1 00:00:00,000 --> 00:00:07,559 un par de cositas más que os pueden ser útiles para hacer los ejercicios y con esto yo creo que 2 00:00:07,559 --> 00:00:16,440 más o menos ya habríamos visto toda la teoría o todo lo más importante del tema 7. Si creo que 3 00:00:16,440 --> 00:00:20,079 es necesario hacer alguna puntualización sobre algún ejercicio que os vaya mandando pues os lo 4 00:00:20,079 --> 00:00:32,380 diré. Ahora en este vídeo vamos a ver lo que es la proyección de un vector sobre otro. Imaginaos 5 00:00:32,380 --> 00:00:37,159 que tengo dos vectores, el vector u y el vector v 6 00:00:37,159 --> 00:00:40,899 de los cuales conozco todos sus datos 7 00:00:40,899 --> 00:00:43,280 también conozco el ángulo que forman 8 00:00:43,280 --> 00:00:48,200 voy a llamar proyección de u sobre v 9 00:00:48,200 --> 00:00:52,479 a la longitud del segmento 10 00:00:52,479 --> 00:00:54,799 que voy a pintar aquí en rojo 11 00:00:54,799 --> 00:00:58,179 a la longitud de este segmento 12 00:00:58,179 --> 00:01:01,659 es a lo que le voy a llamar proyección de u 13 00:01:01,659 --> 00:01:03,320 sobre V 14 00:01:03,320 --> 00:01:05,659 ¿cómo voy a calcular 15 00:01:05,659 --> 00:01:07,959 esta proyección? 16 00:01:08,560 --> 00:01:08,579 ¿vale? 17 00:01:09,680 --> 00:01:12,260 pues bueno, por construcción 18 00:01:12,260 --> 00:01:13,140 tal y como he dicho 19 00:01:13,140 --> 00:01:16,000 estoy trazando desde el extremo de una 20 00:01:16,000 --> 00:01:18,040 perpendicular a V, luego estoy conformando aquí 21 00:01:18,040 --> 00:01:19,519 un triángulo rectángulo 22 00:01:19,519 --> 00:01:21,959 U sería la hipotenusa, esta línea 23 00:01:21,959 --> 00:01:23,859 discontinua es un cateto y el otro cateto 24 00:01:23,859 --> 00:01:25,519 es la proyección que quiero calcular 25 00:01:25,519 --> 00:01:28,519 bueno, pues tengo ya todas las herramientas trigonométricas 26 00:01:28,519 --> 00:01:30,180 necesarias para poder deducir 27 00:01:30,180 --> 00:01:30,640 ese valor 28 00:01:30,640 --> 00:01:35,459 puesto que lo que yo conozco es la hipotenusa 29 00:01:35,459 --> 00:01:37,439 y lo que quiero conocer es un cateto 30 00:01:37,439 --> 00:01:41,959 la razón trigonométrica que involucra hipotenusa y cateto contiguo 31 00:01:41,959 --> 00:01:43,379 al ángulo que estoy considerando 32 00:01:43,379 --> 00:01:44,799 desde luego es el coseno 33 00:01:44,799 --> 00:01:47,319 entonces si yo me pongo a escribir 34 00:01:47,319 --> 00:01:49,640 la definición de coseno 35 00:01:49,640 --> 00:01:51,239 esto sería cateto contiguo 36 00:01:51,239 --> 00:01:55,099 es decir, la proyección de u sobre v 37 00:01:55,099 --> 00:01:57,099 entre hipotenusa 38 00:01:57,099 --> 00:01:58,700 la hipotenusa no es u 39 00:01:58,700 --> 00:02:00,620 es el módulo de u, lo que mide 40 00:02:00,620 --> 00:02:11,460 Si yo despejo de aquí, la proyección de u sobre v va a ser lo mismo que u por el coseno de alfa, ¿vale? 41 00:02:11,500 --> 00:02:13,800 Por el coseno que forma u con v. 42 00:02:14,159 --> 00:02:16,819 Luego esto, eso es lo que voy a llamar proyección. 43 00:02:18,080 --> 00:02:25,680 Pues en este caso ya, sabiendo esto, vamos a poder escribir el producto escalar de los vectores u y v de otra forma. 44 00:02:25,680 --> 00:02:34,659 Vamos a poder escribir el producto de u y v, el producto escalar sabemos que es módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman 45 00:02:34,659 --> 00:02:38,520 Pero es que acabamos de ver que esto y esto es la proyección 46 00:02:38,520 --> 00:02:40,719 Bueno, voy a ponerlo un poquito mejor para que lo veáis 47 00:02:40,719 --> 00:02:46,360 ¿Vale? Que por el coseno del ángulo que forman 48 00:02:46,360 --> 00:02:52,800 Acabamos de ver que esto y esto, ¿vale? El producto de módulo de u por el coseno es la proyección 49 00:02:52,800 --> 00:03:04,620 Luego yo puedo escribir tranquilamente el producto escalar como v, el módulo de uno de los dos vectores, en este caso v, por la proyección del otro sobre él. 50 00:03:04,819 --> 00:03:11,259 Luego ya conozco tres formas de escribir el producto escalar, como módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman, 51 00:03:11,759 --> 00:03:17,800 como el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, o si estoy hablando de bases ortonormales, 52 00:03:17,800 --> 00:03:20,419 ¿vale? bases ortonormales 53 00:03:20,419 --> 00:03:23,759 si estoy hablando de bases ortonormales 54 00:03:23,759 --> 00:03:26,219 yo lo puedo escribir como u sub 1 por v1 55 00:03:26,219 --> 00:03:28,080 más u sub 2 por v2 56 00:03:28,080 --> 00:03:29,620 siendo u sub 1, u sub 2 57 00:03:29,620 --> 00:03:31,400 y v1, v2 58 00:03:31,400 --> 00:03:33,740 las coordenadas de dichos vectores 59 00:03:33,740 --> 00:03:35,159 en dichas bases ortonormales 60 00:03:35,159 --> 00:03:37,280 bueno 61 00:03:37,280 --> 00:03:39,520 y algunos se preguntarán 62 00:03:39,520 --> 00:03:41,780 bueno, pues esto está muy bonito cuando el coseno 63 00:03:41,780 --> 00:03:42,960 cuando forman un ángulo agudo 64 00:03:42,960 --> 00:03:45,919 pero ¿cómo es la proyección si forman los vectores un ángulo obtuso? 65 00:03:46,020 --> 00:03:47,379 bueno, pues si forman un ángulo obtuso 66 00:03:47,379 --> 00:03:51,919 la proyección saldrá negativa puesto que el coseno es negativo 67 00:03:51,919 --> 00:03:54,300 pero la idea es la misma 68 00:03:54,300 --> 00:04:00,389 este segmento, si esto es u y esto es v 69 00:04:00,389 --> 00:04:02,770 y yo trazo desde el extremo de u la perpendicular 70 00:04:02,770 --> 00:04:06,930 la longitud de este segmento es la proyección 71 00:04:06,930 --> 00:04:08,909 en este caso negativa