1 00:00:00,750 --> 00:00:05,070 Hola chicos, en este vídeo vamos a repasar la factorización de polinomios. 2 00:00:05,690 --> 00:00:10,089 Recordamos que factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios irreducibles. 3 00:00:10,869 --> 00:00:16,890 Estos son polinomios del grado 1, como x-2, x-3, 2x-1, el factor de x, 4 00:00:17,589 --> 00:00:24,809 o polinomios del grado 2 sin raíces, como x²-1, x²-x-1, es decir, polinomios del grado 2, 5 00:00:25,429 --> 00:00:28,829 cuya ecuación de segundo grado p de x igual a 0 no tiene solución. 6 00:00:29,670 --> 00:00:35,289 Vamos a ver unos ejemplos sencillos de factorización en los que no hay que hacer nada más que aplicar los conocimientos que ya tenéis. 7 00:00:36,170 --> 00:00:46,670 En el ejemplo 1, x a la cuarta menos x cuadrado, si nos fijamos no hay término independiente, recordamos que el término independiente es aquel que no lleva x, 8 00:00:47,350 --> 00:00:51,810 entonces podemos sacar factor común la x de exponente más pequeño, en este caso x cuadrado. 9 00:00:52,350 --> 00:01:04,000 Si sacamos factor común x cuadrado, abrimos paréntesis y nos queda x elevado al exponente que tenía, en este caso 4, menos el exponente que hemos sacado factor común. 10 00:01:04,680 --> 00:01:12,480 Nos queda x cuadrado menos x cuadrado, le restamos al exponente 2 y nos queda x elevado a 0, es decir, 1. 11 00:01:14,219 --> 00:01:17,239 Ya tendríamos parte de la factorización. 12 00:01:17,239 --> 00:01:26,959 Si os dais cuenta, este polinomio de grado 2 que tenemos aquí se le puede aplicar una identidad notable, que es la de la diferencia de cuadrados. 13 00:01:26,959 --> 00:01:45,420 Tenemos el cuadrado de x y el cuadrado de 1, por tanto podemos factorizarlo como, recordad poner siempre lo que teníamos al principio, cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo se puede factorizar como x más 1 por x menos 1. 14 00:01:45,420 --> 00:01:53,459 Y ya tendríamos todos los factores de grado 1 o, en este caso, 1 de grado 1 al cuadrado, ¿vale? 15 00:01:54,239 --> 00:01:58,739 Siguiente ejemplo, x al cubo menos 6x cuadrado más 9x. 16 00:01:59,159 --> 00:02:05,120 Al igual que antes, nos damos cuenta de que no tenemos término independiente, por tanto, tenemos que sacar factor común. 17 00:02:05,700 --> 00:02:08,879 La x de exponente más pequeño, en este caso, x está elevado a 1. 18 00:02:08,879 --> 00:02:15,400 Arriba los paréntesis y ponemos el polinomio restando 1 a la x. 19 00:02:15,879 --> 00:02:29,240 x al cubo menos 1 nos queda x cuadrado menos 6x, teníamos 2, le restamos 1, más 9, puesto que teníamos 1, le restamos 1 y nos quedan 0. 20 00:02:30,240 --> 00:02:35,000 Ahora tenemos un polinomio de grado 2 al que podríamos aplicar la ecuación del segundo grado, 21 00:02:35,280 --> 00:02:39,020 pero nos damos cuenta de que quizá podemos tener alguna identidad notable. 22 00:02:39,840 --> 00:02:43,840 Tenemos aquí un cuadrado, tenemos 9 que es el cuadrado de 3, 23 00:02:44,659 --> 00:02:49,460 por lo tanto bastaría ver si aquí tenemos el doble producto de x por 3, 24 00:02:50,060 --> 00:02:55,020 que en este caso es 2 por 3 por x menos 6x. 25 00:02:55,460 --> 00:02:58,680 Tenemos la identidad notable de la diferencia al cuadrado. 26 00:02:58,680 --> 00:03:16,099 Es decir, que el polinomio nos queda x menos 3 cuadrado del primero, x cuadrado, cuadrado del segundo, 9, menos el doble del primero por el segundo, y este factor al cuadrado. 27 00:03:16,199 --> 00:03:22,740 Con lo cual ya tenemos factorizado el polinomio con un factor x de grado 1 y un factor x menos 3 de grado 1 al cuadrado. 28 00:03:22,740 --> 00:03:43,800 En el ejemplo 3 nos damos cuenta de que el polinomio tampoco tiene término independiente, con lo cual sacamos de factor común la x de exponente más pequeño y nos queda x al cuadrado menos 8x, 3 menos 2, 1, menos 9, puesto que sacamos de factor común la x al cuadrado. 29 00:03:43,800 --> 00:04:03,199 En este caso, tenemos un polinomio de grado 2, no identificamos a priori ninguna identidad notable, puesto que las que tenían tres términos, el término independiente iba sumando, con lo cual, resolvemos la ecuación de segundo grado, x al cuadrado menos 8x menos 9 igual a 0. 30 00:04:03,879 --> 00:04:20,259 Recordamos que x es igual a menos b, en este caso 8, más menos, o bueno, menos, menos 8, la raíz de b al cuadrado, menos 4 por a por c, partido por 2a. 31 00:04:21,199 --> 00:04:42,540 Igual a 8 más menos, menos 8 al cuadrado, 64, menos 4 por 1 por menos 9, más 36, con lo cual 64 más 36, partido por 2, igual a 8 más menos, 64 más 36, 100, la raíz es 10, partido por 2. 32 00:04:42,540 --> 00:04:54,980 Esto es 8 más 10, 18, entre 2, a 9, y con el menos, 8 menos 10, menos 2, entre 2, menos 1. 33 00:04:56,300 --> 00:05:07,040 Con lo que la factorización del polinomio sería x al cuadrado por x menos la primera solución del polinomio, que es 9, 34 00:05:07,040 --> 00:05:13,040 por x menos la segunda, que como es menos 1, nos queda más 1. 35 00:05:14,120 --> 00:05:17,740 Esto sería en cuanto a polinomios cuya factorización es sencilla 36 00:05:17,740 --> 00:05:21,660 porque simplemente con identidades notables, ecuación de segundo grado 37 00:05:21,660 --> 00:05:24,959 o primero sacar factor común, se podría resolver la factorización. 38 00:05:25,699 --> 00:05:29,860 Hay casos en los que nos quedan polinomios de grado 3 o 4 39 00:05:29,860 --> 00:05:33,399 en los que no podemos aplicar esto y en ese caso tendríamos que recurrir 40 00:05:33,399 --> 00:05:34,639 al método de Ruffini. 41 00:05:34,639 --> 00:05:41,459 El método de Ruffini es una herramienta para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma x menos a. 42 00:05:42,459 --> 00:05:51,339 Recordamos que las posibles raíces, es decir, los valores de a que hacen que el polinomio p de x valga cero, son los divisores del término independiente. 43 00:05:51,819 --> 00:05:59,279 Si nuestro polinomio no tuviese término independiente, sacaríamos factor común, una potencia de x y aplicaríamos Ruffini al polinomio que nos queda entre paréntesis. 44 00:06:00,199 --> 00:06:06,120 Para ver el ejemplo, cogemos un polinomio directamente de grado 3 que sí que tenga término independiente. 45 00:06:06,240 --> 00:06:18,660 Los divisores, en este caso de menos 6, bastaría coger 6, son más menos 1, más menos 2, más menos 3 y más menos 6. 46 00:06:19,439 --> 00:06:23,120 Estos serían los candidatos a posibles raíces de nuestro polinomio. 47 00:06:23,120 --> 00:06:30,540 polinomio. Para aplicar Ruffini, escribimos los coeficientes en orden de mayor a menor 48 00:06:30,540 --> 00:06:38,300 grado. Si algún coeficiente fuese 0, tendríamos que ponerlo. En este caso, el coeficiente 49 00:06:38,300 --> 00:06:42,939 del término de grado 3 es 1, del término de grado 2, menos 6, del término de grado 50 00:06:42,939 --> 00:06:50,759 1, 11 y del término de grado 0, menos 6. Empezamos probando. Yo siempre recomiendo 51 00:06:50,759 --> 00:06:58,000 que empecéis por orden, pues para aseguraros que no se os olvida ninguno y por hacerlo 52 00:06:58,000 --> 00:07:02,819 de alguna manera un poco ordenada. En este caso probaríamos primero con 1, recordamos 53 00:07:02,819 --> 00:07:09,480 que el valor que ponemos aquí es el valor de a, que es el que luego restamos a x en 54 00:07:09,480 --> 00:07:17,439 el factor. Método de Ruffini, ¿cómo se aplica? Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos 55 00:07:17,439 --> 00:07:23,720 por el valor de a, en este caso 1, 1 por 1 es 1, y lo subimos debajo del segundo coeficiente. 56 00:07:24,220 --> 00:07:31,600 Sumamos ambos, menos 6 más 1, menos 5. Volvemos a multiplicar por el valor de a, en este caso 57 00:07:31,600 --> 00:07:39,720 1, 1 por menos 5, menos 5, volvemos a sumar, 1 menos 5, 6, multiplicamos por el valor de 58 00:07:39,720 --> 00:07:48,500 a, 1 por 6, 6, volvemos a sumar, menos 6 más 6, 0. Como el resto es 0, significa que hemos 59 00:07:48,500 --> 00:07:55,000 encontrado un factor, que en este caso sería x menos el valor de a, que para nosotros es 60 00:07:55,000 --> 00:08:03,120 1. ¿Cómo utilizamos este factor? Pues ahora el polinomio x factorizaría como x menos 61 00:08:03,120 --> 00:08:10,980 1, que es el factor que hemos hallado, por un polinomio de grado 3, menos 1, 2, cuyos 62 00:08:10,980 --> 00:08:15,480 coeficientes son los que aparecen aquí abajo. Recordamos que empezamos poniendo coeficientes 63 00:08:15,480 --> 00:08:25,959 de grado 3 y estos serían los coeficientes de grado 2. 1 por x al cuadrado menos 5 por 64 00:08:25,959 --> 00:08:32,279 x más 6. Ahora este polinomio de grado 2 tendríamos que factorizarlo. Podríamos volver 65 00:08:32,279 --> 00:08:34,600 aplicar Ruffini. Yo siempre os recomiendo 66 00:08:34,600 --> 00:08:35,840 que cuando tengáis grado 2 67 00:08:35,840 --> 00:08:37,759 utilicéis la ecuación de segundo grado 68 00:08:37,759 --> 00:08:39,440 o identidades notables. ¿Por qué? 69 00:08:40,220 --> 00:08:42,299 Porque para hallar las raíces que nos faltan 70 00:08:42,299 --> 00:08:44,100 y factorizar este polinomio de grado 2 71 00:08:44,100 --> 00:08:45,740 tendríamos que ir probando 72 00:08:45,740 --> 00:08:47,840 con los divisores del término independiente 73 00:08:47,840 --> 00:08:49,779 mientras que si aplicamos la ecuación de segundo grado 74 00:08:49,779 --> 00:08:51,679 pues si tiene solución 75 00:08:51,679 --> 00:08:53,559 nos da la solución y si no 76 00:08:53,559 --> 00:08:56,159 nos sale que no tiene solución y ya lo tendríamos factorizado. 77 00:08:56,720 --> 00:08:57,279 En este caso 78 00:08:57,279 --> 00:08:59,899 x igual menos b 79 00:08:59,899 --> 00:09:02,220 5 más menos la raíz de b cuadrado 80 00:09:02,220 --> 00:09:07,179 menos 4 por a y por c partido por 2a 81 00:09:07,179 --> 00:09:10,100 operamos y nos queda 5 más menos 82 00:09:10,100 --> 00:09:13,419 menos 5 al cuadrado, 25, 4 por 6, 24 83 00:09:13,419 --> 00:09:18,980 25 menos 24, 1 partido por 2 84 00:09:18,980 --> 00:09:21,779 la raíz de 1 es 1, entonces 5 y 1 85 00:09:21,779 --> 00:09:24,299 6 entre 2 a 3 86 00:09:24,299 --> 00:09:27,600 5 menos 1, 4 entre 2 a 2 87 00:09:27,600 --> 00:09:30,559 con lo que hemos encontrado las dos raíces que nos faltaban 88 00:09:30,559 --> 00:09:32,340 junto con la que ya teníamos. 89 00:09:32,480 --> 00:09:34,299 Y la factorización del polinomio quedaría 90 00:09:34,299 --> 00:09:38,940 x menos 1 por x menos 3, que es la primera raíz, 91 00:09:39,500 --> 00:09:41,720 por x menos 2, que es la segunda. 92 00:09:42,460 --> 00:09:46,259 Y ya estaría factorizado el polinomio con el método de Ruffin. 93 00:09:46,919 --> 00:09:50,799 Por último, vamos a ver la aplicación de la factorización de polinomios 94 00:09:50,799 --> 00:09:53,179 en la simplificación de fracciones algebraicas. 95 00:09:53,460 --> 00:09:56,200 Las fracciones algebraicas son fracciones de la forma 96 00:09:56,200 --> 00:09:58,899 polinomio en el numerador, polinomio en el denominador. 97 00:09:59,299 --> 00:10:05,539 Un recordatorio de la simplificación de fracciones con enteros en numerador y denominador 98 00:10:05,539 --> 00:10:13,220 es los pasos que hay que seguir, que son, primero descomponemos en factores y factorizamos numerador y denominador, 99 00:10:14,559 --> 00:10:23,179 después cancelamos los factores que tengan en común, en este caso, como hay un 2 arriba y otro abajo, lo cancelamos, 100 00:10:23,179 --> 00:10:39,539 Lo mismo con los treses. Después multiplicamos, bueno, operamos los factores que nos queden en numerador y denominador y ya tendríamos la fracción simplificada. Pues el método para simplificar fracciones algebraicas es exactamente igual. 101 00:10:39,539 --> 00:10:51,220 Entonces os dejo un ejercicio para que practiquéis la factorización de polinomios y la simplificación de fracciones y lo corregimos el próximo día en clase. Hasta luego. 102 00:10:51,220 --> 00:10:54,919 Hola chicos, ¿qué tal? ¿Cómo estáis? 103 00:10:55,379 --> 00:11:06,360 Recordad que tenéis el micrófono silenciado y que si queréis decir algo podéis habilitarlo o podéis también escribir en el chat. 104 00:11:06,820 --> 00:11:14,539 Hola, como veis os he puesto un enlace, tenéis que pinchar y se os va a abrir una pantalla. 105 00:11:14,539 --> 00:11:24,679 Voy a compartir la mía para que podáis verlo y se os va a abrir esta pantalla. 106 00:11:24,940 --> 00:11:34,659 Entonces tenéis dos columnas, una para que me pongáis las dudas que os surgen sobre el vídeo que habéis visto de la factorización de polinomios 107 00:11:34,659 --> 00:11:41,759 y otra columna para que me pongáis si habéis tenido dudas sobre el ejercicio que os dejé como aplicación. 108 00:11:41,759 --> 00:11:57,039 Bueno, dejo de compartir la pantalla, así que pincháis en este enlace y ahora en un par de minutitos, cuando pongáis un par de ideas, lo comentamos y corregimos el ejercicio. 109 00:12:01,500 --> 00:12:09,639 Bueno, ¿qué tal ha salido la actividad? ¿Habéis escrito muchas cosas? Sí, ya está, vale. 110 00:12:09,639 --> 00:12:35,919 A ver, voy a compartir mi pantalla para ver qué habéis escrito. A ver, no me acuerdo de las identidades notables. Ya os dije que las tenéis que repasar, identidades notables, no me acuerdo de Ruffini. Bueno, no sé si lo tengo bien. Después de aplicar Ruffini no sabía cómo seguir, no sabía por dónde empezar, ninguna creo que me ha salido bien. 111 00:12:35,919 --> 00:12:57,139 Bueno, voy a dejar de compartir la pantalla. Ahora lo que voy a hacer es corregir el ejercicio que os dejé como aplicación a ver qué tal ha salido. Voy a poner la otra pantalla para enfocar a la pizarra y así podéis verlo bien. 112 00:12:57,139 --> 00:13:06,340 Simplifica la fracción algebraica, x al cubo menos x cuadrado menos x más 2 partido por x al cubo más x cuadrado menos 4x menos 4. 113 00:13:08,080 --> 00:13:19,139 Si recordáis los pasos del vídeo, primero tenemos que factorizar numerador y denominador exactamente igual que lo que hacíamos con fracciones de números enteros en numerador y denominador. 114 00:13:19,740 --> 00:13:27,399 Como los polinomios son de grado 3 y no podemos sacar factor común x puesto que tienen término independiente, 115 00:13:28,440 --> 00:13:34,100 tenemos que aplicar el método de Ruffini al numerador y al denominador. 116 00:13:34,840 --> 00:13:42,799 Empezamos con el numerador, escribimos los coeficientes en orden de mayor a menor, 117 00:13:42,799 --> 00:13:52,779 como hicimos en el vídeo que os dejé, grado 3, 1, grado 2, menos 2, grado 1, menos 1, grado 0, 2. 118 00:13:55,799 --> 00:13:57,820 Todos podemos aplicar una identidad notable. 119 00:13:58,279 --> 00:14:05,000 Tenemos el cuadrado de x, tenemos el cuadrado de 2, por lo tanto esto se puede factorizar como suma por diferencia. 120 00:14:05,840 --> 00:14:10,299 x más 2 por x menos 2. 121 00:14:10,299 --> 00:14:26,320 Y entonces la factorización del polinomio del divisor sería x más 1 por x más 2 por x menos 2. 122 00:14:26,740 --> 00:14:32,399 Así ya tendríamos la factorización del numerador y del denominador. 123 00:14:32,399 --> 00:14:45,259 La escribimos a continuación, x menos 1 por x menos 2 por x más 1, la del numerador, y x más 1 por x más 2 por x menos 2 en el denominador. 124 00:14:46,399 --> 00:14:56,860 Cancelamos los factores que tenemos en común, en este caso x más 1 y x menos 2, y quedaría x menos 1 por x más 2, 125 00:14:56,860 --> 00:15:03,039 que ya no se puede simplificar, porque recordad que no podemos tachar las X que están sumando o restando, 126 00:15:03,120 --> 00:15:09,480 solamente podemos cancelar factores que estén multiplicando o dividiendo, ¿vale? 127 00:15:10,039 --> 00:15:12,360 Bueno, cambio la pantalla otra vez. 128 00:15:14,840 --> 00:15:15,860 Bueno, ¿lo habéis entendido? 129 00:15:17,000 --> 00:15:20,559 A ver, lo he tenido mal por las identidades notables. 130 00:15:20,559 --> 00:15:27,200 Bueno, ya sabéis que toca repasarlas y nada, seguir practicando y seguro que lo entendéis. 131 00:15:27,360 --> 00:15:31,240 ¿Vale, chicos? Bueno, pues nos vemos el próximo día en clase. ¡Hasta luego!