1
00:00:02,540 --> 00:00:06,940
Hola, en este vídeo vamos a empezar a estudiar las propiedades del producto de matrices.

2
00:00:07,919 --> 00:00:12,560
Dadas tres matrices, de forma que podamos efectuar multiplicaciones entre ellas,

3
00:00:12,980 --> 00:00:18,019
esto es, que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz,

4
00:00:18,600 --> 00:00:24,039
y a su vez, el número de columnas de la segunda matriz coincida con el número de filas de la tercera matriz,

5
00:00:25,359 --> 00:00:31,679
podemos multiplicarlas entre sí y, por tanto, estas multiplicaciones que podremos hacer

6
00:00:31,679 --> 00:00:36,240
cumplirán las siguientes propiedades. En primer lugar, cumplirán la propiedad asociativa.

7
00:00:36,600 --> 00:00:43,200
Esta es que no importa si yo efectúo primero las multiplicaciones de las dos o unas matrices

8
00:00:43,200 --> 00:00:48,020
o de las primeras, que el resultado será el mismo. El producto de estas matrices también será

9
00:00:48,020 --> 00:00:53,820
cumplir la propiedad distributiva con respecto de la suma. Esto es que, bueno, pues ya lo sabéis,

10
00:00:53,820 --> 00:01:11,260
No importa si, dada una matriz que multiplica a dos matrices que se están sumando, no importa que primero sumemos las matrices o que multipliquemos la primera matriz por cada una de las otras dos matrices.

11
00:01:11,819 --> 00:01:19,260
Aunque tenéis que tener en cuenta que para que podamos efectuar esta suma, las dos matrices B y C tendrán que tener la misma dimensión.

12
00:01:19,260 --> 00:01:22,959
dimensión, esto es el mismo número de filas y de columnas, pero es que a su vez tienen

13
00:01:22,959 --> 00:01:27,959
que tener el mismo número de filas que columnas tenía la matriz A, ¿vale? Porque si no,

14
00:01:28,019 --> 00:01:33,459
no podríamos multiplicar. El producto de matrices también cumple la propiedad asociativa

15
00:01:33,459 --> 00:01:39,079
con respecto a la multiplicación por un número real, ¿de acuerdo? Es decir, dado un número

16
00:01:39,079 --> 00:01:44,019
cualquiera, un número real cualquiera, no importa si yo primero multiplico dos matrices

17
00:01:44,019 --> 00:01:49,200
y después hago la multiplicación por un real o si tomo este número real y lo multiplico

18
00:01:49,200 --> 00:01:55,900
por una de las matrices y después multiplicará por otra. El resultado que obtendríamos, si lo hacemos bien, será el mismo.

19
00:01:56,900 --> 00:02:09,319
Por último, cuando efectuamos un producto con matrices, una multiplicación de matrices, tenemos que entender también que existe el elemento neutro

20
00:02:09,319 --> 00:02:15,879
del producto de la multiplicación para matrices cuadradas, que no es otro que la matriz identidad, ¿vale?

21
00:02:15,879 --> 00:02:19,240
que tiene el mismo orden que la matriz A, ¿vale?

22
00:02:19,599 --> 00:02:23,199
Bueno, no lo he dicho antes, pero ahora en el momento que habéis leído aquí matrices cuadradas

23
00:02:23,199 --> 00:02:27,219
lo habréis deducido, o sea, esto en la existencia de elementos neutros

24
00:02:27,219 --> 00:02:30,740
solo se garantiza cuando hablamos de matrices cuadradas, ¿vale?

25
00:02:31,360 --> 00:02:36,080
Y esta indica que, bueno, que dada una matriz A del orden que a mí me digan,

26
00:02:36,080 --> 00:02:40,599
en dimensión n por n, se dice que la matriz identidad del mismo orden es su elemento,

27
00:02:40,680 --> 00:02:45,080
es su elemento neutro, pues cumple que al multiplicar, no importa que multipliquemos

28
00:02:45,080 --> 00:02:52,759
la matriz por la matriz identidad o en orden inverso, que siempre obtendremos la matriz

29
00:02:52,759 --> 00:03:00,949
original. Bueno, seguramente al haber leído estas propiedades, alguna os resulta familiar

30
00:03:00,949 --> 00:03:05,889
de haberlas estudiado con números reales, ¿vale? Y se os habrá venido a la mente la

31
00:03:05,889 --> 00:03:10,349
propiedad conmutativa, ¿vale? Aquello del orden de los factores no altera el producto.

32
00:03:10,349 --> 00:03:18,270
Bien, pues es que resulta que el producto de matrices no es conmutativo, ¿vale?

33
00:03:18,789 --> 00:03:27,009
No, en general no se cumple que cuando yo multiplico una matriz por otra obtenga el mismo resultado que si multiplico la segunda por la primera.

34
00:03:28,030 --> 00:03:37,530
Esto va a suponer, o puede que nos suponga un pequeño escollo que intentaremos solventar de la mejor manera que sepamos, ¿vale?

35
00:03:37,530 --> 00:03:57,129
Esto sucede siempre en general, salvo que las matrices que estoy multiplicando sean matrices cuadradas y una de ellas sea una matriz escalar, porque si sucede que una de ellas es una matriz escalar, pues bueno, sí que se podría dar la conmutatividad del producto.

36
00:03:57,129 --> 00:04:07,629
Esto os lo cuento porque salió hace poco en un examen, relativamente poco, en uno de los últimos años, en un examen de matemáticas 2, de las mates de ciencias.

37
00:04:08,169 --> 00:04:14,469
Pero bueno, creo que es interesante. Si tenéis más interés, pues nada, me lo comentáis en clase y vemos el ejercicio en cuestión.

38
00:04:15,330 --> 00:04:19,350
Pero bueno, en general, nosotros vamos a trabajar con que el producto no es conmutativo.

39
00:04:19,569 --> 00:04:24,050
Esto lo vamos a tener que tener en cuenta a la hora de resolver ecuaciones matriciales.

40
00:04:24,050 --> 00:04:35,949
Ya veremos un poco más adelante qué es esto de las ecuaciones matriciales, pero bueno, vamos a hacer algunas ejercicios en las que nos pidan, en un momento dado, despejar algún tipo de ecuaciones

41
00:04:35,949 --> 00:04:47,490
y no podremos hacer la misma operación a ambos lados de la igualdad, ¿vale? O sea, tendremos que tener en cuenta si estamos multiplicando por la izquierda a ambos lados o por la derecha a ambos lados, ¿vale?

42
00:04:47,490 --> 00:04:50,670
Nadie se agobia y esto os lo contaré más adelante

43
00:04:50,670 --> 00:04:58,949
De momento lo único que vamos a hacer es comprobar que efectivamente el producto de matrices no es conmutativo

44
00:04:58,949 --> 00:05:04,329
Tenemos aquí dos matrices cuadradas de orden 2, muy sencillas

45
00:05:04,329 --> 00:05:09,689
Y lo primero que vamos a hacer va a ser multiplicar primero A por B y después B por A

46
00:05:09,689 --> 00:05:12,870
Para que comprobemos que efectivamente nos dan resultados distintos

47
00:05:12,870 --> 00:05:15,670
Para que os creáis que el producto no es conmutativo

48
00:05:15,670 --> 00:05:20,290
estas cosas como mejor se ven es con un ejemplo

49
00:05:20,290 --> 00:05:24,110
de hecho en matemáticas decimos que esto es un contraejemplo

50
00:05:24,110 --> 00:05:26,310
cuando se quiere demostrar que algo es falso

51
00:05:26,310 --> 00:05:30,829
como la desigualdad, o sea que la conmutatividad

52
00:05:30,829 --> 00:05:32,350
el producto no es conmutativo

53
00:05:32,350 --> 00:05:35,750
simplemente con dar un ejemplo numérico que contradiga

54
00:05:35,750 --> 00:05:40,430
lo que yo suponía que yo partía de

55
00:05:40,430 --> 00:05:42,810
o cabía entender que sea conmutativo

56
00:05:42,810 --> 00:05:45,490
con demostrar con un ejemplo que no lo es

57
00:05:45,490 --> 00:05:47,930
es suficiente, entonces lo que voy a hacer yo con vosotros

58
00:05:47,930 --> 00:05:52,069
simplemente vamos a crear aquí una matriz grande

59
00:05:52,069 --> 00:05:56,430
aquí escribiremos 2 por 0, 0 y 1 por menos 5 es menos 5

60
00:05:56,430 --> 00:05:59,889
sería aquí el primer valor, aquí después tendríamos

61
00:05:59,889 --> 00:06:02,569
2 por 4, 8 más 1, 9

62
00:06:02,569 --> 00:06:08,069
como elemento 2, 1

63
00:06:08,069 --> 00:06:13,230
tendríamos 3 por 0, 0, menos 1 por menos 5, 5

64
00:06:13,230 --> 00:06:18,470
y 3 por 4, 12, menos 1, 11, ¿de acuerdo?

65
00:06:18,670 --> 00:06:20,649
Este sería el resultado de multiplicar A por B

66
00:06:20,649 --> 00:06:23,949
y vamos a ver ahora qué obtendríamos si multiplicamos B por A, ¿vale?

67
00:06:23,949 --> 00:06:34,110
Si multiplicamos la matriz 0, 4, menos 5, 1, por la matriz 2, 1, 3, menos 1.

68
00:06:34,110 --> 00:06:50,629
Venga, entonces el primer resultado sería 0 por 2 es 0, 4 por 3 es 12, 0 menos 4, menos 5 por 2 es 10, perdón, menos 10 más 3 sería menos 7 aquí

69
00:06:50,629 --> 00:06:58,589
Y por último menos 5 menos 1 que tendríamos aquí menos 6, ¿vale?

70
00:06:59,490 --> 00:07:10,689
Si os dais cuenta, pues efectivamente la matriz que acabamos de obtener en la primera multiplicación, perdón, no es igual que la matriz obtenida en la segunda multiplicación, ¿de acuerdo?

71
00:07:11,410 --> 00:07:15,290
Bueno, por último, en el libro de texto tenéis otras propiedades, ¿vale?

72
00:07:16,050 --> 00:07:23,949
Que ya por no hacer más largo este vídeo, pues no las voy a demostrar o no voy a hablar de ellas porque no me parecen tan importantes, ¿de acuerdo?

73
00:07:23,949 --> 00:07:31,990
Sí que me parece que el producto no es conmutativo, lo vamos a usar muchísimo y es algo que tenéis que aprender ya, ¿vale?

74
00:07:31,990 --> 00:07:33,850
Pero estas dos quizás nos salgan menos, ¿vale?

75
00:07:34,269 --> 00:07:44,970
Mirad, cuando a mí la multiplicación de dos matrices me da una matriz nula como resultado, no significa, no tiene por qué significar que A o B son matrices nulas, ¿vale?

76
00:07:44,970 --> 00:07:58,810
O sea, puede darse que al multiplicar dos matrices, me dé dos matrices que tienen elementos no nulos, o sea, alguno será cero, pero no todos serán cero, me puede dar como resultado la matriz nula, ¿vale?

77
00:07:58,930 --> 00:08:05,029
No significa que A o B sean nulas. Entonces, tenéis un ejemplo resuelto en la página 35 que os animo a que lo miréis y lo entendáis.

78
00:08:05,029 --> 00:08:14,649
y luego por otro lado tenemos esta propiedad que puede suceder que el producto de una matriz por otra matriz

79
00:08:14,649 --> 00:08:20,129
y el producto de la primera matriz por otra tercera matriz nos dé el mismo resultado

80
00:08:20,129 --> 00:08:25,810
pero eso no implica que las dos matrices que he multiplicado aquí, que son el segundo factor

81
00:08:25,810 --> 00:08:34,350
no implica que sean iguales, puede suceder que el producto de dos productos diferentes me dé el mismo resultado

82
00:08:34,350 --> 00:08:40,090
pero no tienen por qué ser iguales, ¿vale? Entonces tenéis otro ejemplo resuelto en la página 35, ¿de acuerdo?

83
00:08:41,090 --> 00:08:48,309
Y por último, bueno, pues hay aquí una propiedad que a mí me parecía bastante interesante con respecto a la traspuesta de la matriz, ¿vale?

84
00:08:48,350 --> 00:08:55,870
Que dice que la traspuesta del producto es igual al producto de las traspuestas pero invirtiendo el orden, ¿de acuerdo?

85
00:08:55,870 --> 00:09:06,049
y tenéis otras propiedades también referidas a la matriz traspuesta en el segundo cuadro de la derecha de la página 38 del libro de texto.

86
00:09:06,669 --> 00:09:11,610
Son propiedades que salen bastante menos, pero las tenéis ahí por si acaso las queréis mirar.