1
00:00:00,180 --> 00:00:10,240
En este vídeo vamos a explicar la relación entre raíz y divisor de un polinomio.

2
00:00:10,400 --> 00:00:12,220
Raíz de un polinomio y divisor de un polinomio.

3
00:00:13,019 --> 00:00:14,439
Quiero que tengáis en cuenta una cosa.

4
00:00:15,160 --> 00:00:16,480
Esto ya lo hemos dado, ¿eh?

5
00:00:16,480 --> 00:00:24,280
Pero lo que queremos es encontrar la factorización a partir de las raíces del polinomio.

6
00:00:25,859 --> 00:00:29,359
O sea, para factorizar un polinomio, ¿hasta ahora qué hemos hecho?

7
00:00:29,359 --> 00:00:57,159
Pues buscar divisores del polinomio. ¿Sí o no? Pero hay otra técnica que es buscando las raíces del polinomio. ¿Y por qué? Porque vimos en su día que si A es raíz del polinomio PDX, entonces, o mejor dicho, podríamos decir una doble implicación.

8
00:00:57,159 --> 00:01:22,359
Sí, solamente sí, x menos a es divisor del polinomio. ¿Se recuerda esto? ¿Recordáis que decíamos, si tienes un divisor, perdón, una raíz 5, por ejemplo, x menos 5 es un divisor del polinomio?

9
00:01:22,359 --> 00:01:43,079
¿Se recuerda? Lo voy a explicar. Lo explico, ¿vale? Borro esto. Vamos a ver. Dice, mira, imaginemos que A es raíz de P de X.

10
00:01:44,060 --> 00:01:56,219
Bien, ¿esto cuándo sucede? Cuando P de A es igual a cero. ¿Sí o no? ¿De acuerdo? Cuando P de A vale cero.

11
00:01:56,700 --> 00:02:08,080
Y ahora recordemos el teorema del resto. ¿Qué decía el teorema del resto? El resto de dividir un polinomio P de X entre X menos A es igual a P de A. ¿Sí o no?

12
00:02:08,080 --> 00:02:46,439
Y por tanto, si P de A vale cero, entonces, por el teorema del resto, el resto de dividir P de X entre X menos A es igual a qué?

13
00:02:46,439 --> 00:03:10,599
A P de A. ¿Sí o no? ¿Y cuánto vale P de A? Cero. ¿Esto qué implica? Fijaros, empezamos con la hipótesis de que A es raíz del polinomio. Y terminamos diciendo que si A es raíz del polinomio, el resto de dividir P de X entre X menos A es igual a cero.

14
00:03:10,599 --> 00:03:30,819
¿Qué quiere decir? Que x menos a es el qué? Un divisor del polinomio. ¿Entendéis o no? ¿Sí o no? Es divisor de p de x. ¿Se ha entendido la idea?

15
00:03:31,639 --> 00:03:44,039
¿Qué quiere decir en general? Pues que si tengo una raíz a del polinomio p de x, también puedo afirmar que x menos a es un divisor.

16
00:03:46,430 --> 00:03:52,669
Y viceversa, si x menos a es un divisor, a es una raíz del polinomio. ¿Se comprende?

17
00:03:53,750 --> 00:03:57,389
Bien, pues lo que voy a mostrarnos ahora es otra técnica para factorizar.

18
00:03:58,830 --> 00:04:00,430
Que sería, lo vamos a ver ahora.

19
00:04:00,430 --> 00:04:08,069
Bien, bueno, este tiempo para borrar

20
00:04:08,069 --> 00:04:12,650
Como decía, vamos a aplicar otra técnica para factorizar un polinomio

21
00:04:12,650 --> 00:04:13,430
¿De acuerdo?

22
00:04:14,409 --> 00:04:15,409
¿Cuál técnica?

23
00:04:16,129 --> 00:04:19,050
Pues en lugar de buscando divisores, como hemos hecho hasta ahora

24
00:04:19,050 --> 00:04:21,389
Porque cada vez que aplicas Ruffini, ¿qué haces?

25
00:04:21,930 --> 00:04:23,050
Buscas divisores

26
00:04:23,050 --> 00:04:23,949
¿Sí o no?

27
00:04:25,129 --> 00:04:29,529
Bien, porque haces que divides y entonces buscas que el resto cero

28
00:04:29,529 --> 00:04:30,290
¿Sí o no?

29
00:04:30,649 --> 00:04:32,970
Pues lo que vamos a hacer ahora, en lugar de buscar divisores

30
00:04:32,970 --> 00:04:35,970
vamos a buscar raíces del polinomio.

31
00:04:36,509 --> 00:04:42,009
Es decir, esos valores que hacen que x al sustituir dé como resultado cero el polinomio.

32
00:04:42,310 --> 00:04:42,990
¿Me seguís o no?

33
00:04:43,629 --> 00:04:45,009
Bien. ¿Por qué?

34
00:04:45,149 --> 00:04:51,269
Porque si a es raíz, como hemos visto antes, x menos a es un divisor del polinomio.

35
00:04:51,829 --> 00:04:52,269
¿Se entiende?

36
00:04:52,910 --> 00:04:55,490
Bien, pues vamos a buscar las raíces de este polinomio.

37
00:04:55,810 --> 00:04:56,810
¿Y cómo se buscan?

38
00:04:57,310 --> 00:05:01,569
Pues vamos a ver si una raíz es el valor de x que hace que al sustituir aquí

39
00:05:01,569 --> 00:05:21,670
Si el polinomio vale cero, pues no serán las soluciones de esta ecuación. ¿Se entiende o no? Buscamos las soluciones de esta ecuación, porque las soluciones de esta ecuación serán las raíces del polinomio. ¿De acuerdo?

40
00:05:21,670 --> 00:05:47,550
Bien, ¿cómo resolvemos? Pues con la fórmula menos b más menos raíz cuadrada, ¿de acuerdo? Sería menos b, que es 1, más menos raíz cuadrada b al cuadrado, 1 al cuadrado, menos 1 al cuadrado es 1, menos por menos por menos más, 4 por 6 es 24, partido por 2, a que es 2, entonces 1 más menos 5 partido 2, y te he dado soluciones, 3 y menos 2.

41
00:05:47,550 --> 00:05:53,350
Por lo tanto, ¿cuánto vale p de 3? ¿Cuánto vale?

42
00:05:55,029 --> 00:05:58,389
Cero, porque es la solución de la ecuación esta

43
00:05:58,389 --> 00:06:01,810
Y por tanto, al sustituir el 3, aquí tiene que dar cero

44
00:06:01,810 --> 00:06:04,930
Y por tanto, p de 3 tiene que valer cero, es raíz

45
00:06:04,930 --> 00:06:09,970
¿Y cuánto vale p de menos 2? Pues también cero

46
00:06:09,970 --> 00:06:29,930
Por lo tanto, según lo visto antes, x menos 3 tiene que ser el qué? Un divisor del polinomio. ¿Entendéis? Y también x más 2 tiene que ser un divisor del polinomio. ¿Se comprende?

47
00:06:29,930 --> 00:06:32,430
Podéis hacer la prueba por Ruffini

48
00:06:32,430 --> 00:06:36,129
Haced la prueba, pero vamos, no hace falta

49
00:06:36,129 --> 00:06:37,829
Es el teorema del resto, ¿se entiende?

50
00:06:38,329 --> 00:06:39,370
¿Esto qué implica?

51
00:06:39,689 --> 00:06:46,250
Que el polinomio este tendría que ser igual a x menos 3 por x más 2

52
00:06:46,250 --> 00:06:55,029
Porque tiene estos dos polinomios como divisores

53
00:06:55,029 --> 00:06:56,389
¿Se entiende?

54
00:06:57,290 --> 00:06:58,449
Podría haber más

55
00:06:58,449 --> 00:07:01,189
Y entonces tendríamos que poner aquí por algo

56
00:07:01,189 --> 00:07:03,709
Por algo, por un k o algo

57
00:07:03,709 --> 00:07:06,129
Lo que pasa es que podéis comprobar que efectivamente

58
00:07:06,129 --> 00:07:08,029
Al multiplicar esto, me da esto

59
00:07:08,029 --> 00:07:11,050
Porque este da lugar a un polinomio de grado 2

60
00:07:11,050 --> 00:07:13,129
x por x, x cuadrado

61
00:07:13,129 --> 00:07:13,949
Que es lo que aquí aparece

62
00:07:13,949 --> 00:07:14,790
¿Se entiende o no?

63
00:07:15,889 --> 00:07:16,389
¿Se entiende?

64
00:07:17,930 --> 00:07:18,829
Hagamos la prueba

65
00:07:18,829 --> 00:07:21,810
Hagamos la prueba de que efectivamente

66
00:07:21,810 --> 00:07:26,529
A ver, es x menos 3 por x más 2, ¿no?

67
00:07:27,290 --> 00:07:28,709
Vamos a hacer la prueba, venga

68
00:07:28,709 --> 00:07:30,970
Efectivamente, a ver

69
00:07:30,970 --> 00:07:33,310
x menos 3 por x más 2

70
00:07:33,310 --> 00:07:35,410
a ver si al multiplicar

71
00:07:35,410 --> 00:07:36,529
nos da el polinomio, ¿verdad?

72
00:07:36,810 --> 00:07:38,949
venga, x por x, x cuadrado

73
00:07:38,949 --> 00:07:41,050
más 2x

74
00:07:41,050 --> 00:07:42,810
menos 3x menos 6

75
00:07:42,810 --> 00:07:44,810
esto es igual a x cuadrado

76
00:07:44,810 --> 00:07:46,209
menos x menos 6

77
00:07:46,209 --> 00:07:47,329
efectivamente

78
00:07:47,329 --> 00:07:50,329
aquí lo tenemos, ¿se ha entendido?

79
00:07:51,269 --> 00:07:52,329
¿se ha visto la idea o no?

80
00:07:54,370 --> 00:07:54,889
conclusión

81
00:07:54,889 --> 00:07:56,649
cuando yo sea capaz

82
00:07:56,649 --> 00:07:58,250
de encontrar

83
00:07:58,250 --> 00:08:00,310
las raíces del polinomio

84
00:08:00,310 --> 00:08:10,649
o cuando por alguna razón las conozca, puedo obtener por cada raíz un divisor del polinomio.

85
00:08:11,170 --> 00:08:16,170
Y así puedo acercarme a la factorización del polinomio.

86
00:08:17,810 --> 00:08:18,670
¿Se ha entendido la idea?

87
00:08:19,350 --> 00:08:27,050
Claro, si es un polinomio de grado 3, encontrar ecuaciones de grado 3, pues todavía técnicamente no lo sabéis hacer.

88
00:08:27,290 --> 00:08:29,209
Entonces estáis obligados a aplicar Ruffini.

89
00:08:29,209 --> 00:08:41,470
Pero si se tratara de un polinomio de grado 2, o por ejemplo, una ecuación bicuadrada, que lo veremos cómo es, que podremos calcular, pues en ese caso sí que podríamos.

90
00:08:42,169 --> 00:08:44,529
¿Se ha entendido la idea? Bien.