 2 los dos lados del igual. 103 00:17:23,660 --> 00:17:32,980 Es decir, lo que tengo que hacer es todo esto por 2 y al otro lado todo eso por 2. 104 00:17:33,400 --> 00:17:35,799 3x más 1 por 2. 105 00:17:35,799 --> 00:17:46,519 Y entonces así es como se quitan las fracciones, pero esto es complicado, por eso se aconseja mejor la otra parte, la que está arriba, como veis. 106 00:17:46,859 --> 00:17:54,640 Perdonadme que quite todo esto que he escrito y ya pasamos a esto de aquí arriba. 107 00:17:54,640 --> 00:18:18,539 Vamos a ver, ¿cómo decirlo? Lo primero quitar este 3, así que pasaría al otro lado, si está sumando pasa restando, recordad que es porque he restado a los dos lados del igual menos 3, así que hacemos la operación 1 menos 3 es menos 2. 108 00:18:18,539 --> 00:18:37,839 Entonces ahora el 2 que está dividiendo, multiplico a los dos lados del igual y quedaría 2x entre 2. Este 2 que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando. Al multiplicar por 2 se me queda de esta manera que veis aquí, con paréntesis. 109 00:18:37,839 --> 00:18:54,700 Entonces tenemos que aplicar la propiedad distributiva y se queda multiplicando a 3x y a menos 2. 6x menos 4. El 6x está sumando, está positivo. No es que el que está restando es el 4. 6x está positivo. 110 00:18:55,299 --> 00:19:02,390 Pasa al otro lado cambiado de signo, x menos 6x igual a menos 4. 111 00:19:02,390 --> 00:19:10,869 Se hace la operación x menos 6x es menos 5x y ahora el 5 menos 5 que está multiplicando pasa dividiendo al otro lado, 112 00:19:11,710 --> 00:19:21,750 que es como dividir entre menos 5 a los dos lados de la ecuación y entonces tenemos menos entre menos más positivo. 113 00:19:25,640 --> 00:19:28,279 Bueno, ¿qué pasa cuando tenemos dos fracciones igualadas? 114 00:19:28,279 --> 00:19:43,240 Pues podemos multiplicar por 2 y por 3, las dos cosas, pero es una forma de hablar y también se puede entender muy bien de la siguiente manera que es 115 00:19:43,240 --> 00:19:52,960 tenemos una igualdad entre dos fracciones, cuando dos fracciones eran iguales, eran equivalentes, cuando al multiplicar en cruz nos daba lo mismo. 116 00:19:52,960 --> 00:20:00,160 Entonces este 3 que está dividiendo pasa multiplicando al otro lado y este 2 que está dividiendo pasa multiplicando al otro lado. 117 00:20:00,680 --> 00:20:05,180 El 3 multiplica x más 1 y el 2 multiplica 3x menos 1. 118 00:20:06,079 --> 00:20:06,400 Ya está. 119 00:20:08,359 --> 00:20:13,839 Pasa uno que está dividiendo pasa multiplicando y otro que está dividiendo también pasa multiplicando al otro lado. 120 00:20:14,880 --> 00:20:17,619 Quitamos paréntesis aplicando la propiedad distributiva. 121 00:20:17,619 --> 00:20:33,880 Luego pues restamos el 3 y restamos menos 6 que es lo mismo que decir el 3 que está sumando pasa restando al otro lado y el 6x que está positivo sumando pasa al otro lado cambiado de signo, restando. 122 00:20:35,460 --> 00:20:44,880 Es verdad que el menos 2 es un menos pero es que el menos va con el 2, es el menos 2, es el 2 el que está restando, no 6x, 6x es positivo, está sumando. 123 00:20:44,880 --> 00:20:55,140 Bueno, entonces 3x menos 6x es menos 3x, menos 2 menos 3 es menos 5. 124 00:20:56,460 --> 00:21:07,779 Entonces, aunque es verdad que dividimos a los dos lados del igual entre menos 3, también lo podemos resumir diciendo menos 3 pasa al otro lado, pues dividiendo. 125 00:21:08,299 --> 00:21:11,819 ¿Lo dejamos así? ¿Menos 5 entre menos 3? No, es igual que aquí arriba. 126 00:21:11,819 --> 00:21:35,390 No lo dejaríamos así. Entonces, ¿qué hacemos? Pues hacemos lo siguiente. Menos entre menos es más. Evidentemente los signos más no se ponen, pero si en un examen has puesto los signos menos, pones una rayita así vertical y arreglado. Más 5 entre más 3 y acabado. 127 00:21:36,309 --> 00:21:40,430 Bueno, hemos terminado este vídeo que es un poco largo, pero es que había muchos casos que ver. Gracias.