1
00:00:01,330 --> 00:00:06,790
Bueno, en este siguiente ejercicio es el típico ejercicio de rangos.

2
00:00:07,150 --> 00:00:12,230
Tenemos que calcular el rango de esa matriz en función de los valores de un parámetro, del parámetro m.

3
00:00:12,609 --> 00:00:20,289
Es muy típico y va a ser típico tanto aquí, en matrices, como en sistemas de ecuaciones cuando tengamos que aplicar el teorema de Roche-Frobenius.

4
00:00:20,809 --> 00:00:27,010
Entonces, me están pidiendo que calcule los valores del rango en función de m.

5
00:00:27,010 --> 00:00:31,390
y nada, puedo empezar asegurando rango 2 si quiero

6
00:00:31,390 --> 00:00:35,990
fijaos que aquí yo tengo un menor 2 por 2 distinto de 0

7
00:00:35,990 --> 00:00:40,509
el 2 menos 1, 2, 3, ese determinante es distinto de 0

8
00:00:40,509 --> 00:00:46,490
luego el rango de la matriz A es como mínimo 2 para cualquier valor de M

9
00:00:46,490 --> 00:00:54,280
ahora me basta ver cuándo vale 2, cuándo vale 3 en función de M

10
00:00:54,280 --> 00:01:00,780
para ello lo suyo es aprovechar de estos dos aprovecharme esos dos ceros de ahí que están

11
00:01:00,780 --> 00:01:06,959
vamos pidiendo a gritos que los utilice es decir yo voy a utilizar las dos columnas marcadas vamos

12
00:01:06,959 --> 00:01:11,980
a marcar estas dos columnas fijaos las voy a marcar de otro color tengo esta columna y esta

13
00:01:11,980 --> 00:01:19,079
que ya son independientes sí o sí y voy a juntar sucesivamente esta columna y esta otra esos son

14
00:01:19,079 --> 00:01:24,599
los dos determinantes que yo tengo que ver si pueden valer cero simultáneamente si los dos

15
00:01:24,599 --> 00:01:30,900
determinantes me valen cero a la vez parece valor de m el rango 0 2 y si no pueden valer cero a la

16
00:01:30,900 --> 00:01:36,359
vez para cualquier valor del rango será 3 porque a la vez no hay dos determinantes iguales hacer

17
00:01:36,359 --> 00:01:42,180
vamos a comprobar qué es lo que pasa entonces ya digo que vamos a fijar las columnas las columnas

18
00:01:42,180 --> 00:01:46,140
azules, nos interesa tenerlas porque sabemos

19
00:01:46,140 --> 00:01:49,640
que esa columna, la columna 1 y la columna 4

20
00:01:49,640 --> 00:02:00,989
son linealmente independientes, puesto que su

21
00:02:00,989 --> 00:02:05,189
determinante menor de esa matriz da distinto

22
00:02:05,189 --> 00:02:09,169
a 0. Y nada, ahora simplemente añado

23
00:02:09,169 --> 00:02:12,610
la columna 2 y por supuesto aquí no se os ocurra

24
00:02:12,610 --> 00:02:17,469
aplicar Sarus porque entonces se nota que no controláis

25
00:02:17,469 --> 00:02:20,009
el desarrollo por una columna en este caso

26
00:02:20,009 --> 00:02:20,789
por la columna

27
00:02:20,789 --> 00:02:22,849
por la columna

28
00:02:22,849 --> 00:02:24,990
por la columna 2

29
00:02:24,990 --> 00:02:27,770
que por la columna 3 de esta matriz, a ver que no veis eso

30
00:02:27,770 --> 00:02:29,210
voy a quitar eso de ahí

31
00:02:29,210 --> 00:02:32,110
y entonces ahora lo que vamos a hacer es

32
00:02:32,110 --> 00:02:33,870
igual a 0

33
00:02:33,870 --> 00:02:36,090
y claro

34
00:02:36,090 --> 00:02:37,229
como esto es distinto de 0

35
00:02:37,229 --> 00:02:39,490
esto da 6 menos 2, 8

36
00:02:39,490 --> 00:02:42,210
pues evidentemente

37
00:02:42,210 --> 00:02:43,669
la única raíz que hay ahí

38
00:02:43,669 --> 00:02:45,009
es

39
00:02:45,009 --> 00:02:47,090
m igual a menos 4

40
00:02:47,090 --> 00:03:07,099
Bueno, para m igual a menos 4 el rango puede ser 2, pero no lo sabemos, todavía no lo sabemos. ¿Por qué? Porque hay dos menores 2 por 2, es decir, tenemos dos menores 2 por 2 que son 2 menores 3 por 3, perdón, me estoy estorbando por aquí, me voy a acabar quitando.

41
00:03:07,099 --> 00:03:11,020
2 menores 2 por 2, que son

42
00:03:11,020 --> 00:03:15,300
2 menores 3 por 3, quiero decir que son columna 1, columna 2, columna 4

43
00:03:15,300 --> 00:03:18,939
que es el que acabamos de hacer, y nos falta columna 1, columna 4, columna 3

44
00:03:18,939 --> 00:03:23,060
vamos con él, entonces, si queréis, ya podemos deducir

45
00:03:23,060 --> 00:03:26,800
que si m es distinto de menos 4

46
00:03:26,800 --> 00:03:31,180
el rango de la matriz A va a ser 3

47
00:03:31,180 --> 00:03:35,319
¿por qué? porque hemos encontrado la columna 1

48
00:03:35,319 --> 00:03:43,500
la columna 2 y la columna 4 son linealmente independientes, porque hemos visto que este determinante nos hace 0.

49
00:03:44,139 --> 00:03:53,360
Bien, entonces, ¿qué nos falta por ver? Pues la columna 4, es decir, pero ya podemos mirar a ver qué pasa para m igual a menos 4 directamente.

50
00:03:53,360 --> 00:04:11,979
Si sustituimos la m por menos 4, vamos a ver qué matriz tenemos. Tenemos 2 menos 1, 5. 2, 3, menos 4. Luego vamos a tener una columna de ceros y luego nos queda el 0, perdón, menos 4, menos 1, menos 4.

51
00:04:11,979 --> 00:04:19,279
y pues nada, lo que necesitamos es ver

52
00:04:19,279 --> 00:04:21,819
porque esa columna 0 evidentemente no me va a aportar al rango

53
00:04:21,819 --> 00:04:24,939
pero yo tengo la columna 1, columna 3 y columna 4

54
00:04:24,939 --> 00:04:26,480
que tengo que ver si son independientes o no

55
00:04:26,480 --> 00:04:27,800
porque el rango podría ser 3

56
00:04:27,800 --> 00:04:31,180
con lo cual lo que hago es calcular este determinante

57
00:04:31,180 --> 00:04:40,550
y vamos a ver si eso es 0 o no es 0

58
00:04:40,550 --> 00:04:43,889
y con eso habré acabado el ejercicio

59
00:04:43,889 --> 00:04:46,290
ha faltado pues de poner la solución bien

60
00:04:46,290 --> 00:04:49,329
8 más 8

61
00:04:49,329 --> 00:04:54,170
5 por 4, 20, por 3, 60

62
00:04:54,170 --> 00:04:56,589
con más, ¿verdad? más 60

63
00:04:56,589 --> 00:04:59,529
y ahora, más 10

64
00:04:59,529 --> 00:05:02,050
y ahora vamos, van a ser todos positivos

65
00:05:02,050 --> 00:05:06,370
3, 4, por 2, 8, por 3, 24

66
00:05:06,370 --> 00:05:07,490
con signo más

67
00:05:07,490 --> 00:05:11,670
y nos falta el negativo

68
00:05:11,670 --> 00:05:12,569
que es 16

69
00:05:12,569 --> 00:05:15,970
pero es positivo, menos por menos, más

70
00:05:15,970 --> 00:05:17,990
por menos, menos, por otro menos, más

71
00:05:17,990 --> 00:05:22,970
Más 16. Total, que no sé lo que va a dar, pero desde luego va a dar distinto de 0.

72
00:05:23,310 --> 00:05:30,069
Y como va a dar distinto de 0, quiero decir que también para m igual a menos 4,

73
00:05:36,319 --> 00:05:42,360
el rango de la matriz, ¿cuánto vale? Pues vale 3, porque hemos encontrado otro menor no nulo.

74
00:05:42,500 --> 00:05:49,639
Es decir, podemos concluir que el rango de la matriz A es igual a 3, valga lo que valga la m.

75
00:05:49,639 --> 00:06:08,029
Y ya está. Así que nada, hemos acabado con este penúltimo ejercicio del examen. Vamos a por el último y habremos acabado este primer examen de álgebra de matrices y determinantes. ¡A por él!