1
00:00:17,140 --> 00:00:29,679
Vamos a hacer una construcción geogebra para enseñar a nuestros alumnos el concepto de derivada como pendiente de la recta tangente en el punto.

2
00:00:29,679 --> 00:00:50,520
Vamos a elegir el punto x cuadrado, perdón, la función x cuadrado partido por 4, vamos a elegir el punto 2,1 y el punto 6,9, vamos a cambiar algunas propiedades,

3
00:00:50,520 --> 00:00:58,640
vamos a poner la función en azul

4
00:00:58,640 --> 00:01:01,979
y vamos a poner

5
00:01:01,979 --> 00:01:05,219
ahora vamos a hacer una recta

6
00:01:05,219 --> 00:01:09,239
que pase por los dos puntos

7
00:01:09,239 --> 00:01:13,120
y esa recta la vamos a poner en rojo

8
00:01:13,120 --> 00:01:15,159
¿de acuerdo?

9
00:01:15,900 --> 00:01:19,180
bueno, pues ahora ya sabéis

10
00:01:19,180 --> 00:01:26,920
que el tema es que cuando yo vaya acercando el punto B a la A, la recta secante se convierte en tangente

11
00:01:26,920 --> 00:01:34,019
y eso es a lo que pasamos a llamar derivada de la función en el punto A.

12
00:01:35,500 --> 00:01:42,379
Si nosotros cogiéramos la herramienta pendiente sobre la recta, pues ahí la tendríamos,

13
00:01:42,379 --> 00:01:49,120
pero no es eso lo que vamos a querer pintar

14
00:01:49,120 --> 00:01:50,680
así que la vamos a ocultar

15
00:01:50,680 --> 00:01:55,180
y ahora vamos a coger la herramienta recta paralela

16
00:01:55,180 --> 00:02:02,099
y vamos a trazar una paralela por A al eje X

17
00:02:02,099 --> 00:02:05,439
y una paralela por B al eje Y

18
00:02:05,439 --> 00:02:07,040
marcamos el punto C

19
00:02:07,040 --> 00:02:10,180
sabéis que no hace falta elegir interseca

20
00:02:10,180 --> 00:02:14,139
porque GeoGebra ha evolucionado en ese sentido mucho

21
00:02:14,139 --> 00:02:27,960
Y ahora, pues elegiríamos la herramienta segmento, marcaríamos de A hasta C, desde B hasta C, y ya tenemos las que queríamos.

22
00:02:27,960 --> 00:02:45,060
Bueno, podemos ocultar las dos rectas, el punto C, lo podríamos hacer con J y K a la vez, pero lo voy a hacer primero con una, de acuerdo, le voy a quitar que se vea la etiqueta.

23
00:02:45,060 --> 00:02:58,419
Y ahora que ya, digamos, tengo hecho la línea que quería, pues voy a coger la herramienta copiar estilo visual para tenerlo en el otro lado.

24
00:02:59,719 --> 00:03:06,460
Bueno, pues ya tenemos esto. Ahora vamos a escribir tres textos.

25
00:03:06,460 --> 00:03:08,080
tres textos

26
00:03:08,080 --> 00:03:11,259
el primero

27
00:03:11,259 --> 00:03:13,620
pues va a ser

28
00:03:13,620 --> 00:03:16,759
incremento de i

29
00:03:16,759 --> 00:03:19,650
igual

30
00:03:19,650 --> 00:03:22,310
y aquí vamos a jugar con

31
00:03:22,310 --> 00:03:25,689
idb

32
00:03:25,689 --> 00:03:29,280
de acuerdo

33
00:03:29,280 --> 00:03:32,259
le vamos a restar id a

34
00:03:32,259 --> 00:03:37,250
otra vez, casilla vacía

35
00:03:37,250 --> 00:03:38,750
pincho dentro

36
00:03:38,750 --> 00:03:41,629
id a

37
00:03:41,629 --> 00:03:44,669
igual

38
00:03:44,669 --> 00:03:46,770
y ahora otra vez casilla vacía

39
00:03:46,770 --> 00:03:48,389
pero ahora dentro vamos a poner

40
00:03:48,389 --> 00:03:50,150
que nos haga ya la operación

41
00:03:50,150 --> 00:03:51,250
idb

42
00:03:51,250 --> 00:03:53,229
menos id

43
00:03:53,229 --> 00:03:57,610
bueno, pues esto parece que ya está

44
00:03:57,610 --> 00:04:01,840
lo vamos a poner aquí

45
00:04:01,840 --> 00:04:03,960
lo elegimos

46
00:04:03,960 --> 00:04:06,840
vamos a ver sus propiedades

47
00:04:06,840 --> 00:04:08,800
vamos a hacerlo

48
00:04:08,800 --> 00:04:10,120
un poquito más grande

49
00:04:10,120 --> 00:04:12,020
hay que dar ok

50
00:04:12,020 --> 00:04:15,740
para que vuelva a hacerlo, si os gusta más le podéis dar

51
00:04:15,740 --> 00:04:19,699
fórmula látex, que queda, yo creo que

52
00:04:19,699 --> 00:04:23,220
bastante mejor, ponen sans serif y eso

53
00:04:23,220 --> 00:04:26,480
color le vamos a elegir rojo

54
00:04:26,480 --> 00:04:31,060
y en posición, pues vamos a poner simplemente

55
00:04:31,060 --> 00:04:35,540
B más C partido por 2, para que lo tenga

56
00:04:35,540 --> 00:04:39,120
siempre en el punto medio de B y C

57
00:04:39,120 --> 00:04:55,680
Lo podemos alejar un poquito, ¿de acuerdo? Y ya está. Ahora vamos a repetir lo mismo con la X, así que podéis así ensayarlo.

58
00:04:55,680 --> 00:05:24,569
casilla vacía dentro x de b menos casilla vacía dentro x de a, muy bien, igual, casilla vacía x de b menos x de a.

59
00:05:24,569 --> 00:05:36,040
Bueno, perfecto, porque ahora yo le cojo el estilo visual, se lo copio, lo pincho,

60
00:05:36,040 --> 00:05:51,089
en posición ahora va a ser A más C partido por 2, y en texto lo vamos a poner también como fórmula látex,

61
00:05:51,089 --> 00:05:55,810
Y lo vamos a poner ahí

62
00:05:55,810 --> 00:06:05,060
Bueno, ya tenemos entonces incremento de Y, incremento de X

63
00:06:05,060 --> 00:06:07,500
Me voy a permitir poner dos textos más

64
00:06:07,500 --> 00:06:12,000
Uno va a ser la pendiente de la recta

65
00:06:12,000 --> 00:06:17,740
Aquí, si no sabéis látex de memoria, pues siempre se puede elegir ahí

66
00:06:17,740 --> 00:06:21,720
Vamos a elegir incremento de Y

67
00:06:21,720 --> 00:06:28,040
partido por incremento de x

68
00:06:28,040 --> 00:06:32,800
vemos como queda en vista previa

69
00:06:32,800 --> 00:06:37,160
igual, y ahora vamos a poner el valor m

70
00:06:37,160 --> 00:06:40,420
que es lo que vale, esto es

71
00:06:40,420 --> 00:06:43,420
vamos a escribir otro texto, ahora lo cambiaremos

72
00:06:43,420 --> 00:06:48,040
vamos a escribir otro texto donde antes de escribirlo

73
00:06:48,040 --> 00:06:51,920
vamos a definir la derivada

74
00:06:51,920 --> 00:06:59,600
de f, lo vamos a ocultar

75
00:06:59,600 --> 00:07:04,079
para que después utilizarla

76
00:07:04,079 --> 00:07:08,019
en el paso este, aquí vamos a poner la definición

77
00:07:08,019 --> 00:07:11,680
de derivada, f' de x

78
00:07:11,680 --> 00:07:17,259
vamos a poner fórmula látex

79
00:07:17,259 --> 00:07:22,040
igual, vamos a elegir límite

80
00:07:22,040 --> 00:07:26,240
aquí vamos a poner delante

81
00:07:26,240 --> 00:07:30,360
el incremento, cuando incremento de x tiende a 0

82
00:07:30,360 --> 00:07:36,529
y vamos a ir viendo como queda

83
00:07:36,529 --> 00:07:40,389
muy bien, perfecto, aquí puedo, como ya me lo he aprendido

84
00:07:40,389 --> 00:07:45,250
poner frac, incremento de y partido por

85
00:07:45,250 --> 00:07:54,120
incremento de x, muy bien

86
00:07:54,120 --> 00:08:00,139
ahí lo tenéis, y ahí vamos a escribir ya la derivada

87
00:08:00,139 --> 00:08:03,160
de acuerdo, entonces vamos a poner

88
00:08:03,160 --> 00:08:08,319
casilla vacía y dentro vamos a escribir

89
00:08:08,319 --> 00:08:11,620
f' de x de a

90
00:08:11,620 --> 00:08:18,139
¿de acuerdo? y aquí vemos que nos queda

91
00:08:18,139 --> 00:08:22,139
1, vamos a copiar

92
00:08:22,139 --> 00:08:27,480
el estilo visual, ¿de acuerdo?

93
00:08:28,620 --> 00:08:32,639
si vemos que se nos ha ido el látex

94
00:08:32,639 --> 00:08:37,200
se supone que aquí en propiedades

95
00:08:37,200 --> 00:08:39,360
Deberíamos poderlo volver a poner

96
00:08:39,360 --> 00:08:43,409
Aquí estamos

97
00:08:43,409 --> 00:08:46,370
Muy bien

98
00:08:46,370 --> 00:08:47,389
Y este

99
00:08:47,389 --> 00:08:49,330
Pues lo mismo, vale

100
00:08:49,330 --> 00:08:51,190
Está perfecto

101
00:08:51,190 --> 00:08:53,929
M lo vamos a poner aquí, por ejemplo

102
00:08:53,929 --> 00:08:56,169
Y esto

103
00:08:56,169 --> 00:08:57,450
Que se nos ha ido

104
00:08:57,450 --> 00:09:02,090
Lo vamos a poner

105
00:09:02,090 --> 00:09:04,149
Más abajo

106
00:09:04,149 --> 00:09:06,049
Pero vamos a hacer

107
00:09:06,049 --> 00:09:07,350
Que se muestre solo

108
00:09:07,350 --> 00:09:12,289
y así aprendemos a utilizarlo

109
00:09:12,289 --> 00:09:14,289
cuando x de b

110
00:09:14,289 --> 00:09:17,750
menos x de a

111
00:09:17,750 --> 00:09:22,809
sea igual, menor, perdón, que 0.01

112
00:09:22,809 --> 00:09:25,250
es decir, ya estemos muy cerca

113
00:09:25,250 --> 00:09:26,909
como vemos ha desaparecido

114
00:09:26,909 --> 00:09:31,269
porque todavía estamos lejos

115
00:09:31,269 --> 00:09:34,730
bueno, lo vamos a mover un poquito para la izquierda

116
00:09:34,730 --> 00:09:37,110
y lo vamos a bajar un poquito más

117
00:09:37,110 --> 00:09:42,529
porque ahora vamos a hacer que se vea la vista 2

118
00:09:42,529 --> 00:09:47,169
aquí la tenemos

119
00:09:47,169 --> 00:09:59,279
y vamos a hacer que se vea lo más parecido posible

120
00:09:59,279 --> 00:10:02,279
aquí está la cuadrícula

121
00:10:02,279 --> 00:10:03,659
coincide

122
00:10:03,659 --> 00:10:04,519
muy bien

123
00:10:04,519 --> 00:10:07,639
pues ahora seleccionamos la función

124
00:10:07,639 --> 00:10:09,759
los puntos

125
00:10:09,759 --> 00:10:11,899
la recta

126
00:10:11,899 --> 00:10:33,210
Y lo que vamos a hacer es, podemos también seleccionar los segmentos, en propiedades vamos a hacer nada menos que se vean en la vista gráfica 2.

127
00:10:33,210 --> 00:10:36,769
¿Vale? Así que ahí

128
00:10:36,769 --> 00:10:39,470
Digamos que lo tenemos como duplicado

129
00:10:39,470 --> 00:10:40,830
¿De acuerdo?

130
00:10:41,009 --> 00:10:43,090
Lo que pasa es que ahora vamos a hacer que la derecha

131
00:10:43,090 --> 00:10:45,470
Sea un zoom

132
00:10:45,470 --> 00:10:47,070
Para eso

133
00:10:47,070 --> 00:10:48,750
Pues vamos a hacer

134
00:10:48,750 --> 00:10:51,289
Que haga un zoom dinámico

135
00:10:51,289 --> 00:10:55,769
Y vamos a poner aquí

136
00:10:55,769 --> 00:10:58,970
Copia

137
00:10:58,970 --> 00:11:00,610
Objeto libre

138
00:11:00,610 --> 00:11:05,720
En objeto vamos a poner

139
00:11:05,720 --> 00:11:18,399
esquina 2, porque vamos a copiar la esquina 2, se nos ha ido ahí atrás, en la vista

140
00:11:18,399 --> 00:11:31,129
gráfica 2, coma la esquina 1, que es la esquina inferior izquierda. Eso nos lo ha copiado

141
00:11:31,129 --> 00:11:51,370
en un punto de ahora repetimos copia objeto libre esquina 2 a veces se tarda menos escribiendo lo

142
00:11:51,370 --> 00:12:00,409
todo copia objeto libre esquina 2,3 que la esquina superior derecha de la pantalla 2 que tengo aquí

143
00:12:00,409 --> 00:12:05,850
abierta. Si la hubiera movido o si la hubiera abierto de otra manera, me saldrían otros

144
00:12:05,850 --> 00:12:13,830
números. Ahora voy a definir un factor de multiplicación, vamos a decirlo así, que

145
00:12:13,830 --> 00:12:27,100
va a ser el segmento AB. Y, bueno, pues he encontrado, esto se podría probar, que le

146
00:12:27,100 --> 00:12:32,919
va bien poner un dividido por 16 inicialmente pues como podéis podríais hacer por pitágoras

147
00:12:32,919 --> 00:12:43,720
serían 16 más 64 raíz de 80 da un poco menos pero le viene mejor poner bueno puesto 18 16

148
00:12:45,919 --> 00:12:51,059
pero podría probar con 15 20 hasta ahora veréis como para tantear lo

149
00:12:51,059 --> 00:12:56,820
Ahora voy a definir lo que va a ser mi nuevo ancho X

150
00:12:56,820 --> 00:13:05,179
Para que sea luego más corto de escribir vamos a poner YX

151
00:13:05,179 --> 00:13:12,320
Que va a ser la X del punto E menos el punto D

152
00:13:12,320 --> 00:13:18,600
Eso haría la resta de los dos puntos y luego me daría la coordenada X

153
00:13:18,600 --> 00:13:21,679
y lo vamos a multiplicar por factor

154
00:13:21,679 --> 00:13:25,350
vale

155
00:13:25,350 --> 00:13:26,710
y la y

156
00:13:26,710 --> 00:13:31,799
pues igual va a ser y

157
00:13:31,799 --> 00:13:33,240
de menos d

158
00:13:33,240 --> 00:13:36,539
y otra vez

159
00:13:36,539 --> 00:13:37,559
por factor

160
00:13:37,559 --> 00:13:39,360
bien

161
00:13:39,360 --> 00:13:42,200
esto si veis los valores lo que va a darnos es

162
00:13:42,200 --> 00:13:44,179
al principio desde el punto x

163
00:13:44,179 --> 00:13:45,620
de a 8,47

164
00:13:45,620 --> 00:13:47,580
con lo cual incluye a b

165
00:13:47,580 --> 00:13:49,779
y 10,61 que incluye a b

166
00:13:49,779 --> 00:13:51,460
bueno pues ahora estos números

167
00:13:51,460 --> 00:13:52,580
los vamos a meter

168
00:13:52,580 --> 00:13:55,519
en las propiedades del gráfico

169
00:13:55,519 --> 00:13:57,879
podemos dar botón derecho, vista gráfica

170
00:13:57,879 --> 00:13:59,620
o propiedades, podríamos haber dicho

171
00:13:59,620 --> 00:14:01,320
aquí en x mínimo

172
00:14:01,320 --> 00:14:03,620
escribimos

173
00:14:03,620 --> 00:14:04,559
x de a

174
00:14:04,559 --> 00:14:07,000
en x máximo

175
00:14:07,000 --> 00:14:08,840
x de a

176
00:14:08,840 --> 00:14:10,980
más

177
00:14:10,980 --> 00:14:13,159
y x

178
00:14:13,159 --> 00:14:16,480
cuidado

179
00:14:16,480 --> 00:14:18,059
y minúscula x

180
00:14:18,059 --> 00:14:18,840
vale

181
00:14:18,840 --> 00:14:22,659
y de b, o sea, y máximo

182
00:14:22,659 --> 00:14:25,940
y de A

183
00:14:25,940 --> 00:14:28,759
y en I máximo

184
00:14:28,759 --> 00:14:30,539
pues

185
00:14:30,539 --> 00:14:32,159
I de A

186
00:14:32,159 --> 00:14:34,519
más

187
00:14:34,519 --> 00:14:35,779
I I

188
00:14:35,779 --> 00:14:38,039
el que lo hayamos hecho así

189
00:14:38,039 --> 00:14:39,620
me va a permitir

190
00:14:39,620 --> 00:14:43,740
no se llama I I

191
00:14:43,740 --> 00:14:48,110
no se que pusimos

192
00:14:48,110 --> 00:14:49,470
I mayúscula pero bueno

193
00:14:49,470 --> 00:14:51,090
es sensible por supuesto

194
00:14:51,090 --> 00:14:54,210
y por cierto los puntos de I E

195
00:14:54,210 --> 00:14:55,929
no hace falta que se vean

196
00:14:55,929 --> 00:14:59,570
entonces repito

197
00:14:59,570 --> 00:15:00,590
vamos a poner

198
00:15:00,590 --> 00:15:02,970
ahora bien

199
00:15:02,970 --> 00:15:05,590
idea más i

200
00:15:05,590 --> 00:15:09,870
muy bien, eso me ha hecho

201
00:15:09,870 --> 00:15:11,710
que el dibujo

202
00:15:11,710 --> 00:15:13,190
como veis

203
00:15:13,190 --> 00:15:16,250
se mantengan unidades cuadradas

204
00:15:16,250 --> 00:15:18,929
y tengo ya

205
00:15:18,929 --> 00:15:20,330
el zoom

206
00:15:20,330 --> 00:15:31,370
Podría, si hubiera puesto un número menor que 16, el zoom empezaría más grande

207
00:15:31,370 --> 00:15:37,330
O sea, más así, si hubiéramos puesto 12, pues se habría visto exactamente igual

208
00:15:37,330 --> 00:15:41,649
Bueno, pues ahora lo que voy a hacer es, para calcular el límite

209
00:15:41,649 --> 00:15:43,929
Es acercar el punto B

210
00:15:43,929 --> 00:15:47,710
Y como veis, dinámicamente, en la derecha

211
00:15:47,710 --> 00:15:51,710
va haciendo un zoom

212
00:15:51,710 --> 00:15:56,129
aquí en la izquierda cada vez se distingue peor

213
00:15:56,129 --> 00:15:58,330
la secante de la tangente

214
00:15:58,330 --> 00:16:01,929
todavía tendríamos una pendiente de 1,22

215
00:16:01,929 --> 00:16:03,730
pero aquí se ve perfectamente verdad

216
00:16:03,730 --> 00:16:06,610
que la línea roja y azul son diferentes

217
00:16:06,610 --> 00:16:10,110
entonces no estamos suficientemente cerca

218
00:16:10,110 --> 00:16:13,129
me sigo acercando, me sigo acercando

219
00:16:13,129 --> 00:16:15,470
hay un momento que me he acercado tanto

220
00:16:15,470 --> 00:16:19,049
que en vez de con este B voy a trabajar con este B

221
00:16:19,049 --> 00:16:23,769
como veis todavía ahora las separaciones son 0,05 en los dos ejes

222
00:16:23,769 --> 00:16:27,190
eso es lo que hemos conseguido con esto que hemos hecho aquí

223
00:16:27,190 --> 00:16:29,049
que no se cambien

224
00:16:29,049 --> 00:16:31,309
y ahora al ir moviendo

225
00:16:31,309 --> 00:16:34,830
cada vez es más grande

226
00:16:34,830 --> 00:16:36,909
cada vez es más grande

227
00:16:36,909 --> 00:16:41,070
ya en la izquierda B prácticamente está encima de A

228
00:16:41,070 --> 00:16:45,529
en la derecha ya casi no se distinguen

229
00:16:45,529 --> 00:16:47,090
pero podemos acercarnos más

230
00:16:47,090 --> 00:16:49,029
podemos acercarnos más

231
00:16:49,029 --> 00:16:52,029
y cuando hemos llegado a un determinado punto

232
00:16:52,029 --> 00:16:53,870
ha salido la derivada

233
00:16:53,870 --> 00:16:57,809
la derivada es la pendiente de la recta tangente

234
00:16:57,809 --> 00:17:02,210
cuando el incremento de x tiende a 0

235
00:17:02,210 --> 00:17:06,490
el incremento de x aquí todavía nos dice que es 0.01

236
00:17:06,490 --> 00:17:08,910
todavía podemos acercarnos más

237
00:17:08,910 --> 00:17:26,470
Y habrá un momento en que GeoGebra incluso dice que es cero, lo cual es evidentemente imposible porque algo dividido por cero pues daría indefinido y lo que pasa es que tendríamos que poner que se vieran más decimales para ver que todavía no es cero.

238
00:17:26,470 --> 00:17:29,809
y aquí en la derecha ya se ve perfectamente, podríamos

239
00:17:29,809 --> 00:17:31,849
seguirnos acercando, fijaros

240
00:17:31,849 --> 00:17:34,150
ya ahí no hay quien viera

241
00:17:34,150 --> 00:17:39,470
la separación entre la recta tangente y la secante

242
00:17:39,470 --> 00:17:43,710
ahora nos podemos ir, también podemos mover b

243
00:17:43,710 --> 00:17:46,089
y nos iríamos otra vez al punto

244
00:17:46,089 --> 00:17:49,049
y bueno pues ya hemos hecho

245
00:17:49,049 --> 00:17:54,829
nuestra construcción para demostrar la derivada de una función en un punto