1
00:00:00,000 --> 00:00:04,059
Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio.

2
00:00:04,480 --> 00:00:06,900
Nos dan una función definida a trozos, como se puede ver,

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00:00:07,500 --> 00:00:12,599
f de x igual a x cuadrado más a por x más b si x menor que 1

4
00:00:12,599 --> 00:00:16,300
y c por x si x mayor o igual que 1.

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00:00:17,600 --> 00:00:22,899
Y nos piden calcular a, b y c para que la función sea derivable en x igual a 1,

6
00:00:23,460 --> 00:00:26,339
sabiendo que f de 0 es igual a f de 4.

7
00:00:26,339 --> 00:00:31,940
Bien, observando la función vemos que realmente lo que tenemos son dos polinomios

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00:00:31,940 --> 00:00:37,740
x cuadrados más a por x más b, que es continuo en todo su dominio de definición

9
00:00:37,740 --> 00:00:42,640
y c por x, que es continuo en todo su dominio de definición

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00:00:42,640 --> 00:00:49,299
Por tanto, para que esta función sea continua tendremos que estudiar la continuidad en x igual a 1

11
00:00:49,299 --> 00:00:54,979
Para estudiar la continuidad en x igual a 1, pues comenzamos

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00:00:54,979 --> 00:01:05,010
x igual a 1, lo primero que tenemos que estudiar es f de 1, que va a ser c.

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00:01:08,170 --> 00:01:14,010
El segundo paso que tenemos que estudiar es el límite cuando x tiende a 1 de f de x.

14
00:01:17,939 --> 00:01:20,640
Para esto tendremos que estudiar sus límites laterales.

15
00:01:20,640 --> 00:01:29,579
Vamos a hacer el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y el límite cuando x tiende a 1 por la derecha.

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00:01:29,579 --> 00:01:47,620
Si x tiende a 1 por la izquierda, cogeremos la función x cuadrado más a por x más b, cuyo límite nos va a dar 1 más a más b.

17
00:01:47,620 --> 00:01:54,620
Y si cogemos el límite por la derecha será c por x, cuyo límite nos va a dar c.

18
00:01:57,260 --> 00:02:07,599
Por tanto estas dos cosas tendrán que ser iguales, es decir, 1 más a más b igual a c.

19
00:02:08,240 --> 00:02:15,080
Esto sería como una primera condición que tiene que cumplir para que sea continuo en x igual a 1.

20
00:02:17,500 --> 00:02:20,500
Otra pista la tenemos en que nos dicen que es derivable.

21
00:02:21,020 --> 00:02:43,699
Por lo tanto, si es derivable, voy a encoger esto un poquito, lo voy a dejar aquí, si es derivable, pues lo mismo, son polinomios, son derivables.

22
00:02:43,699 --> 00:03:09,930
Entonces la derivada la pondremos como f' de x igual, esto será 2x más a si x menor que menos 1 y esto será c si x mayor que 1.

23
00:03:09,930 --> 00:03:13,750
Y nos queda estudiar qué pasa cuando x es igual a 1.

24
00:03:14,729 --> 00:03:20,090
Para eso vamos a hacer las derivadas laterales, que serán, lo podemos escribir así,

25
00:03:20,370 --> 00:03:32,030
la derivada lateral por la izquierda, que realmente es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de 2x más a,

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00:03:32,030 --> 00:03:38,110
que es igual a 2 más a

27
00:03:38,110 --> 00:03:45,759
y la derivada por la derecha de esto

28
00:03:45,759 --> 00:03:53,400
que será igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha

29
00:03:53,400 --> 00:03:56,360
y aquí cogeremos c directamente

30
00:03:56,360 --> 00:03:58,560
luego es c

31
00:03:58,560 --> 00:04:01,479
y como es derivable estos dos valores tienen que ser iguales

32
00:04:01,479 --> 00:04:05,919
2 más a tiene que ser igual a c

33
00:04:05,919 --> 00:04:07,979
tenemos la segunda condición

34
00:04:12,009 --> 00:04:14,030
¿Podemos resolver con estas dos condiciones?

35
00:04:15,550 --> 00:04:20,209
Pues no, porque tenemos tres letras y dos ecuaciones.

36
00:04:20,389 --> 00:04:22,029
Tenemos que buscar una condición más.

37
00:04:23,009 --> 00:04:38,490
Si hago esto pequeño, la siguiente pista nos la da el hecho de que nos dicen que f de 0 es igual a f de 4.

38
00:04:38,490 --> 00:04:52,649
Esto significa que f de 0 es igual a b y f de 4 es igual a 4c.

39
00:04:53,069 --> 00:04:58,250
Por tanto, b es igual a 4c.

40
00:05:00,189 --> 00:05:10,050
Si ahora juntamos las tres condiciones, pues tenemos que 1 más a más b es igual a c.

41
00:05:10,050 --> 00:05:19,310
tenemos que 2 más A es igual a C y que B es igual a 4 por C.

42
00:05:22,759 --> 00:05:32,860
Ahora resolvemos esto como podamos y obtenemos que, bueno lo voy a hacer en una página nueva,

43
00:05:32,860 --> 00:05:59,449
Teníamos como sistema 1 más A más B igual a C, 2 más A igual a C y, por otro lado, teníamos que B es igual a 4C.

44
00:05:59,449 --> 00:06:14,310
Bueno, pues por ejemplo podríamos aquí despejar A va a ser igual a C menos 2 y B ya la tenemos despejada, 4C.

45
00:06:14,310 --> 00:06:30,889
Entonces, podemos ponerla en la primera ecuación y tendremos que 1 más c menos 2 más 4c es igual a c.

46
00:06:31,250 --> 00:06:41,089
Esto va a quedar menos 1 más 5c es igual a c o menos 1 es igual a menos 4c.

47
00:06:41,089 --> 00:06:45,350
por lo tanto la C vale 1 cuarto

48
00:06:45,350 --> 00:06:53,699
si la C vale 1 cuarto pues ya tenemos que entonces B

49
00:06:53,699 --> 00:06:59,579
valdrá 4 por 1 cuarto que es igual a 1

50
00:06:59,579 --> 00:07:03,319
o sea que B igual a 1

51
00:07:03,319 --> 00:07:10,279
y por último la A será igual a

52
00:07:10,279 --> 00:07:14,300
1 cuarto menos 2 que esto es

53
00:07:14,300 --> 00:07:18,500
4, 1 menos 8 que es igual a

54
00:07:18,500 --> 00:07:20,779
menos siete cuartos

55
00:07:20,779 --> 00:07:23,379
nuestra solución es

56
00:07:23,379 --> 00:07:24,379
a igual

57
00:07:24,379 --> 00:07:28,240
menos siete cuartos

58
00:07:28,240 --> 00:07:30,480
b igual

59
00:07:30,480 --> 00:07:31,839
1

60
00:07:31,839 --> 00:07:36,269
c igual

61
00:07:36,269 --> 00:07:38,870
para estos valores de a, b y c

62
00:07:38,870 --> 00:07:41,389
esa función será

63
00:07:41,389 --> 00:07:42,670
derivable

64
00:07:42,670 --> 00:07:44,189
y continua

65
00:07:44,189 --> 00:07:48,189
y además f igual a f

66
00:07:48,189 --> 00:07:49,589
y eso es todo