1 00:00:01,520 --> 00:00:09,619 Para iniciar el tema de funciones, vamos a través de este primer vídeo, vamos a aproximarnos a la idea inicial de función. 2 00:00:10,400 --> 00:00:19,940 Vamos a ver, una función es una entidad, un ente matemático que se ha desarrollado a lo largo del siglo XX, 3 00:00:19,940 --> 00:00:28,800 el siglo XIX y el siglo XX, a través del llamado análisis matemático y, bien, pues el objeto, digamos, 4 00:00:28,980 --> 00:00:36,679 la ente función tiene, digamos, mucha relevancia en la historia de la matemática reciente. 5 00:00:37,600 --> 00:00:46,880 No obstante, la función como tal se ha venido desarrollando o utilizando de manera intuitiva, 6 00:00:46,880 --> 00:00:56,159 sin formalizar matemáticamente, se ha venido utilizando de manera intuitiva, como digo, a lo largo de toda la historia de la ciencia. 7 00:00:57,000 --> 00:01:04,939 En fenómenos de estudio de observación directa sobre la naturaleza o, por ejemplo, de fenómenos físicos, 8 00:01:05,480 --> 00:01:11,140 enseguida sale la necesidad de relacionar dos atributos de la naturaleza. 9 00:01:11,140 --> 00:01:23,200 Y en ese momento, en esa relación, en esa necesidad de relacionar atributos, diferentes atributos, surge de manera espontánea el concepto de función. 10 00:01:23,739 --> 00:01:24,739 Vamos a ver un ejemplo. 11 00:01:25,500 --> 00:01:34,560 Supongamos que queremos estudiar, por ejemplo, la caída libre de los cuerpos como fenómeno físico. 12 00:01:34,560 --> 00:01:53,680 Entonces, obtengo un peso que dejo caer, por ejemplo, para estudiarlo voy a experimentar lanzándolo desde diferentes alturas y me gustaría de alguna manera cuantificar la caída, el tiempo que tiene de caída libre hasta que llega al suelo. 13 00:01:53,680 --> 00:02:14,139 Pues, podríamos, mediante la experimentación y alguna manera de medir el tiempo, antiguamente se hacía mediante pulsos regulares que se pudieran encontrar, por ejemplo, la pulsación del corazón, podría ser una buena medida de tiempo. 14 00:02:14,139 --> 00:02:24,099 pero como decía, pues si pudiéramos medir el tiempo que tarda en llegar al suelo este peso 15 00:02:24,099 --> 00:02:30,759 pues podríamos comprobar de manera experimental que si lo lanzo desde 6 metros de altura 16 00:02:30,759 --> 00:02:37,879 pues va a tardar 1,1 segundos, si lo lanzo desde 4 metros va a tardar 0,9 segundos 17 00:02:37,879 --> 00:02:41,139 y así sucesivamente tal y como indicamos en esta tabla. 18 00:02:41,139 --> 00:02:52,139 Pues bien, fijaros que esto me da idea de la relación que hay entre dos valores, o dos atributos, de este fenómeno de lo que es la caída libre de un cuerpo al suelo. 19 00:02:53,159 --> 00:03:01,639 Un atributo que sería la altura, por ejemplo, desde la que lanzo el cuerpo, desde la que dejo caer el cuerpo, y otro el tiempo que tarda en llegar. 20 00:03:01,639 --> 00:03:12,340 Pues bien, esta relación entre ambos atributos me da información sumamente importante para el estudio de la calidad de los cuerpos. 21 00:03:12,520 --> 00:03:21,020 Sin entrar en demasiado detalle, pero podríamos observar, por ejemplo, que al doble de altura no tarda el doble de tiempo. 22 00:03:21,620 --> 00:03:29,159 Fijaos que si lanzo el cuerpo desde 2 metros de altura, pues tarda 0,63, 23 00:03:29,900 --> 00:03:33,319 y que si lo lanzo desde 4 metros de altura, tarda 0,9, 24 00:03:33,840 --> 00:03:37,199 y observamos que no es proporcional el crecimiento del tiempo. 25 00:03:37,199 --> 00:03:42,060 A más altura, menos va a tardar proporcionalmente. 26 00:03:43,240 --> 00:03:47,139 Esto es una cuestión interesante que es una información que me da precisamente 27 00:03:47,139 --> 00:03:50,740 ordenar o observar la relación que hay entre dos variables. 28 00:03:51,020 --> 00:03:57,500 Bien, esta relación que hay entre dos variables me lleva directamente al concepto de función. 29 00:03:58,819 --> 00:04:00,879 Vamos a formalizar un poco más. 30 00:04:01,500 --> 00:04:10,039 Para formalizar el concepto de función matemáticamente, lo que recurrimos es a la teoría de conjuntos, como casi siempre en matemáticas. 31 00:04:11,039 --> 00:04:22,459 Podemos observar en esta otra tabla, por ejemplo, que hemos relacionado las diferentes alturas que he colocado en este conjunto inicial, 32 00:04:22,459 --> 00:04:30,959 en este diagrama de Venn, en el conjunto inicial establezco las diferentes alturas desde las que podría lanzar el cuerpo 33 00:04:30,959 --> 00:04:43,199 y aquí, pues en este conjunto final, establezco los diferentes tiempos en los que podría tardar en llegar al suelo. 34 00:04:44,079 --> 00:04:50,459 Cualquier número real podría estar aquí, pero observemos que, según lo visto en el estudio anterior, 35 00:04:50,459 --> 00:04:59,240 pues al 6 le viene asociado el 1,1, al 4 el 0,9 y esto lo puedo establecer mediante esta correspondencia 36 00:04:59,240 --> 00:05:02,540 entre elementos del conjunto inicial y el conjunto final. 37 00:05:03,079 --> 00:05:09,439 Me interesa verlo así porque esto me da lugar a una idea más abstracta de función. 38 00:05:10,199 --> 00:05:19,019 Vamos precisamente a por la definición de función a partir de, digamos, su desarrollo en la teoría de conjuntos. 39 00:05:19,019 --> 00:05:26,899 Así que, bien, podemos observar entonces, repito, que este fenómeno de la caída libre de los cuerpos 40 00:05:26,899 --> 00:05:36,740 puede venir representado mediante una relación, una correspondencia entre un conjunto inicial donde se determinan las diferentes alturas 41 00:05:36,740 --> 00:05:41,060 y un conjunto final donde se determinan los diferentes tiempos. 42 00:05:41,560 --> 00:05:50,060 Vamos a ver otro ejemplo. Por ejemplo, podemos estudiar una cuestión muy simple como el hecho de ir a comprar peras. 43 00:05:50,319 --> 00:05:56,319 Entonces, podemos observar que si suponemos que el precio de los kilos de peras son 3 euros, 44 00:05:56,899 --> 00:06:07,500 pues podemos fácilmente entender, construir esta tabla y de aquí pasar a lo que es un esquema gráfico de teoría de conjuntos 45 00:06:07,500 --> 00:06:11,959 a través del cual representar precisamente esta situación, ¿no? 46 00:06:13,100 --> 00:06:22,759 Nuevamente, el estudio del, bueno, el precio que alcanza en mi fecha de la compra a la hora de comprar peras, 47 00:06:22,759 --> 00:06:27,819 pues se puede representar mediante este esquema de diagrama de teoría de conjuntos 48 00:06:27,819 --> 00:06:34,339 en el que nuevamente hay una correspondencia entre los elementos del conjunto inicial 49 00:06:34,339 --> 00:06:36,980 y elementos del conjunto final. 50 00:06:37,480 --> 00:06:41,500 Vamos a ver otra situación que me parece muy interesante por diferente, 51 00:06:42,220 --> 00:06:43,759 pero que tiene algo que ver. 52 00:06:44,360 --> 00:06:46,420 Veamos esta situación. 53 00:06:46,420 --> 00:06:57,319 Por ejemplo, podemos estudiar una relación, una correspondencia entre determinados animales y determinadas características o acciones de animales. 54 00:06:57,860 --> 00:07:09,000 Por ejemplo, en animales podríamos elegir el pato, la rama y el burro, y en características que tenga pico, que salte, que tenga dos patas o cuatro patas. 55 00:07:09,000 --> 00:07:22,000 Pues bien, observemos que el pato lo podemos relacionar con que tiene pico, el elemento pato del conjunto A, origen, lo podemos relacionar con el elemento pico del conjunto B, final. 56 00:07:22,779 --> 00:07:24,939 Este sería el conjunto inicial, conjunto final. 57 00:07:25,259 --> 00:07:28,560 Pero también el elemento pato lo podemos relacionar con que tiene dos patas. 58 00:07:29,100 --> 00:07:30,300 Sucede lo mismo con la rana. 59 00:07:30,399 --> 00:07:34,500 La rana tiene salta y tiene dos patas. 60 00:07:34,620 --> 00:07:36,879 Y el burro, pues tiene cuatro patas. 61 00:07:36,879 --> 00:07:53,639 Fijémonos en que nuevamente esta situación, desde el punto de vista matemático, nuevamente es una correspondencia entre un conjunto inicial, que aquí llamo A, y un conjunto final que llamamos B. 62 00:07:53,639 --> 00:08:00,379 Pues bien, de estos tres ejemplos me interesa verlos conjuntamente en la siguiente plantilla. 63 00:08:00,379 --> 00:08:13,060 Vamos a ver, un segundo, vamos a ver, estamos ante, mirad que tenemos aquí las tres plantillas, 64 00:08:13,160 --> 00:08:20,160 la situación primera que consistía en el lanzamiento del cuerpo, el estudio en caída libre de un cuerpo, 65 00:08:20,160 --> 00:08:39,399 El segundo estudio que hemos hecho es cuánto asciende el pago de la compra de peras en función de los kilos de peras que compro. 66 00:08:39,399 --> 00:09:03,519 Aquí podríamos decir cuánto tarda en caer el cuerpo en función de la altura a la que estoy dejando caer dicho cuerpo y en este caso pues hemos visto el último ejemplo que relacionábamos cada animal con una característica o dos o las que tuviera del conjunto B. 67 00:09:03,519 --> 00:09:18,139 Pues bien, ¿qué observamos aquí? ¿Qué diferencias observamos entre este caso, caso 1, el caso 2 y el caso 3? 68 00:09:18,139 --> 00:09:37,419 Pues hay una diferencia importante que no debería de pasar desapercibida y es que el hecho en el estudio, en el caso, en el estudio 1 y en el estudio 2, a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final. 69 00:09:38,299 --> 00:09:41,440 Esta cuestión es bastante importante, lo veremos. 70 00:09:41,440 --> 00:09:51,519 Pero, y fijaos, en el estudio 3, a un elemento del conjunto inicial le pueden corresponder más de un elemento del conjunto final. 71 00:09:52,779 --> 00:09:59,500 Pues bien, precisamente lo que le sucede al caso 1 y 2 es lo que caracteriza las funciones. 72 00:09:59,500 --> 00:10:09,340 En los tres estudios establecemos una correspondencia entre un conjunto inicial y un conjunto final 73 00:10:09,340 --> 00:10:14,860 Pero la diferencia entre este caso y este, y este, está en que en el caso primero y segundo 74 00:10:14,860 --> 00:10:21,840 Esa correspondencia se caracteriza porque un elemento del conjunto inicial 75 00:10:21,840 --> 00:10:26,000 Solo le puede corresponder un solo elemento del conjunto final 76 00:10:26,000 --> 00:10:30,419 esta cuestión es la que caracteriza a las funciones 77 00:10:30,419 --> 00:10:34,440 y de hecho una función podríamos definirla 78 00:10:34,440 --> 00:10:37,559 desde este punto de vista de la siguiente manera 79 00:10:37,559 --> 00:10:43,200 sería una correspondencia entre un conjunto inicial y un conjunto final 80 00:10:43,200 --> 00:10:49,279 con el requisito de que a cada elemento del conjunto inicial 81 00:10:49,279 --> 00:10:51,220 le hacemos corresponder 82 00:10:51,220 --> 00:10:55,600 no más de un elemento del conjunto final 83 00:10:55,600 --> 00:10:58,279 Vamos a la definición 84 00:10:58,279 --> 00:11:01,440 Entonces, más o más, aquí la tenemos 85 00:11:01,440 --> 00:11:07,279 Podemos leer, una función es una correspondencia entre un conjunto inicial A, que llamamos A 86 00:11:07,279 --> 00:11:09,299 Y un conjunto final que llamamos B 87 00:11:09,299 --> 00:11:11,159 Con un requisito importante 88 00:11:11,159 --> 00:11:17,480 A un elemento del conjunto inicial solo le puede corresponder un único elemento del conjunto final 89 00:11:17,480 --> 00:11:21,139 Veamos por ejemplo en la plantilla anterior 90 00:11:21,139 --> 00:11:23,600 Podemos por lo tanto ya determinar 91 00:11:23,600 --> 00:11:34,500 que este estudio corresponde efectivamente a una función, 92 00:11:35,460 --> 00:11:39,379 este estudio también corresponde efectivamente a una función, 93 00:11:40,220 --> 00:11:42,879 pero este estudio no corresponde a una función. 94 00:11:42,879 --> 00:11:44,860 Y no porque aquí no haya números. 95 00:11:46,399 --> 00:11:47,879 Esto es una cuestión anecdótica, 96 00:11:48,799 --> 00:11:50,240 aquí haya números y aquí no. 97 00:11:50,240 --> 00:11:58,539 Es porque a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final. 98 00:11:59,840 --> 00:12:11,240 Y así llegamos, por tanto, a la definición de función que debemos entender de una manera abstracta, 99 00:12:12,679 --> 00:12:15,159 tal y como la tenemos aquí definida. 100 00:12:15,159 --> 00:12:22,360 como una correspondencia entre un conjunto inicial y un conjunto final con este requisito.