1 00:00:03,700 --> 00:00:09,759 Hola, en el siguiente vídeo vamos a resolver el ejercicio que tenemos en pantalla. 2 00:00:10,539 --> 00:00:15,580 Haya el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de P y de Q en cada paso. 3 00:00:16,260 --> 00:00:22,760 Para realizar este ejercicio tenemos que recordar los pasos a seguir en la factorización de polinomios. 4 00:00:24,969 --> 00:00:29,410 Los pasos a seguir en la factorización de polinomios eran los siguientes. 5 00:00:29,410 --> 00:00:35,030 Primero tenía que ver si podía sacar factor común 6 00:00:35,030 --> 00:00:36,530 Si podía, lo sacaba 7 00:00:36,530 --> 00:00:39,609 Una vez que había sacado factor común a todo lo que pudiese 8 00:00:39,609 --> 00:00:41,890 Me fijaba en el grado 9 00:00:41,890 --> 00:00:44,609 Podía ocurrir que el grado fuese mayor o igual que 3 10 00:00:44,609 --> 00:00:48,509 Y entonces tenía que realizar Ruffini 11 00:00:48,509 --> 00:00:51,189 Recordad que si el polinomio es mónico 12 00:00:51,189 --> 00:00:55,729 Las posibles raíces se encuentran entre los divisores del término independiente 13 00:00:56,609 --> 00:01:00,729 Solamente voy a obtener con Ruffini raíces enteras. 14 00:01:02,750 --> 00:01:14,370 Por lo tanto, en cuanto que el grado es 2, lo que me interesa es, o bien, identificar identidades notables que hace que vaya mucho más rápido. 15 00:01:15,709 --> 00:01:22,069 Y si no puedo identificarla, entonces tengo que resolver la ecuación de segundo grado asociada al polinomio. 16 00:01:22,069 --> 00:01:26,909 De aquí sacaré las raíces, sacando las raíces puedo construir los bárbaros. 17 00:01:27,590 --> 00:01:30,909 Este es el sistema que vamos a seguir. 18 00:01:32,290 --> 00:01:38,849 Para identificar identidades notables nos ponemos aquí un recordatorio de cómo eran. 19 00:01:39,010 --> 00:01:44,870 Tenemos el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferencia. 20 00:01:45,629 --> 00:01:52,430 Nosotros vamos a encontrarnos en las segundas partes de los segundos miembros, 21 00:01:52,430 --> 00:01:58,870 las expresiones que tenemos en los segundos miembros, y vamos a querer factorizarlos, 22 00:01:58,989 --> 00:02:04,370 es decir, queremos descubrir con qué identidad notable se corresponde. 23 00:02:04,810 --> 00:02:10,750 Con toda esta información comenzamos a resolver el ejercicio. 24 00:02:10,750 --> 00:02:29,659 En el apartado A me dicen que p de x es x al cuadrado menos 9 y que q de x es x al cuadrado menos 6x más 9. 25 00:02:30,060 --> 00:02:37,069 Para factorizar p de x, observo si puedo sacar factor común y veo que no. 26 00:02:37,810 --> 00:02:43,229 El grado del polinomio es 2, así que voy a ver si puedo identificar con identidades notables. 27 00:02:43,229 --> 00:02:49,349 De poder ser alguna identidad notable sería, es una diferencia de cuadrados. 28 00:02:49,889 --> 00:02:59,610 Así que como x cuadrado es un cuadrado y 9 también, puedo afirmar que esto es x más 3 por x menos 3. 29 00:03:02,270 --> 00:03:07,849 Para determinar la factorización de q de x tampoco puedo sacar factor común 30 00:03:07,849 --> 00:03:13,210 porque no hay ningún factor que se repita en los tres sumando. 31 00:03:13,229 --> 00:03:18,930 y si tengo que identificar con identidades notables, dado que tiene grado 2, es lo que me toca hacer, 32 00:03:19,750 --> 00:03:25,409 tendría que ser con la primera o con la segunda, es decir, el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia. 33 00:03:26,409 --> 00:03:34,449 Me fijo que el signo del término que tiene número y letra, número y x, es negativo, 34 00:03:34,449 --> 00:03:40,849 así que de ser alguno de los dos tendría que ser el cuadrado de una diferencia. 35 00:03:41,030 --> 00:03:42,169 Os lo hago aquí para que veáis. 36 00:03:42,169 --> 00:03:51,389 Mirad, mi hipótesis es que a al cuadrado es x al cuadrado y que b al cuadrado es 9. 37 00:03:52,449 --> 00:04:03,509 Como a y b tienen que ser positivos, deduzco aplicando raíces que a es x y que b es 3. 38 00:04:03,509 --> 00:04:08,349 Para asegurarme de que mi hipótesis es real 39 00:04:08,349 --> 00:04:14,949 tengo que coger el 6x y ver si es igual a 2ab 40 00:04:14,949 --> 00:04:20,089 Bueno, pues 2ab será 2 por x y por 3 41 00:04:20,089 --> 00:04:24,149 que efectivamente es 6x 42 00:04:24,149 --> 00:04:25,910 Así que mi hipótesis es buena 43 00:04:25,910 --> 00:04:34,250 Y aquí puedo decir que esto es ax menos b, 3 elevado al cuadrado. 44 00:04:35,449 --> 00:04:43,689 Una vez que los tenemos factorizados, calculamos el mínimo común múltiplo de p de x y de q de x 45 00:04:43,689 --> 00:04:49,610 como el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente. 46 00:04:50,050 --> 00:04:54,470 Comunes, x menos 3, mayor exponente con que aparece, 2. 47 00:04:54,470 --> 00:04:58,910 No comunes, x más 3, porque solo está en la descomposición de p de x. 48 00:04:59,430 --> 00:05:09,110 Para el máximo común divisor, ya sabemos que tendremos que coger los factores comunes elevados al menor de los exponentes con los que aparecen. 49 00:05:09,730 --> 00:05:13,470 Así que el máximo común divisor será x más 3. 50 00:05:14,149 --> 00:05:15,389 Seguimos con el apartado b. 51 00:05:15,389 --> 00:05:26,610 En el apartado B tenemos que P de X será X al cubo menos 7X al cuadrado más 12X. 52 00:05:26,889 --> 00:05:40,629 Mientras que Q de X me dicen que es X a la cuarta menos 3X al cubo menos 4X al cuadrado. 53 00:05:41,370 --> 00:05:48,189 Bien, para factorizar p de x veo si puedo sacar factor común y efectivamente la x está en todos los términos. 54 00:05:48,730 --> 00:05:52,089 Dividiendo x al cubo entre x me queda x cuadrado. 55 00:05:52,709 --> 00:05:59,189 Dividiendo 7x cuadrado menos 7x cuadrado entre x me queda 7x. 56 00:05:59,189 --> 00:06:03,029 Y dividiendo 12x entre x me queda 12. 57 00:06:03,029 --> 00:06:13,290 Si quiero seguir factorizando, tendría que identificar el polinomio que queda entre paréntesis de grado 2 con identidades notables. 58 00:06:13,910 --> 00:06:25,050 Pero dado que 12 no es un cuadrado perfecto, para sacar las raíces deberé utilizar la resolución de la ecuación asociada. 59 00:06:25,050 --> 00:06:54,860 Así que resuelvo x al cuadrado menos 7x más 12 igual a 0, x será menos b más menos la raíz de b al cuadrado menos 4ac, 4 por 1 y por 12, partido de 2a. 60 00:06:54,860 --> 00:07:15,709 Así que tenemos que x será igual a 7 más menos la raíz 49 menos 48, eso va a dar 1, así que x será 7 más menos 1 partido por 2, 61 00:07:15,709 --> 00:07:23,589 que me quedará 8 medios, es decir, 4, y 6 medios, es decir, 3. 62 00:07:24,189 --> 00:07:29,589 De la raíz x igual a 4 obtengo el factor x menos 4 63 00:07:29,589 --> 00:07:34,329 y de la raíz x igual a 3 obtengo el factor x menos 3. 64 00:07:34,870 --> 00:07:36,730 Y ya tengo la descomposición factorial. 65 00:07:38,029 --> 00:07:43,370 Procediendo de igual manera con pu de x, saco factor común a todas las x que puedo, 66 00:07:43,370 --> 00:07:49,930 que es un x cuadrado, me quedará x cuarta entre x cuadrado, me queda x cuadrado, 67 00:07:50,790 --> 00:07:58,230 y menos 3x cubo entre x cuadrado me queda menos 3x y menos 4x cuadrado entre 4x me queda 4. 68 00:07:58,430 --> 00:08:07,069 Quiero factorizar aquí, así que voy a tener que volver a intentar identificar con identidades notables, 69 00:08:07,069 --> 00:08:14,089 porque el grado del polinomio es 2, no puedo, porque no me coinciden los signos. 70 00:08:14,230 --> 00:08:18,670 Tendría que ser, los candidatos son el cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta. 71 00:08:19,189 --> 00:08:25,250 Pero no tengo ni todos los signos iguales, que entonces el candidato sería el cuadrado de una suma, 72 00:08:25,709 --> 00:08:31,410 ni tengo dos signos iguales y uno desigual, que entonces el candidato sería el cuadrado de una resta. 73 00:08:31,990 --> 00:08:36,129 Así que voy a tener que utilizar la resolución de la ecuación asociada. 74 00:08:36,129 --> 00:09:03,240 La ecuación asociada será x al cuadrado menos 3x menos 4 igual a 0, así que aplicando la fórmula me quedará menos menos 3 más menos la raíz de menos 3 al cuadrado menos 4 por 1 y por menos 4. 75 00:09:03,240 --> 00:09:06,799 Cuidado con que esta raya de la raíz llegue hasta el final 76 00:09:06,799 --> 00:09:10,279 Así como la raya de la fracción 77 00:09:10,279 --> 00:09:11,799 Partido por 2 78 00:09:11,799 --> 00:09:20,820 Así que x será a 3 más menos la raíz de 9 más 16 79 00:09:20,820 --> 00:09:24,059 Partido por 2 80 00:09:24,059 --> 00:09:25,740 Fijaos, ¿por qué más 16? 81 00:09:25,740 --> 00:09:27,899 Porque tengo que hacer la regla de los signos 82 00:09:27,899 --> 00:09:29,259 Menos por menos, más 83 00:09:29,259 --> 00:09:30,940 Así que me quedará 84 00:09:30,940 --> 00:09:34,480 3 más menos la raíz de 25 85 00:09:34,480 --> 00:09:36,980 partido por 2 86 00:09:36,980 --> 00:09:40,820 que será 3 más menos 5 87 00:09:40,820 --> 00:09:42,580 partido por 2 88 00:09:42,580 --> 00:09:46,000 8 partido por 2 que me da de raíz 4 89 00:09:46,000 --> 00:09:51,100 y menos 2 partido por 2 que me da de raíz menos 1 90 00:09:51,100 --> 00:09:53,220 tengo el x cuadrado 91 00:09:53,220 --> 00:09:57,120 de la raíz x igual a 4 me queda el factor x menos 4 92 00:09:57,120 --> 00:10:00,779 y de la raíz x igual a menos 1 me queda el factor 93 00:10:00,779 --> 00:10:16,259 x más 1. Vamos a calcular ahora el mínimo común múltiplo de p de x y de q de x que será comunes la 94 00:10:16,259 --> 00:10:30,340 x al mayor exponente cuadrado más comunes x menos 4 y no comunes x menos 3 y x más 1. El x menos 4 95 00:10:30,340 --> 00:10:39,100 lo he puesto con el mayor exponente con el que aparece, si os queda tiempo podéis, máximo común divisor, 96 00:10:40,159 --> 00:10:45,220 si os queda tiempo podéis realizar los productos y decir el polinomio que quede, 97 00:10:45,840 --> 00:10:52,320 lo que no puede faltar es esta expresión de producto de polinomios y reducciones. 98 00:10:53,279 --> 00:10:57,100 Bien, el máximo común divisor será sólo comunes al menor exponente. 99 00:10:57,100 --> 00:11:03,230 Aquí es muy fácil realizar el producto y ya estaría. 100 00:11:03,789 --> 00:11:06,789 El último apartado es muy sencillo, mirad. 101 00:11:07,870 --> 00:11:17,230 Me dicen que p de x es x por x menos 3 al cuadrado por x más 5 102 00:11:17,230 --> 00:11:25,970 y me dicen que q de x es x al cubo por x menos 3 103 00:11:25,970 --> 00:11:31,470 y por x cuadrado más x más 2. 104 00:11:32,929 --> 00:11:36,210 Observad que p de x me lo han dado factorizado. 105 00:11:37,049 --> 00:11:40,990 Muchas veces los alumnos, ante esta situación, 106 00:11:41,730 --> 00:11:44,889 bueno, la inseguridad les puede 107 00:11:44,889 --> 00:11:49,690 y ante la necesidad de tener un polinomio que factorizar, 108 00:11:50,129 --> 00:11:51,269 se ponen a multiplicar. 109 00:11:51,870 --> 00:11:53,309 Aquí me están haciendo el trabajo hecho. 110 00:11:54,370 --> 00:11:55,690 Me están dando el trabajo hecho. 111 00:11:55,690 --> 00:12:01,970 Entonces tengo que reflexionar antes de ponerme a buscar un polinomio que factorizar. 112 00:12:02,169 --> 00:12:03,210 A veces ya me lo hacen. 113 00:12:04,509 --> 00:12:09,149 El Q de X es más difícil de... no es tan claro que esté factorizado. 114 00:12:09,309 --> 00:12:10,889 ¿Por qué? Porque tengo un polinomio de grado 2. 115 00:12:11,529 --> 00:12:14,330 Efectivamente este polinomio de grado 2 es irreducible. 116 00:12:15,070 --> 00:12:19,509 Si intento resolver la ecuación de grado 2 asociada, 117 00:12:19,509 --> 00:12:33,980 Ahora me va a quedar que el discriminante, o sea, lo que está dentro de la raíz, va a ser menor que cero. 118 00:12:38,480 --> 00:12:45,200 Y eso va a hacer que no tenga solución el polinomio, solución real. 119 00:12:45,200 --> 00:12:55,980 así que tendré que decir en el momento en el que me di cuenta que esta ecuación asociada no tiene solución 120 00:12:55,980 --> 00:12:59,019 ya puedo decir que esto es un polinomio irreducible 121 00:12:59,019 --> 00:13:05,500 en estas condiciones el mínimo común múltiplo de p de x y q de x 122 00:13:05,500 --> 00:13:11,360 será factores comunes la x mayor exponente con que aparece el 3 123 00:13:11,360 --> 00:13:15,799 El x menos 3 también es común, mayor exponente con que aparece es el 2. 124 00:13:16,539 --> 00:13:17,620 Voy a tener que borrar aquí. 125 00:13:24,090 --> 00:13:26,629 Borrado esto, continuamos. 126 00:13:27,509 --> 00:13:36,289 Y tendremos no comunes x más 5 y x al cuadrado más x más 2. 127 00:13:37,429 --> 00:13:47,059 Máximo común divisor de p de x y q de x me quedará factores comunes al menor exponente. 128 00:13:47,059 --> 00:13:50,519 Aquí sí que resolver o operar aquí es más fácil. 129 00:13:54,730 --> 00:13:58,169 Bien, pues este es el ejercicio 5.